三角函数在圆锥曲线中的应用及推广.doc

三角函数在圆锥曲线中的应用及推广纵观高考近几年出题可以看到，三角函数与向量结合作为一种给出题目信息的载体已经多见，但它作为一种解题工具却总被人们忽视。而三角函数本身所拥有的特性，有时为解题带来一种全新的思路，现在我就谈谈三角函数在圆锥曲线中的应用。（一）三角函数与圆锥曲线有诸多相似之处。（内在联系）由图（11）可知，在三角函数中在圆锥曲线中有由可知，都存在 平方与“1”故有：圆椭圆双曲线不难发现，在解题时则引以适当选择利用三角。（二）具体应用示例例 设椭圆的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率。已知点到这个椭圆上的点最远距离为，求椭圆的方程并求椭圆上到点P的距离为的点的坐标。分析：此题按常法设椭圆方程，再根据题目条件可解出方程，但此方法过于烦锁，容易出错，如果利用三角代换便可化简。解：设椭圆的参数方程为其中0且02 （、是待定的）由 即再设椭圆上的点到点的距离为，则=假若即，则当时有最大值.由题设有与矛盾，因此必有即于是时，有最大值. ，则.椭圆方程为，由，.椭圆上的点为和到的距离为.例已知两圆和. 求大圆被小圆截得劣弧长.分析：初看题可知，只要算出劣弧的圆心角使可知弧长，要求角度使可利用参数方程.解：设点为由对称性可知.在小圆上 即， 劣弧长是.例 已知过定点，动点满足.（1）求动点的轨迹方程，并说明方程表示的曲线类型.（2）当=2时，的最大、最小值.解：（1）略.（2）当=2时，方程式为，设 则=（三）推广三角函数不仅仅只能用于圆椎曲线中，只要有三角形似的条件便可利用三角函数.例 已知圆满足截轴所得弦长为2，被轴分成两段圆弧，其弧长比为3：1，在满足条件的所有圆中，求圆心到直线的距离最小的圆的方程.解：设圆心为，半径为，则有，则与直线的距离.通法：平方有 而 当且仅当 即，成立.由图象关系有，或，满足题意.方程为或观察题目，发现中有“平方与1”可联想三角函数.令，=令求即可，则= 下同通法.由以上几道题目可以理解到，三角作为一种有利的工具很大机会会出现在题目当中。这就得我们在平时做练习时多总结多想。希望我的意见会为你带来一种解题新途径.4用递推思想解决“错排问题”奋斗中学高三0406班 戴强荣 指导老师：李国梅在1993年的数学高考试卷中出现了一道至今都影响深远的四元错排问题：（1993年理文（17）同室四人各写一张贺年卡，然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡，则4张贺年卡不同的分配方式有A、6种 B、9种 C、11种 D、23种我们早已知道，结果为9种. 解法很多在此不再赘述. 本文想研究的是由此引申出的更一般化的元错排问题. 即“个有序元素，全部改变其位置的排列数是多少.”查数学历史资料可知，这其实是一个年轻而古老的问题，最先由利克努斯贝努利（Niklaus Bernoulli ，16221708）提出，后来大数学家欧拉（Euler）等都有所研究.1、以下给出数学家们的推导结果：记表示个元素全部错位的所有排列种数，则“元错排”问题的一般解表达式为=可解释为：给出，显然方法种数“过剩”了，可去掉某人恰拿到自写贺年卡的情况，此时其他人的错位即，因个人等可能，故乘以；即；但又“不足”了（多减了）. 多减的情况恰含又有一个人拿到自己写的贺年卡，于是但又“过剩”了，；最后有由上式很容易求出“五元错排”结果为44种. 事实上，用上述方法推理，就是反复考虑包含与排斥的情形，这当然是在利用容斥原理去解决的.2、有人还用行列式去解个人；张贺年卡（），求错排数，列阶行列式：行列式展开为多项式后，让所有项取正号的结果为所求.3、本文欲用递推的思想去解决错排问题，即用一个简单的递推公式予以解决. 下面给出推导过程：个不同元素的一个错排可由下述两个步骤完成：第一步，“错排”1号元素（将1号元素排在第2至第个位置之一）有种方法.第二步，“错排”其余个元素，按如下顺序进行. 视第一步的结果，若1号元素落在第个位置，第二步就先把号元素“错排”好，号元素的不同排法将导致两类不同的情况发生：（1）号元素排在第1个位置，留下的个元素在与它们的编号集相等的位置上“错排”；有种方法；（2）号元素不排第1个位置，这时不将第1个位置看成第个位置，于是形成（包括号元素在内的）个元素的“错排”，有种方法.根据加法原理，完成第二步共有种方法.根据乘法原理，个不同元素的错排种数显然，很明显，用这个简单的递推公式解决错排问题比上述方法1、方法2更先进、更简便.错排问题的数学模型有着非常广泛的应用. 例如实际生活中有信封中装错信件或坐错座位等.所以研究它的解法很具有实际意义.一道课本例题的巨大潜能及深远影响奋斗中学高三0409班 张文耀 指导老师：李国梅一、课本例题的探究高中数学第二册（上）第130页例2.如图829，直线与抛物线相交于，两点，求证：.这里由.很容易证得，但如果仅此而已，这道例题的巨大能量就这样被我们埋藏掉了.思考：若让直线绕（2，0）点转动起来，还能成立吗？不妨设直线，则代入中，.，这里，显然. 这个结果很令人兴奋.仔细观察，直线恒过（2，0）与抛物线中相同的2，不免让人产生猜想：命题：过（2，0）点的直线与抛物线相交于，两点，则. 显然很容易证明猜想是正确的.那么，难免又让人想到它的逆命题正确吗？逆命题：抛物线上有两动点，满足，则直线恒过.证明：不妨设，则，直线令，得. 这就是说，直线恒过.由此，可得下列充要条件：过原点作抛物线的两弦，则的充要条件是直线恒过定点.二、探究结果的巨大潜能对于上述的研究成果，可进一步探究其在解题中的应用价值，以它作为条件的试题在近些年的高考中频频出现.例1 （2000年春季高考题）已知，是抛物线上原点以外的两动点，且，（是垂足）求点的轨迹方程，并说明是什么曲线？分析：由已知可得直线恒过点，设，则.易得例2 （2005年广东省高考题）在平面直角坐标系中，抛物线上异于坐标原点的两个不同动点，满足（如图所示）.（1）求的重心的轨迹方程.（2）略.分析：由易知恒过点，设中点重心，则 即 （1）这里，则 ，有 从而 （2）将（1）式代入（2）得：三、探究结果的深远影响上述充要条件可进一步推广，得以下重要命题：命题1 过抛物线上的一定点作两弦，则的充要条件是直线恒过定点.例3 （1999年全国高中联赛试题