运动方程的线性化.doc

2-3 运动方程的线性化从上述例子中可以看到，在列写具体元、部件或系统的数学模型时，总是根据系统的具体情况，忽略某些“次要”的因素，或作某种假定，尽量使问题“简单化”，从而获得阶次较低地常系数线性微分方程。这个简化过程有时也称为“理想化”。因为其结果就是以一个比较简单且便于处理的“理想化系统”来近似地代表一个实际系统。在“理想化”过程中，“线性化”是相当关键的一环。实际系统往往是比较复杂的，一般都具有程度不同的非线性因素。因此，严格地说，任何一个物理系统都是非线性系统。例如在弹簧质量阻尼器三者组成的简单的机械振动系统例2-1中，弹簧系数不是一个常数而是位移的函数，也就是说，弹簧的刚度与形变有关系。阻尼系数亦不是纯线性的，总有非线性因素存在。在RLC网络中，电阻、电感和电容等参量也不是常数，其数值与周围环境（如温度、湿度等）以及流过它们的电流等都有关系。电动机的情况就更要复杂一些，可变的参数就更多了。但是，在一定条件下，“理想化”并不会改变原来系统的“基本面貌”。例如，在上述机械振动系统中，如果位移“不太大”时，那么弹簧系数就“基本上”是一个常数而与无关，即力与变形的关系符合虎克定律。阻尼器的粘阻系数也“基本上”是线性的，它与速度的一次方成比例。只要满足这些条件，理想化是允许的，在工程实践中也早就证明了这一点。因此，例21所示系统，经过理想化（这里主要是线性化）以后，可由一个二阶常系数线性微分方程来描述，这个方程的解与实际系统的运动是相当符合的，或者说，“理想化系统”相当准确地“代表”了实际系统。通过大量的实践，人们注意到，自动控制系统在通常情况下都有一个正常的工作状态（稳态）。例如电压调节系统的正常工作状态是输入、输出电压为常值，随动系统的正常工作状态是静止平衡状态等。其次，我们所感兴趣的问题往往是系统在正常工作状态附近的“行为”。即当系统的输入或输出相对于正常工作状态发生偏差时，即所谓“小偏差”。这是很有意义的两个问题。这就告诉我们，在今后分析系统运动的，可以把正常工作状态作为运动的起始点（参考坐标的原点）。仅仅研究所感兴趣的“小偏差”的运动情况，也就是研究相对于正常工作状态而言的输入、输出的变化（增量），而这种变化又是很小的。这种处理方法就称为“增量化”。显然，增量化给线性化创造了条件或提供了理论依据。因此，在这样一个小范围内，就有可能将非线性特性相当准确地用直线来代替，这就是所谓小偏差线性化。下面举例说明。【例26】铁心线圈如图26所示。试列写出以为输入，电流为输出的线圈微分方程。解根据克希荷夫定律 （2-20）式中为线圈的感应电势，它正比于线圈中磁通变化率，即 （2-21）式中为比例常数，为方便起见，假定在所采用量纲系统中，的数值为1。铁心线圈的磁通与流经线圈中的电流是非线性函数，如图27所示。因此，将式（2-21）代入式（2-20）得 （2-22）显然是一个非线性微分方程，因为方程（2-22）中不是一个常数，它随着线圈中电流的变化而改变。如果在工作过程中，线圈的电压、电流只在平衡工作点附近作微小变化，设相对于的增量为；相对于的增量为，这时相应地，线圈中的磁通相对于的增量为。如在的邻域内连续可导，则在平衡点邻域内，磁通可表示成台劳级数，式中。当“足够小”时，略去高阶项，取其一次近似，有其中为平衡点处的导数值，或切线斜率（图2-7），令它为，则有即上式表明，经线性化处理后，线圈中电流增量与磁通增量之间已经成为线性关系了。将方程（2-22）中、和均表示在平衡点附近的增量方程，即将上述三式代入方程（2-22）,消去中间变量并整理（2-23）式（2-23）就是铁心线圈的线性化增量的微分方程。在实际使用中，为简便起见，常常略去增量符号而写成 （2-23a）但必须明确，和均为相对于平衡工作点的增量（小变化量），而不是本身的真正价值。如果系统中非线性元件不只是一个，则必须依据实际系统中各元件所对应的平衡工作点建立线性化增量方程，才能反映系统在同一个平衡工作状态下的小偏差运动特性，这是应当注意的。以平衡点（或正常工作点）处的切线代替曲线，而得到变量对平衡点的增量方程，称为线性化增量方程。这种线性化的方法称为小偏差法。对照铁心线圈微分方程（2-22）和线性化之后的方程（2-23）可见，求线性增量方程的方法可以简化。只要将非线性方程中的非线性项代之以线性增量形式，而其它线性项的变量直接写成增量形式即可。由上所式，可小结如下：（1）元、部件运动方程的列写过程：确定元、部件的输入、输出；分析物理过程；确定运动规律；忽略次要因素；考虑前后影响，列写微分方程。微分方程增量化，对线性和非线性因素则应分别对待。最后写出增量化线性微分方程。（2）自动控制系统运动方程的列写过程：分析系统的工作原理，组成元、部件及其相互联系；找出系统的输入与输出；画出系统的方框图，依次列写每个元部件的增量方程；消去中间变量，求得输入与输出的运动方程。（3）可实现的常系数