苏科版七年级2010-2011下学期第十一周数学辅导总结.pdf

数学 图形的全等 学习早知道 1 在几何学习中袁野图形的全等冶一章的学习是几何学习成败的试金石袁几何入门与否就看是不是较好地把握了本章的内容和学习方法 本 章重点研究和探索了三角形全等的相关问题袁包括全等图形尧全等三角形的定义尧全等三角形的性质尧全等三角形的判定方法的探索袁因此本 章的重点是掌握全等三角形的知识并综合应用它们来解决问题 1 全等图形 通过认识现实生活中丰富的全等图形袁获知野能够完全重合的两个图形称为全等图形冶 抓住图形全等的关键是形状相同尧大小相等袁 这一点还可结合图形变换的特征说明院图形经过平移尧旋转尧翻折后袁不改变图形的形状与大小袁只改变图形的位置袁因此经过平移尧旋转尧 翻折的变换袁其变换前后的图形是全等的 为此袁必须形成的一个认识是院全等图形的面积相等袁但面积相等的图形不一定全等 2 全等三角形 根据上述全等图形的定义袁能够完全重合的两个三角形则称为全等三角形援两个图形的全等可用符号野艺冶来形象尧直观地表示和记 写袁其中的野易冶表示图形的形状相同袁野 冶表示图形的大小相等援在表示吟ABC艺吟DEF时袁一定要将完全重合的两个三角形的对应顶点A尧 B尧C与D尧E尧F写在对应的位置上 三角形的元素有六个袁即三条边和三个角袁通过野全等三角形冶的定义可得袁三条边尧三个角能够分别对应重 合袁我们将能够完全重合的边称为对应边袁能够完全重合的角称为对应角 例如吟ABC艺吟DEF袁那么这两个全等三角形的对应边分别是AB 和DE尧BC和EF尧CA和FD袁对应角分别是蚁A和蚁D尧蚁B和蚁E尧蚁C和蚁F袁因此有结论院AB DE尧BC EF尧CA FD尧蚁A 蚁D尧蚁B 蚁E尧蚁C 蚁F 由此得到全等三角形的性质院全等三角形的对应边相等袁对应角相等 例1 如图袁吟ABD艺吟CDB袁其中AB CD袁下面四个结论中不正确的是渊冤 A 吟ABD和吟CDB的面积相等 B 吟ABD和吟CDB的周长相等 C 蚁A 蚁ABD 蚁C 蚁CBD D AD椅BC且AD BC 解析院 由于吟ABD与吟CDB全等袁根据全等三角形的性质袁可得对应边和对应角相等袁那么两个三角形的周 长也相等曰又由全等图形的性质知袁两三角形的面积相等袁从而有蚁A 蚁C袁蚁ABD 蚁CDB袁蚁ADB 蚁CBD袁又由蚁ADB 蚁CBD可推出 AD椅BC袁所以本题应选C援 例2 如图袁吟ABC艺吟ADE袁蚁C 蚁E袁蚁1 蚁2 20毅袁蚁D 20毅袁蚁C 36毅袁BC 5 cm袁求边DE的长和蚁DAC的度数 解析院 根据全等三角形的性质院 因为吟ABC艺吟ADE袁 所以蚁B 蚁D 20毅袁蚁C 蚁E 36毅袁BC DE 5cm曰 又由三角形的内角和定理院 蚁BAC 180毅 蚁B 蚁C 124毅袁从而得蚁DAC 蚁BAC 蚁1 124毅 20毅 104毅 3 三角形全等的条件 为什么要探索三角形全等的条件袁即全等三角形的判定方法呢钥 根据全等三角形的定义袁如果欲判定两个三角形全等袁那么现在只能 具备定义的条件袁定义要求有三条边和三个角分别对应相等的两个三角形才能全等袁因此用定义来判别两个三角形的全等需要六个相等 的条件袁这样用定义来判定全等三角形条件过多 结合生活经验袁经过实验研究发现袁可以减少条件袁发现确定一个三角形的条件不能少于 三个袁因此选定了用三个相等的条件袁来判定两个三角形全等的探索是恰当的袁如此形成了已知三个条件的组合有院两边一角渊包括边角边尧 边边角冤尧两角一边渊包括角边角尧角角边冤尧三边渊边边边冤尧三角渊角角角冤 一般的三角形全等的判别方法有哪些呢钥 通过对以上条件组合的实验验证袁发现其中有四种组合可以成为判定全等三角形的方法院 即淤边角边渊SAS冤曰于角边角 ASA 曰盂角角边 AAS 曰榆边边边 SSS 特别值得提醒的是院角角角渊AAA冤的条件只能保证两个三角形的形状相同袁而不能保证两个三角形的大小相等袁不能作为判定两个 三角形全等的条件袁由此也可见袁在判定两个三角形全等的四个方法中袁组合的三个条件中应至少有一组条件为边 另外边边角渊SSA冤的组合条件也不能作为全等的判定方法袁这是最易致错的问题袁所以同学们在学习判定时应力避袁应加深对边边角 条件的理解袁现举反例如下院 如图所示袁在锐角吟ABC中袁以A为圆心袁AC为半径画弧袁交BC于D袁连接AD袁则在吟ABC和吟ABD中袁有条件AB AB尧AD AC袁蚁B是公共角袁 有蚁B 蚁B袁以上满足了边边角的条件袁但显然吟ABC与吟ABD是不全等的 也可用等腰三角形ABC举反例说明院在吟ABC中袁在底边BC上任取异于中点的一点D袁连接AD袁则吟ABD与吟ACD中袁有AB AC尧AD AD尧蚁B 蚁C袁但这两个三角形也不可能全等 数 学 广 角 从图形变换到常见全等三角形 新图形的形成与图形的平移尧旋转尧翻折等变换有关袁因此在解决全等三角形的问题时袁要准确快速地识别全等三角形袁就必须掌握 怎样通过变换来形成常见的图形袁大致有以下几种院 1 平移型 如图1的几种图形属于平移型 图1 它们可看成是对应边在一直线上移动所构成的袁故该对应边的相等关系一般可由同一直线上的线段的和或差而得到援 2 旋转型 如图2的几种图形属于旋转型袁它们可看成是以三角形中的某一点为中心旋转所形成的袁故一般有一对相等的角隐含在对顶角或某 些角的和或差中援 图2 3 对称型 如图3的几种图形属于对称型袁它们的特点是可沿某一直线对折袁直线两旁的部分能完全重合袁也即形成轴对称的图形袁重合的顶点 就是全等三角形的对应顶点援 图3 例如图4的平行四边形ABCD中就包含了一对旋转型的全等三角形袁其中吟ABC可看成是由吟CDA绕AC边的中点旋转而成的曰而图5 的全等三角形吟ABC和吟DEF中袁吟ABC可以看成是吟DEF绕着CF的中点旋转而成的 图4图5 学习全等 注意 对应 我们知道院 两个三角形全等时袁互相重合的边叫做对应边袁互相重合的角叫做对应角曰书写全等三角形时袁一般把对应顶点的字母放 在对应的位置袁凡此种种说明野对应冶对于全等三角形很关键袁明确两个全等三角形的对应元素非常重要 那么如何准确迅速地确定两个全 等三角形的对应边和对应角呢钥 辨认全等三角形的对应元素最有效的方法袁是先找出全等三角形的对应顶点袁再确定对应角和对应边 例如袁已知吟ABC艺吟EFD袁由 记法可知院A与E尧B与F尧C与D成对应点袁则三角形的边AB与EF尧BC与FD尧AC与ED当然是对应边袁对应边所夹的角就是对应角 此外袁还有如 下规律院 渊1冤 全等三角形对应边所对的角是对应角袁两条对应边所夹的角是对应角曰 渊2冤 全等三角形对应角所对的边是对应边袁两个对应角所夹的边是对应边曰 渊3冤 有公共边的袁公共边可视为对应边曰 渊4冤 有公共角的袁公共角可视为对应角曰 渊5冤 有对顶角的袁对顶角可视为对应角曰 渊6冤 两个全等三角形中一对最长边渊或最大角冤是对应边渊或对应角冤袁一对最短边渊或最小角冤是对应边渊或对应角冤援 例1 如图袁已知吟ABC艺吟DCB袁且AB DC袁请指出对应角和另外两组对应边援 解析院由于已知吟ABC艺吟DCB袁且AB DC袁说明A点对D点袁B点对C点袁从而得C点对B点袁只要将对应字母写在对应的位置上袁即可找到 对应角和对应边援答案是院蚁A与蚁D尧蚁ABC与蚁DCB尧蚁ACB与蚁DBC是对应角袁BC与CB尧AC与DB是对应边援 例2 如图袁已知吟EAB艺吟DCE袁AB尧EC分别是两个三角形的最长边袁蚁A 蚁C 35毅袁蚁CDE 100毅袁蚁DEB 10毅袁求 蚁AEC的度数 解析院根据条件知AB和EC是两个全等三角形的对应边袁根据对应边所对的角是对应角袁可得蚁AEB和蚁CDE是对应角袁蚁ABE和蚁CED 是对应角袁根据三角形的内角和等于180毅袁可求得蚁BEC袁进而再求出蚁AEC 解院 因为AB尧EC是对应边袁所以蚁AEB 蚁CDE 100毅袁又蚁C 35毅袁所以蚁CED 180毅 35毅 100毅 45毅袁又蚁DEB 10毅袁所以蚁BEC 45毅 10毅 35毅袁所以蚁AEC 蚁AEB 蚁BEC 100毅 35毅 65毅 用全等三角形的性质确定位置关系 在解决与全等三角形有关的问题时袁有一类问题常常需要确定两线段的位置关系袁它们一般都可利用全等三角形的性质来说明 1 确定线段的平行关系 例1 如图袁点A尧D尧C尧F在同一直线上袁吟ABC艺吟FED袁试说明AB椅EF 解析院 根据两直线平行的判定条件袁应寻找角之间相等或互补的关系袁根据全等三角形对应角相等袁可得到这种 关系 解院 疫吟ABC艺吟FED渊已知冤袁 亦 蚁A 蚁F渊全等三角形对应角相等冤 亦 AB椅EF渊内错角相等袁两直线平行冤 例2 如图袁已知BC DE袁BE DC袁判断BC与DE的位置关系袁并说明你的理由钥 小明是这样想的袁请你给小明的每个说理步骤填上合适 的理由 解院 判断知 BC椅DE 连接BD袁在吟BCD和吟DEB中袁 BC DE渊冤袁 BE DC渊冤袁 BD DB渊冤袁 亦 吟BCD艺吟DEB渊冤袁 亦 蚁CBD 蚁EDB渊冤袁 亦 BC椅DE渊冤 答案院 已知尧已知尧公共边尧SSS尧全等三角形的对应角相等尧内错角相等袁两直线平行 2 确定线段的垂直关系 例3 如图所示袁点D尧B尧C在同一直线上袁已知吟ABD艺吟ACD袁那么AD与BC有怎样的位置关系钥 为什么钥 解析院 由观察与测量袁易猜想到AD与BC的位置关系是AD彝BC袁但怎样说理呢钥 这里要从全等三角形的性质入手袁得 出蚁ADB 蚁ADC袁又由于D尧B尧C成一条直线袁所以蚁ADB 蚁ADC 180毅袁所以蚁ADB 蚁ADC 90毅袁由垂直的定义得AD与BC的垂直位置关 系 A卷 一尧 选择题 1 下列判断中正确的是 A 全等三角形是面积相等的三角形 B 面积相等的三角形都是全等的三角形 C 等边三角形都是面积相等的三角形 D 面积相等的直角三角形都是全等直角三角形 2 如图袁吟FAB艺吟ECD袁则将吟FAB通过渊冤基本运动可得吟ECD A 平移B 翻折 C 旋转D 没有哪种 第2题图第3题图 3 如图袁吟ABC艺吟ADE袁AB和AD尧AC和AE是对应边袁那么蚁DAC等于 A 蚁ACBB 蚁CAE C 蚁BAED 蚁BAC 4 若吟ABC艺吟DEF袁吟ABC的周长为100cm袁DE越30cm袁DF越25cm袁那么BC长渊 冤 A 55cmB 45cmC 30cmD 25cm 5 要使吟ABC艺吟A忆B忆C忆袁需要满足的条件是渊冤 A AB A忆B忆 蚁B 蚁B忆AC A忆C忆 B AB A忆B忆 蚁A 蚁A忆BC B忆C忆 C AC A忆C忆 蚁C 蚁C忆BC B忆C忆 D AC A忆C忆 蚁B 蚁B忆BC B忆C忆 6 已知如图袁吟ABE艺吟ACD袁AB AC袁BE CD袁蚁B 50毅袁蚁AEC 120毅袁则蚁DAC的度数为渊冤 A 120毅B 70毅C 60毅D 50毅 7 如下图袁Rt吟ABC沿直角边BC所在的直线向右平移得到吟DEF袁下列结论中错误的是渊冤 A 吟ABC艺吟DEFB 蚁DEF 90毅 C AC DFD EC CF 8 如下图袁吟ABC是不等边三角形袁DE BC袁以D尧E为两个顶点作位置不同的三角形袁使所作的三角形与吟ABC全等袁这样的三角形最 多可以画出渊冤 A 2个B 4个C 6个D 8个 二尧 填空题 1 如图袁四边形ABCD与四边形A忆B忆C忆D忆全等袁则蚁A忆 毅袁蚁A 毅袁B忆C忆 袁AD 2 已知吟ABC艺吟DEF袁吟DEF的周长为32 cm袁DE 9 cm袁EF 12 cm袁则AC 3 如图袁吟ABC经过旋转后能与吟ADE重合袁则吟ABC与全等袁AB 曰若蚁BAE 120毅袁蚁BAD 40毅袁则蚁BAC 毅 第3题图第4题图 4 如图袁已知吟ECD艺吟BCA袁AC彝BD于C袁BC 4cm袁AC 7cm袁蚁B 60毅袁则AE cm袁蚁AED 毅 三尧 解答题 1 如图网格中有吟ABC及线段DE袁在网格上找一点F渊必须在网格的格点上冤袁使吟DEF与吟ABC全等袁这样的点有几个钥 请画出这些 三角形 2 如图袁AC DF袁蚁A 蚁D袁AE DB袁那么BC与EF的大小关系如何钥 为什么钥 3 如图袁 AB AC袁 AD AE袁 蚁EAB 蚁DAC袁问院吟ABD与吟ACE是否全等钥 蚁D与蚁E有什么关系钥 为什么钥 4 如图袁在吟ABC中袁AB AC袁AD平分蚁BAC袁渊1冤写出图中全等的三角形曰渊2冤AD与BC有什么关系钥 为什么钥 5 已知如图袁BD越CD袁蚁ABD越蚁ACD袁DE尧DF分别垂直于AB及AC交延长线于E尧F 那么DE与DF 相等吗钥 为什么钥 B卷 一尧 选择题 1 能判定吟ABC艺吟A忆B忆C忆的条件是渊 冤 A AB越A忆B忆袁AC越A忆C忆袁蚁C越蚁C忆 B AB越A忆B忆袁蚁A越蚁A忆袁BC越B忆C忆 C AC越A忆C忆袁蚁A越蚁A忆袁BC越B忆C忆 D AC越A忆C忆袁蚁C越蚁C忆袁 蚁B越蚁B忆 2 如图袁AB越AD袁BC越CD袁则全等三角形共有渊冤 A 1对B 2对C 3对D 4对 3 如图袁AB椅FC袁DE越EF袁AB越15袁CF越8袁则BD越渊冤 A 8B 7C 6D 5 4 如图袁蚁DBC和蚁ECB是吟ABC的两个外角袁 点P是蚁DBC尧蚁ECB两角平分线的交点袁PM尧 PN尧 PQ分别是P点到AB尧AC尧BC三边的 垂线段曰PM尧PN尧PQ的数量关系是渊冤 A PM PN PQB PM PNPQ 5 如图袁蚁CAB越蚁DBA袁AC BD袁则下列结论中袁不正确的是渊冤 A BC ADB CO DOC 蚁C越蚁DD 蚁AOB 蚁C垣蚁D 二尧 填空题 1 如图所示袁AB AD袁 蚁1 蚁2袁添加一个适当的条件袁使吟ABC艺吟ADE袁则需要添加的条件是 第1题第2题 2 如图袁已知蚁B越蚁DEC袁AB越DE袁要推得吟ABC艺吟DEC曰渊1冤若以野SAS冶为依据袁还缺条件曰渊2冤若以野ASA冶为依据袁还缺 条件曰渊3冤若以野AAS冶为依据袁还缺条件 3 如图袁若AB越DC袁AC越DB袁则有吟ABC艺袁依据是袁则蚁ABD越 第3题第4题 4 如图袁如果AD是BC边上的高袁又是蚁BAC的平分线袁那么吟ABD艺吟ACD袁其根据是曰如果AD是BC边上的高袁又 是BC边上的中线袁那么吟ABD 艺吟ACD袁其根据是 5 在如图所示的4伊4的正方形网格中袁蚁1垣蚁2垣蚁3垣蚁4垣蚁5垣蚁6垣蚁7越 第5题第6题 6 小涛在家打扫卫生袁一不小心把一块三角形的玻璃台板打碎了袁如图所示袁如果要配一块完全一样的玻璃袁至少要带 块碎片去配袁序号分别是 三尧 解答题 1 如图袁已知蚁1 蚁2袁AB AC援 试说明BD CD援 2 已知AD AE袁AB AC援试说明蚁B 蚁C 3 如图袁已知AB DC袁AC DB袁 试说明蚁A 蚁D援 4 如图袁已知AB椅ED袁点F尧点C在AD上袁AF DC袁蚁B 蚁E援试说明BC EF援 5 如图袁将一等腰直角三角形ABC渊AC BC冤的直角顶点置于直线l上袁且过A尧B两点分别作直线l的垂线袁垂足分别为D尧E援请你仔细观 察后袁在图中找出一对全等三角形袁并写出说明它们全等的过程援 6 如图是一个公园的荷花池袁现要测量荷花池两旁A尧B两棵大树间的距离渊不能直接量得冤袁请你根据图形全等的知识袁用一根足够长 的绳子及标杆为工具袁设计一种测量方案 要求院 渊1冤画出设计的测量示意图曰 渊2冤写出测量方案的理由 A卷 一尧1 A曰2 A曰3 C曰4 B曰5 C曰6 B曰7 D曰8 B 二尧1 120毅袁70毅袁12袁8曰2 11cm曰3 吟ADE袁AD袁80曰4 3袁120曰 三尧1 四个袁图略曰2 BC EF袁利用SAS判定吟ABC艺吟DEF袁再由全等三角形的性质得B