（基础数学专业论文）延迟再生现象与ε再生现象的研究.pdf

摘要 延迟再生现象与g 再生现象是再生现象的发展 本文综述三种再生现象产生的 概率背景及其性质 尤其是延迟再生现象和占 再生现象性质方面的研究成果 k i n g m a nj e c 定义了离散延迟再生现象并研究了它的性质 对离散延迟再生现象 的研究主要是通过研究延迟更新序列来实现的 延迟更新序列的半群结构 d e l p h i c 性 以及稠密性 本文都进行了介绍 其次通过研究p a 序列对来研究 再生现象 p a 序列对的半群性已经被证明 但是p 一口序列对的幂的研究还没有进展 本文得到在一定条件下a 序列的幂仍然是a 序列 即a 序列幂的封闭性 最后通过研究延迟更新序列和p 一口对 本文得到了关于p a 对的一些新性质 对 p a 序列的唯一性 分解性 以及是否具有d e l p h i c 性都提出了展望 关键词 再生现象 延迟再生现象 s 再生现象 p a 对 幂 d e l p h i c 半群 p 一函数 a b s t r a c t d e l a y e dr e g e n e r a t i v ep h e n o m e n aa n de r e g e n e r a t i v ep h e n o m e n aa r et h ed e v e l o p m e n to f r e g e n e r a t i v ep h e n o m e n a i nt h i sd i s s e r t a t i o n t h ep r o b a b i l i t yb a c k g r o u n da n d p r o p e r t yo f t h r e er e g e n e r a t i v ep h e n o m e n aa r es u m m a r i z e d i np a r t i c u l a r t h er e s e a r c h f i n d i n g s 伽r e l a t i o nt ot h ep r o p e r t yo f d e l a y e dr e g e n e r a t i v ep h e n o m e n aa n d 占 r e g e n e 一 r a t i v ep h e n o m e n a k i n g m a nj e c d e f i n e dd i s c r e t ed e l a y e dr e g e n e r a t i v ep h e n o m e n aa n ds t u d i e di t i n o r d e rt os t u d yd i s c r e t ed e l a y e dr e g e n e r a t i v ep h e n o m e n a w es t u d yd e l a y e dr e n e w a l s e q 一 一u e n c e s e m i g r o u ps t r u c t u r e d e l p h i cp r o p e r t ya n dd e n s e n e s so f d e l a y e dr e n e w a ls e q 一 一u e n c ea r ea l s op r e s e n t e d 伽t h ed i s s e r t a t i o n s e c o n d l y w es t u d y r e g e n e r a t i v ep h e n o m e n at h r o u g hp as e q u e n c et h es e m i g r o u pp r o p e r t yo p as e q u e n c eh a sb e e np r o v e d b u tt h es t u d yo ft h ep o w e ro f p as e q u e n c eh a sn op r o g r e s s t h i sd i s s e r t a t i o nw o r k so u tas u f f i c i e n tc o n d i t i o nf o t h ep o w e r o fa 口一s e q u e n c et ob es t i l la 口 s e q u e n c e t h a ti st h ec l o s u r eo f t h e p o w e ro fa s e q u e n c e a tl a s t d i s s e r t a t i o nw o r k so u ts o m en e w p r o p e r t yo f p as e q u e n c et h r o u g hs t u d y i n g d e l a y e dr e n e w a ls e q u e n c ea n d p as e q u e n c et h eu n i q 7 u e n e s s d e c o m p o s a b i l i t ya n d d e l p h i cp r o p e r t yo f p as e q u e n c ea r ea l s op r o s p e c t e d k e yw o r d s r e g e n e r a t i v ep h e n o m e n a d e l a y e dr e g e n e r a t i v ep h e n o m e n a p ap a i r r e g e n e r a t i v ep h e n o m e n a p o w e r d e l p h i cs e m i g r o u p p f u n c t i o n l i 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成 果 除文中特别加以标注和致谢的地方外 论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研 究成果 也不包含为获得海南师范大学或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料 与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢 意 学位论文作者签名 日 学位论文著作权声明 本论文作者声明 口本论文全部成果均为本人和指导教师合作研究取得 本人和指导教师都有权使用 本成果学术内容 有第三方约定者除外 口本论文为指导教 学位论文作者签名 独自完成 本人独自享有 指导教师签名 日期 爱 厶2 日期 作权 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解海南师范大学有关保留 使用学位论文的规定 即 海南 师范大学有权保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的复印件和电子文本 允许论 文被查阅和借阅 本人授权海南师范大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数 据库进行检索 可以采用影印 缩印或其它复制手段保存 汇编学位论文 保密的学位论文在解密后适用本授权书 学位论文作者签名 趣 日期 q 名 和转移函数 既o t o 的刻划问题 为了研究这类问题 英国的学者k e n d a l l k i n g m a n 等人推广了 f e l l e r 的循环事件 1 1 发展了再生现象理论 2 3 1 定义1 1 i t 3 1 设z o 1 2 或z 一 o q f p 为基本的概率空间 称在z 上的一 族事件 e f f 丁 为再生现象 如果满足p 一1 且对任意o 一气 毛 由著名的k o l m o g o r o v 定理 4 1 易证必存在一个离散再生现象使得 2 式成立 所以离散 再生现象这个概率模型就归结为更新序列这个分析模型的研究 如果ri 0 则称为连续时间再生现象 对任意0 一t o t l 0 记 c 瓴 f 乙 p p n 丘 可以证明 只瓴 f p p 纯 一善p p 纯一 7 磊 p p 训p 纯 t i 1 广i i p 叫 实数轴 c 瓴 f 2 乙 尸 满足对一切n 1 2 正瓴 t 2 t n p 之0 荟最 气 p s 1 9 1 0 给出一个 o o o 上的实数函数p 则由 8 可确定一族函数 e p 称为p 的f 函数族 如果p 的f 函数族满足 9 1 0 式 则称p 为p 函数 显然 若 是连续 时间再生现象 则由 2 确定的实函数p 就是一个尸函数 反之 给出一个p 函数 则由k o l m o g o r o v 定理川 存在一个连续时间再生现象 使得p 函数满足 2 所以 连续时间再生现象的研究归结为p 函数的研究 如果p 函数还满足姗p f 1 则称p 是标准p 函数 2 第一章引言 定义1 1 2 t 6 设非负实数序列 一 以 满足条件 a u o 一1 b 存在非负实数序列 t 无 珏 s1 使得 彳酐 t 罗 箭 对任意拧 成立 则称0 ne n 是更新序列 对应的 厶 n 称为 的 序列 再生现象的性质主要集中在其对应的更新序列 p 函数 所构成的半群结构上 首先注意到更新序列类和尸函数类按逐点乘法运算构成一个可交换半群的是英国 学者k i n g m a n 他用一种巧妙的概率方法给予证明1 3 1 侯振挺首先用纯分析方法给出更 新序列半群证明 3 6 1 黄之瑞也首先给出p 函数类半群性的分析证明 3 7 1 更新序列半群 和p 函数半群的结构 k e n d a l l t 6 1 0 1 和d a v i d s o n 2 6 给予了细致的研究 发现正更新序列 半群和标准p 函数半群有如下性质 a 无穷小阵列的极限为无穷可分 b 若一元口非素且元素因子 贝l j a 为无穷可分 于是全体元素分为素类 厶类 合类三类元素 c 每一合元素口都可表示为a b c 其中6 为厶元 c 为有限获可列个元素之 积 关于非周期更新序列半群无穷可分类的表征和 类表征已被k e n d a l l 和 d a v i d s o n 完全解决 关于素表征问题 d a v i d s o n 得到一个结果并由此证明素类在延迟 更新序列半群中稠密 钱士贤 何远江 7 等分别推广了d a v i d s o n 的结果 关于标准 p 函数无穷可分类的表征问题己被k e n d a l l 和d a v i d s o n t 2 6 1 透彻研究 关于类构成问题也 做了许多工作 在此基础上 y u a h o b c k u u l 3 s 最终解决了标准p 函数j 类的构成问题 但 是这个p 函数类的结构未见深入研究 后来 k i n g m a n 经过7 年的研究 得到了关于可 3 海南师范大学硕士学位论文 测尸函数构成的一个好的结果 这个结果包括了d a v i d s o n 关于右连续尸函数类构成的 结果 2 6 1 黄之瑞完全解决了正p 函数的无穷可分类及其厶类的构成问题 i 一 定义1 1 3 q 称h 帆 力 只是无穷可分的 若对任意非负实数f 仍有 一 ne n r 我们以尺 记全体无穷可分更新序列 以磁记全体正无穷可分更新 序列 定理1 1 1 嗍存在一个随机序列满足尸眠 z 抛 一z 1 兀i 叶d 当且仅当 帆 咒 尺 一 定理1 1 2 1 5 对于实数列h 一 行 存在一个离散再生现象z 其更新序列是h 的 充要条件是 u o 一1 且对任意k 1 及任意符合条件 0 一n os l l 万t 的整数列 l l 珂2 像均成立 f 做 h 乏0 善 s 1 1 1 定理1 1 3 15 对于一个z 一 o 上的函数p 存在一个具有p 函数p 的再生现象z 当且 仅当对任意正整数 和0 t o 气 t 2 0 土 c 极限p l i m u 麒 0 ps 1 存在 r 4 第一章引言 田万一 nn e n 一 e r 其中d 叫做u 的周期 如果d 1 则称u 是非周 期的 定理1 1 5 t 6 刀 当且仅当 满足条件 a 0 1 则 8 一 i n e n r 1 2 延迟再生现象 延迟再生现象是再生现象的发展1 5 1 它的结构比再生现象更为复杂 与再生现象相 比 延迟再生现象有了一些新的性质 定义1 2 1 嗍设丁 o 1 2 或r 一 o q f p 为基本的概率空间 称在t 上的 一族事件 一 巨 f f r 为延迟再生现象 如果满足存在不同的非负实函数p o 与p 使对任意0 一气 f 1 田称为延 迟再生现象 若存在一个p 函数和t 上一个函数p o 使到对任意o t o o 称为一个连续时间延迟再生现象 若存在一个上 o 的函数p p o 当o 毛 f 0 存在一个取值于 0 的概率测度矽 口 使得 p o 口 一f p t s 砌 口 定理1 2 4t 1 0 1 如果p 是任意p 函数 那么存在一个可测空间 q f p 和可测函数 z t q 0 q 一0 0 t 当使得 p z f z iz o z 以 l d p 以一 以 如果p 是标准p 函数 那么p 是仃有限 的 且p q 一尸 o 1 6 第一章引言 1 3 再生现象 k i n g m a n j e c 首创再生现象理论 熨 这种理论是研究更新序列的重要方法 众所周 知 更新序列是研究齐次胁砌 链对角转移概率p 0 的有力工具 因此通过再生现象 理论开辟了一种新途径来研究齐次m a r k o v 链对角转移概率a f 再生现象是一种 衍生的延迟再生现象 是延迟再生现象的一种推广 最初由y a m a d a l l 2 1 提出它的概念 它是与转移概率对仞玎g 矾鼢有密切联系的 设z 是正实数的全体 n 是正整数的全体 xit 或xin 设对每 x e x e 和a x 是概率空间 q f 尸 上互不相交的可测集 分别以 记e o 4 e g u 彳o 又设i 厂g 1u 厂 其中l 是集合仉2 3 的任意子集 如果对 挺三l 任意的o 墨 z 2 焉 有 p u 瓴 厶 j 掣厶一t e x i j 小丘 j 护丘 1 6 t p j 瓴 厶 厂纯掣厶一 e 也 p u 一鼍 厶 瓴一j 一而 l i j n e x z x 是再生现象 f i e x 彳o z x 是 再生现象 分别称他们为连 续的或离散的 若x t 或x n 设p ip e x a x p o 称 p x 口 为 对应于 但 彳o z x 的 p a 对 称p x 为p 函数 p 序列或更新序列 有 时记p n f f r jp 翻f i a x 为a 函数 a 序列 有时记口 为a 称p 是口g 的一个伴 n p 函数 序列 p a 函数 序列 对的全体记为s 是 以s 记s 或是 称p 函数 p 是标准的 若躲p 一1 标准尸函数的全体记为毋 称具有标准p 函数的占 再 生现象是标准的 p a 函数 序列 对 构成一个半群 由于口函数 或口序列 对应的p 函数 或 更新序列 不唯一 也通常把a 函数 或a 序列 和它相应的p 函数 或更新序列 组 7 海南师范大学硕士学位论文 成一个元素 称为p a 对 定理1 3 1 1 6 1 设p p 一 是更新序列 w 一 嵋 刀 1 是非负序列 则有关系式 磊f 墨p 儿 n o 坛 1 7 令p 一尸 e 刀 p e 一 1 e 一 2 e n 一1 e 0 口 p i a n 一p e 1 e 2 e n 一1 彳 以 p o 1 a o 一0 f o 一0 w o 一0 序歹1 j a a 疗2 1 称为口序列 p o 咒 为对应于口序列的尸序列 驴 万 薹w n z n 驴驴酬 o 对 每一日之吼 暨 f e 一 九 c 坛 e 一 l o c b o o 则 a 在每一有限闭区间i 上 九 收敛于一 o 叫上密度为册0 的测度 a b 若石是 o 上的测度序列且对每一n 石 丸则存在子列石以及 o 上的测度芫 一a 0 0 0 j 1 1 a n h e s 2 b 设p f p 肛是p f 的典型测度 口o 是 0 上的连续函数 存在 收敛于零的正数序列 对每一j p 0 l a a n h 伪 s 8 第一章引言 c 存在一可测函数g o 使对每一f 0 0sg t s o 叫 且 口p 一 o p t s 涫 灿 由0 0 口o s 定理1 3 4 习设p 一饥 露 r 则 p 伽咖o s p 沏 刀 s p m p n 1 一p o 疗 m e n 这个不等式被称为k i n g m a n 不等式 定理1 3 5 t 1 3 1 设函数p o a q 称为口函数和p 函数 对于协 t 0 有 m a x p s a t p f 口 s s a s f s 1 一m a x l o s f l 一口p p o 1 一口 s 1 9 上式被称为s 再生现象的基本不等式 y a m a d a 首先提出s 再生现象的概念 研究了a 函数 或a 序列 与p 函数 或更新 序列 的关系 得到了a 函数 或a 序列 一些代数和拓扑性质1 1 2 1 在 再生现象的研 究中 陈在夫 何远江在y a m a d a 研究的基础上 对a 序列的分解性 半群性做了进一 步的研究 得到二些好的结果n 3 9 第二章延迟更新序列的性质 2 1 延迟更新序列的定义 定义2 1 1 吲取值0 1 的随机过程z t z 咒 b 称为离散的延迟再生现象 若存在序 列 t 仉 咒 1 和h 伽 咒乏l 对0 f 2 6 一传 古 0 0 0 及 售 争 争 6 i t 击 嘉 寿 一 分别可为y 的 序列和6 序列 所以在研究延迟更新序列时 必须指出确定的u 序列 定理2 1 3 t 2 3 1 若 d 且 1 则其对应的z 序列必唯一 且为 t 饥彬 l 苫 工 定理2 1 4 瞄1 若 d 善v n 婵它有 非零 廖列其对应b 序列满足善吃 1 则其伴随 u 序列不唯一 定理2 1 5 t 矧若 d o f 1 l k o 使 lk o 时匕一0 则其 序列唯一且恒为零序列 设 为更新序列 以 记以 为其u 序列的延迟更新序列组成的集合 m p 记 的所有伴随u 序列组成的集合 定理2 1 6 1 冽r e v 为闭集 0 为凸集 定理2 1 7 纠v v e 筑 y 有v 一 v 其中 o o 1 l 2 乏o k 1 2 且 o 称为延迟 再生现缘 若存在一个p 函数和丁上一个函数p o 使到对任意o t o 毛 p 瓴 珥p 以一 1 称p o 为延迟p 函数 p 为p o 相应的尸函数 并不唯一 若p 是标准的 则p o 也 称是标准的 若 1 式中t o l 2 则得到更新序列妇o 和序列妇o 咒 称 p o 1 为延迟更新序列 仞o 为相应的更新序列 类似再生现象可以得到延迟再生现象这个 概率模型也可归为延迟更新序列这个分析模型 从定义中不难知道更新序列也是延迟更 新序列 由此也可知它们的密切联系 延迟更新序列具有很多与更新序列类似的性质 陈在夫在 1 8 中证明了延迟更新序列的类似性质 对于延迟再生现象的半群结构 陈在 夫等人做了大量的工作 得到了很多较好的结果1 1 9 1 至于延迟p 函数 陈在夫证明了标 准延迟尸函数半群是一族m d 半群之并1 3 3 因此也具有d e l p h i c 性 这个半群的厶类元 素和素元素问题的研究尚待进一步展开 1 2 第二章延迟更新序列的性质 定理2 2 1 嗍序列y 一以 ne n 又e i f f n 之1 都可表为咋一碍 是某一齐次胁砌y 链二 个不同状态1 l 仉 刀乏q 的咒步转移概率 当且仅当 2 荟饥 一r 其中 v r l 6 o r 善 b r 墨1 且 u s n n 是更新序列 定理2 2 2 1 8 设 一 吃 n e n 分y 一 e 刀 e d 疗 一 以 霄 别是其对应的 序列 则v v 以吒 n n e d 且 k 一 比 疗 是其对应的 序列 定义单位元e 一 0 l l 则d 是一个半群 在第一章我们已经介绍了更新序列对极限封闭的性质 事实上延迟再生现象也有 同样的性质f 8 4 1 f 4 2 1 定理2 2 3 1 8 1 4 2 设v z 1 2 是一系列延迟更新序列 一 n 1 2 是其对应的 序列 若v l 鲤嗲 k 存在且 觋 在 则 一心 咒 d 且 一 h 是其对应的l 序列 定理2 2 4 若 一 刀2 田 d 七一1 2 且对v n 熙蟛 一心存在 则 y 一 心 l 乏o d t 正延迟更新序列全体是一个半群 由于延迟更新序列对应的更新序列一般不唯一 不唯一性在第一章性质定理1 2 2 已经例证 所以为了研究延迟更新序列的性质就定义 了延迟更新序列对 我们常把一个延迟更新序列和它相应的更新序列组成一个元素 称 为延迟延迟更新序列对 标准延迟更新序列对全体构成一个半群 定义2 2 2 t 8 1 设v d 是 对应的 序列 把o 看成一个元素 称 h 为延迟更新 序列元对 全体延迟更新序列元为a 若p 彳 且砧 r 则称d u 为u 正延迟更新 序列元 同理 如果v 西 u 是v 对应的u 序列 全体广义延迟更新序列元为五 定义2 2 3 1 0 k e n d a l l 4 把满足下面条件的拓扑半群g 称为d e l p h i c 半群 1 3 海南师范大学硕士学位论文 a g 是一个可换半群 有唯一么元e b g 可定拓扑使为h a u s d o r f f 空间p h y 是gxg 到g 上的连续映 射 存在gh 0 上的同态变换d 满足d u 一0 当且仅当u e c 岛 一p k 是紧集 d g 中任意一个三角阵如o j 1 2 一 i l2 如为零阵即 s训up d u i 呻o 当f 若边沿积 一n n 歹 当 l 时 un 厅1 日1 t 则历是无穷可分的 即对任意n 自然数集 存在v g 使矿一疗 d e l p h i c 半群也是一种特殊的半群 但是条件要严格很多 何远江等专家学者在这方 面做了大量的工作 得到了很多较好的结果 2 4 1 1 圳 陈在夫首先证明了正延迟更新序列 对的d e l p h i c 性 2 6 1 得到正延迟更新序列对半群 类元素的表征问题 证明了非周期 延迟更新延迟更新序列是一族d e l p h i c 半群之并例 可是正延迟更新序列和正延迟更新 序列对的素元识别研究方面非常困难 陈在夫 陈传钟 李炜也只能得到一些结果 2 2 艄1 何远江 2 4 j f 冽证明了正实数加半群上的正p 函数半群和正延迟更新序列半群是d e l p h i c 半 群 定义2 2 4 8 设 di 是 对应的 序列 把0 看成一个元素 称v 为延迟更 新序列元 记全体延迟更新序列元为彳 定义2 2 5 1 2 3 1 全体正延迟更新序列元d 构成一个忱枷把半群 其中幺元为 e d 中满足下列条件的元素称为素的 a p 一 e e b 若p u 7 u 则o7 u e e 或p 一 e p 1 4 第二章延迟更新序列的性质 定理2 2 5 t 2 3 若 口 d 4 v x 一1 则o 比 为素的当且仅当 为素 定理2 2 6 t 冽若p d 且有罗钆一七 1 时 对每 l 有 a o l j n o 定理2 2 8 t 1 引f 2 v d 无穷可分且h 吃 o 则存在 f l o u 序列 使 a u 无穷可分 b 彳 定理2 2 9 t 2 0 1o h 彳 是无穷可分的当且仅当 a 是正无穷可分的 b x 捣 n 之1 k 旦 u nu 1 c 对每一万苎1 ksu 州 定理2 2 1 0 t 2 2 i 发v e d 则v 是无穷可分的而且仅当存在vo ou 序列h 得o 在a 中 无穷可分 定理2 2 1 1 1 2 1 1 d 的 类由一切形如 g p p 2 p o p 和d 中满足 0 us v 2 1 臣l i m v 1 的元素v 一 l 所构成 2 3 延迟更新序列的稠密性 海南师范大学硕士学位论文 一d e l p h i c 半群瞄1 的定义在上 节已经详细允绍过 众所周 知d e l p h i c 半群有3 个基 本的性质 a 每个无穷可分元素必分某个零阵列的极限 b 非素且没有素因子的元素必无穷可分 c 每一个元素g 均可表示为 不唯一 g x y 其中z 为厶类元素 也就是 无穷可分且任一因子也无穷可分的元素 g 为有限或可列多个素元的乘积 陈在夫已证 明a 是一个d e l p h i c 半群 弄清楚 类和素类这两个基本类有助于弄清楚它的结构 a 半群中i o 类的稠密性问题已全部解决 素元稠密性也是一个非常重要的结论 李炜 在 他的毕业论文中证明了延迟更新序列元半群中素元是稠密的 定义2 3 1 t 2 7 1 设g 是一个半群 有唯一的单位元e 设ue g 若对v u u u 和u 中 必有一个是单位元则称u 是素元 定义2 3 2 t 抽 集合a v a6 5 a 都存在一个素元序列口 趋近于口 则称素元在集合a 中稠密 引理2 3 i t 2 7 1 设o 引 为a 中的元素 的厂序列 b 序列分别为厂 b 如 果6 b7 f 呻厂 o u 以67 为其b 序列 则 l i m v n to k o 定理2 3 1 陋1 彳 若k o 爹 1 1 怠 且毛2 七 贝0 白苫七 为素元 定理2 3 2 1 2 3 正延迟更新序列半群中素元具有稠密性 即 彳 存在素元序列口 使 得 舰口 口月 1 6 第二章延迟更新序列的性质 定理2 3 3 t 1 非素元在d 中稠密 1 7 第三章 再生现象中p a 对的幂 3 1 p a 对的性质 1 3 节定义了s 再生现象和p a 对 本节讨论p a 对的性质 定理3 1 1 t 1 3 l a 若p 一口对的乘法定义为 p 4 似 五0 一p 声 口 五 则 s 为一半群 b 若 p a x e s p 为p 函数或p 序列 则 p 殄 口 x s 注 由上面定理的 a 知口函数 序列 的伴随p 函数 序列 一般不唯一 设a x 是定义在x 上取值于 0 1 的任意函数 又设e lj 2 j p 口o 一口 则 俾 么0 石 x 是e 再生现象是对应的函数 序列 故离开p a 对单独地讨论a 函数 序列 是没有意义的 定理3 1 2 t 1 2 1 设 p 是更新序列 是 p 的 序列 口 是实数序列 则以下命题等价 a o a s 2 存在非负序列 n 1 满足对每一万 m 墨1 一 一 一无 著啪m 定理3 1 3 t 1 3 1 设p 0 尸 是p p 的典型测度 g o 是一可测函数使对每一 1 8 第三章占 再生现象中的p a 对的幂 t o 0sg o o 又设 则 0 0 a t e s 口 f 上p o s g s d s 定理3 1 4 1 3 1 a 设p a t e s 则对每 h o 砌 口0 办 s b 设p t e p j 是p q 的典型测度 a q 是 0 上的连续函数 存 在收敛于零的正数序列o j 对每一j p n h j a n h s c 存在一可测函数g q 使对每一f 0 0 墨g q 墨 o 叫 且 口o 一f op t s g s d s d p 口o s 定义3 1 i f l 3 1p 一口对满足下列条件的元素称为素元 a p a 0 p b 若0 a p a 1 p 2 a 2 则p a e e 或0 2 a 一 e e 否则 称为p a 对为非素元 定理3 1 5 t 蚓设函数p o 口o 称为口 函数和p 函数 对于弧 t 0 有 m a x p s a t p o 口 s s a s f s 1 m a x p s 1 一口 f p o 1 一口 5 2 2 式称 再生现象的基本不等式 定理3 1 6 t 1 3 1 设 p 口 s i o l2 对某一 e x p x a x 1c 0 则 p 口 不能表示为个数大于 l o g c 的因子的积 定理3 1 7 t 1 3 1 设 p o 口 x s i f l 2 则 p o 口 为不可分解的一个充分条件是 1 9 海南师范大学硕士学位论文 s u p p x 口o 话1 定理3 1 8 1 3 1 设p o a x e l 耐 i 1 2 则0 口 是s f 一1 2 中有限不可分的因子 的积 3 2p a 对的幂 2 1 s 书 p 一口对的幂给予ti j 论 i fn 设对每一正数f e 似和彳似是不相交事件 分别以 o 工 o f 记e t a t e t u a t 以 f 三 记望 o 其中三是集合 1 2 3 的任意子集 如果对任意0 o 有 p f 厶 j f m l i e f j f 0 厶 j f 州 厶 川 尸 j tl 三 j t 1 一 e 矿 p j t 一t i 三 t 一t i 三 j t 则称 e f 是再生现象 陋o 4 f b 是 再生现象 当矿 或t e r 时 分别称s 再 生现象为离散的或者连续的 仞似口似是相应的 口 序列对或 口夕函数对 其中 删 尸陋俐a p 例记 口夕序列对全体为是 口夕函数对全体为s a 序列 全体为4 更新序列全体为r 定义3 2 i t 5 1 一个取值于0 和1n n 机过n z 一 乙 l 称为离散时间再生现象 若 存在非负序列pt 只 万 丙 对任意满足o 咒 咒 1 称口a 为口的幂 定义3 2 4 t 3 1 1 p f 口 f s 令 p o 口 t 若口 1 称 o 口 t 为 p f a q 的幂 定理 3 2 1 驯设p 一僻 咒 尺 a 1则p 芹 刀 万 尺其中 群一 f 位 p n 存在f 是p 的厂序列 铝 定理 3 2 2 t 1 3 设见是更新序列 是其厂序列 口 是实数序列 若存在非负序列 w 之o 1 矗 w ns 1 一 厂 i 一1 使口一 w p 一 则 a a 引理3 2 l 1 3 由p t 毫f 见 可得 一耄坼以 一砉口一毋 其中 和p 分别是 a 的w 序列和p 序y d 厂 是p 的 序列 定理3 2 3 设口 a n n 爿 对应的更新序列为p 一印n n r 令口 1 如 果 芝 卫生 1 墨所 刀m l2 3 1 r a 单调递减 a 一1p m 1 则 a 一 口 万 彳 其对应的更新序列为p p l 丙 r 2 1 海南师范大学硕士学位论文 证明 因为口 彳 所以a 于a 1 韩公 口 一 i 一 定义w 序列 即嵋 ma n a 一 彬红臃 设厂以 一 无 l 丙 是p 箭 一 的f 序列 由定理3 2 2 知欲证定理成立 只需证明在关系式 成立 时有 w 一 t r 刀 1 中满足 口 0 以 口 小善f 口 3 4 首先证明 3 式当n 一1 时 m 口 一口f 0 对v a 1 成立 故 z 一1 时 3 式 假设k 墨i 1 1 对v 口 1 有 20k 一1 2 n 1 成立 即 当k 一以 1 坼 驴 d 一0 当k 一玎时 a 一口 由 5 口 l 6 口 得 因为 所以 则 1 一荟雌 娩 口 荟w r 口 p 1 一口 p r j 玉一 且1 s 刀s 刀 脚一l 2 3 刀 口 1 a h 1p 埘一1 口 p 一1 a l l p 之0 其中令m n 一 口 p 1 一口 1 p 0 又因为w k 口 20 k l 2 n 1 所以由 5 式得到 口 k 苫0 5 6 7 对 吖以m v 钉 q呵n f 扣p v 身 v 自 一 口一 口 i 口 v 龠 一 l口肛 口 第三章e 一再生现象中的p 一口对的幂 又口 乏0即口0 1 o 所以 嵋 2 0 3 下面证明 4 式 由于p 荟f p l 之1 定理3 2 1 1 故由引理3 2 1n 3 1 可得犁 w r a p 7 善口二r f 所以嵋 口 一薹口 f 则 2 式成立只需证明 口 一 口n 4 f r a 墨l 一 f 即可 篇篇 由 6 式成立只需证明 荟 一口 r m 口 口 s 1 8 即 荟 1 口 r f 口 小酊 9 又因为a 单调递减 0 口 s 1 所以口 也单调递减 0 s 口 s 1 则 e 1 一口 f 口 s 1 口 f 口 司符 又f 陋 是p 对应的 序列 则 罗l a s 1 篇 所以 1 一口 厂r a 墨 1 一口 f a s1 一口 篇篇 则 罗 1 一口 f 口 s 1 一口 成立 篇 由 1 0 式成立可推得 4 式成立 所以定理3 2 3 得证 1 0 海南师范大学硕士学位论文 推论3 2 1 设口 q n n 皇 丛 基对应的更新序列为p 一仞 鼻 一 r 令口 l 果旦 15ms 刀 m 1 2 3 珂且口 单调递减 则 以 口 是可得到 p 口 足 证明 因为满足上述条件的口 彳 p r r p 是口 对应的更新序列 所以由劬口j 对定义得到 第四章 再生现象中 p a 对的一些结果及其d e l p h i c 牲 的展望 4 1 关于p a 对性质的一些新结果 由上一节 3 2 p a 对的幂我们知道了p a 对的定义 更新序列的一些定理 以及关 于a 序列 p 序列 w 序列之间关系的引理 这节主要是p a 对性质的一些新的结果 定理4 1 1 已知 p 口 s 2 则 0 哆对每 靠p 芑p p l a 1 p l 口2 1 b 当a 2 p l 1 时 对每一n 有p 0 a 0 证明 a 由定理1 1 3 得到匕es 匕 一 所以只t 只山 e 只只一 p 则 p 苫p 7 由定理1 1 3 定理1 2 n 得到p 一荟1 f p r 1 五 w 2a l 善2 f 所以口2 t w 2 w l p l 1 一 一厂2 w l p l 墨1 一 w 护1 l p 1 p 1 口l 则 a 2 p l 一1 s p 1 a l b 因为a 2 p 1 1所以0 0 a 1tm 0 海南师范大学硕士学位论文 所丛如 p 0 一 a ni r 善 w r 儿一 乏w l p 一4 o 定理4 1 2 如果g 口 s 1 为口序列所对应的见序列则 口 一0 乎明 由口序列定义知见 1 时 口一 善嵋 办一 荟w 其中o s 1 一荟 因为 为见一1 对应的厂序列 所以五一1 f o 广 1 贝u 即 一0 所以口 一 w 一o 1 o 小善f 小五1 1 1 io 定理4 1 3 p 口 序列对中p 一 只 l 万 是正更新序列 口一如 n o 则 巳全部 为o 或前面连续有限项为0 后面的项全不为0 证明 因为口 一0 口 t p m w r 刀 1 p 厂r p 一 1 箭箭 由 1 式可得 口 t 砉f 口 2 引理1 1 2 1 得 a 全部为0 这种情况是显然存在的 下面看后一种情况 设m m i n k 口t 0 贝l j 打 0 同理可得时a 2 加 1 加 厶 妒o w m 2 加 l 2 乏f l a 1 0 所以七一1 2 n 一1 时a 0 贝u a a m n i l l 0 所以定理得证 第四章e 一再生现象中 p 一口对的一些结果及其d e l p h i c 性的展望 4 2 p a 对d e l p h i c 性的展望 定义4 2 1 k e n d a l l t l o 把满足下面条件的拓扑半群岛称为d e l p h i c 半群 射 a g 是一个可换半群 有唯一么元e c o a 可定拓扑使为h a u s d o r f f 空间o 一 v 是g g 到g 上的连续映 c 存在gh 0 上的同态变换d 满足d u 一0 当且仅当 一e 由f g u 一p v k 是紧集 c g 中任意一个三角阵恤a 一l2 i l2 如为零阵鼹 s 川u p d u i o 当f 若边沿积 n o 当 l 一 时 厅 l 摹j 耐1 t 则厅是无穷可分的 即对任意ne n 自然数集 存在 e g 使矿 疗 a 为了强调定义中的连续同态d 有时我们把上面的d e l p h i c 半群g 记为俺驯 b 上面定义中的6 就是性质c l t 若g 是一个d e l p h i c 半群有下述三个基本性质 称为d e l p h i c 性 简称性质d 1 ue g 是无穷可分元素 则u 是某收敛零阵列的极限 2 g 中的元素可分为三类 a s 类 不可分解元素类 b c 类 可分解但有不可分解的因子的元素类 海南师范大学硕士学位论文 c 0 类 无穷可分且任一因子也无穷可分的元素类 3 对任一 e g 至少可用一种方式表为 u w 砧1 7 2 其中 都是正整数 u 1u u 为互不相同且最多可列的5 类元素 w e i o 由此 g 的元素可分成三类 素元素 无穷可分且没有素因子的 元素以及非素而 有素因子的合元素 y a m a d a 首先提出 再生现象的概念 研究了a 函数 或a 序列 与p 函数 或更 新序列 的关系及a 函数 或a 序列 一些性质 3 5 1 对f 再生现象研究中 陈在夫作了 许多工作 得到一些好的结论 例如p a 对的有限分解定理等等 本文在 再生现象中 p a 对的幂和p a 对半群方面得到一些新的结果m 鹏1 p a 对 在满足一定条件下它的幂 仍然是p a 这样有利于弄清楚p a 对所够成半群中的元素表达形式 但这个定理有待 进一步的简化和发展 本文第四章叙述了 a 对的一些新的性质 但是全体p a 对构成 一个半群 还有很多问题悬而未决 例如 p a 对中 o 类的表达式 半群中素元判定方 法 p 元素的分解性 p a 对的唯一性等等 尤其是p a 对构成的半群是否具有d e l p h i c 性 或者需要满足什么条件才能构成d e l p h i c 半群 这方面需要进一步的研究 参考文献 1 f e l l e rw f l u c t u a t i o nt h e o r yo f r e c u r r e n te v e n t s j t r a n s a mm a t hs o c 1 9 4 9 6 7 9 8 1 1 9 2 k e n d a l ldg h a r d i n ge es t o c h a s t i ca n a l y s i s l m b r i s t o l j o h nw f 砂 s o n s 1 9 7 3 4 7 7 2 3 k i n g m a n j e c t h es t o c h a s t i ct h e o r yo f r e g e n e r a t i v ee v e n t s z w a h r 2 1 9 6 4 1 8 0 2 2 4 4 k o l m o g q r o v a o nt h ed i f f e r e n t i a b i l i t yo ft h et r a n s i t i o np r o b a b i l i t i e si ns m t i o n a r ym a k o v p r o c e s s e sw i t hd e n u m e r a b l en u m b e ro f s t a t e s m o s k o v g o s u n i v u c e n y e z a p i s k i 1 4 8 m a t h 4 1 9 5 1 5 3 5 9 r u s s i a n 5 k i n g m a n j e c r e g e n e r a t i v ep h e n e r a t i v e m w i l e y l o n d o n 1 9 7 2 4 1 4 5 6 k e n d a l l d gr e n e w a ls e q u e n c e sa n dt h e i ra r i t h m e t i c m b e r l i n p r o c e d i n go fl o u t r a r i s y m p o s i u mo np r o b a b i l i t ys p r i n g e r 1 9 6 7 7 钱士贤 何远江 单更新序列的识别 j 中山大学学报论丛 1 9 8 4 3 3 9 5 0 8 1 陈在夫 d e l p h i c 半群与延迟更新序列 j 应用概率统计 1 9 8 8 3 2 7 9 2 8 6 9 陈在夫 标准延迟p 一函数的半群结构 j 海南师范学院学报 1 9 9 5 2 9 2 l o k e n d a l ld gd e l p h i cs e m i g r o u p i n f i n i t e l yd i v i s i b l er e g e n e r a t i v ep h e n o m e n aa n dt h e a r i t h m e t i co f p f u n c t i o n j zw a h r 1 9 6 4 9 1 6 3 1 9 5 l1 h u a n g z h i r u i t h es t r u c t u r e o f t h ec l a s s o fi n f i n i t e l y d i v i s i b l ep o s i t i v e p f u n c t i o n s j c h i nja p p lp r o b s t a r 1 9 9 2 8 1 7 0 7 4 1 2 y a m a d a 六r e g e n e r a t i v ep h e n o m e n a i ns o m es t o c h a s t i cp r o c e s s e s j k o d a im a t hs e m r e p 1 9 6 8 2 0 7 6 9 3 1 3 陈在夫 何远江 1 e i 再生现象 p a 对与m a r k o v 转移概率 j 应用概率统计 1 9 9 4 1 1 5 2 0 1 4 k e n d a l ld g 随机分析引论 m 墨文川译 计算机与应用数学 1 9 7 8 1 5 梁之舜 黄之瑞 随机分析的若干问题 j 中山大学学报论丛 1 9 8 4 3 8 3 9 4 1 6 何其美 关于p 函数 c l 马尔可夫过程论文集 湖南 长沙铁道学院数学研究所 1 9 8 4 1 4 9 1 5 3 1 7 1 黄之瑞p 一函数的点乘和点幂运算 j 应用概率统计 1 9 8 6 2 3 2 1 1 2 1 4 1 8 陈在夫 正无穷可分延迟更新序列元的分解及其 类的构成 j 海南师范学院学 报 1 9 8 8 1 7 1 0 海南师范大学硕士学位论文 1 9 陈在夫 非周期延迟更新序列的半群结构 j 海南师范学院学报 1 9 9 4 2 1 3 1 9 f 2 0 陈传钟 正延迟更新序列半群的 o