（应用数学专业论文）非线性微分方程解的存在性.pdf

学位论文独创性声明 本人郑重声明 1 坚持以 求实 创新 的科学精神从事研究工作 2 木论文是我个人在导师指导下进行的研究工作和取得的研 究成果 3 木论文中除引文外 所有实验 数据和有关材料均是真实 的 4 本论文中除引文和致谢的内容外 不包含其他人或其它机 构 已经发表或撰写过的研究成果 5 其他同志对本研究所做的贡献均己在论文中作了声明并表 示 了谢 意 作者签名 日期 学位论文使用授权声明 本人完全了解南京信息工程大学有关保留 使用学位论文 的规定 学校有权保 留学位论文并向国家主管部 门或其指定机 构送交论文的电子版和纸质版 有权将学位论文用于非赢利目 的的少量复制并允许论文进入学校图书馆被查阅 有权将学位 论文的内容编入有关数据库进行检索 有权将学位论文的标题 和摘要汇编出版 保密的学位论文在解密后适用本规定 作者签名 期 中文摘要 对于微分方程的研究 解的存在唯一性有基础性的意义 其中 关于 非线性微分方程有无解 解是否存在唯一 解的稳定性如何 一直是个难 题 其研究方法十分之多 有变分方法 全局同胚方法 算子半群方法等 等 目 前没有统一的方法 作者对其中两类非线性方程解的存在唯一性进 行讨论 在论文的第一部分 作者运用g a l e r k i n 逼近方法证明了一类非共 振椭圆型方程组弱解的存在唯一性 首先在每个有限维的步土 应用 m i n i m a x原理 证明了近似解的存在唯一性 然后给出近似解的先验估计 由此推出具有 d i r i c h l e t 边界条件的算子有一个紧逆 即存在唯一的 解 作者在论文第二部分中给出了 m i n im a x原理的一个非变分形式 并将其 应用于一类一般的共振2 k 阶常微分方程和d u ff i n g 型方程 得出了2 k 阶 常微分方程和d u ff in g 型方程几类边值问 题 d i r i c h l e t 边值问 题 n e u m a n n 边值问 题 周期边值问题 解的存在唯一性定理 关键词 非线性椭圆型方程组 d u ff in g 型方程 g a l e r k i n 方法 m i n i m a x 原理 微分同胚 ab s t r a c t a s e v e r y o n e k n o w s i t i s o f g r e a t i m p o r t a n c e t o s t u d y e x i s t e n c e a n d u n i q u e n e s s f o r d i ff e r e n t i a l e q u a t i o n s t h e r e s m a n y m e t h o d s t o s t u d y t h i s s u c h a s v a r i a t i o n a l m e t h o d h o m e o m o r p h i s m m e t h o d s e m i g r o u p o f o p e r a t o r s e t c i n t h i s t h e s i s w e d i s c u s s t h e e x i s t e n c e a n d u n i q u e n e s s f o r t w o k i n d s o f n o n l i n e a r d i ff e r e n t i a l e q u a t i o n s f i r s t w i t h g a l e r k i n a p p r o x i m a t i o n p r o c e d u r e a n d m i n i m a x p r i n c i p l e t h e e x i s t e n c e a n d u n i q u e n e s s f o r t h e w e a k s o l u t i o n o f a n o n l i n e a r e l l i p t i c s y s t e m w i t h o u t r e s o n a n c e i s p r o v e d a t e a c h f i n i t e d ime n s i o n a l s t e p w e p r o v e t h e e x i s t e n c e o f a n a p p r o x i m a t e s o l u t i o n b y a p p l y i n g a m i n i m a x t h e o r e m t h e n w e g i v e a n e s t i m a t e f o r t h e a p p r o x i m a t e s o l u t i o n s t h e f a c t t h a t t h e o p e r a t o r w it h d i r i c h l e t b o u n d a r y v a l u e c o n d i t i o n h a s a c o m p a c t i n v e r s e g i v e s u s t h e e x i s t e n c e a n d u n i q u e n e s s f o r t h e w e a k s o l u t i o n s e c o n d l y w e g i v e a n o n v a r i a t i o n a l v e r s i o n o f m i n i m a x a p p l y i t i n a k i n d o f g e n e r i c 2 k t h o r d e r o r d i n a r y d i ff e r e n t i a l p r i n c i p l e e q u a t i o n s r e s o n a n c e a n d d u f f i n g e q u a t io n s w it h t h r e e k i n d s o f b o u n d a r y v a l u e c o n d i t i o n s k e y w o r d s n o n l i n e a r e l l i p t i c s y s t e m d u ff i n g e q u a t i o n g a l e r k i n a p p r o x i m a t i o n p r o c e d u r e m i n i m a x p r in c i p l e d i ff e o m o r p h i s m 第一章前言 研究目的及意义 对于微分方程的研究 解的存在唯一性有基础性的意义 线性问题的 理论比较成熟 现在 国内外的研究重点都转向了非线性问题 关于非线 性微分方程有无解 解是否存在唯一 解的稳定性如何 一直是个难题 其研究方法十分之多 有变分方法 全局同胚方法 算子半群方法等等 目 前没有统一的方法 作者仅对其中两类非线性方程解的存在唯一性进行 讨论 1 2 国内外研究概况 在过去的3 0 年里 国内 外许多学者讨论了 牛顿类 d u ff i n g 类 运动 方程及其衍生的各类方程的初边值问 题 这类方程解的存在性一直是一个 研究热点 牛顿类方程源自 非线性摄动守恒系统 这类方程表示的质点受 守恒的内力和周期性外力作用 1 9 6 9 年 l a z e 和s a n c h e z t 运用b r o u w e 不动点定理证明了 牛顿方 程 t v g u t p t 在一定的条件下存在2 二 周期解 这里g r r 有连续的二阶偏导数 p r r 是连续的 2 二 一 周期的 1 9 7 3年 a h m a d 2 1 证 明 了 方 程 2 二 周 期 解的 存 在 性 1 9 7 7 年 k a n n a n 和l o c k e r 3 1 给出了方程 存在唯一解的更简单的证明 利用大范围反函数定理 b r o w n 和l in 4 1 给出 了 方 程 2 二 周 期 解 存 在唯 一 性的 另一 个 证明 文 献 4 中 大范围反函数定理的运用简化了寻找某些周期性边值问题解的界的难 题 b r o w n 等认为这些可由变分原理建立的界有独立的意义 用他们的方 法很容易得到了关于方程 相应于小的非守恒内部强迫和非线性强迫项 的扰动的结果 后来 出 现了 许多关于大范围反函数定理的新结果 5 6 第一章前言 研究目的及意义 对于微分方程的研究 解的存在唯一性有基础性的意义 线性问题的 理论比较成熟 现在 国内外的研究重点都转向了非线性问题 关于非线 性微分方程有无解 解是否存在唯一 解的稳定性如何 一直是个难题 其研究方法十分之多 有变分方法 全局同胚方法 算子半群方法等等 目 前没有统一的方法 作者仅对其中两类非线性方程解的存在唯一性进行 讨论 1 2 国内外研究概况 在过去的3 0 年里 国内 外许多学者讨论了 牛顿类 d u ff i n g 类 运动 方程及其衍生的各类方程的初边值问 题 这类方程解的存在性一直是一个 研究热点 牛顿类方程源自 非线性摄动守恒系统 这类方程表示的质点受 守恒的内力和周期性外力作用 1 9 6 9 年 l a z e 和s a n c h e z t 运用b r o u w e 不动点定理证明了 牛顿方 程 t v g u t p t 在一定的条件下存在2 二 周期解 这里g r r 有连续的二阶偏导数 p r r 是连续的 2 二 一 周期的 1 9 7 3年 a h m a d 2 1 证 明 了 方 程 2 二 周 期 解的 存 在 性 1 9 7 7 年 k a n n a n 和l o c k e r 3 1 给出了方程 存在唯一解的更简单的证明 利用大范围反函数定理 b r o w n 和l in 4 1 给出 了 方 程 2 二 周 期 解 存 在唯 一 性的 另一 个 证明 文 献 4 中 大范围反函数定理的运用简化了寻找某些周期性边值问题解的界的难 题 b r o w n 等认为这些可由变分原理建立的界有独立的意义 用他们的方 法很容易得到了关于方程 相应于小的非守恒内部强迫和非线性强迫项 的扰动的结果 后来 出 现了 许多关于大范围反函数定理的新结果 5 6 可以 在更弱的条件下研究 的周期解的存在唯一性 我国学者在这方面 也做了 许多工作 1 9 8 9年 沈祖和 7 1 在一组相当 广泛的条件下研究了 方 程 唯一的2 二 周期解的存在性 获得了一个存在和唯一性定理 推广了 l a z e r 8 1 的结果并使之成为其文章的一个推论 在 9 中 沈祖和研究了 方 程 的初值问 题 给出了一系列其存在唯一周期解的充分条件 使 4 中 的定理4 3 成为文中定理3 1 的一个自 然结果 在 1 0 中 在一组类似于 7 中 定 理 的 条 件 下 吴 广 荣 等 研 究 了 下 列 常 微 分 方 程 组 u t a u t v g u f t 唯 一的2 二 周 期 解的 存 在 性 获 得了 一 个 相应 结 果 这里g同 上 a 是常对称矩阵 f r r 是以2 二 为周期的连续函数 1 9 9 1年 文 献 1 1 讨论 了与方程 类似 的高阶方程 u 2 1 t v g u t p t p t 2 7c 最 近 运 用 8 中 的 关 于 双 线 性 形 式 的 引理和 s c h a u d e r 不动点定理 文 1 2 中 推断了 下列非共振2 k 阶微分方程 组艺二 u 2 1 t 一 k f t u t 0 2 二 周 期 解 的 存 在 唯 一 性 结 果 利 用 1 3 1 中的方法 李维国 1 4 1 推广了m i n i m a x原理的一个非变分形式 并且在共 振条件下得到了上述高阶常微分方程的存在唯一性结果 下面结合文献介绍几种主要的研究方法 微分方程边值问题的弱解就是相应泛函的临界点 在线性方程情形其 弱解使相应泛函取极小值 而在非线性方程情形 其相应泛函可能既没有 上界 也没有下界 为了研究非线性方程边值问题解的存在性 极大极小 原理不仅给出泛函的临界点 而且对相应的临界值作了估计 从而成为研 究非线性微分方程边值问题的重要技巧 1 9 7 5 年 l a z e r 1 5 发 展了m in im a x 原 理 并 将之 应用于 一 类非 线 性 椭 圆 型方程 得出了 存在唯一性结果 1 9 8 3 年 m a n a s e v i c h 1 3 1 证明了m i n i m a x 原理的一个非变分形式 2 0 0 1 年 李维国 1 4 1 推广了m i n i m a x 原理的一个 非变分形式 并且在共振条件下得到了一类高阶常微分方程的存在唯一性 结果 关于全局同胚方法和大范围反函数定理 设l 为一个线性微分算子 n是一个连续 f r e c h e t 可微算子 f是一个有界算子 许多文章考虑了 l u n u f u 在l n u 满足一定条件下的解的存在唯一性 一个典型 的例子是 l u x g x u x u x f x u x u x 这里l 为二阶微分算子 1 是有界的 s 与l 满足一定的相关条件 研究这类问 题 经常使用的 工 具是 s c h a u d e r 不动点定理 先通过构造一个先验界 然后得到存在性结 论 但这不能得到唯一性的结果 度论的使用也不能得到解的唯一性信息 虽然这些方法的约束要求较弱 吴广荣等 1 6 1 用大范围反函数定理研究解 的分布 1 7 1 中亦是如此 同时得到了解的唯一性的一个条件 推广了 b r o w n 1 8 的 几个结果 其主要工具是同 胚延拓方法 然后作者用其构造的 结果处理了方程 2 0 0 3 年 邵荣 1 9 等 用h i lb e r t 空间 方 法 2 0 来 研究 一 类二阶 半 线型 椭圆 性边值问题 并得出了某些条件下的解的存在性 1 3 研究方法及研究结果 关于满足非共振条件的偏微分方程组l u v g u 二 f 的d i r i c h l e t 问 题 p w b a t e s 2 1 1 对l 是波动算子的情况进行了 讨论 他利用g a l e r k i n 逼近方法 和m i n i m a x原 理证明了 其弱 解存 在且唯一 a h m a d 2 1 和l a z e r 8 1 分别 证明 了类似的二阶常微分方程组解的存在性和唯一性 作者第一部分的工作即 考虑l 是l a p l a c e 算子的情况 其中需要注意 l a p l a c e 算子的特征值问题 在第一章 作者运用g a l e r k i n 逼近方法证明 了 主要结论 首 先在每个有限维的步上 应用文献 1 习 中的m i n i m a x 原理 证明了近似解的存在唯一性 然后给出近似解的先验估计 由此推出具有 d i r i c h l e t 边界条件的算子 在r 0 上有一个紧逆 即 存在u e r 0 最后 结果 关于全局同胚方法和大范围反函数定理 设l 为一个线性微分算子 n是一个连续 f r e c h e t 可微算子 f是一个有界算子 许多文章考虑了 l u n u f u 在l n u 满足一定条件下的解的存在唯一性 一个典型 的例子是 l u x g x u x u x f x u x u x 这里l 为二阶微分算子 1 是有界的 s 与l 满足一定的相关条件 研究这类问 题 经常使用的 工 具是 s c h a u d e r 不动点定理 先通过构造一个先验界 然后得到存在性结 论 但这不能得到唯一性的结果 度论的使用也不能得到解的唯一性信息 虽然这些方法的约束要求较弱 吴广荣等 1 6 1 用大范围反函数定理研究解 的分布 1 7 1 中亦是如此 同时得到了解的唯一性的一个条件 推广了 b r o w n 1 8 的 几个结果 其主要工具是同 胚延拓方法 然后作者用其构造的 结果处理了方程 2 0 0 3 年 邵荣 1 9 等 用h i lb e r t 空间 方 法 2 0 来 研究 一 类二阶 半 线型 椭圆 性边值问题 并得出了某些条件下的解的存在性 1 3 研究方法及研究结果 关于满足非共振条件的偏微分方程组l u v g u 二 f 的d i r i c h l e t 问 题 p w b a t e s 2 1 1 对l 是波动算子的情况进行了 讨论 他利用g a l e r k i n 逼近方法 和m i n i m a x原 理证明了 其弱 解存 在且唯一 a h m a d 2 1 和l a z e r 8 1 分别 证明 了类似的二阶常微分方程组解的存在性和唯一性 作者第一部分的工作即 考虑l 是l a p l a c e 算子的情况 其中需要注意 l a p l a c e 算子的特征值问题 在第一章 作者运用g a l e r k i n 逼近方法证明 了 主要结论 首 先在每个有限维的步上 应用文献 1 习 中的m i n i m a x 原理 证明了近似解的存在唯一性 然后给出近似解的先验估计 由此推出具有 d i r i c h l e t 边界条件的算子 在r 0 上有一个紧逆 即 存在u e r 0 最后 证明了 在弱的意义下满足方程组 且其是唯一的 此外 文献 2 1 中有 关泛函 i 为c 2 的部分不严密 第一章中补充了这部分证明 这里用的方 法稍作修改 可用于其它边界条件 n e u m a n n 边界条件 周期边界条件 混合边界条件等 周伟灿 邹兰军等在d u f f i n g 型方程和l i e n a r d 型方程解的存在性的 研究中做了很多工作 在文章l i e n a r d 型方程周期解的存在性中 作者利 用 s o b o l e v空间范数给出了周期解的估计 然后利用变分方法 通过 s c h a u d e r 不动点定理 证明了周期解的存在性 所得结果对于研究大气中 非线性波动 如重力惯性波及r o s s b y 波等 存在的条件及相互作用具有 重要意义 在文章带阻尼项d u f f i n g 型方程周期解的存在性中 作者考虑 了带有阻尼项的d u f f i n g 型方程 运用同胚延拓及不动点方法 讨论了非 共振条件下周期解的存在性问题 作者在第二章中给出了m i n i ma x 原理的一个非变分形式 并将其应用 于一类一般型2 k阶常微分方程 艺a y 2 j t 叉 f u 2 一 t 1 k l f t u t d 证 明 了 其 存 在 唯 一 的 周 期解 进而推出 d u ff i n g型方程u c u g t u f t 几类边值问 题 d ir i c h le t 边 值问 题 n e u m 边 值问 题 周 期 边值问 题 解的 存 在唯 一 性 定理 第二章非共振二阶椭圆型方程解的存在唯一性 微分方程边值问题的弱解就是相应泛函的临界点 在线性方程情形其 弱解使相应泛函取极小值 而在非线性方程情形 其相应泛函可能既没有 上界 也没有下界 为了研究非线性方程边值问题解的存在性 极大极小 原理不仅给出泛函的临界点 而且对相应的临界值作了估计 从而成为研 究非线性微分方程边值问题的重要技巧 2 引言 关于满足非共 振条 件的 偏微分方程组l u o g u f 的 d i r i c h l e t 问 题 p w b a t e s 2 1 对l 是波动算子的 情况进 行了 讨论 他利用g a l e r k i n 逼 近方法和 m in i m a x原理证明了其弱解存在且唯一 a h m a d z 和 l a z e r 8 1 分别证明了类似的二阶常微分方程组解的存在性和唯一性 本章研究了如下问题弱解的存在唯一性 一 a u v g u i i 一 f x y l u 气 x 少 v x y e 0 0 7 r x 0 t x 夕 a s z 1 其中a 为 l a p l a c e 算子 a l l a x z a 2 即2 r a 表示具有 d i r i c h l e t 边界条件的 l a p l a c e算子 d a 二 l 2 w l 2 p 的值域 g r r 为c 中 的 函 数 f q r 为 连续 函 数 假设存在两个 n x n的实对称矩阵a b 并各有特征值 a a a 和ax 8 2 r 为c 中 的 函 数 f q r 为 连续 函 数 假设存在两个 n x n的实对称矩阵a b 并各有特征值 a a a 和ax 8 2 使得 a g u l a u a u 户 b对 r 则可以证明方程 1 有一个解 但解不一定是唯一的且不一定属于 h 么 0 2 2记号和主要引理 令 a i 一 1 a a 民 a和 b i 一 1 n 是r 中 的 标 准 正 交 基 使 得 b b 戏b 对i 1 n 4 用汽 二 r表示由九 x 力 2 司s i n k x s i n 加定义的函数 显然 讥 k l e n 是l 2 s 2 中 的 标 准正 交 系 对每个正整数n 定义 yp i y k b i l 一 2一 2 f i k2 一 z n 一 心 1 n x 则称之为非共振条件 本章用 2 1 中的方法研究了二阶椭圆型方程组 首先 运用g a l e r k i n 逼近方法在每个有限维的步上 应用文献 1 5 中的m i n i m a x 原理 证明 了 近似解的 存在唯一 性 然后由 条件 3 给出 近 似解在 l 2 q 中 的 先验 估计 由 此推出 具有d i r i c h l e t 边界条件的 算子 在r 4 上有一个紧逆 即存在u e r 4 最后证明了u 在弱的意义下满足方程组 1 且其是唯 一的 此外 文献 2 1 中有关泛函j 为口 的部分不严密 文中补充了这 部分证明 这里用的方法稍作修改 即可用于其它边界 n e u m a n n 周期 混 合等 条件 注 若条件 3 替换为 存在 使得 a g u l a u a u 户 b对 r 则可以证明方程 1 有一个解 但解不一定是唯一的且不一定属于 h 么 0 2 2记号和主要引理 令 a i 一 1 a a 民 a和 b i 一 1 n 是r 中 的 标 准 正 交 基 使 得 b b 戏b 对i 1 n 4 用汽 二 r表示由九 x 力 2 司s i n k x s i n 加定义的函数 显然 讥 k l e n 是l 2 s 2 中 的 标 准正 交 系 对每个正整数n 定义 yp i y k b i l 一 2一 2 f i k2 一 z n 一 心 1 n x 产 r 任 叉 tikl y kl b l n k 2 一 1 2 a k 2 n 1 2 n p 千 1 n y 一 a 1一 2 12 a k2 n 12 n 一 4a 一 k 二 k2 使得 d 2 j u w x m j w ll2 和 d 2j u v v m 2 llv ll 对 所 有 的 u e h w e z v e x 则 存 在 唯 一 的 u o e h 使 得 o j u o 一 0 和 j u o 一 瞥 瞥j x y 在 这 里 内 积 符 号 幼 解 释 为b a n a c h 空 间 b 和 它 的 共 扼 空 间 b 间 的 对偶 定义泛函j h f2 r 为 j u 一 h w a u l a x 8 u l o x a u l o y 8 u l o y l 2 g u 一 f u 6 其 中 表示r 中 的 通 常 的 内 积 令 0 使 得 lu llo 0 和 h o q 中的 序 列 u x 使得 对 u h o q 有 im ll 一 u 11 一 0 但一d j u 一 d j u 一 所 以 存 在 序 3 j f w 1 使 得 11 a 一 且 一 d j u w 一 d j u w 一 由 此 推 出 存 在 序 列 v j i 使 得 llv 11 一 1 且 d 2 j u w v n l 一 d 2 j u j w v r 1 2 不妨设 w 广 v 1 声 在 h o f2 中各自 弱收敛于w 和 所以当 n co 时 ilw 一 w l 0 卜 一 v a 0 由 7 式 和 1 1 式 有 当 n 时 卜 一 n l 0 即 u a e 收 敛 于u 由 3 式和 9 式 有 d j u 二 v 一 d 2 j u w v n 一 工 a 2 g u l a u a u w v 一 9 2g u n l a u a u w v 一 工 a 2 g u l a u a u a g u j l a u a u 一 w v 工 a 2 g u l a u a u 3 2g u j l a u a u w v 2 11b iiiiw 一 ilo ii 11 ila 2 g u l au au 一 2g u l au au 112 i2 2llv h 显 然 第 一 项 趋 于o 由 a g u l a u a u 的 连 续 性 和l e b e s g u e 控 制 收 敛 定理有 第二项趋于 这与 1 2 式矛盾 所以j 有二阶连续的f r e c h e t 导算子 即j 是c z 类泛函 证毕 用j 表示j 在e 上的限制 则 对所 有的u v cz e 有 v j n u v 一 ax o 嗜 影 v g u v f v 对所有的 w v 任 e n 有 d 2 j n u w v 一 工 o w l a x a u l a x o w l 8 y a v 1 0y a 2 g u l 7 u r u j w v 引理3 对每一个正整数n 存在唯一的u n e e n 使得 v j n u n 一 0 和 j n u 一 婴m me z j x z 证明 固定u e e 则 对 每 一 个 一 艺p ikl o k l a e z n i k j 有 d j u w w 一 工 la w a x l2 la w a y l2 a 2 g u a u a u w w 全 工 la w a x le lo w a y l2 a w w 一 y k 2 a m i llx llo 1 3 其中m m i n k 2 1 2 1 i 0 1 类 似地 对v e x n d 2j u v v 1 k 2 l ik 2 m 2 jiv llo 其中m 2 二 m i n 卜 k 一 1 一 戏 1 i n 1 k g n k 2 1 2 刀 0 0 由此 可 知 e n x z n 证毕 x 自 z n 0 容易看出d i m z j d i m 叽 所以 由引理2 1 3 式和 1 4 式 应用引理 1 1 4 所 以 即可 则由 8 式知 存 在唯 一的u n c e 使得一 u o g u 一 f o o 2 3主要定理 本章主要结论如下 定理i 如果式 2 和式 3 成立 则方程 1 存在唯一的弱解 且此弱解属 对所有的 w v 任 e n 有 d 2 j n u w v 一 工 o w l a x a u l a x o w l 8 y a v 1 0y a 2 g u l 7 u r u j w v 引理3 对每一个正整数n 存在唯一的u n e e n 使得 v j n u n 一 0 和 j n u 一 婴m me z j x z 证明 固定u e e 则 对 每 一 个 一 艺p ikl o k l a e z n i k j 有 d j u w w 一 工 la w a x l2 la w a y l2 a 2 g u a u a u w w 全 工 la w a x le lo w a y l2 a w w 一 y k 2 a m i llx llo 1 3 其中m m i n k 2 1 2 1 i 0 1 类 似地 对v e x n d 2j u v v 1 k 2 l ik 2 m 2 jiv llo 其中m 2 二 m i n 卜 k 一 1 一 戏 1 i n 1 k g n k 2 1 2 刀 m 2 是正的 且关 于n独 立 不等 式 1 5 证明了 u n 在 l z q 中 有界 由 上知 对每一个h e r 0 存在唯一的u 是方程 在4中 4 u 二 h 在a n上 u 二 0 的一个非零弱解 且 u e h 六 q 并存在常数 0 使得 ilh ll 1 6 令q 表示在e n r a 上的正交投影 d u 二 一 q f 一 v g u 在a n上 u n 0 由引理 3有 在s 2 中 所以由 1 6 式有 i 二 h ilf ll 一 f a zg su r a u au u ds一 118 10 s u p la i ill l ia ill n llo i 一 1 n n 一 1 2 三 k 所 以 u n 在 h o q 中 有 界 令 弱 收 敛 到 u 0 则 u 0 1 7 是方程 1 的 弱 解 事实 上 令0 n 4 r 为q 中 有 紧 支 集的 任意c 0 函 数 必 是 0 在 e f 上 的 正 交 投 影 因 为 u e 在 l 2 0 中 稠 密 所 以 在 l 2 0 中 汽 或 因 此 应 用 弓 理 有 o j u 妈 一 所以 工 一 u o 0 o g u o 0 一 f o 一 工 u o 一 0 一 0 o g u o 0 一 0 j 一 f o 一 0 j u a 一 y j o g u o 0 一 f o j 一 u v 一 f 一 o g u o f y j l 一 工 u o 一 必 一 妈 十 v g u o 沪 一 沪 一 厂 0 一 呜 u o u 一 o j v g u o o g u m 91j 1 8 显然j 当 趋向 于二时 等式右边趋向 于 因 此 根据弱解的定义 由以 上 构 造得出 u 是方 程 1 的 弱 解 且 属 于 h 0 这 证明 了 定 理的 存 在性部分 最后 证明方程 1 最多有一个弱解 假设u 和犷是两个这样的 解 对i 1 2 令喃 x n 殊是 在e r 上的 投影 其中瑞e x 和编e z n 令v v 瑞一 式 w 殊一 或 则 有 0 一 o j u v 一 一 o j u z v 一 1 7 1 一 i 一 u z 0 v 一 工 a g u s u 一 u z 8 u a u j u 一 u d s v 一 一 l 7 v n w n 一 a v 一 f a 2 g u z s u 一 u 2 a u a u j v w d s v 一 了 a 2g u 2 一 u z a u a u u i 一 u n u n 一 u 2 d s v 一 i 一 v n b v n v n 一 a w a w n w c ilu 一 u n 一 ilu 一 u n 一 o 则u 1 u 2 这是定理的唯一性部分 证毕 i s 第三章共振2 k 阶一般型常微分方程解的存在唯一性 3 引言 设h是实h i l b e rt空间 t h h是c 映射 n x和y是h的两个闭子空间且h二 假设存在两个正常数m 和m 2 r x y 使得对 v u e h v x x 饰 e y 有 p u x x r 1 f 0 使 得 第三章共振2 k 阶一般型常微分方程解的存在唯一性 3 引言 设h是实h i l b e rt空间 t h h是c 映射 n x和y是h的两个闭子空间且h二 假设存在两个正常数m 和m 2 r x y 使得对 v u e h v x x 饰 e y 有 p u x x r 1 f 0 使 得 f 蠢一ii t u 一 i h是c 映射 假设存在两个连续函 数 a 0 0 0 0 0 0 刀 0 0 0 0 二 使得对v u e h b x c x 为 y 有 f min s 6 s 冲二 t u x x 一 iiu i1 iix ii t u y y 6 iiu ll iiy ll2 且 t u x y 卜 x t u y 则t是一个从h到h上的全局c 微分同胚 证 明 己 c q iu m in a iiui1 a iiui1 一 赢 显 然 为 连 续 映 射 且 由 4 式 g 足 f dsco s 一 设v e h v e h 且 v i x v 2 0记v v v 则 x 0 且v 可分解为 0八n f了 x y x e x y y 由 5 6 7 式 有 t u v 一 x 一 t u x y 一 x 一 t u x y 一 t u x x t u y y 一 t u y x a iiu ii iix iiz 8 11 11 iix il2 所 以 it u il iiy 一 i1 c ii 11 o x iiz iw o 将 9 式两边平方有 lq 11u 11 2 11x 11 ily llz 2 11t 11 11 一 x 112 2 1it u v 112 11x 11 ily lp 又因为 所以有 c 11 11 1 2 11 112 11y 112 ic ii 11 1 0 1x y 11 一 c ii ii ii iv ll c 11u 11 11v 11 2 1it u v l卜 巨 日一 t u 一 c ilu ll 1 0 以下证明t 是h上的同构 对 任意固 定 的u e h 假 设 对v v 有t u v t u v 2 则由 8 式 有 0 一 t u v 一 t u v 2 一 x 一 t u v y 一 x a iiu id iix 112 a ii 1d iix 112 矛 盾 所以 对v i v 2 必 有t u v l t u v 2 所以t u 是1 1 的 下面证明t u 是满射 首 先 证明t u h是h的 闭 集 对 任 意固 定 的v e t o 巧 h 存 在序 列 叼使 得 e t u h 且 设x e h且t u x v 所以 结 合 1 0 式 对任意整数m和 有 11v 一 0 m 11 一 i t u 一 t u x n 11 ii t u x 一 x a i c 1 ull 2 一 甘 llx n 一 xwil 所以 x 是c a u c h y 序 列 在h中 收 敛 令二 是h中 的 元 素 使 得x n x 由t u 的连续性有t u x t u x 所以 t u x e t u h 即 t u h是h的闭 集 然 后 证明 t u h h a 假 设 存 在 一 个 e t u h i i z 0 则 对 v v e h有 t u v 力 0 0 可分解为 z x 十 z y z x e x z y e y 取 v z y 一 z x 由 8 式 有 0 一 t u v z 一 t u z 一 z z x z y a l llu 1n iz a p o u id ii z y 11z 矛 盾 因 此 t u h 犷 二 0 即 t u h 一 h o 综上所述 t u 是从h到h上的 双射 且为线性算子 所以t 是h 上的同 构 结合 1 0 式 由引理 1 知 t 是一个从h到h上的 全局c 微 分同胚 证毕 推论 1 设h是实 h i l b e r t空间 x和y是h的两个闭子空间且 h x y t h h是c 映射 假设存在两个连续函数 0 0 0 0 0 o 刀 0 0 0 0 0 o 使得对v u e h v x x 办 y 有 介 d 一 二 和 d 一 t u x x 一 q u id 114 t u y y fl o u 1d 11y 11 且 t u x y 一 x t u y 则t 是一 个从h到h上的全局c 微分同 胚 证明 显然 1 1 3 3 共振2 k 阶一般型常微分方程解的存在唯一性 考虑2 k 阶常微分方程组 v v e h有 t u v 力 0 0 可分解为 z x 十 z y z x e x z y e y 取 v z y 一 z x 由 8 式 有 0 一 t u v z 一 t u z 一 z z x z y a l llu 1n iz a p o u id ii z y 11z 矛 盾 因 此 t u h 犷 二 0 即 t u h 一 h o 综上所述 t u 是从h到h上的 双射 且为线性算子 所以t 是h 上的同 构 结合 1 0 式 由引理 1 知 t 是一个从h到h上的 全局c 微 分同胚 证毕 推论 1 设h是实 h i l b e r t空间 x和y是h的两个闭子空间且 h x y t h h是c 映射 假设存在两个连续函数 0 0 0 0 0 o 刀 0 0 0 0 0 o 使得对v u e h v x x 办 y 有 介 d 一 二 和 d 一 t u x x 一 q u id 114 t u y y fl o u 1d 11y 11 且 t u x y 一 x t u y 则t 是一 个从h到h上的全局c 微分同 胚 证明 显然 1 1 3 3 共振2 k 阶一般型常微分方程解的存在唯一性 考虑2 k 阶常微分方程组 艺a i u s j t 艺忍 u 2 一 一 k i f t u t 一 0 1 2 其中 二 r a 16 是 常 数 定 义 共 振 点 集 0 l ja 一 一 一 y 一 a n 2 i n 在本章中我们考虑方程组 1 2 的 共振情况 即允许非线性项儿 当 o f 时 与共振点相作用 不失一般性 假设为共振点 n 或z n 十 1 证明过程中需要文献 8 中的结果 引理2 设h为向量空间使得对子空间x和y 有 h xoy 若y 是有 限维的且 z是h的子空间使得 h x o z xnz 0 且d i m y d i m z 则 假设下列条件成立 h l f e c r x r f t 2 c x 一 f t z 儿一 以 是 对 称 的 n x n 阶j a c o b i a n 矩阵 对 于1 1 2 k a 6 是 常 数 h 2 存在两个n x n 对称常矩阵a 和b 使得在r x r 上有 a a lu l f b 一 q 0 u l1 且a和b的特征值分别是 a n 一 艺卜 1 a i a j n z 和 n 一 艺 1 一 a j n 1 2 i 一 l n 其 中 0 从是 非 负 整 数 不 失 一 般 性 假 设 m 一 艺 1 k i a i m 2i 关于m是非负非 减序列 且r n h如下 全 1 k一 二 u u 小u t 一 f t t 二 v t 对 任 意 一 厂 j 厅 广儿 一一 夕产 v u f t 了jt 上面定义的t 是隐式的 由 上式 且由f 是c l 的 事实可知t 是c l 映射 并且对所有的v t u t w t e h有 一 w 2x ku w b1v 11 一 走一 二 w j t i 一 t w t o f t u v t dt 可以证明u 是方程 1 2 的2 z周期解当且仅当u 满足算子方程 t 们 0 事实上 对v v c h 由 分部积分有 bz 6 1v t v t d t 一 所 以 2x客 y 1vzj t v t dt bbb j 1 1一 此 项 可 以 忽 略 下面证明t 满足定理1 的条件 从而可证明方程 1 2 存在唯一的2 二 周 期解 对任意x e x和u c h 有 一 一 一 kx l 一 一 二 一 t lt一 卜 二 f t u x t 卜 f x x t t a x t x t t f t u t x t d t 一 q iu ll 小 7 t x t d t xllr a iiu 二 不一一 1 宁1 工 工 主 工 1 1 戈 2 丫 同理 对于任意的z e z和u e h 下面的不等式成立 一 k 1 一 一 二 一 t t一 一 t f t u t z t 卜 8 ilu 二 丁 二 二 二 万 一 r 宁1 1 1 a 入 1 x k a 十 从f的对称性易得 因此 令 t u w v 一 t u v w 对于v u v we h 丁 a s u k s 丁 甲 一 下 一 一 一 一 一 只丁 丁 1 mms z r v as as l ma x r n 1 n 1 则c s m in a s a s 卜 m i n a s 3 s 1 m a x 从 1 很 显 然 f c s d s 一 00 因 为h 在x上 是 正 的 在z 上 是 负 的 所以 x r z 畔 而 且 由 于d im e n s io n y d im e n s io n z 艺 2 从 1 j i 因此 由h x y 应用引理 2 有 h二 x d z 再应用定理 1 定理 2 得证 3 4 d u f f i n g 型方程几类边 值问 题解的 存在唯一性 由上节的结果可以得到如下的推论 e x a m p le l 考虑带d i r i c h le t 边界 条 件的d u ff in g 型方 程 u cu g t u tu l u u 戈 l 7 l f t 二0 1 3 e x a m p le 2考 虑带n e u m a n n 边界 条 件的d u ff m g 型 方 程 u c u g t u f t u 0 u 2 7 c 0 1 4 e x a m p le 3考虑带周期 边界条 件的d u f fi n g 型方 程 u c u g t u t u 又 v u 气 1 7 c u w f t u 2 t 1 s c 为 非零常 数 f t e c 0 2 r g t u 是 连续函 数且对于 和u e h具有关于u 的连续导数 假 设 对b t e 0 2 司 b u e h n 使得 n 2 g t u n 1 z 1 6 则c s m in a s a s 卜 m i n a s 3 s 1 m a x 从 1 很 显 然 f c s d s 一 00 因 为h 在x上 是 正 的 在z 上 是 负 的 所以 x r z 畔 而 且 由 于d im e n s io n y d im e n s io n z 艺 2 从 1 j i 因此 由h x y 应用引理 2 有 h二 x d z 再应用定理 1 定理 2 得证 3 4 d u f f i n g 型方程几类边 值问 题解的 存在唯一性 由上节的结果可以得到如下的推论 e x a m p le l 考虑带d i r i c h le t 边界 条 件的d u ff in g 型方 程 u cu g t u tu l u u 戈 l 7 l f t 二0 1 3 e x a 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