自动控制原理习题解答(第二版)(余成波_张莲_胡晓倩).pdf

第1章 控制系统的基本概念 1 5 图 1 1 所示的转速闭环控制系统中 若测速发电机的正负极性接反了 试问系统能否正常工 作 为什么 图 1 1 直流电动机转速闭环控制系统 电 压 放大器 功 率 放大器 Mc 负载 n 电动机 a u g u E 电位器 测速发电机 f u e u 解 解 若测速发电机的正负极性接反 偏差电压则为 eg uuuf 系统将由负反馈变为正反馈 而正反馈不能进行系统控制 会使系统的偏差越来越大 因此 系统不能正常工作 1 9 仓库大门自动控制系统原理如图 1 8 所示 试说明仓库大门开启 关闭的工作原理 如果大 门不能全开或全关 应该怎样进行调整 图 1 8 仓库大门自动控制系统 解解 当给定电位器和测量电位器输出相等时 放大器无输出 门的位置不变 假设门的原始位置 在 关 状态 当门需要打开时 开门 开关打开 关门 开关闭合 给定电位器和测量电位器输 出不相等 电位器组会测量出开门位置与大门实际位置间对应的偏差电压 偏差电压经放大器放大后 驱动伺服电动机带动绞盘转动 将大门向上提起 与此同时 和大门连在一起的电刷也向上移动 直 到电位器组达到平衡 即测量电位器输出与给定电位器输出相等 则电动机停止转动 大门达到开启 位置 反之 当合上关门开关时 电动机带动绞盘使大门关闭 从而可以实现大门远距离开闭自动控 制 系统方框图如图 1 9 所示 如果大门不能全开或者全闭 说明电位器组给定的参考电压与期望的开门位置或关门位置不一 致 应该调整电位器组的滑臂位置 即调整 开门 或 关门 位置对应的参考电压 图 1 9 仓库大门自动控制系统方框图 关门位置对 应的电位 开门位置 放大器 绞盘 ue 实际位置 电动机大门 给定电位器 测量电位器 第 2 章 自动控制系统的数学模型 2 1 求图 2 1 中 RC 电路和运算放大器的传递函数 o i Us U s 解 解 a 令Z1 1 1 1 R Cs 为电容和电阻的复数阻抗之和 Z2 为电阻的复数阻抗 由此可求得 传递函数为 2 R 2212 12112 2 1 1 1 o i UsZRR R G s U sZZRCsR R CsR R c 该电路由运算放大器组成 属于有源网络 运算放大器工作时 A点的电压约等于零 称为虚 地 输入 输出电路的复数阻抗Z1和Z2分别为 Z1 Z 1 R 2 sC R 2 2 1 又由虚短得 12 io U sUs ZZ 故有 222 112 1 o i UsZR C s G s U sZRC s 2 4 已知某系统满足微分方程组为 10 tbtrte 20 10 6tetc dt tdc 10 5 20tctb dt tdb 试画出系统的结构图 并求系统的传递函数 sRsC和 sRsE 解解 在零初始条件下 对上述微分方程组取拉氏变换得 10 E sR sB s 610 20 sC sE s 205 10 sB sC s 每个等式代表一个环节 且系统的输入信号为 R s 输出信号为 C s E s是偏差信号 根据各 环节输入 输出变量之间的关系式 推出系统动态结构图 如图 2 9 所示 图 2 9 题 2 4 系统动态结构图 R s E s C s B s 10 106 20 s 520 10 s 连杆 电 化简动态结构图 可得系统传递函数为 2 20 10 200 205 20 205 610 2010 610 205 200122325 1 610 205 C sss s R sssss ss 2 2 1010 610 205 12023050 2010 610 205 200122325 1 610 205 E sssss R sssss ss 2 5 简化图 2 10 所示系统的结构图 求输出的表达式 sC 图 2 10 系统结构图 解 解 本系统为多输入 单输出系统 可利用线性系统的叠加定理 分别求取各个输入信号作用下的输 出 其和即为所求的系统总输出 系统动态结构图可化简为图 2 11 a a 图 2 11 题 2 5 系统结构图等效过程 2 sG 34 43 1 G s G s G s Hs sR sC 4 sH 2 sH 1 D s 2 D s 1 11 1 G s G s H s 考虑到输入信号D1 s 附近相邻的相加点可交换 将系统结构图图 2 11 a 简化为图 2 11 b b 图 2 11 题 2 5 系统结构图等效过程 34 43 1 G s G s G s Hs sR sC 4 sH 1 D s 2 D s 1 11 1 G s G s H s 2 22 1 G s G s Hs 1 求输入信号R s 用下的输出CR s 此时假定其他两个输入为零 即D1 s D2 s 0 则根据系 统结构图 2 11 b 化简可得 124 3 112243 124 34 112243 1234 11224312344 111 1 111 1 1 1 R R GGG G G HG HG HCs s GGG R s GH G HG HG H GG G G G HG HG HGG G G H 输出CR s 为 RR Css R s c 图 2 11 题 2 5 系统结构图等效过程 34 43 1 G s G s G s Hs sC 1 D s 1 11 1 G s G s H s 4 sH 2 22 1 G s G s Hs 2 求输入信号D1 s 用下的输出CD1 s 此时假定R s D2 s 0 则系统结构图可等效为图 2 11 c 化简可得 342 22431 1 3412 1 4 112243 23411 11224312344 11 1 111 1 1 1 1 D D G GG G HG HCs s G GGG D s H G HG HG H G G GG H G HG HG HGG G G H 输出CD1 s 为 111 DD Css D s d 图 2 11 题 2 5 系统结构图等效过程 34 43 1 G s G s G s Hs sC 2 D s 1 11 1 G s G s H s 4 sH 2 22 1 G s G s Hs 3 求输入信号D2 s 用下的输出CD1 s 此时假定R s D1 s 0 则系统结构图可等效为图 2 11 d 化简可得 34 432 2 3412 2 4 112243 341122 11224312344 1 1 111 1 1 1 1 1 D D G G G HCs s G GGG D s H G HG HG H G GG HG H G HG HG HGG G G H 输出CD2 s 为 22 DD Css D s 2 4 综上所述 本系统的总输出为 12 RDD C sC sC sCs 图 2 12 控制系统结构图 2 6 简化图 2 12 所示各系统的结构图 并求出传递函数 sRsC 解 解 图 2 12 a 是具有交叉连接的结构图 为消除交叉 可采用移动相加点 分支点的方法处 理 图中 a b 两点 一个是相加点 一个是分支点 二者相异 不可以任意交换 但可以相对各串 联环节前移或后移 如图 2 13 a 所示 求解步骤 1 将分支点 a 后移 等效图如图 2 13 b 所示 2 将相加点 b 前移 等效图如图 2 13 c 所示 3 将相加点 b 与前一个相加点交换 并化简各负反馈及串 并联环节 得图 2 13 d 4 化简局部负反馈 故得图 2 13 e 5 前向通道两环节串联 再化简单位负反馈系统 得到系统 a 的闭环传递函数为 1234 23123421234 1234 23123421234 2312342 1 1 1 1 1 1 1 GGG G G G HHG G HGGG GC s GGG G 1 R sG G HHG G H G G HHG G H GGG G 1 sG 2 sG 3 sG sR sC 1 sH 2 sH 3 1 G s 1 sG 2 sG 3 sG sR sC 1 sH 2 sH 2 1 G s 1 sG 23 231 1 G s G s G s G s H s sR sC 34 3 1 G s G s G s 2 2 Hs G s 1 sG 234 2312342 1 1 GG G G G HHG G H sR sC 3 1 G s 4 sG 4 sG 图 2 13 题 2 6 a 系统结构图简化过程 a b a a b b c d e a 1 sG 2 sG sR sC 1 sH 2 sH 4 sG b 3 sG 2 10 分别用结构图变换法及梅逊公式求图 2 21 所示各系统的传递函数 sRsC a 解 解 1 结构图变换法 如图 2 22 a 所示 虚线框内部分为典型的负反馈环节 因此系统动态结构图的等效变换如图 2 22 b 所示 系统闭环传递函数为 112 2 212 1 2 1 1 1 1 G sG sG sC s G s R sG s G s G s G s G s sR sC 1 sG 2 sG a sR sC 1 sG 2 2 1 G s G s b 图 2 22 题 2 10 a 系统结构图等效变换 e 解 解 结构图变换法 为解除交叉连接 可分别将相加点 a 前移 分支点 b 后移 如图 2 26 a 所示 动态结构图的等效变换见图 2 26 b c d 系统闭环传递函数为 3412 1234 341214 123414 3412 1234 32 123 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 G s G sG s G s G s G sG s G sC s G s G sG s G sG s G s R s G s G sG s G sG s G s G s G sG s G s G s G sG s G s G sG s G s G sG 14 4 1234 12341234123423 1234 123423 1 1 1 1 G s G s s G s G s G s G s G s G s G sG s G sG s G s G s G sG s G s G s G sG s G s G s G s G s G s G s G sG s G sG s G s 1 sG 2 sG a sC b 2 G s 1 G s 1 12 1 G s G s G s sC 2 1 G s 2 12 1 G s G s G s 1 1 G s sR sR sC d 2112 1212 1 1 1 1 G sG sG sG s G s G sG s G s 1 G s 2 G s 2 G s 1 G s 图 2 25 题 2 10 d 系统结构图等效变换 c A A C s B C sR sR C 连杆 电位器 B 2 12 已知各系统的脉冲响应函数 试求系统的传递函数 sG 2 25sin 3 3 g ttt 解 解 2 方法 1 25sin 3 25sin 3 39 g ttttt 在零初始条件下 等式两端取拉氏变换 根据拉氏变换的时域平移定理 得 9 222 23 5 3 s G se ss 由欧拉公式cossin j ej 且3 3sjjjs 则有 3 93 222222 2222 2323231 555 999 2 231325 33 5 9 23 22 9 jj G seej ssssss ss ssss 3 2 方法二 根据三角函数的求和定理 系统的脉冲响应函数可展开为 25sin 3 25 sin3 coscos3 sin 33 13 25 sin3cos3 22 g tttttt ttt 3 在零初始条件下 等式两端取拉氏变换 得 2222 253325 33 9 222 9 s G ss ssss 第 3 章 控制系统的时域分析法 3 2 某单位负反馈系统的开环传递函数为 0 11 K K Gs ss 试分别求出s10K 1和 s20 K 1时 系统的阻尼比 和无阻尼自然振荡角频率 n 及单位阶跃响 应的超调量 和调节时间 并讨论 s tK的大小对过渡过程性能指标的影响 解 解 系统闭环传递函数为 22 10 0 11010 KK s ssKssK 二阶系统标准的零极点表达式为 2 2 2 n nn s ss 2 闭环传递系数 K 1 比较可得 系统的性能参数为 n 10K 5 10K 且有5 n 说明 K 值的大小对系统的快速性影响较小 1 当 K 10 时 系统闭环传递函数为 2 100 10100 s ss 系统的性能参数为 0 5 n 10 系统相关动态性能指标为 2 1 100 25 7 e 3 0 6 5 s n ts 2 当 K 20 时闭环传递函数为 2 200 10200 s ss 系统的性能参数为 n 210 4 2 系统相关动态性能指标为 2 1 100 35 4 e st n s 6 0 5 3 由以上分析可见 增大系统开环传递系数 K 将增大系统超调量 使系统振荡加剧 对系统的动 态性能不利 3 4 如图 3 3 所示 若某系统加入速度负反馈s 为使系统阻尼比5 0 试确定 1 的 取值 2 系统的动态性能指标 和 s t 图 3 3 加入速度负反馈的系统 解 解 1 该控制系统的闭环传递函数为 2 10 10 1 105 1 5 10 1 1 1 s s s ss s ss 与二阶系统标准的零极点表达式比较 可得 21 n 5 并考虑到 10 n 5 0 所以 101 0 432 5 2 系统的动态性能指标如下 2 1 100 25 7 e 3 5 1 9 s n ts 3 5 实验测得单位负反馈二阶系统的单位阶跃响应曲线如图 3 4 所示 试确定该系统的开环传递 函数 K Gs 图 3 4 二阶系统的阶跃响应曲线 解 解 由图 3 4 所示 可知二阶系统的单位阶跃响应峰值时间为 2 22 1 3 14 0 2 11 1 25 1 100 100 25 1 p nn ts e 联立以上方程可得 0 515 n 18 33 并由于系统的单位阶跃响应稳态值为 1 说明系统的闭环传递系数 K 1 故求得系统闭环传递函 数为 2 222 335 218 88335 n nn K s ssss 系统为单位负反馈结构 因此有 1 K K Gs s Gs 推出系统开环传递函数如下 2 22 335 1 2s18 88 n K n s Gs sss s 3 7 已知单位负反馈系统的开环传递函数为 1 20 1 5 K Gs s ss 4 3 51 1 2 K s Gs s ss 试分别用劳斯判据判定系统的稳定性 解 解 1 系统闭环传函为 2056 20 23 sss s 闭环特征方程为 0 列劳斯表如下 2056 23 sss s31 5 s2 6 20 6 520 15 63 s1 20 s0 由于劳斯表的第一列系数均大于零 故该系统稳定 也可直接利用基于劳斯判据的三阶系统稳定性结论 如下 三阶系统特征方程为 则系统稳定的充分必要条件为 均大于 0 及 0 01 2 2 3 3 asasasa 3 a 2 a 1 a 0 a 1230 a aa a 对于本系统有 特征方程所有系数均大于零 且6 51 20 因此系统稳定 4 系统闭环传函为 1523 15 345 ssss s s 系统闭环特征方程为 1523 345 ssss 0 因为特征方程缺相 缺 故该系统不稳定 2 s 3 9 设单位负反馈系统的开环传递函数分别为 1 2 4 K K Gs ss 2 1 0 21 K K Gs s ss 3 试确定使系统稳定的开环增益K的取值范围 解 1 该系统的闭环传函为 Kss K s 86 2 闭环特征方程为 Kss 86 2 0 对于二阶系统 如欲使闭环系统稳定 则保证特征多项式的每个系数都大于零即可 8 K 0 K 8 3 11 设单位负反馈系统的开环传递函数为 12 5 3 6 K Ks s Gs sss 若要求闭环特征方程根的实部分别小于 0 1 2 试问K值应怎么选取 解 解 该系统的闭环传函为 322 12 14639012 Ks s s sssKsKs 特征方程为 32 14 63 12 900sK sK s 欲闭环特征方程根的实部小于 0 1 2 实际上就是使闭环特征方程根具有相应的稳定裕量 0 1 2 可利用劳斯判据确定对应的 K 值 1 使闭环特征方程根的实部小于 0 即求使系统保持稳定的 K 值 由系统的闭环特征方程 有 140 63 120 14 63 12 90 K K KK 即 14 5 25 14 79 4 46 K K KorK 求得满足条件的 K 值为 4 46K 2 使闭环特征方程根的实部小于 1 进行坐标变换 令 s z 1 代入闭环特征方程得 32 11 38 10 40 11 0zK zK zK 根据劳斯判据 欲使该系统在 z 域稳定的条件是 110 38 100 40 110 11 38 10 40 11 K K K KK K 即 11 3 8 3 64 13 2 9 K K K KorK 则在 s 域中满足条件的 K 值为 2 93 64K K 即 8 2 38 0 6 11 33 1 54 K K K KorK 则在 s 域中满足条件的 K 值为 1 540 6K 故该系统闭环稳定 2 该系统给定输入信号下的开环传函为 2 510 0 21 K s Gs ss 前向通道有两个积分环节 v 2 该系统为 II 型系统 所以输入信号下的稳态误差为 1r tt ssr e 0 系统对于干扰的闭环传递函数为 32 10 10 0 21 110 0 2510 1 0 5 0 21 D D ssss s R ssss sss 因此阶跃干扰信号作用下的系统稳态误差为 0 3232 00 0lim 0 110 limlim0 0 25100 2510 ssdD s ss ess D s ss s sssssss 第5章 频率特性法 5 2 已知单位负反馈系统的开环传递函数为 5 1 K Gs s 根据频率特性的物理意义 求闭环输入信号分别为以下信号时闭环系统的稳态输出 1 r t sin t 30 解 解 该系统的闭环传递函数为 6 5 s s 闭环系统的幅频特性为 36 5 2 A 闭环系统的相频特性为 6 arctan 1 输入信号的频率为1 因此有 37 375 A 9 46 系统的稳态输出 5 37 sin 20 54 37 ss ctt 5 4 求图 5 8 所示的电网络的频率特性表达式 以及幅频特性与相频特性表达式 并绘制出对数 频率特性曲线 图 5 8 题题 5 4 图 解 解 a 电网络的传递函数为 2221 1 2112 12 1 2 1 21 21 12 12 1 1 1 1 11 1 1 RRR RCs G s R R RCsRR RR CsRCs R R Cs RRCsTs R RCs RRTs RR 2 1 12 1 R TRC RR 0 具有相位超前作用 故名超前校正装置 3 有超前最大值 m b 电网络的传递函数为 2 2 12 12 12 2 2 1 1 1 1 R R Cs Cs G s 1RR Cs RR Cs RR TR C R 频率特性为 2 12 1 j R C G j jRR C1 幅频特性 22 2 1 T A T 1 相频特性 arctanarctanTT 伯德图见图 5 9 b 此电网络是系统校正中常用的滞后校正装置 见第六章 呈现以下特点 1 转折频率 T 1 与 T 1 之间渐近线斜率为 20dB dec 起积分作用 2 在整个频率范围内都 相角穿越频率 g 3 16 rad s 1 可求得系统的幅值裕量为 Lh L g 20dB 0 因此 闭环系统稳定 并具有较好的稳定裕量 2 当 K 10 时 求系统的相位裕量 绘制开环伯德图如图 5 18 对数频率特性 b 所示 相对于对数频率特性 a 开环传递系数增加 10 倍 L 曲线上升 20dB 相频特性保持不变 系统的幅值穿越频率 cb 3 16 rad s 1 也是系统的相角穿越频率 代入系统的相频特性有 180 0 c 系统的幅值裕量为 Lh L g L c 0dB 因此 稳定裕量为零 闭环系统处于临界稳定状态 3 分析开环传递系数的大小对系统稳定性的影响 由以上分析可见 对一结构 参数给定的最小相位系统 当开环传递系数增加时 由于L 曲 线上升 导致幅值穿越频率 c右移 从而使得相位裕量与幅值裕量都下降 甚至使系统不稳定 第 6 章 控制系统的校正 6 8 一单位负反馈系统固有部分的传递函数为 1 0 51 o K G s s ss 若要求系统的静态速度误 差系数Kv 5s 1 相位裕量 40 幅值穿越频率 c 0 5rad s 幅值裕量L h 10dB 试设计所需串联滞后 校正装置的传递函数 解解 1 求校正前的开环频域指标 K 5 时未校正系统的伯德图如图 6 3 中的曲线Lo 所示 低频段过点Lo 1 20lgK 14dB 且 中频段穿越斜率为 60 dB dec 可见开环对数频率特性不满足稳定性的要求 由关系 2 14 40 2 2 lg 2lg1 L L dB 2 602 16 lglg2 c c c LL rad s 未校正系统的相位裕量为 180 90arctan2 16arctan 2 16 0 5 22 4 系统是不稳定的 若采用超前校正 则需要校正装置提供的相位超前量为 4022 4567 465 m 可见校正装置所需提供的相角超前量过大 对抗干扰有不利影响 且物理实现较为困难 同时由于采 用超前校正幅值穿越频率会右移 从原系统的相频特性可见 系统在原 c处相位急速下降 需要校正 装置提供的相角超前量可能更大 因此不宜采用超前校正 由于要求的 0 5 c rad s 在2 16 c rad s 的左边 所以可以考虑采用串联滞后校正装置 2 确定校正后的幅值穿越频率 选择未校正系统伯德图上相位裕量为 0 40848 时的频率 作为校正后的幅值穿 越频率 c 根据下式确定 180 90arctan arctan 0 5 48 occ 0 但直接求解此三角函数是比较困难的 根据题意可将 c 0 5 rad s代入上式 求得 49 448 故选定 c 0 5rad s 3 确定滞后网络的 值 未校正系统在 c处的对数幅值为 1 20lg20lg oc L 0 01 90 180 c o 22 4 0 270 0 1 图 6 3 题 6 8 系统校正前后的伯德图 Lo 未校正系统 Lc 校正装置 L 校正后系统 o 未校正系统 c 校正装置 校正后系统 L dB 2 0 1 c 0 5 Lo LC L 20 0 20 40 1 c 2 16 20 40 60 2 60 rad s 1 rad s 1 14 0 01 20 40 1 40 L h 2 根据 20lg20lg20lg5 20 lg lg1lg0 5lg1 oc c LK 可计算出 10 4 确定滞后校正装置转折频率 2 105 c 1 c T 选 2 1 0 1 5 c T rad s 推出T 1 2 10s 并有 1 1 T 0 01rad s 滞后校正装置的传递函数为 1101 11001 c Tss G s Tss 5 校验系统校正后的稳定裕量 与L r h 校正后系统的开环传递函数为 5 101 1 0 51 1001 Kco s GsG s G s s sss 180 90arctan 0 5 10 arctan0 5arctan 0 5 0 5 arctan 0 5 100 40r 满足设计要求 系统校正前后的频率特性见图 6 3 由于系统的相角穿越频率 g需通过复杂的三角函数才能正确求解 因此幅值裕量一般通过间接的 方法验证 方法如下 系统校正后的相频特性为 90 arctan10 arctan arctan0 5 arctan100 由图 6 3 可见 g在频率范围 1 2 之间 可求得校正后 1 3rad s时的相位与对数幅值分别为 1 3 179 4 L 1 3 20lg1 0 5 40lg1 3 1 10 6 dB 因此判断出校正后的 g稍大于 1 3rad s 并由系统的频率特性可知 在频率大于 1rad s的范围内 随频 率的升高 系统对数幅值与相位均呈下降的趋势 所以必有L g 10 6dB 即L h 10 6dB 满足 设计要求 幅值裕量的验证也可通过精确的坐标系直接判断 见图 6 3 比较校正前后系统的性能 有 1 滞后校正装置的负斜率段压缩了系统开环对数幅频特性的中频段 使穿越频率由 40dB dec 变为 20dB dec 系统的幅值穿越频率 c由 2 16rad s左移到 0 5rad s 利用系统本身的相频特性使系统 稳定 并具有 40 的相位裕量与足够的幅值裕量 2 不影响系统的低频段 不改变系统的稳态精度 4 高频段对数幅值下降 抗干扰性能有所提高 总的来说 系统串联滞后校正装置后 在保证稳态性能的前提下 改善了动态性能 6 15 原系统的开环传递函数为 10 1 o G s s s 采用串联校正 期望校正以后的开环幅 频特性曲线 L 如图 6 10 所示 试求 1 在原图上绘制所需校正装置的伯德图Lc 求出此装置的传递函数Gc s 并说明该装置 的类型 2 简要说明系统校正前后性能的变化 解 解 1 方法一 方法一 绘制系统校正前的频率特性 如图 6 11 Lo 所示 根据 Lc L Lo 绘制系统所需校正装置的伯德图Lc 见图 6 11 可见所需装置为超前校正装置 其传递函数Gc s 的求取过程如下 校正装置低频段与 0dB 线重合 斜率为 0dB dec 推出传递系数为 K 1 确定各典型环节 第一个转折点 1 2 2rad s 斜率增加 20db dec 有一个积分环节 1 1 2 2 s 第三个转折点 3 8 8rad s 斜率减小 20dB dec 有一个惯性环节 1 1 1 8 8 s 因此 校正装置的传递函数Gc s 为 1 1 0 451 2 2 1 0 111 1 8 8 c s s Gs s s L dB L 10 1 0 1 2 2 4 47 0 20 40 8 8 20 20 40 40 Lo 未校正系统 Lc 校正装置 L 校正后系统 图 6 11 题 6 15 系统校正前后的伯德图 rad s 1 40 Lo LC 6 方法二 方法二 根据图 6 10 所示系统校正后的期望特性 L 推出系统校正后的开环传递函数为 10 0 451 1 0 111 K s Gs s ss 故所需校正装置为 0 451 0 111 K c o Gss G s G ss 2 系统校正前 幅值穿越频率为 c 1020 40 3 16rad s 相位裕量为 18090arctan3 1617 6 串联超前校正装置后 开环对数幅频特性的中频段抬高 幅值穿越频率右移 增加了带宽 快速 性改善 相位裕量 18090arctan4 47 0 45arctan4 47arctan4 47 0 1150 0 明显增加 系统稳定性改善 高频段对数幅值上升 抗干扰性下降 第 7 章 非线性控制系统 7 1 求下列方程的奇点 并确定奇点的类型 1 0 1 2 xxxx 2 0 35 0 22 xxxxx 解 解 1 由题得 2 1 xxxxf x x 式中 f x x 为解析函数 若以 x 为自变量 x 为因变量 则上式可改写为 f x xx xx 考虑到 xdx dx x dt dt 因此有 f x xdx dxx 根据奇点的定义 0 0 dx dx 列方程组为 0 0 xxf x 得到系统的奇点为 0 0 x x 即奇点在坐标原点 在奇点 0 0 处 将 xxf 进行泰勒级数展开 保留一次项有 00 2 00 0 0 0 1 21 x xx x x xx x f x xf x x f x xfxx xx xxxxx xx 奇点附近线性化方程为 xf x xxx 其特征方程为 2 10ss 特征根为 2 3 2 1 2 1 j 为s平面的右半部分的共轭复数根 故奇点为不稳定焦点 概略画出奇点附近的相轨迹如图7 a 所 示 2 由题得 22 0 53 xxxxxf x x 由 0 0 xxf x 得到 10 0 或x x 即奇点为 0 0 和 1 0 xx xx a b 图 7 71 题 7 1 奇点附近的相轨迹 1 在奇点 0 0 处 将进行泰勒级数展开 保留一次项有 xxf 00 2 0 0 0 0 0 53 61 2 1 2 x xx x x x x x f x xf x x f x xfxx xx xxxxxx xx 奇点 0 0 附近线性化方程为 xxx 2 1 其特征方程为 2 1 10 2 ss 特征根为 1 2 115 0 250 984 44 jj 为 s 平面的右半部分的共轭复数根 故奇点 0 0 为不稳定焦点 2 在奇点 1 0 处 将 f x x 进行泰勒级数展开 保留一次项有 00 11 2 00 11 1 0 0 1 0 53 61 2 1 5 1 2 xx xx xx xx f x xfxx xx xxxxxx xx 在奇点 1 0 处 进行坐标变换 令 f x xf x x 1yx 则yx yx 即xx 坐标系的奇点 1 0 变换为yy 坐标系下的奇点 0 0 因此有 5 2 yyy 其特征方程为 2 5 10 2 ss 特征根为 3 4 54 44 1 为一正一负的两个实数根 故xx 坐标系下的奇点 1 0 为鞍点 7 7 3 态 试绘制相轨迹图 系统输入为 解 解 1 的数学表达式为 概略画出奇点附近的相轨迹如图b 所示 系统结构图如图 7 71 设系统初始条件是静止状 1 r tR Ra 非线性特性 eea yaea aea t0 rr xx 0T eey 根据已知的非线性特性 开关线e将相平面分为正饱和区 II 线性区 I 负饱和区 III 三个线性区 域 a 0 0 0 T eeeea T eeaea T eeaea 1 区 线性区 系统的微分方程为 0 T eeeea 将 de e de e代入上式 求得 区相轨迹的斜率方程为 1deee deTe 以及代入上式 得到 0e 0e 0 0 de de 这说明相平面的原点 0 0 为 I 区相轨迹的奇点 该奇点因位于 I 区内 故为实奇点 线 性区 I 区的特征方程及特征值分别为 ee 2 1 2 10 11 4 2 Tssea T 若1 4 则系统在 I 区工作于欠阻尼状态 这时奇点 0 0 为稳定焦点 若1 4 则系统在 I 区工作于过阻尼状态 这时的奇点 0 0 为稳定结点 为方便讨论奇点的性质及绘制相 平面图 以下分析假定1 4 0T 0T 若记等倾线斜率为 de de 则 I 区的等倾线方程为 1 e ee T a 当1 4时 该区的相轨迹是一簇螺旋线 收敛于相平面原点 如图解 7 8 a 所示 当 时 该区的对应的相轨迹是一簇趋向相平面原点的抛物线 0T 2 区 饱和区 系统的微分方程为 0 T eeaea 0 T eeaea 0 0 0 eRe 图 7 5 题 7 3 含饱和特性的非线性系统相 a a a a a 1 0 T 0 1 T 1 0 T 0 1 T 0T 时相同 7 8 图 7 76 所示为继电器控制系统的结构图 其线性部分的传递函数为 11 0 15 0 1 10 sss sW r x t c x t e t 题 7 4 图 y t 2 1 W s 试确定自持振荡的频率与振幅 解 解 带有滞环的继电器特性的描述函数为 2 2 44 1 MaMa R Aj AAA Aa 输入为 e t Asin t 已知2 1Ma 代入上式 则有 2 2 818 1 R AjA AAA 1 写出描述函数的负倒数特性为 2 2 2 11 1 818 1 1 1 88 A R A j AAA A j A 由上式可知 A由时 1 1 Im 8 j R A 因此 1 R A 曲线平行于负实轴 且 1 Re R A 由0 由题 线性环节的传递函数为 11 0 15 0 1 10 sss sW 将 js 代入上式 可得其频率特性为 11 0 15 0 1 10 jjj jW 由于线性环节为 0 型 3 阶系统 故 jW曲线起于正实轴的 10 j0 点 幅值单调减小 沿顺 时针方向终止于原点 最终相位为 270 与正虚轴相切 并由 Im 0Wj 可求得与负实轴的交 点为 0 5 j0 点 作 1 R A 曲线和 jW曲线 交于 D 点 如图所示 1 R A 自右向左移动 与曲线 W j 有交点 从不稳定区域进入系统稳定区域 交点所对应的极限环是稳定的 系统存在自持振荡 1 R A 与曲线 W j 交点的求取公式如下 1 1 Wj R A R A Wj 由于 23 1 0 0650 1 0 0050 16 j Wj 即 2 23 2 818 10 0650 1 0 0050 16 R Ajj AAA 有 2 2 3 2 81 10 0650 1 8 0 0050 16 AA A 利用 MATLAB 求解此方程组 指令如下 a w solve 8 3 14 a sqrt 1 1 a 2 0 065 w 2 0 1 8 3 14 a 2 0 005 w 3 0 16 w 图 7 18 题 7 8 非线性系统稳定判据 Re Im 1 R A 3 84 2 78A W j 10 0 5 8 j D 排除负根与复数根 得解为 3 84 2 78rad sA 即系统有频率 振幅 3 84 rad s 2 78A 的自振 注 注 自持振荡的频率和振幅也可通过相对描述函数 又称基准描述函数 0 a R A 求得 公式如下 0 0 1 n n aR A R AK K W j a R A 即将描述函数中部分非线性参数分离出来 乘到线性部分去 描述函数剩余部分的非线性参数都 以相对值 a A的形式出现 Kn称为非线性特性的尺度函数 0 1 R A 称为负倒相对描述函数 0 1 a R A 和 n K W j 的相互关系 完全对应于 1 R A 和 W j 的相互关系 负倒相对描述函数 0 1 a R A 的 特点是 把 a A 作为一个变量 则 0 a R A 仅是 a A 的函数 其函数值与非线性特性的特征参数M a无 关 显然 n K W j 与 W j 成比例 绘制过程相同 但 0 1 a R A 的作图过程却比绘制 1 R A 简 单得多 本题的基准描述函数为 2 0 2 44 12 2 n n aR AR AaM Rj AKAAAa K 20 1 0 51 0 11 n K W j jjj 通过 0 1 n K W j a R A 所求得的系统自振参数与前面的计算结果完全相同 第 8 章 离散控制系统的分析和综合 8 1 设时间函数的拉氏变换为 X s 采样周期Ts 1 秒 利用部分分式展开求对应时间函数的z 变换 X z 1 3 1 2 s X s s ss 3 2 27 2 413 X s sss 解解 1 将 X s展成部分分式 1 520 5 12 X s sss 则其z变换为 12 1 520 5 0 8310 011 110 3680 135 zzzzz X z zzezezzz 3 将 X s展成部分分式 22 33633