（通信与信息系统专业论文）高效窄带fir滤波器的设计与研究.pdf

哈尔滨工程火学硕十学位论文 摘要 随着软件无线电技术的发展，使信号的采样频率越来越高，而在高采样 率的条件下，采用常规的方法进行窄带f i r 滤波器的设计是不可能的。本文 另辟它径，采用多抽样率结构来设计窄带f i r 滤波器，使窄带f i r 滤波器的 设计由不可能变为可能。 本文首先简单介绍了窄带f i r 滤波器的基本结构，然后对窄带f i r 滤波 器的各组成部分进行了详细分析，内容包括：积分梳状滤波器( c i c ) 的特性和 设计，半带滤波器( h b f ) 和整形滤波器的特性和设计，重采样技术的原理与实 现。在此基础上给出窄带f i r 滤波器的详细结构，分析了窄带f i r 滤波器的 多级实现原理，并且对窄带f i r 滤波器的的基本特性进行了分析，这些特性 包括：频率特性、抗混叠特性、去镜象特性。文章最后设计了一个实例，并 对其性能进行了分析和测试。 本文最后阐述了采用多抽样率结构来设计窄带f i r 滤波器的优点，即能 够有效地从通带宽度、通带波纹、矩形系数、阻带衰减等方面对窄带f i r 滤 波器的性能进行控制。实验测试和工程应用都表明，采用本文所述的方法设 计窄带f i r 滤波器，其性能和指标要求是非常吻合的。 关键词：软件无线电 内插抽取重采样积分梳状滤波器半带滤波器 哈尔滨工程大学硕士学位论文 a b s t r a c t w jt ht h e r a p i dd e v e l o p m e n t o fs o f t w a r er a d i o t e c h n i q u e s ，t h e s a m p l i n gr a t ei sb e c o m i n gh i g h o nt h ec o n d i t i o no fh i g hs a m p l i n gr a t e ， t h e d e s i g n o fn a r r o wb a n df i rd i g i t a lf i l t e r sb yu s u a lw a y si s i m p o s s i b l e b a s e do nm u l t i r a t ed i g i t a ls i g n a lp r o c e s s i n g ，t h i sp a p e r d e v e l o p m e n tan e wm e t h o dt od e s i g nt h en a r r o wb a n df i rd i g i t a lf i l t e r 。 w h l c hm a k e st h ed e s i g no fn a r r o wb a n df i rd i g i t a lf i l t e r sp o s s i b l e f ir s t l y ，t h i sp a p e ri n t r o d u c e st h eb a s i cs t r u c t u r eo fn a r r o wb a n d f i rd i g i t a lf i i t e r s s e c o n d l y ，i ta n a l y s e st h ec o m p o n e n t so fn a r r o w b a n df i r d i g i t a lf i l t e r s ，w h i c hc o n c l u d ec i cf i l t e r ，h b ff i l t e r ， r e s a m p l i n gt e c h n i q u e s b a s e do nt h e s ea n a l y s e s ，t h ep a p e rg i y e st h e f u l is t r u c t u r eo fn a r r o wb a n df i rd i g i t a lf i l t e r sa n d a n a l y s e si t s c h a r a c t e r i s t i c s ，w h i c ha r ef r e q u e n c i e sr e s p o n s e ，a n t ia l i a s i n ga n d a n t j 一 m a g e ，l a s t l y ，t h e p a p e rd e s i g n s a n e x a m p l e a n dt e s t si t s a m p l ir u d ef r e q u e n c yr e s p o n s e a t l a s t ，t h i sp a p e rp o i n t so u tt h a tt h i sm e t h o dc a ne f f i c i e n t l y c o n t r o lt h ep e r f o r m a n c eo fn a r r o wb a n df i rd i g i t a lf i i t e r s b o t ht e s t a n d a p p l i c a t i o n i n d i c a t et h a t p r a c t i c a lp e r f o r m a n c ea n di d e a l n e r f o r m a n c ea r ea l m o s ti d e n t i e a l k e yw o r d s ：s o f t w a r er a d i o ，d e c i m a t i o n ，i n t e r p o l a t i o n ，r e s a m p l i n g c i cf i l t e r ，h b ff i l t e r 哈尔滨工程大学硕士学位论文 第一章绪论 11课题来源及研究内容 本课题来源于卫星测控系统的数字化改造项目，其目标是构造一个基于 软件无线电的测控系统，将a d 和d a 尽可能靠近天线，使大部分工作( 如 调制、解调等) 在数字域完成。由于这一系统的采样频率非常高，从而使窄 带f i r 滤波器的设计变得极为复杂、甚至不可能。例如设计一个满足下列指 标的窄带f i r 滤波器：中频4 0 m 采样，通带4 0 0 h z ，矩形系数1 5 ，通带波 纹l d b ，阻带衰减6 0 d b 。采用等波纹法进行设计，在c p u 为p e n t i u m 4 、 主频为1 8 g h z 、内存为6 4 0 m b 的p c 机上运行m a t l a b 程序，由于内存不足 而死机，将采样频率降为1 | 2 m ，其它参数不变，得到的滤波器的阶数为1 1 8 4 2 ， 如此高的阶数不但硬件资源难以满足，丽且使电路无法完成信号的实时处理， 显然这样的滤波器在工程应用中是没有实用价值的。如何在高采样率的条件 下，设计出既性能优越又占用资源少的窄带f i r 滤波器，便成了一个急需解 决的课题。有幸成为卫星测控系统数字化改造项目小组的一员，使我有机会 研究这一课题。 1 2 国内外动态及研究意义 窄带f i r 滤波器设计的基本原理是多抽样率信号处理，这也是软件无线 电的基本原理。这一理论从上世纪八十年代初提出，到九十年代初基本成熟， 但由于受到硬件水平的制约，工程实践上直到九十年代中、后期才获得大量 应用。基于此原理设计的窄带f i r 滤波器由于占用资源多，剐一诞生就被限 制在专用芯片这个领域里，大大阻碍了它的的运用。随着f p g a 器件的规模 和运算速度的不断提高，使得在f p g a 中设计窄带f i r 滤波器成为可能。在 f p g a 中设计窄带f i r 滤波器在国内尚无先例，这一课题的研究必将填补这 一空白，并对推动软件无线电技术在我国的发展也具有重要意义。 1 3 课题的理论基础与设计方案 窄带f i r 滤波器设计的理论基础是多抽样率信号处理，这一理论主要包 含以下内容：抽取、内插、等效变换和抽样率转换的多级实现。抽取是指使 抽样率( 即采样率) 降低的抽样率转换；内插是指使抽样率升高的抽样率转 换；等效变换能够将乘法运算移到低抽样率的部分，从而提高计算的效率； 当抽样率转换的转换因子( 抽取因子d 或内插因子i ) 过大时，直接把抽样 率转换工作次完成，从计算工作量或存储量来说，往往不如经过两次或两 次以上转换来得经济，这两次或两次以上的转换就称为抽样率转换的多级实 现。 窄带f i r 滤波器设计的基本原理是，先利用抽取器将抽样率降低，在低 旦玺鎏三垄盔兰翌圭主垡笙兰 抽样率条件下，按性能要求设计f i r 滤波器，通常称这个滤波器为整形滤波 器，它决定了整个窄带 一一一 一 黑霉警凳墼鐾慧蒜篓鼻一i 苎竺兰h 盔盗h 墅堂卜l 翌皇竺卜 再通过内插器将抽样率升l l 唑坐幽l _ j 。 高到一个合理的数值，其图i 3 1 窄带f i r 滤波器的基本结构 基本结构如图1 3 1 所示。 由于软件无线电系统的采样率非常高，而整形滤波器所需要的抽样率又 非常低，所以总的抽取因子非常大，这就要求采用多级抽取器来实现抽取。 本课题中抽取器的多级实现将基于积分梳状滤波器( c i c ) 和半带滤波器( h b f ) 来实施，因为c i c 无须做乘法，半带滤波器h b f 有近一半系数为0 ，这样可 提高计算效率。图1 3 2 给出了两级抽取的电路结构，在h b f 之后只能进行 2 倍抽取，这是由h b f 的特点决定的，需要注意的是，抽取后的抽样率要求 不造反采样定理。 一 重采样电路主要是用于满足- 叫c i c h + d c 卜+ h b f 卜+ i + 2 卜+ 要警皂竖翌垫孽蚩塑蹙登萎戋：烹图1 丑2 抽取器的两级实现 可进行抽样率的分数倍转换，这部 “ 分电路可根据具体情况来确定需要与否，通常重采样滤波器由多相滤波器来 实现。 内插器一般也需要多级实现，它和抽取器非常相似，通常也是基于h b f 来设计的。 1 4 论文的结构体系 第一章简要分析窄带f i r 滤波器的基本结构，使读者对窄带f i r 滤波器 的设计有一个初步了解。 第二章阐述多率信号处理的基本理论知识，具体内容包括内插、抽取、 等效变换以及抽样率转换的多级实现，这些是窄带f i r 滤波器设计的理论基 础。 第三章分析了积分梳状滤波器( c i c ) 的特点，并详细阐述了c i c 滤波 器的结构及f p g a 实现。 第四章分析了半带滤波器( h b f ) 和整形滤波器的特点，阐述了数字滤 波器的基本结构，并论述了这两种数字滤波器的设计方法。 第五章论述了重采样技术的基本原理和实现方法。 第六章分析了一个完整的窄带f i r 滤波器的设计，给出了其基本结构， 并论述了设计过程中应注意的问题。 第七章给出了一个设计实例， 又通过实验测量了它的幅频特性， 既通过m a t l a b 仿真了它的理论幅频特性 并对这两者进行了比较。 哈尔滨工程大学硕士学位论文 第二章多抽样率信号处理 多抽样率信号处理是窄带f i r 滤波器设计的理论基础，本章从整数倍抽 取、整数倍内插、分数倍抽样率转换、网络结构的等效变换和抽样率转换的 多级实现等几个方面进行论述。 2 1 整数倍抽取 整数倍抽取就是把原始序列x ( n 1 ) 每隔( d 一1 ) 个数据取个，形成一个 新序歹uy ( n 2 ) ，即： y ( n 2 ) = x ( n 2 d 1 ( 2 1 1 ) 式中正整数d 为抽取因子，再利用恒等关系式： 石1 薹cj - 一面- - = 曩慧笔茹i 可得到y ( n 2 ) 与x ( n i ) 的关系： 炯：一魄) 苷学( 黼：= 去) ( 2 1 2 ) ( 2 1 3 ) 下面分析抽取前后的频谱关系，在分析之前先明确几个物理量，出称为 数字频率，q 称为模拟角频率，它们之间的关系为= q t = q f , f 为采样频 率，正因为这个关系，所以有的书上把q 称为真实角频率，把m 称为归一化 角频率。若t ，表示抽取前的采样周期，则抽取后的采样周期为t 2 = d t j ，进 而国2 = qt 2 = q d t l = d o ) l 。有了以上的几个物理量后，我们可以开始进行抽 取前后的频谱关系的分析。 y ( e ”) = y ( n ：) p 一= y ( n ：) p 一胁i 2 t q 2 4 删 = y ( h 2 ) 8 。彻“k y ( n 2 ) p 1 帆 月一月一目 代入( 2 i3 ) 式，考虑到n 2 d ：竹i 时，y ( n 2 ) = 0 ，则有 re - o ：) ：主j 。( 去篁。，争卜一 r ) ，善吉0 ”p 1m i t 7 b j ：土宇f 争，仉) p 一，c m 一警h 1 2 吉荟卜譬。j ) p 一“4 百”、 堕玺鎏三耋查兰翌主主生笙苎 l i _ _ - _ _ _ _ - i _ l _ _ _ l _ _ - _ - 一 = 去薹冲恫， ， 有了抽取前后的频谱关系我们可以画出抽取前后的频谱图，令d = 3 ，若 抽取前的频潜图如图2 1 1 a 所示，则抽取后的频谱图如图2 1 1 b 所示。 b 抽取后的频谱 幽2 1 1 抽取前后的频谱( q = 3 q ，2 ) 在图2 1 1 中是以真实角频率q 为横坐标来画的频谱图，这样可以清楚 地看到抽取前、抽取后的采样频率关系q 。l - d q 。2 ，同时也可以清楚地看到 离散信号的频谱是以采样频率为周期的。若以归一化角频率( 数字频率) 为 横坐标来画频谱图，则可得到图2 1 2 ，其中2 ，l ，2 a 图是抽取前的频谱图，2 ，1 2 b 图是抽取后的频谱图，比较抽取前、后的频谱可以发现，抽取后的频谱被展 宽了d 倍。 在图21 1 中，抽取前的信号频带宽度比较窄，所以抽取后没有发生混叠。 下面分析当抽取前的信号频带宽度比较宽时，抽取后的频谱会有何特点，根 据式( 2 1 4 ) 重画抽取前、后的频谱如图2 1 3 所示。 b 抽取后的频谱 图2 1 2 抽取前后的频谱 哈尔滨工程大学硕l 学位论文 - _ - - _ l i - _ _ _ _ _ 。一 b 抽取居的频潞 图2 1 3 抽取前后的频谱( q ，i = 3 q ，2 ) 凝萎裟馨燃嚣黼晶屯昏卧 以防止发生混叠。基于这点分析便可画出抽取器的吖7 茹游r + l + dr 一 藿碧絮景圣燃闱2 _ 1 。5 础了澉前漕波图i 忑取磊构 后及抽取后的波形。 。“”“” a 滤波前的频册 b 滤波后的频谱 c 抽取后的频讲 图2 1 5 滤波前、滤波后、抽取后的频谱 5 o n 。j 滨 科火学硕十。荆市沧文 2 2整数倍内插 整数倍内插就是在原始序列x ( n 1 ) 的相邻抽样点之间插入( i 一1 ) 个抽样 值，从而形成一个新序列y ( n 2 ) 。由于这( i 一1 ) 个抽样值的准确大小事先并 不知道，所以一般的做法是先进行0 值内插，再经过滤波以获得这( i 一1 ) 个准确值，下面分析为什么这样做能得到正确结果。 用v ( n 2 ) 表示o 值内插后的序列，则可得到0 值内插前后的序列关系为： f x r n ，1 ，门= 0 ，2 ，+ n ， v ( n 2 ) 2 一0 ：h ，0 圳，2 i ，觇 ( 2 。2 1 ) 一 l ， 门，玎， 。7 进而可算得0 值内插前后的频谱关系为： v ( e 7 唑) = v ( 玎2 ) g 一啦沁= x ( 肝2 1 ) e 一。功。= 工( n 2 1 ) e 一脾。 j 7 】一h 2 一 n 2 。一 = x ( n 1 ) 8 1 = x ( e 。)( 2 2 2 ) i t i 。一 在上述的推导过程中利用了以下关系：t 2 = t i i ，甜2 = f 2 t 2 = q t l i = 0 3 l i 。 显然0 值内插前后的频谱是相同的，只不过内插前是以q 。l _ 2 万t i 为周期， 内插后是以q ；2 = 2 r r i 2 为周期，内插前后的频谱如图2 2 1 中a 、b 所示( 内 插因子i = 3 ) 。 a 0 值内捅前的频带 b 0 值内捅后的频潜 c 以q n 对( t ) 进行采样后的频融 图2 2 i o 值内插前后的频谱及以q 。2 对x ( t ) 进行采样后的频谱 哈尔滨l 程大。 硕十学位论文 实际上，0 值内插前的频谱就是直接以q 。l 对连续信号x ( t ) 进行采样后的 频谱，为便于比较，同时在图2 2 1 c 中画出了直接以q 。2 对x ( t ) 进行采样后的 频谱。对图2 , 2 1 b 、c 进行比较可以发现，0 值内插后的频谱比直接以q 。2 对 x ( t ) 进行采样后的频谱多出了( i 1 ) 个镜象，之所以称为镜象是因为这部分 多出来的频谱好像是原有的频谱在平面镜中 所成的象。因而要获得图2 2 1 c 中所示的频 谱，只需引入去镜象滤波器( 低通滤波器) 将 圈22 1 b 中多出的( i 一1 ) 个镜象滤除即可， 因而可得内插器的结构如图2 2 2 所示。 廿瞥 图2 2 2内插器的结构 在图2 2 1 中是以真实角频率q 为横坐标来画的频谱图，若以归一化角 频率( 数字频率) 为横坐标来画频谱图，则可得到图2 2 1 3 ，其中2 2 3 a 图 是内插前的频谱图，2 2 3 b 图是去镜象滤波后的频谱图，比较这两幅频谱图 可以发现，内插后的频谱被压缩了i 倍。 b 去镜象滤波后的频晰 幽223 内插前、去镜象滤波后的频谱 2 3 分数倍抽样率转换 分数倍抽样率转换是通过先内插后抽取来实现的，其基本结构如图2 3 1 所示。由于去镜象滤波和抗混叠滤波都是低通滤波而且是级联，n 以n n - - 个等效的低通滤波器来代替，其频率响应等于去镜象滤器和抗混叠滤波器频 率响应的乘积，这样便得到了分数倍抽样率转换的实现电路，如图2 3 2 所示。 一口匦卜圈一口 图2 3 】 分数倍抽样率转换的原理电路 哈尔滨j 。群人学硕十学位论文 一口医h 乎 图2 32 分数倍抽样率转换的实现电路 2 4 网络结构的等效变换 2 41 网络结构的恒等变换 网络结构的恒等变换在窄带f i r 滤波器的设计中有着非常重要的应用 这里不加证明地给出结论，读者若有兴趣可参阅参考文献 1 第3 2 节。 1 ) 抽取与乘常数可以换位 缸。生回型”乍一缸业回逆f 2 图2 4 1 抽取与乘常数的换位 2 ) 内插与乘常数可以换位 越虬日当j ”冷缸型砸卜j 掣2 图2 4 2 内插与乘常数的换位 3 ) 先调制后抽取，与先分别抽取后调制是等效的 。唑卜母翌”一缸唑吁华 1 w ( n i t l ) 冈 图2 4 3凋制与抽取的换位 “( n i t d l 4 ) 先分别0 值内插后调制，与先调制后0 值内插是等效的 缸旦回q 掣e x ( 一n l t i b 掣：， 回 t 。，： w ( n i t i ” 图2 44 调制与内插的换位 哈尔滨二 ：程大学硕十学位论文 5 ) 两个信号先分别抽取后相加与先相加后抽取是等效的 “唑 曰墼 尊 图2 4 5 相加与抽取的换位 6 ) 两个信号先分别0 值内插后相加与先相加后0 值内插是等效的 “唑蚌一。鼍舻 囱 。( n i t 一 7 ) d 倍抽取与h ( z ) 级联的等效变换 型圈吨弘车一x 一( n l t i ) 匝 畔 图2 4 7 转移函数与抽取级联的等效变换 8 ) h ( z ) 与i 倍0 值内插级联的等效变换 图2 4 - 8 转移函数与。值内插级联的等效变换 2 4 2 滤波器的多相表示 ，孝相表需零搏乎挈字滤波器的转移函数上，纠分解成若干个不同相位的 组。设f i r 滤波器的转移函数为： 日( z ) = h ( n ) z ( 2 41 ) 孽安n 垄滤婆鬟塑堡度：。如果将冲激响应h ( n ) 按下列的排列分成d 个组， 并设n 为d 的整数倍，即n d = q ，q 为整数，则： 。1 t t ( z 1 = h ( o ) z ” 9 + 。+ 矗 ( 9 一1 ) d z 一( o 一1 ) ” 哈尔滨 j 程大学硕+ 学位论文 + 向( 1 ) z 一1+ h ( d + 1 ) z 一”+ + + 向 ( q 一1 ) d + 1 z 一g 一1 1 令 + h ( 2 ) z 一2+ h ( d + 2 ) z 一。+ 2 1 + t + ( 9 1 ) d + 2 z 一g 一1 0 一2 + h ( d 一1 ) z 一。一1 + h ( 2 d 1 ) z 一2 。一1 + + 五 ( g 一1 ) d + d 一1 z 一q 一1 7 一7 一 0 一10 1 h ( n d + o ) ( ：。) ”+ z 。h ( n d + 1 ) ( z ”) + = f )n = 0 臼一1 + z - ( d - o h ( n d + d 一1 ) ( z 。) ” n = o 则有 ( 2 4 2 ) 0 一i e k ( z ”) = h ( n d + k ) ( z ”) ” t = 0 , 1 ，d 一1( 2 4 3 ) h ( z ) z “e k ( z ”) ( 2 4 4 ) 西亿勺称为月倒的多相分量，式( 2 4 4 ) 称为片倒多相表示的第一种型式，其 对应的网络结构如图2 4 9 所示。 则有 z l l 副 幽2 4 9 多相表示的第一种型式 在式( 2 4 2 ) 中若令 r d - i - k ( z 。) = h ( n d + k ) ( z 。) ”k = 0 , 1 ，d 一1( 2 4 5 ) 日( ：) = z 廿| 。r k ( z 。)f 2 4 6 1 堕玺鎏三垄查兰翌土：竺笙苎 一 式( 24 6 ) 称为月纠多相表示的第二种型式，其对应的网络结构如图2 4 l u 所示，为便于同后续表示相一致，图中将因子d 改为了i 。 一匝丑+ 一 商 l + 瓯歹胆 图2 4 1 0 多相表示的第二种型式 2 4 3 内插器的多相表示 内插器的基本结构如图2 2 2 所示，现用h ( z 2 ) 代替去镜象滤波，得到i 倍内插器的结构如图2 , 4 1 1 所示，进而利用滤波器多相表示的第二种型式置 换功到得到i 倍内插器的多相结构如图2 4 1 2 所示，然后利用2 4 1 节中的 6 ) 、8 ) 两种等效变换便可得到i 倍内插器多相型式的高效结构如图2 4 1 3 所 示。 。竺生匝卜匾掣 图2 4 1 11 倍内插器的结构 盈卜吐竺黝 图2 4 1 2i 倍内插器的多相结构 、圈商 1 b 堕h ! ! h 卜匦吲 嘘吨d 丝。删 图24 1 31 倍内插器多相型式的高效结构 堕玺鎏三蛋查兰鎏主主堡兰圣一 2 41 3 如果将图 中右侧衄及吕的延迟链去掉，而代以一个挟f 司升罨 s ，并使s 沿顺时针方向旋转，每隔一个乃接通下一条相邻的支路，则粤得 到与雨及延迟链相同的结果，如图2 4 1 4 所示，这种结构型式称为多相结构 图2 4 1 41 倍内插器的换向式多相结构 2 4 4 抽取器的多相表示 利用滤波器多相表示的第一种型式经过同样的分析可得到d 倍抽取器的 换向式多相结构如图2 4 1 5 所示。 图2 4 1 5d 倍抽取器的换向式多相结构 2 5 抽样率转换的多级实现 2 5 1多级实现的含义 抽样率转换就是指抽取或内插，无论是抽取还是内插都涉及到滤波，抽 取前要进行抗混叠滤波，内插后要进行去镜象滤波。当抽样率转换因子较大 时，若一次完成抽样率转换工作，将导致抗混叠滤波器或去镜象滤波器的阶 数非常高，从而使计算量和存储量非常大，不如进行多级抽样率转换来得经 济。 j - 面以拙取器为例来分析多级实现的基本原理。图2 5 1 画出了抽取器 的单缴实现框图，图2 5 2 画出了抽取器的多级实现框图，通过比较这两幅 图读者便可明白抽样率转换的多级实现原理。图2 5 2 中所有抽取因子的乘 积为整个系统的总抽取因子n 也就是图2 5 i 中的抽取因子口即 。兰王至立至立丘三三兰翌：兰坐土生三一一 一l - _ - _ _ l _ _ l _ _ l _ - _ _ _ i l l - 一 d ：卉d ， ( 2 5 1 ) 卢1 蛰25 1 抽取器的单级实现框图 嫂匦m 辞牺回攀，坠琏囫回婴 图2 5 2 抽取器的k 级实现框图 2 52 多级实现的途径 用多级实现构成高倍数的抽取( 或内插) 系统一般有两条途径。第一条 途径是寻求最优化的方法，以每秒钟的乘法次数为准则( 或以存储量为准则) 找出最佳的各级抽取( 或内插) 因子，然后设计各级滤波器。第二种途径是 使用抽取( 或内插) 因子为2 的抽取( 或内插) 器。 抽取( 或内插) 因子为2 的抽取( 或内插) 器可利用半带滤波器( h b f ) 来滤波，这种滤波器的冲激响应中有近一半的值为0 ，所以完成滤波所需要 的乘法次数很少。正是由于这个优点，抽样率转换的多级实现通常采用第二 条途径，本文在设计窄带f i r 滤波器时也是采用第二条途径。 本章小结 本章简要论述了多抽样率信号处理中的内插、抽取、等效变换、多相结 构以及多级实现等内容，这些内容既是软件无线电的理论基础，又是窄带f i r 滤波器设计的理论基础。 哈尔滨工程_ 人学硕十学位论文 第三章积分梳状滤波器 从2 5 2 肯我们知道，抽样率转换的多级实现通常采用第二种途径，即 利用抽取( 或内插) 因子为2 的抽墩( 或内插) 器来实现。而抽样率转换系 统的总抽取( 或内插) 因子并不总能表示成2 的幂次方，但总能表示成某个 整数与2 的幂次方的乘积，所以在多级实现的抽样率转换系统中，会出现抽 取( 或内插) 因子为某个整数的抽取( 或内插) 器。在这一类抽取( 或内插) 器中，通常是由积分梳状滤波器( c i c ) 来完成抗混叠( 或去镜象) 滤波的。 3 1 积分梳状滤波器的实现 3 1 1 积分梳状滤波器的时域实现 积分梳状滤波器的冲激响应可表示为： 坳) = 托眶髫 ( 3 1 1 ) 式中月为f i r 滤波器的长度( 或阶数) 。 由于积分梳状滤波器是线性时不变系统，故可通过卷积和来求输出信号 v ( ，7 ) 。设输入信号为肖( 功，则有 r ( 脚= 工( 脚十方( 而 。x ( n m ) h ( m ) 2 x ( n 一)( 3 1 2 ) 从式( 3 1 2 ) 可以看出，积分梳状滤波器的滤波计算只有加法，没有乘法，只 需将相邻的r 个数据相加即可得到输出数据，e 是由于这个特点使积分梳状 滤波器不仅节省硬件资源，而且大大减少了运算时间。 由式( 3 1 2 ) 很容易让人产生错觉，觉得积分梳状滤波器很容易设计，只 需搴个累加器，依次将月个数据累加即可。其实不然，我们先来看看相邻的 两个输出数据r ( 门) 和，v ( n + 1 ) 之间的关系 一1 v ( n + 1 ) 2z x ( n + l m 1 2z x ( n m ) + ( 力+ ) 一x ( n r + ) - - y ( n ) + 鼻( 门十j ) 一x ( n r + j )( 3 1 3 ) 鉴式1 3 二- ，! ! 曩以看出，r ( 门+ d 相对于r ( 功有一个吐故纳新的过程，即要增 翟| 二尘墨塑塑华x 一( n + ，) ，减去一个最早的值x ( 门一只+ d ，这一过程必j ；辱蠢 累加器的控制电路趋于复杂，而且占用的硬件资源也会增加。运是，善j ；霸 哈尔滨i 程大学硕士学位论文 分梳状滤波器用于抽取器，这种错觉将变为事实。 假设积分梳状滤波器的阶数等于抽取倍数n 则抽取后相邻两个数据为 j ，( 月埘和r ( 曲，它们与输入数据之间的关系为 y ( 门十劫= 亨x m + d 一聊) = z ( 月- 仞+ j ( 门缈一d 十一+ j ( 力十d ( 3 1 4 ) f 7 仁o 一1 r ( 而= x ( n 一，押) = j ( 力) + ( 门一7 ) + + 肖【仃- d + ) ( 3 ，1 5 ) 月f = 0 从式( 3 i 4 ) 和( 3 1 5 ) 可以得到结论：若积分梳状滤波器用于抗混叠滤波， 当它的阶数等于抽取器的抽取倍数刀时，仅用一个累加器便可实现每来刀 个数据作为一组相加，便可得到 一个输出数据。 根据上面的分析可以画出积 分梳状滤波器用于抽取器的实现 方框图如图3 1 1 ，图中累加器的 工作频率为输入信号的采样频 率，选择器的s e l 端和选通开关s 的工作频率为输出信号的采样频 率，其脉宽为时钟周期。 图3 1 1 抽取器中c i c 的实现框图 3 1 2 积分梳状滤波器的z 域实现 对积分梳状滤波器( c i c ) 的冲激响应进行z 变换，即对式( 3 1 1 ) 进行 z 变换，可得积分梳状滤波器的传递函数刷功： r l t t ( z ) = z h ( n ) z l kz z l p o月= 0 1 一z 5 f ( 3 1 6 ) =(1-z-r)1一一、1 2 h l ( z ) - 日2 ( z )( 3 1 7 ) 式中： 州加古 ( 3 1 8 ) 日2 0 ) = 1 2 “( 3 1 9 ) 由上面的分析可知，积分梳状滤波器是由积分器届( 功和梳状滤波器见( 功 级联而成，这也正是将它称为积分梳状滤波器的原因。根据式( 3 1 6 ) 可画出 积分梳状滤波器的z 域实现方框图如图3 1 2 所示。 哈尔滨工程大学硕士学位论文 l ，凸il 凸l ， i 鱼望；i 一型! 图3 1 2c i c 的z 域实现原理图 将积分梳状滤波器用于抽取器可得图3 1 3 。当抽取器的抽取倍数等于 积分梳状滤波器的阶数时，利用2 4 1 节中的等效变换1 ) 、5 ) 、7 ) 可得抽取 器的高效结构如图3 i 4 。 塑凸叵曳囡塑l 图3 1 3c i c 用于抽取器 幽3 ，1 4c i c 州于抽取器的高效结构 对于单级积分梳状滤波器来说，图3 1 ：4 所示的高效结构未必有实域直 接实现的方式高效，但在下面两种情况下，图3 1 4 的高效性便显得非常突 出了： 1 ) 积分梳状滤波器的多级实现。 2 ) 积分梳状滤波器的阶数不等于抽取器的抽取倍数。 关于第一种情况将在3 3 节进行论述，下面来分析第二种情况。在式 ( 3 i 6 ) 中，令r = d m 则积分梳状滤波器的传递函数为 1 日( z ) = 亡( 1 一z 一) ( 3 1 1 0 ) 将其用于抽取倍数为口的抽取器，经过等效变换后得其高效结构如图3 1 5 所示。 协胁 吐长一匝卜e 岳墼 酬3i 5 抽取器中c i c 的另一种高效结构 从图3 1 5 可以看出，m 是差分器( 即梳状滤波器) 中的延时因子，故 称m 为差分延时因子。当m = l 时对应于抽取倍数等于积分梳状滤波器阶数 的情况，换言之，这种情况可看作是式( 3 1 1 0 ) 在m = 1 时的特例，而式 ( 3 1 1 0 ) 可看作是积分梳状滤波器传递函数的一般描述，因此，下节从式 ( 3 1 10 ) 出发来分析积分梳状滤波器的幅频特性。 1 6 哈尔滨工程大学硕士学位论文 _ _ _ l - l _ _ _ - i _ _ _ _ _ l l _ - _ - _ - _ _ _ 一 3 2积分梳状滤波器的幅频特性 要获得积分梳状滤波器的幅频特性只要把z 叩代入式( 3 1 1 0 ) 便可得， 但为了方便后面的分析，本文先把z = e - 表示成 的形式，然后将式( 3 2 1 ) 代入式( 3 1 1 0 ) 以求得积分梳状滤波器的幅频特 性。 首先我们来推导式( 3 2 1 ) ，用口表示拙取因子，矗表示抽取前的采样率， 厉表示抽取后的采样率，若c i c 滤波器用于抽取器，则有 ( i ) = 2 玎月= 2 刀p ( 丑r ) = 2 万，d( 3 2 2 ) 式中厂= 局称为相对于岛的归一化频率，将式( 3 2 2 ) 代入z - - e ：“便得到了式 ( 3 2 i ) 。 将式( 3 2 1 ) 代入式( 3 1 1 0 ) 可得 h ( 厂) = 日( c y 2 t r - f l d ) = t 1 - - e 7 - i d m 丽( 2 ；r 矿f d ) ：p j z ，( d m 1 ) s i n ( x m f ) s i n ( d ) 由此式进而可得积分梳状滤波器的幅频响应为 m l = l 端l 进而可画出其幅频响应曲线如图3 2 1 所示。 ( 3 2 3 ) ( 3 2 4 ) 图3 2 1 积分梳状滤波器的幅频特性 图中i _ 厂i 1 m 区间的幅频特性称为幅频特性的主瓣，1 m ，2 m 区 间的幅频特性称为第一旁瓣，依此类推有第二旁瓣、第三旁瓣等。由式( 3 2 4 ) 可知，主瓣内f = o 对应幅频特性的最大幅度 1 7 哈尔滨工程大学硕士学位论文 i m o ) l 5 刚s i n ( 矿z m f 叭) ：。 ：i d m s i n ( z m f ) 一堑! 生i l 础矿s i n ( a f d ) k = d m ( 3 2 5 ) 第一旁瓣内y = 3 ( 2 m ) 对应旁瓣内的最大幅度，当d 1 时，利用关系式 s i n ( 麦知) * 耐3 z 可算得其幅度为 日( 击) f 。- 2 d _ m( 3 。2 。6 ) 由式( 3 2 5 ) 和( 3 2 6 ) 可算出旁瓣与主瓣( 即阻带与通带) 的最小衰减为 ”z 刮需f 2 0 l o g ( 2 ) “- 1 3 4 6 地慨z ， 显然如此小的阻带衰减不能满足较高的要求，为了加大阻带衰减可以采用多 个积分梳状滤波器进行级联。若采用个积分梳状滤波器进行级联，其幅频 州刮= l 捌” 慨z s ， 当d 1 时，将关系式s i n ( 警) z 鲁代入式( 3 2 8 ) 得 删= d m s i n 嘶( z m f ) l “ 采用多个积分梳状滤波器进行级联，其级数不宜选得过大，若过大会 导萼通带内幅度衰减过大，一般不宜超过五级。当n = 5 时，可算得其阻带与 嗵带的最小衰减为 a = 2 0 l o g j 鬻卜1 0 0 1 吲刍叫，m 拈 c 。z 如此大的衰减足以满足滤波器的要求。 另外，由式( 3 2 5 ) 可知，单级积分梳状滤波器的最大幅度增益为d m ， 哈尔滨工程大学硕十学位论文 冈而级积分梳状波器的最大增益为( d m ) “。由于d m 的值很大，自然 ( d m ) “的值也很大，所以在设计多级积分梳状滤波器时要注意防止溢出而导 致的数据丢失。 3 3 多级积分梳状滤波器的实现 3 3 1 多级c l c 的基本结构 令图3 2 1 中的r = d m ，然后将 ，个这样的结构级联便可得到级积分 梳状滤波器的基本结构，如图3 ，3 1 所示。 凸凸国国舶一 2n 图3 3 1n 级c i c 的实现原理图 在相同的采样率条件下，级联的滤波器可以相互交换位置，经过若干次 变换位置后得到级c i c 的等效实现方框图如图3 3 2 所示。 i2l 2n 图3 , 3 2n 级c i c 的等效实现原理图 将图3 3 2 所示的电路用于口倍抽取器，即用图3 3 2 所示的电路代替 图2 1 4 中的抗混叠滤波器，然后利用2 4 1 节中的等效变换1 ) 、5 ) 、7 ) ， 经过若干次等效变换后得到级积分梳状滤波器用于抽取器的高效结构，如 图3 3 3 所示。 拦1 芒 。+ 吉杏上一 2+ 黾辨一 图3 3 3 n 级c i c 用于抽取器的高效实现原理图 若采用3 1 i 节所示的方式来设计图3 3 3 的电路，即在时域直接实现 图3 3 3 所示的电路，由于存在吐故纳新的问题，电路将变得复杂，而且占 用的资源也多，远不如采用图3 3 3 的方式来得高效。 3 3 2 多级0 j 0 中各级寄存器的位数分析 在图3 3 s 中，积分器中数据发生溢出是不可避免的，问题是数据溢出 尘至上三量：兰王三：i ：2 二鎏三二一 会不会影响滤波运算的正确性。当积分梳状滤波器的设计过程中满足下列两 个条件时，数据的溢出并不会影响滤波运算的f 确性。 1 )所采用的数据编码体制具有如下特点，当从高端溢出时数据返回 到低端，当从低端溢出时，数据返回到高端，其实质相当于对数据求模 ( 即除后求余) ，2 的补码具有以上特点。 2 )寄存器中所存数值的范围大于、等于整个滤波器最后输出的最大数 值范围。 这两个条件在工程实践中都非常容易满足，第一个条件只需采用2 的补 码形式表示数据即可满足，下面分析如何才能满足第二个条件。设输入数据 的位数为b 。，输出端最大输出数据的位数为巍。，由于 ，级积分梳状滤波器 的最大增益为( d m ) ”，所以日。与鼠。的关系为 6 k 。= 鼠卜c e i l ( n l o g 。( ( 刎) ) ( 3 3 1 ) 式中c e i l ( x ) 表示取不小于x 的最小整数。可见，只要各级寄存器的位数不 小于鼠。便可满足第二个条件。 萨如3 2 节中所言，级积分梳状波器的最大增益( 尉v ) “非常大，因而 导致寄存器的位数鼠、。也非常大，如果各级寄存器的位数都这么大，将占用 非常大的资源，而且，在后续数据处理过程中也不可能采用这么大的位数， 所以有必要对各级数据进行截尾或舍入，以减少寄存器的位数下面对此进 行洋细分析。 33 2 1 预备知识 本小节首先画出川级c i c 用于抽取器的电路框图( 图3 3 4 ) ，然后从电 路框图出发，推导出分析截尾与舍入所要用到的公式。图中的衰减器是一个 位数为巍。的寄存器，将输入数据放在衰减器的低屏。位，从而达到衰减的目 的。 i 姝一翱蝎； 例3 3 ：4n 级c i c 川 抽戢的电路框图 从图3 3 4 可以看到，整个滤波器由个积分器和个梳状滤波器组成， 将其编号为l 、2 、三m l 到表示积分器，+ 1 到三表示梳状滤波器， 令j t , ( z ) 表示从第个滤波器到第2 ，个滤波器级联的传递函数( 包括第j 和 第2 3 个滤波器) ，定义所( 功、儡( 功分别为单级积分器、单级梳状滤波器的 传递函数 f - f ( z ) = 专 ( 3 3 ，2 ) 一 堕奎鎏三耋奎主翌圭主笙鎏兰一 = 焉磊；舞磊；百裹再磊写z r 。i 享磊最弄罘葛鬲夏磊丽夏j - 历面在推导 下面分两种情况来分析总( 功，由于抽取并不影响数据的大小，所以仕惟寻 m ( 功的过程中不区分高效结构和非高效结构。 1 ) 当1s 时 h s ( z ) ：( 日，( z ) ) w 一”( 日。( z ) ) ”：器( 3 3 4 ) 对式( 3 3 4 ) 的分子应用二项式定理得 ( 1 - z - 一) w ：兰( 一1 ) ”c ；。z 一“” ( 3 3 5 ) 对式( 3 3 4 j 的分母关于2 。进行泰勒级数展开得 = 量c ；h ，z 一” ( 3 。3 6 ) 将式( 3 3 5 ) 和式( 3 3 6 ) 代入式( 3 3 4 ) 则有 h 。( z ) ：曼曼( 一1 ) ”c ；c ；，z 一” ( 3 3 7 ) 令t ：d 讹+ v ，显然，当膏一定时有“f l o o r ( k d m ) ，于是得到 h j ( 加甜”u 岂= o 圳( _ 1 rc ”k n - d m m u ，一p = 至 ，( 女) z “ ( 3 3 8 ) 式中t y o o r ( x ) 表示不大于x 的最大整数。 另外从式( 3 3 4 ) 出发又可得到岛( 功的另一表示形式 1 4 ，( z ) = ( 珂，( z ) ) “7 ”( h c ( z ) ) “ = ( 打( ，( z ) ) - ( h ，( z ) - h c ( z ) ) ”川 = ( 1 一z 一) 川( 警l z - k ) + 由式( 3 3 9 ) 可知，：一的最高次幂为 d m ( j 一1 ) + ( d m 1 ) ( 一j + 1 ) = ( d m i ) n + j 一1 出以上的分析可碍结论； 心)：掣”h，(klh h k ) z t，( z ) = ， 川 ( 3 3 9 ) ( 3 3 1 0 ) 芝玺鎏王堡盔兰婴主兰竺鲨兰 式中：()：舯7篁(一1)”c；ck。-，+dmiuh