（基础数学专业论文）关于bezout整环上块三角矩阵的保粘切的加法双射.pdf

摘要 保持问题是同前矩阵代数中。个相当活跃的研究课题，其丰要问题是刻画矩阵空 问的保持不变量的加法算子矩阵几何是华罗庚于上世纪4 0 年代所开创的近几年来， 矩阵几何研究有了新的发展，而且加法保持问题与矩阵几何关系越来越密切矩阵几 何可看作加法保持问题的更深层次的研究，而加法保持i 口j 题也可看作矩阵几何的前期 工作与必要的探讨 目前还没有b e z o u t 整环上块三角矩阵几何的基本定理，因此本文对关于b e z o u t 整 环上块三角矩阵的加法粘切性保持双射进行研究应用矩阵几何的方法，本文首先研 究了关于b e z o u t 整环上块三角矩阵的算术距离，距离，极大集的几何结构与基本性质 然后，本文得到关于b e z o u t 整环上块三角矩阵的加法粘切性保持双射的一些基本性质 最后，本文证明了下面的丰要结果： 设r 是b e z o u t 整环，n l ，n 2 是2 的整数，用丑2 ) 表示兄上4 分块上三角矩阵集合 设妒：丑2 ) _ 五2 ) 是一个双向保粘切的加法双射，即妒是满足条件r a n k ( x y ) = 1 兮r a n k ( 妒( x ) 一妒( y ) ) = 1 ，v x ，y 丑2 ) 的加法双射如果丑2 ) 丑n 。“2 ) ，则妒有 如下形式 妒( x ) = p x 叮q ，v x 丑2 ) ， 其q , p , q 丑2 ) ( r ) 是固定的可逆矩阵，a ；t j r 的。个自同构如果丑2 ) = 丑n 。“2 ) ， 则妒为以上形式，或者为以下形式 v ( x ) = p ( x + ) 7 。q ，v x 丑2 ) ， 其中p ，q 丑2 ) 是固定的可逆矩阵，7 - 为r 的一个反自同构 关键词：b e z o u t 整环；加法双射；块三角矩阵；保粘切；极大集 a b s t r a c t t h ed r e s e r v i n gp r o b l e m si sa na c t i v et o p i ci nt h em a t r i xa l g e b r a ，a n di t s m a l n p r o b l e mi st oc h a r a c t e r i z et h ea d d i t i v eo p e r a t o r sw h i c hp r e s e r v e si n v a r i a n to nm a t n x s d a c e 8 t h eg e o m e t r yo fm a t r i c e sw a si n i t i a t e db yh u n l k i nt h em i df o r t i e so f l a s tc e n t u r y i nr e c e n ty e a r s ，t h eg e o m e t r yo fm a t r i c e sh a v eai l e wd e v e l o p m e n t ，a n d a d d i t i v ep r e s e r v i n gp r o b l e m sh a v eac l o s er e l a t i o n s h i pw i t ht h eg e o m e t r yo fm a t r i c e s t h eg 羚o m e t r yo fm a t r i c e sc a 0 1b er e g a r d e da sas t u d yo fd e e p e rl e v e l ，a n dt h e a d d i t i v e p r e s e r 、r i n gp r o b l e m sc a l l b er e g a r d e d 弱t h ep r e p a r a t o r y ( p r e l i m i n a r y ) w o r ko ft h e g e o m e t r yo fm a t r i c e s p r e 8 e 驷l tt h e r ei sn o tt h ef u n d a m e n t a lt h e o r e mo ft h eg e o m e t r y o ft h eb l o c kt r i a n g u - l a rm a t r i c e so v e rab e z o u td o m a i n ，t h u st h i sp a p e r r e s e a r c h e st h ea d j a c e n c yp r e s e r v i n g a d d i t i v eb i j e c t i o n so nt h eb l o c kt r i a n g u l a rm a t r i c e so v e rab e z o u td o m a i n f i r s t l y , b y t h em e t h o do ft h eg e o m e t r yo fm a t r i c e s ，w es t u d yt h ea r i t h m e t i cd i s t a n c e ，t h ed m t a n c e ， a n dt h eg e o m e t r i cs t r u c t u r ea n db a s i cp r o p e r t i e so fm a x i m a ls e t s s e c o n d l y , t h i sp 印e r g e t 8s o m eb a s i cp r o p e r t i e sa b o u tt h ea d j a c e n c yp r e s e r v i n ga d d i t i v eb i j e c t i o n so nt h e b l o c kt r i a n g u l a rm a t r i c e so v e rab e z o u td o m a i n l a s t l y , t h i sp a p e rp r o v e st h ef o l l o w l n g m a i nr e s u l t s ： l e trb eab e z o u td o m a i n ，佗l ，几2b ei n t e g e r s 2 ，a n d 丑r i t ，2 ) b et h e s e to ft h e4 4 b l o c kt r i a n g u l a rm a t r i c e so v e rr l e t 妒：互2 ) 一噩2 ) b ea na d j a c e n c yp r e s e r v l n g a d d i t i v eb i j e c t i o ni nb o t hd i r e c t i o n s ，i e r a n k ( x y ) = 1 兮r a n k ( 妒( x ) 一妒( y ) ) = 1 v x ，y 丑2 ) i f 丑2 ) 及_ i 2 ) ，t h e n 妒i so ft h ef o r m 妒( x ) = p x 矿q ，v x 五n i ，2 ) ， w h e r ep , q 丑2 ) ( r ) a r ef i x e di n v e r t i b l em a t r i c e s ，a n d 仃i sa na u t o m o r p h i s m o fr i ft ( n ) = w ( n 3 - i ，2 ) ，t h e n 妒i so ft h ef o r me i t h e ra b o v eo r 妒( x ) = p ( x + ) 丁q ，v x 互2 ) ， w h e r ep , q 丑2 ) a r ef i x e di n v e r t i b l em a t r i c e s ，a n d 丁i sa na n t i a u t o m 。r p h i s mo fr k e yw o r d s ：b e z o u td o m a i n ；a d d i t i v eb i j e c t i o n ；b l o c kt r i a n g u l a rm a t r i c e s ；a d j a c e n c y p r e s e r v i n g ；m a x i m a ls e t i i r r + 丑奄) m m f ( n i ，七) 21 ( h i ，啦，k ) anb b a g 厶( r ) 叼黼( 岛) 厶 t a r a n k ( a ) a d ( a ，b ) d ( a ，b ) ar vb l0g a + r x 舻n aob 妒一1 4 竺b 符号表 b e z o u t 整环 环r 巾可逆元素的集合 r 上长方分块上三角矩阵的集合，共有k k 个分块矩阵，每个分块矩阵的阶数为观n j 冗上分块上三角矩阵的集合 集合a 与b 的交集 属于b 但不属于4 的元素的集合 r 上所有礼阶可逆矩阵的集合。 ( i ，j ) 位置元素为1 ，其它位置元素全为0 的mx 几矩阵 礼xn 阶单位矩阵 矩阵a 的转置矩阵 矩阵a 的秩 矩阵a 与b 的算术距离 矩阵a 与b 的距离 矩阵a 与b 粘切 映射，与g 的合成 定义矩阵a + = 厶。a 厶，其中厶= ：l 最，叶1 。 环冗中非零元的集合 环r 上的佗佗矩阵的集合 从集合a 到集合b 的映射 妒的逆映射 矩阵a 等价于矩阵b i i i 长沙理工大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所 取得的研究成果除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何 其他个人或集体已经发表或撰写的成果作品对本文的研究做出重要贡献 的个人和集体，均已在文中以明确方式标明本人完全意识到本声明的法律 后果由本人承担 作者签名：杨五四( 未勿巫夥日期： 2 。1 。年5 月1 7 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意 学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文 被查阅和借阅本人授权长沙理工大学可以将本学位论文的全部或部分内 容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存 和汇编本学位论文 本学位论文属于 1 、保密r l ，在年解密后试用本授权书 2 、不保密囱 ( 请在以上相应方框内打“ ) 作者签名：杨五四 斟勿五、剀日期： 2 0 1 0 年5 月 1 7 日 摊名：南吁嗍洲年户月“日 第一章前言 1 1 课题背景与发展状况 保持问题是目前矩阵代数中一个相当活跃的研究课题，已成为国际矩阵论领域巾 的热门研究课题之一，其主要刻画矩阵空问的保持某利t 不变量( 性质) 的线性或加法算 子下面对加法保持问题做一个简单的介绍 设s 是一个代数结构( 域，环等) ，g 1 ，g 2 记为代数结构s 上的矩阵空间或加法群， 它们常被取作所有扎钆对称矩阵集合、所有上三角矩阵集合、所有交错矩阵的集合、 所有仇n 的h e r m i t i a n 矩阵集合，等等如果有一映射，设为妒：g 1 - - + g 2 ，满足如下 条件( 1 1 ) 与( 1 2 ) ，则称妒是从g 1 n g 2 的一个线性映射或线性算子 妒( a + 且) = 妒( a ) + 妒( b ) ，w ，b g 1 ，( 1 1 ) l ，v ( s a ) = s 妒( a ) ，v a g 1 ，8 s( 1 2 ) 特别地，当g l = g 2 = g 时，我们也称妒是g 上的线性变换刻画从g 1 到g 2 的保持某些函数，子集，关系，变量等不变量的线性映射的结构问题称为线性保持问题， 简称为l p p ( l i n e a rp r e s e r v ep r o b l e m ) 如果将l p p 中的条件( 1 2 ) 去掉，则称为加法保持问题，简记a p p ( a d d i t i v ep r e - s e r v ep r o b l e m ) 显然这类问题是l p p 的推广，但由于不能应用线性空间的理论及系数 交换的性质，使得这类问题的难度大大增加，易见a p pt t l p p 研究的范围要广，研究问 题更抽象1 9 9 1 年，m o r a l a d i c 和p e t e rs e m r l 在”s p e c t r u m - p r e s e v i n ga d d i t i v em a p s ” 一文中用”加法算子”代替”线性算子”，开始了a p p 的研究，称为”保不变量的矩阵 加法群同态”，他们与1 9 9 3 年在”a d d i t i v em a p p i n g sp r e s e r v i n go p e r a t o r so fr a n ko n e ” 一文中得到了复矩阵保持秩1 的结果之后，曹重光和张显1 9 9 6 年在l i n a l g a p p l 上发 表的”a d d i t i v eo p e r a t o r sp r e s e r v i n gi d e m p o t e n tm a t r i c e so v e rf i e l d sa n da p p l i c a t i o n s ” 一文中将”加法保持问题”的研究引向更一般的矩阵虽然加法保持问题起步较晚，但 是目前研究成果相当丰硕【2 ，3 ，4 9 ，5 0 ，而且加法保持问题研究成果在系统控制，数理统 计，微分方程等领域中有很好的应用 矩阵几何是华罗庚于上世纪4 0 年代由于研究多元复变函数论的需要所开创的一个 新的领域，最初他讨论的是复数域上的4 类矩阵几何，即长方矩阵几何，对称矩阵几何， 斜对称矩阵几何和h e r m i t i a n 矩阵几何在矩阵几何里，空间的点是某一类矩阵，还有 一个变换群作用在这个空间上矩阵几何的基本问题就是用尽量少的不变量来刻画几 何的变换群上个世纪9 0 年代及以前的矩阵几何的研究工作，由我国数学家万哲先院士 总结成矩阵几何( 英文) f 3 8 1 一书近几年来，矩阵几何的发展趋势有所扩大，重新激 起了国内外学者的研究兴趣2 0 0 6 年黄礼平教授由科学出版社出版的专著( ( g e o m e t r y o fm a t r i c e so v e rr i n g ) ) f 1 1 ，重点讨论- j b e z o u t 整环上的仿射几何基本定理，长方矩阵 几何基本定理、有对合的除环上h e r m i t i a n 矩阵几何、斜h e r m i t i a n 矩阵几何以及半单 环上的矩阵几何等等，各种类型的矩阵几何的基本定理在代数、几何、组合数学与图 论、函数论等领域中均有重要应用，特别地，他们可以叙述成图的自同构定理 加法算子保持问题的深入发展与矩阵几何关系越来越密切，矩阵几何是加法保持 问题的更深层次的研究换句话说，加法保持问题可以看作矩阵几何的前期必要工作 而且，矩阵几何在矩阵保持问题中有很好的应用，不但可以简化已知结果的繁琐证明， 还可以得到很多新的成果例如在文献【5 0 1 中，曹重光，唐孝敏，黄礼平教授就借助矩 阵几何基本定理对矩阵空间的某些半线性保持算子和加法保持算子进行刻画，并得到 了相应的研究结果又在文献4 9 1 中，同样用矩阵几何基本定理刻画了( d ) ( 除环d 上的所有m 阶矩阵构成的加法群) 上保持粘切的加法满射可见加法算子保持问题与 矩阵几何有融合统一的趋势 三角矩阵在李代数中有重要的地位，因此对三角矩阵的线性保持问题与矩阵几何 的研究引起国内外学者的兴趣2 0 0 2 年，c h o o i w l 和l i r am i n g - h u a t 等在文 1 5 1 中对域 上的分块三角矩阵空间的保粘切映射进行了讨论文 1 6 】中讨论了关于死( 所有礼佗阶 上三角实矩阵，其中礼是不小于3 的正整数) 的保粘切的连续映射的分类黄礼平与蔡永 裕在2 0 0 6 年证明了更为一般的除环上分块三角矩阵几何基本定理【5 】，其结果较以前的 研究更为简明，是矩阵几何的重要工作之一最近，黄礼平教授研究了除环上三角矩阵 保粘切的双射9 1 ，并给出了一些重要结果黄礼平教授与他的学生邹素文 1 0 j 证明了除 环上长方分块三角矩阵几何的基本定理 一个非交换的整环r , q 做b e z o u t 整环，如果r 的每个有限生成的左( 右) 理想均为主 理想b e z o u t 整环是一类重要的环，它是体( 除环) 的真推广，例如：整数z 与体上一元 多项式环均为b e z o u t 整环近些年来，黄礼平教授系统地研究了b e z o u t 整环上仿射几 何，通过研究b e z o u t 整环的子空间和不变基数环的仿射几何，得到了一些重要结果 目前b e z o u t 整环上长方矩阵几何基本定理已基本解决，然而对于b e z o u t 整环上块三 角矩阵几何基本定理的研究还未开始，仍然是一项新的工作，所以b e z o u t 整环上块三 角矩阵的加法保持问题可以作为b e z o u t 整环上块三角矩阵几何的前期工作的探讨和 研究 2 1 2 论文的研究内容 在本文中，设r 为b e z o u t 整环，用口表示r 上可逆元的集合，砂n 表示r 上m 佗 阶矩阵的集合，r f l = r 1 姗，g l n ( r ) 表示冗上礼阶可逆矩阵的集合设a = ( o 巧) r n 黼，用。a 表示a 的置换矩阵定义a 伊= ( o 易) ，其中i t ：r _ r 是一个映射 用叼n ( 简写为岛) 表示( t ，歹) 位置元素为1 ，其它位置元素全为。的m 佗阶矩阵， 厶表示rxr 阶单位矩阵一般地，矩阵中的0 元素我们忽略不写 设r 是b e z o u t 整环，定义丑m 种。，知) ( r ) ( 简写为丑m 。，七) ) 是r 上所有如下式的岛x 南( 七2 ) 分块三角矩阵的集合 ，其中如冗嘲x 唧，1 i j k ( 1 3 ) 当m = 时，i = 1 ，七，记正七) = 丑h i , h i , k ) 当k = 2 时，特别有， 五盹坤，c 励= ( 言；) ：x 矽 x m , z 胪蜞抛，y 妒硝他 设a = ( a 嵇) 彤肋，定义a + = 厶。a k ，其中 nm 即：a + = ( 口0 ) 钟m ，其中n 易= n m + 1 一歹，n + 1 斗显然，( a + ) + = a ，并且( a 1 + a 2 ) + = a + a 孝，va 1 ，a 2 舻m 如果r 有一个反自同构7 ，则我们有 当七2 ，我们有 l ( a b ) + 】t = ( b + ) 下( a 十) 下 封4 ， 显然，映射xhx + 是从丑七) 到自身的双射当且仪当及m 讲。，奄) = 互n “+ l m “+ l 七) 3 岛 七 1 七a 如；九 2 2 l 2)a 如；o钆0 ；o - -hm既 汹 = ”卜 时 邑 谢 = 厶 吐蚺；d砖勺：o他o ；o i | 1 惫 a a ；a l 2)a 如；o a o ：o 本文将应用b e z o u t 整环上长方矩阵几何基本定理对关于丑2 ) ( r ) ( 啦2 ) 的保持 粘切的加法双射进行刻画在第一章中，我们介绍了本文的研究背景，研究动态以及 研究内容的框架在第二章中，我们定义了研m i , n i , k ) ( r ) 中两个块三角矩阵之问的算 术距离与距离，并首次证明了算术距离与距离是相算的我们还应用几何方法得到 关乃m i 方法详细讨i k t t c , , k ) ( r ) ( 啦2 ) 上保粘切的加法双射的基本性质，并且利j j b e z o u t 整 环上长方矩阵几何基本定理，得到了下列主要结论： 设n 1 ，n 2 2 ，妒：噩n ；，2 ) ( r ) _ 丑2 ) ( 冗) 是一个双向保粘切的加法双射，则我们有： ( a ) 如果及2 ) ( r ) 丑n 。面2 ) ( 冗) ，则妒有如下形式 妒( x ) = p x 盯q ，v x 丑2 ) ( r ) ， 其中p ，q 丑2 ) ( r ) 是确定的可逆矩阵，盯为r 的一个自同构 ( b ) 如果亚2 ) ( 冗) = 丑n 。“2 ) ( r ) ，除了有( 1 5 ) 之外，妒还有如下形式 ( 1 5 ) v ( x ) = p ( x + ) f q ，以致2 ) ( r ) ，( 1 6 ) 其中p iq 丑2 ) ( r ) 是确定的可逆矩阵，7 - 为翮 勺一个反自同构 4 第二章b e z o u t 块三角矩阵几何的极大集 2 1 算术距离与距离 在本文中，所有的环均为有单位元1 的结合环( 但是一般不是交换环) ，而且环的单 位元l 由子环与环同态( 环反同态) 继承 定义2 1 1 ( 见1 1 巾的定义2 2 6 ) 一个整环r 叫做左b e z o u t 整环，如果r 的每一个 有限生成的左理想都是主理想同样可以定义右b e z o u t 整环。如果冗既是左b e z o u t 整环 又是右b e z o u t 整环，则称兄为b e z o u t 整环 下面将介绍三种不同的环上矩阵秩的概念：行秩，列秩和内秩 环r 上的m 礼矩阵可以有很多不同的解释，比如： ( a ) 由z 卜a x 确定的n r 卜m r 是列的右r 一模同态， ( b ) 由z x a 确定的胪h 舻是行的左冗一模同态， ( c ) 加群m ro 舻的一个元素， ( d ) 由( z ，y ) 一x a y 确定的胪xn r r 是双线性映射 每种矩阵解释都会产生一种矩阵秩的概念对于某些特殊环( 例如域) 上矩阵，秩 的各种意义可能是相同的一个较一般的环上矩阵秩的定义是英国著名数学家p m c o h n 给出的下列定义： 定义2 1 2 ( 见【l 】中定义2 3 3 ) 设r 是任意环，0 a 妒黼，则存在一个最小的 正整数r 满足条件：a = b c ，其中b 俨舯，c 彤加这个最小的正整数r n 做a 的 内秩，记作r a n k ( a ) 定义零矩阵的秩为0 当r = r a n k ( a ) 时，a 的任意一个因子分 解a = b c ，其中b r m x r ，c 形黼称为a 的一个极小分解 引理2 1 3 ( 见 1 】定义2 3 4 ) b e z o u t 整环上任意矩阵的内秩，行秩，列秩是相等的 设r 是b e z o u t 整环，a 舻黼，如果a 既不是零矩阵也不是左( 右) 零因子，则称a 是非奇异矩阵如果存在矩阵b 舻肌，使得b a = 厶，则称a 是左可逆矩阵，类似可 定义右可逆矩阵同时为左、右可逆的矩阵称为可逆矩阵r 上矩阵a 的内秩( 行秩和 列秩) 称作a 的秩b e z o u t 整环上矩阵的秩有很好的性质，这些性质和除环上矩阵的秩 的性质相似对每个r 上任意nx 诧非奇异矩阵必有r a n k ( a ) = 佗 引理2 1 4 ( 见【1 】引理2 3 9 ) 设r 是b e z o u t 整环，a r ”黼，则我们有： r a n k ( a ) r a i n r r t ，n ) ， ( 2 1 1 ) 5 r 。礼凫c a ，= 7 。礼七c a ，。，= r n n 七( 吾) ( 2 1 2 ) 引理2 1 5 ( 见 1 】引理2 3 1 1 ) 设r 是b e z o u t 整环，a 舻煳若p m 和q 形加是非奇异矩阵，贝l j r a n k ( a ) = r a n k ( p a ) = r a n k ( a q ) = r a n k ( p a q ) 引理2 1 6 ( 见【1 】引理2 3 1 3 ) 设r 是b e z o u t 整环，a 舻煳，b 舻煳，c 舻灿， 则有 ( a ) r a n k ( a b ) m i n ( r a n k ( a ) ，r a n k ( b ) ； ( b ) r a n k ( a c ) 僦( 吾 c d ，r 。n 七( 吾 ( e ) 7 口礼尼a m a x ( r a n k ( a ) ，r a n k ( c ) ； 三) = 7 ，n 礼尼c a ，+ r a n 奄c b ，； 三) r n n 七c a ，+ r n 扎七c b ，； * ) r a n k c 4 ， 引理2 1 7 ( 见( 1 】引理2 3 1 4 ) 设r 是b e z o u t 整环，a ，b 期，则 设 r n n 七( a + b ) r 。n 后a) r 。n 七c a ，+ r n 礼忌c b ， i 丑七) ， ；，m问：；三耄；：兰兰三：主要二：二：；三：三三；： 【 ， 特别，当k = 2 时，我们有 丁赢 i 2 ) = r 硪n ， z 删撕队彬毗 ， 服i 矽i x n l ，zer n i x l ) ， 6 礼l 2 ，n 知2 ； n l = 1 ，佗七2 ； n l 2 ，n k = 1 ； n l21 t i , k2 1 当n 1 2 ，n 2 2 ； 当n 1 = 1 ，n 2 2 ； 当n 1 2 ，砌= 1 ； 当n 1 = 1 ，n 2 = 1 当当当当 )夕 b z y z 0 0 x 眦、丑rj1-，rjl_， 在上式中，n = 佗1 + 佗2 简记 r e 譬几= 1 z e 嚣n ：z r ) 例如，熟知的h e s s e n b e r g 矩阵 a l la 1 2 a 1 3 。 a l n a 2 1a 2 2a 2 3 a 2 n 0 a 3 2a 3 3 0 3 n 0a 4 3 ； 。 。 口竹一1 ，n 0 a n , n - 1 o n m 它是长方分块三角矩阵 定义2 1 8 ( 见【1 】定义4 1 1 ) 设x 1 ，磁丑七) ( r ) ，定义义l 和托的算术距离 为a d ( x l ，恐) = r a n k ( x l 一恐) 当a d ( x 1 ，x 2 ) = 1 时，称x 1 和岛粘切，记作x 1 一恐 显然，a d ( x 1 ，恐) o ；a d ( x 1 ，x 2 ) = o 兮x 1 = 托；a d ( x 1 ，) = a d ( x 2 ，x 1 ) ； a d ( x 1 ，x 3 ) a d ( x l ，x 2 ) + a d ( x 2 ，x 3 ) 设妒：致m ，奄) _ 互m 。，詹) 为一个映射如果 x 1 一托可推出妒( x 1 ) 一妒( x 2 ) ，则称妒为保粘切的映射如果义1 一x 2 当且仪当 妒( x 1 ) 一妒( x 2 ) ，则称妒为双向保粘切的映射妒为双向保粘切的映射当且仪当妒为 双射并且妒和妒_ 1 均保粘切 当仇t ，啦1 ，i = 1 ，k ，k 2 ，1 r 后时，在本文中，我们假设 ( 2 1 3 ) 不再一一注l ! j j 设x ，x 7 是噩m 讲加) ( r ) 中两个不同的点定义x 与x 7 的距离d ( x ，x 7 ) = r 为 满足下列性质的最小正整数r ：存在? + 1 个点，x 1 ，墨丑七) ( r ) ，其中 x o = x ，墨= x ，使得x l 一托，i = 1 ，r 定义d ( x ，x ) = 0 设m 是丑m 印；，七) ( r ) 中的一个非空集合，如果朋中任意两个不同的点均粘切，并且 在丑m 胛。，詹) ( r ) 中，与朋中的所有点均粘切的点都在m 中，则称朋为丑m 种。，七) ( r ) 中的一个极大集 设m + = x + ：x m ) ，则( m + ) + = m 显然m 十是互n + h 七) ( 冗) 中的极大集当 7 啦 后汹 = n ：m 。：l = m 毗 ，僦 j j 禺 o | i 其中尸，q 丑m ；，七) ( 冗) 均为可逆矩阵，t 噩m 矾。，知) ( r ) 引理2 1 9 ( 见【1 】定理2 3 1 0 ) 设冗为b e z o u t 整环，a i p n j t r a n k ( a ) = r ，则存 a = p ( a 1 。) q ， 引理2 1 1 0 ( 见【1 】命题4 2 4 ) 设r 为b e z o u t 整环，则任取a ，b 尼n 黼，d ( a ，b ) = 口d ( ( 吾善) ，。) = d ( ( 吾善) ，。) c 2 1 4 ， 证不妨设a 。，c 否则由引理2 1 1 。知命题成立，则由引理2 - 9 知a 一( a o 量) ， ( a 0 c b ) 一( ( a l o oo o ) ( ：b ：) ) ：= a 1 c 1 ) ， 故不妨设a 非奇异令c a ，q = ( 三。) ，则啦。，i = 1 ，m z 定义矩阵c a ，a ，= (q；。，ca2，q，=(q善 从一_ 州贼脯 ) ( 吉暑) _ 一1 。) ( 川1 5 ， 8 、lii_、 2 由引理2 1 4 与a 非奇异，显然有 。d a 量) = r 。n 七( 吾量) = r 。n 后c a ，+ r 。n 七c b ， 设s = r a n k ( b ) 由引理2 1 1 0 知，存在j e 7 t r m 。m ，i = 1 ，8 1 ，使得 b b l 一一b 。一1 0 ( 2 1 6 ) 故有 ) ( 三抄一( 麓) ( m 由c 2 工5 ，与c 2 工7 ，知，d ( ( 吾；) ，。) - r a n k ( a ) + r a n k ( b ) = a d ( ( a o 由算术距离的三角不等式，可知 呈) ，。) d ( ( 吾暑) ，。) 引理2 1 1 1 证毕口 由引理2 1 1 1 ，显然有 推论2 1 1 2 设冗为b e z o u t 整环，则任取a ，b 丑m 册；，2 ) ( r ) ，都有 d ( a ，b ) = a d ( a ，b ) 下面我们给出本节的主要结果 引理2 1 1 3 设r 为b e z o u t 整环，讹，m ，后均为正整数，i = 1 ，k ，k 2 ，则 d ( a ，b ) = a d ( a ，b ) ，v a ，b 丑七) ( 冗) 证由引理2 1 1 2 ，当= 2 时此定理成立故不妨设k 3 我们对k 应用数学归纳 法假设七一1 成立，即当m i ，锄，k 一1 均为正整数，i = 1 ，k 一1 时有 d ( 1a：12)-)j：al,k-二1。)=以(1专：|l二_。 9 、l ， 7 、j ， l 0 q ) c b a 0 、 d0 式 、l ， 4t 12 ，j 明 证 而从 其中a 订舻t 哪，i ，j = 1 ，k 一1 成立 下证k 分块时，即 其中a 订胛t 记 a 1 七一1 a 2 ，k 一1 a k 一1 七一1 0 因此，不妨设a 姚。，c 否则由假设知命题成立，则由引理2 工9 知，a 触一( a 。 其中a 非奇异，故我们有 l 一( a o 毗槲d 愀令( 三) = 阵( 蓄) =， c r ：) 。)心 0 ，t = 1 ，m 定义矩 是二：) ：r 葶、1 则 、0 ， ( a o 三) ( a o 荽) 一( 吉量二1 ) ( 吉圹偿， 1 0 a 如；缸a a 如；o 0 赳0 ；0 o ，i。-iii-1一 似 l l 、liliiiiij， k l 七a 如；缸a o o b = 蛐； “0 a a 乳 a 如；o 0 l 钆0 ；0 0 ，f，j-li_-ii_i_llii1、 童 。 靠俨 o 小o = 七 k b l ka 如；缸a 。 以 一 一 七 坫= ； 吐0 灿够j 舭n 尼 一 一 一 l 他 船， 吐 如如；o o 1 a o ；o o 撕， 、l-、 四研 o；- n ， 贝 一 、j、 q；嚷研；o o 口 ，-。-。一 回磁 由引理2 1 4 与4 知七非奇异，显然有 谢( 吉呈卜n 尼( 吾三卜州c 蝣 设h = r a n k ( a 。) ，由假设知，存在冉，i = 1 ，h 一1 使得 a o 一4 ；一一4 i 一1 0 吾。0 ) 一a 0 ) 一00 ) 仁均， d 三) ) 0 ) r a n k ( 小) + r a n k ( a k k m d 黔。) 由算术距离的三角不等式，可知 甜黔。) d 呈) ，0 ) 从而证明k 分块也成立 引理2 1 1 3 证毕口 由引理2 1 1 3 ，我们显然有下列重要的推论 推论2 1 1 4 设r 是b e z o u t 整环，妒：互佻啦，血) ( r ) _ 丑慨七) ( r ) 是一个双向保 粘切的双射，则妒保持算术距离不变，也就是说，a d ( x ，y ) = o d ( 妒( x ) ，妒( y ) ) ，v x ，y 丑m ，角) ( r ) 2 2 块三角矩阵的极大集 以下设m = m 1 + + m k ，n = n 1 + + m ，尼2 设 朋= 薹巧叼x ：x ，er ) ，彤旬= 喜鼽叼 ：y i er ) ， 其中t = 1 ，m ；j = 1 ，n 设 7 黾= m 5 m n 丑他，七) ，i = 1 ，m ( 2 2 1 ) 1 1 ，lll、 ， 、 知 0 0 o h 小o 偿 与 、l ， 召 有 故 由 岛= 人学哪n 丑m ；，n ；，七) ，j = 1 ，竹 ( 2 2 2 ) 一个丑m 肼；，七) ( r ) 中的非空集合朋称为极大集，如果m 中任意两点都是粘切的，且 在m 之外没有其他的点与m 中的每个点粘切 显然，当几l = 1 ，c 1 = x e l l ：z r ) 不是丑七) ( r ) 中的极大集当礼七= 1 ，冗n = _ 【z 既n ：z r ) 不是丑舟) ( r ) 中的极大集 引理2 2 1 设m l ，n 七2 ，n = n l + + n 七则所有的冗i ，0 ，其中i = 1 ，m ；，j = 1 ，n ，均为丑m ；，) ( r ) 中的极大集 证不失一般性，不妨只考虑冗l 的情况设点x 与冗l 中的点粘切，则 | ll x l l x 1 2 一 ji oo r a n kix i ll 三三 假设x g 冗不妨设x = ( 三 使得x 2 与1 线性无关，所以 rr ，z r a n kix i ll v x i j r ，j = 1 ，2 ，n z t r ! r i ，i = 1 ，m 贝i j 存在y l 冗， = r n n 七( 三) 2 ， 矛盾因此，x 冗1 引理2 2 1 证毕r - i 引理2 2 2 ( 见【1 】的引理2 3 1 6 ) 设冗是b e z o u t 整环，a 1 l， 仉、i_、 yl少舢川 o ；o 现 玑 、i卜厂 r o ；o 不个两在存果 朝 则 0 2 ， 1 f ， ， 何 = = 溉 l 仃 = s ：一1 ，则厶是包 含a 和b 的唯一极大集现在，我们假设点臻n m ；，蜘( r ) 则冗。和c t 是极大集显然， 7 nc t = z ：z r ) 不是极大集设z m ，且zg 冗。nc t ，则z b ，z 一0 容易得到z 冗s ，或者z 岛假设z 冗。，因为m 中任意不同的两点都是粘切的， 于是m = 冗。类似地，z c t ，同样有，m = g 因此，h i = 冗。，或者3 , t = g 由冗。= 7 q 和c t = 该命题结论成立 引理2 2 3 证毕口 由引理2 2 3 ，我们有， 推论2 2 4 设r 是b e z o u t 整环，a ，b 矸m i 抛，砷( r ) ，a b 如果b a t i 。r n l , n i , k ) ( r ) ，则正m m 。，南) ( r ) 中有且仅有两个包含a 和b 的极大集如果b ag 臻；，知) ( r ) ， 则丑啦，磨) ( r ) 中有唯一的极大集包含a 和b 引理2 2 5 设m ，m 7 丑m i 七) ( r ) 为同一类型中两个不同的极大集，如果mn m 7 西，则i mnm 7 l = 1 证由引_ n 2 2 3 ，我们假设m = 冗1 ，a t 7 = 舰。+ a ，其q u l 8 礼，p 互七) ( r ) 是可逆的，不失一般性，设a 朋nm 7 因为冗1 = 亿1 + a ，所以我们 有冗1nm 7 = ( 冗ln 尸冗。) + a ，易得冗ln 舰。= 0 1 ，因此冗lnm 7 = a ) 引理2 2 5 证毕口 类似地，我们有 1 3 引理2 2 6 设m ，m 7 丑m 锕；，脚( r ) 为不同类型的两个极大集，如果m n m 7 d ， 则l mnm ，| 2 设y 是佗一维自由r 一模( 礼2 ) v 的一个r 一维自由子模m 称为一个r 一子空间， 如果m 是y 的直和( 即存在某个子模使得v = m0 ) r n 的7 一维自由子模s = ，秽t 、 i v l ，v r 是- 个r 一子空问当且仪当矩阵i i l 有右可逆( 见【1 】定理3 1 3 ) 若m 是r 一子空间且a v ，则m + o 称为r 一平面设s 是仇一平面( m n ) s 中所有 平面的集合称为s 的仿射几何，记做a g ( s ) 此时a g ( s ) 的维数是m ，记做d i m ( a g ( s ) ) 特别指出，维数为0 ，1 ，2 的平面分别叫做点、直线、面两个平面m4 - a ，n + 6 是平行 的，若m 或者m ，其中m ，n 是子空间，a ，b s 设尬，m 2 是平面，我们知 道舰n 还是一个平面在a g ( s ) e p 有以下结论( 见【1 】的第三章) ： 任意两个不同的点必包含在唯一的一条直线内，或者两条不同直线的交为一点 或者空集 任意r + 1 个不包含在任何( 7 - 一1 ) 一平面中的点，必包含在a g ( s ) c p 唯一的一 个r 一平面中 设y ，y 7 分别为有限维的自由r 一模，尉一模设s 是y 的仿射平面，s 7 是y 7 的仿射 平面若妒是s 中点集到s 7 中点集的双射，且将a g ( s ) e p 的直线映射至u a g ( s 7 ) 中的直 线，另外当i r + i = 1 时，还假设妒将a g ( s ) 中的平面映射至：u a g ( s 7 ) 中的平面，则称妒为 从a g ( s ) 蛰j a g ( s 7 ) 的一个直射若妒是从a g ( s ) 到a g ( ) 的一个直射，且它将平行的 直线映射到平行的直线，则称妒为从a g ( s ) - 至i j a g ( s 7 ) 的一个强直射若冗不是域，则我 们不能断定直射是强直射 下面给, m , b e z o u t 整环上仿射几何基本定理： 基本定理2 2 7 ( 见【1 】基本定理3 3 1 7 ) 假定m n 2 ，d , 2 ，设r 和r ，均 为b e z o u t 整环，y 和y 分别是m 一维自由左或右r 一模或尉模假设s = m + 口和s 7 = m + o ，分别是y 和中的平面，其中m 是y 的n 一子空间，m 7 是y 7 的一子空间，a v ， 且v 7 若妒是a g ( s ) 至i j a g ( s ) 的直射，贝l j d i m ( a a ( s ) ) = d i m ( a a ( s ，) ) 基本定理2 2 8 ( 见 1 】基本定理3 4 3 ) 假定m n 2 ，m 礼7 2 ，设r 和剧均 为b e z o u t 整环，a m = a g ( t p ) 或a g ( m 冗) ，熊= a g ( 驴) 或a g ( m 刷)