（基础数学专业论文）单位切球丛上的一些讨论.pdf

中国科学技术大学博士学位论文第4 页 摘要 本文着重考虑四个方面的问题。 首先我们讨论仿射曲面，归纳硝中具有k l i n g e n b e r g 一横截 平面的仿射正定脐曲面。 接着，研究局部对称半定空间中具有平行中曲率向量和平坦 法丛并且满足一定的曲率条件的完备类空子流形，给出关于该子 流形第二基本形式模平方的拉普拉斯的一个优化估计并且得到该 流形为全脐子流形的一个充分条件。 第三章着重考察球的紧致超曲面上的谱，改进了文章 3 2 的 结果。 最后，我们研究黎曼流形和它的配有标准切触度量结构的单 位切球丛之间的关系并且发现黎曼流形m 卅1m 2 ) 不存在具 有常截曲率的单位切球丛，但得到一个单位切球丛的底流形具有 常截曲率的充分必要条件。此外，我们在第四章还得到了关于这方 面问题的其它一些结果。 a b s t r a c t t h i sd i s s e r t a t i o nh a sc h i e f l yc o n s i d r e df o u rp r o b l e m s a tf i r s t ，w ed i s c u s s 姗i l es u r f a c e sa n dc l a s s ya f f i n eu m b i l i c a ld e f t n i t e s u r f a c e si nr 4w i t ht h et r a n s v e r s a lp l a n ed e t e r m i n e db yk l i n g e n b e r g n e x t ，w es t u d yc o m p l e t es p a c e - l i k es u b m a n i f o l d sw i t hp a r a l l e lm e a n c u r v a t u r ev e c t o ra n df l a tn o r m a lb u n d l ei nal o c a l l ys y m m e t r i cs e m i d e f i n i t e s p a c es a r i s f y i n gs o m ec u r v a t u r ec o n d i t i o n s w eg i v ea no p t i m a le s t i m a t eo f t h el a p l a c i a no ft h es q u a r e dn o r mo ft h es e c o n df u n d a r n e n t a lf o r mo fs u c h s u b m a n i f o l d sa n dg e tan e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o nf o rt h es u b m a n g f o l d st ob et o t a l l yu m b i l i c a l c h a p t e r3i n v e s t i g a t e st h es p e c t r u mo fc o m p a c th y p e r s u r f a e ei ns p h e r e a n di m p r o v e st h er e s u l to f a 2 1 f i n a l l nw ei n s p e c tt h er e l a t i o nb e t w e e nar i e m a n n i a nm a n i f o l da n di t s u n i tt a n g e n ts p h e r eb u n d l ee q u i p p e dw i t has t a n d a r dc o n t a c tm e t r i cs t r u c - t u r ea n df i n dt h e r ee x i s t sn ou n i tt a n g e n ts p h e r eb u n d l ew h i c hh a sc o n s t a n t c u r v a t u r ef o rap d e m a n n i a nm a n i f o l dm ”+ 1 ( 7 2 2 ) ，b u tg e tan e c e s s a r ya n d s u f f i c i e n tc o n d i t i o nf o rt h eb a s em a n i f o l do fau n i tt a n g e l l ts p h e r et oh a v e c o n s r a n tc u r v a t u r e f u t h e r w ea l s od e r i v es o m eo t h e rr e s u l t sa b o u tt h i s p r o b l e mi nc h a p t e r4 致谢 本文是在导师徐森林教授的精- c , - 指导下完成的。首先，我要对 徐老师表示最诚挚的谢意。多年来，徐老师开设了多门重要课程， 使作者受益匪浅。他渊博的知识，严谨的治学态度，不厌其繁的谆 谆教导也为作者以后的工作树立了榜样。此外，徐老师和师母薛阿 姨对作者的生活更是无微不至地关怀，作者在此也对薛阿姨表示 最衷心的感谢! 我还要感谢在科大三年来一起生活和学习的所有同学们和系 里的各位老师，他们给予了作者许多帮助。 最后，深深地感谢关心和支持我的家人和朋友。 第零章引言 微分几何是数学中十分重要的一门学科，它涉及的范围相当 广阔。仿射曲面，半定空间中的类空子流形，谱理论以及切球丛就 是其中的一部分。 有关仿射超曲面的经典理论是由w b l a s c h k e 发展起来的。 从结构的角度来看，最初的问题为：r ”有自然的等仿结构，它 是由r “的标准联络d 和平行体积形式构成的。那么是否存在 一个典型的方法把等仿结构迁移到m 上，即能否在m 上找到 一个联络v 和一个体积形式w 使得v w = 0 呢。1 9 6 8 年， b l a s c h k e 在1 5 l 中告诉我们，如果r 1 的超曲面m “非退化， 则通过d x y = v x y + h ( x ，y ) ，其中x ，y t m ，与 t m 一起张成j f p + 1 的切空间，可以在m 上引入一个对称线性 形式h 。并且，相对于h 的度量体积形式w i ，有且仅有一个一 个横截向量场使得d 诱导的无挠联络v 满足v w u = 0 h 和f 分别称为仿射度量和仿射法线。这样就解决了上述问题在余 维为1 时的情形。许多学者开始把目光转向了酽中的二维子流 形。c b u r s t i n 和w m a y e r 6 】，w k l i n g e n b e r g 7 8 】分别构造 了各自的仿射“法”平面，但却不能在任意的非退化曲面上都导出 等仿结构。1 9 9 3 年，k n o m i z u 9 1 漂亮地把兄4 的等仿结构移到 了m 2 中。后来，f d e c r u y e n a e r e ，f d i l l e n 以及l v r a n c k e n 又成功地在磷的子流形m 2 中引入了等仿结构。至于当余维大 于3 时能否将的等仿结构输送到它的子流形上去，还有待于 我们进一步去研究。不过，当m 2 在研中的等仿结构被发现以 后，不少学者对其性质以及各种特征产生了浓厚的的兴趣。其中 m a g i d ，v r a n c e n 做的工作较多并得到了一系列结果。如r 4 中具 2 0 0 5 年9 月中国科学技术大学博士学位论文第8 页 第零章引言 有平坦法联络的平坦仿射嗌面可由下面的曲面拼接而成：( 1 ) 具 有常等仿法平面的曲面，( 2 ) 复曲线，( 3 ) 两个平面曲线的积， ( 4 ) 曲面f l ( z ，y ) = ( x c o s2 y ，zs i n 2 y ，y l ( z ) ，可2 ( z ) ) ，2 ( z ，y ) = ( z c o s h 2 y ，xs i n h 2 y ，y l ( x ) ，纠2 ( z ) ) 之一，t o ( ) = ( y l ( t ) ，讹( t ) ) 满足i q o z ”i = t ，( 5 ) 曲面g ( z ，y ) = 口( z ) e 9 + 卢e 乩，其中o ，卢 分别是j 芦的满足l o 乜o ”p 1 = 1 ，l a 7 0 ”。”7 卢i 一0 的曲线和 常向量。舒的具有平坦法联络的脐曲面等仿于曲面o ( u ，v ) = ( 2 u u + 3 ，u + ；u 2 ，。，；札2 ) 或曲面z ( ， ) = ( u ，u ， ( u 2 2 ) ，u v ) 等等。后来v e r s t r a e l e n ，v r a n c k e n 和w i t o w i e z 讨论了r 4 中具 有平坦法联络的不定脐曲面，其结果说明该曲面也可以由若干曲 面拼接而成。最近，w i t o w i c z 的工作结果为：r 4 中测地线是平 面的非退化仿射曲面只能是复抛物线x ( u ，u ) = ( “，u ，伽，铲一) 或两条抛物线的积z ( u ， ) = ( “，v ，乱2 ，v 2 ) 。基于上述工作，自然 可以问，如果横截平面未必是法平面，又会出现怎样的情形? 本文 考察的f 芦中的仿射曲面就是这样的。 不管是出于物理方面的原因，如在广义相对论中的作用，还 是数学本身发展的需要，最近几十年里，研究半定空间也称伪黎曼 空间中的类空子流形是个有意义的工作。1 9 7 7 年，g o d d a r d 提 出猜想：s 叶1 中的常平均曲率完备类空超曲面一定是全脐的。 1 9 8 7 年，a k u t a g a w a 在【2 8 中证明了d es i t t e r 空间中具有常中 曲率的完备类空超曲面是全脐的如果它的中曲率日满足h 2 c ， 当n = 2 时，或者舻h 2 2 ) 维完备类空超曲面它满足条件( + ) 。如果 m 的截曲率不超过- ( c 2 十鲁) ，则c 0 ，其中c = 2 c 2 + 嚣。 此外，如果日2 c 且 s 0 如果p u 1 ，a l = 0 如果p 证明：我们首先设p u 1 因为仉是开集，那么存在它的包 含在u 1 的一个开邻域。在这个邻域上任意选取一组局部规范正交 2 0 0 5 群9 月 中国科学技术大学博士学位论文第1 5 聪 兰三塞叁三圣塑! ：! ! ! ：! ：鍪垒兰矍竺墼竺童耋! ! ! 堑兰! ! 塞 基( x l ，x 2 及其相应的横截标架 t ，2 ) 。既然m 是脐的，我 销有& 一盛l j ，= a 2 i ，荠量蕊；+ 氇；0 。 现在我们定义 舻嚣- 蠢l 针蠢蠢钒 m2 丽b + 丽妇 啦2 一了藕，+ 了藕，啦一葡b 十丽如 刚 7 7 1 ，叼2 ) 也成为了横截空间中的一组规簿正交麓，且 焉，= 碹+ 鹂j ，= 0 类似地，如果p u 2 ，那么存在它熙包含农阮懿一个舞奄域秘这 个邻域上的任意一组局部规范正交基 x l ，x 2 ) 及其相应横截标架 专l ，豪) ，势盈耀应静局部溺数8 ，9 2 潢楚霹+ 8 l = 0 。困戴， 如果p 巩uu 2 ，我们总能找到组局部规范正变基及其相应横 截撼架潢是& = 鑫l f ，一0 ， 引理1 3 ：设横截向量丛为盯辩并且p 巩u u 2 ， x l x 2 ) 秘它鹣耜应横截标黎满跫弓| 瑾l 。1 ，燹l j 存京弱部薛羧程，b ，c ，d ，e ， b l ，b s 满足 n， v x l x l 一b l x l + ( b 8 i + ；) 弼， v 脯一( + ；一：一秘十( _ + i 2 a + ；+ 善) 恐， v 墨一( 一百b s + i 2 b i 一弘+ ( 警+ i 一；一吾) 弼， v x 。蜀：( 6 1 一：一：) x l + 6 8 弱。 2 0 0 5 华9 月 中嘲科学技术大学博士学位论文 第1 6 页 第一章关于k l i n g e n b e r g 一横羲丛的仿射磷叠藏 l3 定理扣定理汪臻 证明：首先，我们没。= 一( x i ) ，b r ( x 2 ) ，c = 霄( 蜀) ， d = ( 筠) ，e = 曩( x ，) ，f 一( x 2 ) ，并弓l 送函数b l ，- t ，b s 菠耱 它们满足 v x ，x i = 6 1 x 】+ b 2 x 2 ，v x l 弼= b s x i + b 4 x 2 ， v 曷x 1 一b s 置+ 强弱，v 岛蜀= 爵x i + b s 蜀。 一方茸，c o d a z z i 方程( 1 1 i i ) ( i 1 1 2 ) 与 l ，) 是 x l ，磁) 的柑澎横截标架告诉我们 幻一魄2 b 5 = b e ，( 1 2 ，1 ) 2 6 4 6 6 十b 7 = f + a ，( 1 2 2 ) b 1 + b 4 2 b 6 = 霄( x t ) 一d ，( 1 2 3 ) 2 b a b 5 一b s = 一霹( 蜀) 一e 1 2 。4 ) 男一方瓣，我们注意刻g k 是k l i n g e n b e r g - 横截向避丛，它 满足( 1 1 ，6 ) 一( 1 1 9 ) ，豳此有 2 b l 一2 b r a + d = 2 6 4 + 2 b 6 ，1 2 5 ) 2 堍+ 2 b 5 一b c = 2 b s 一2 b 2 ( 1 2 6 ) 将最后两方程与( 1 2 1 ) 一( 1 2 4 ) 联龠起来即可完成证明。 圭3 定理和定臻证明 定理：设嬲是空闻r 4 申翡可定仿射黪夔西，如果它的 横截向量丛为k l i n g e n b e r g - 横截向量丛并且其诱导的法联络满足 v 上矿一0 ，测m 是0 一跤瓣著且等穆予文露( 鞋，蛰，；髓2 一掣2 ) ，删) 2 0 0 5 年q 月中国利学技术大学博士学位论文第15 页 第一聿关rk l l n g e n b e l g 横截丛的仿射脐曲面；1 3 定理和定理证明 证明：首先，我们没u = 可( x t ) ，d = r ( x z ) ，c = ( x ，) ， d = 霄( 。) ：e = 矗( x ) ，- 一2 1 ( x 2 ) 、并引进函数b ，b s 使得 它们满足 v x l x l = b l x 】+ b 2 x 2 ，v x l x 2 = b 3 x i + b 4 x 2 、 v x ，x 1 6 5 咒+ b 6 x 2 ，v 虬x 2 = b r x , + b s x 2 一方面，c o d a z z i 方程( 1 1 1 1 ) 011 2 ) 与 l ，6 ) 是 x l ，拖) 的相应横截标架告诉我们 一的+ 2 b 5 = 6 一e ，( 1 2 1 ) 2 6 4 6 6 + b r = ，+ a ，( 1 2 2 ) b l + b 4 2 b 6 = q ( x 1 ) d ， ( 1 2 3 ) 2 b 3 一b 5 一b 8 = 一霄( 如) 一c ( 1 2 4 ) 另一方面，我们注意到o - k 是k l i n g e n b e r g - 横截向量丛，它 满足( 1 1 6 ) 一( 1 1 9 ) ，因此有 2 6 l 一2 b 7 = a + d = 2 6 4 十2 b 6 ，( 1 25 ) 2 b 3 + 2 b 5 = b c2 b s2 b 2 ( 1 2 6 ) 将最后两方程与( 1 2 1 ) 一( 1 2 4 ) 联合起来即可完成证明。 1 3 定理和定理证明 定理设m 是空间r 4 中的可定仿射脐曲面，如果它的 横截向量挑为k l i n g e n b e r g 一横截向量丛并且其诱导的法联络满足 v 1 9 一= 0 ，则m 是0 一脐的并且等仿于曲而( “，u ，；( “2 一v 2 ) ，“ ) v 1 9 一= 0 ，则m 是0 一脐的并且等仿于曲面( “，u ，；( “2 一v e ) ，? ) 2 0 0 5 军0 月 中国科学技术大学博士学位论文 第1 7 页 第一章关于k l i n g e n b e l g 一横截丛的仿射脐曲面13 定理和定理证明 证明：设 x 1 ，x 2 与它的相应横截标架 - ，) 起满足引 理1 12 。因为v 。9 上= 0 ，所以 1 凸= 矗( x ，) = 一言( v 支、9 上) ( ，= 0 厶 类似地，b = 0 ，c + e = 0 和d + f = 0 。从文章2 1 的引理 3 2 ，我们有矗= 0 ，即e = f = 0 并且又因而有c = d = 0 。 如果p 巩，根据c o d a z z i 方程( 1 1 3 ) 很容易得到x 1a 1 ) = a a l ，x 2a 1 ) = b a l 。因此o = 0 和b = 0 告诉我们a l 是一个局 部常函数。如果p u 2 ，显然a l 是常函数通过由g a u s s 方程 推导出的 一0 1 弱= r ( x 1 ，恐) 五， 我们得到 一a l x 2 = v x l v x 2 x 1 一v x 2 v x l x 1 一v x l ，x 2 1 x 1 = 一i x l ( b s ) x l + i x l ( b 1 ) 恐一x 2 ( b 1 ) x 1 一x 2 ( b 8 ) x 2 2 b 8 ( b 1 墨+ 6 8 蜀) + j 2 6 l ( b x l 一j 1 6 1 x 2 ) = ( 一x 1 ( b 8 ) 一x 2 ( b 1 ) 一素6 l b s ) x 1 + ( x l ( 6 1 ) 一x 2 ( b s ) 一2 b ；一b 2 l 2 x x 2 冉比较系数，有 ；x 1 ( b 8 ) 十x 2 ( b - ) = 一b - 6 8 )d 亏i x l ( 6 1 ) 一x 2 ( b s ) = 2 酲+ ；6 i o l dj 类似地，由一a l x l = r ( x 1 ，恐) x 2 可得出 x 1 ( 6 8 ) + i x 2 ( b 1 ) = 一蠢m 8 ， 兰三童董兰兰 ! ：塑! ! ! ! 薹丝叁兰塑竺塑鐾竺塞 ! ! ：! 兰矍篓童竺篓塑 蜀( 6 1 ) 一；x 2 ( b s ) 一2 b ；i b 。2 一n 1 将最后两式与前面的两式联合起来，有 x d b 8 ) 矗x 2 ( b 1 ) = 一4 3 b 1 强， x t ( = 一；一磋一3 7 6 2 。， 尥= i 一醒一转 从b t 的可积条件， 0 一置( 恐( 6 1 ) ) 一x 2 ( x i ( b o ) 一【x 1 ，恐) = 一2 b s x l ( b 1 ) + 2 6 8 x 2 ( b s ) + 4 6 l 墨( 5 8 ) 一3 a l 魄一8 u 3 。十争8 ，磋 。；b s ( 9 g 1 8 磋一8 6 2 ) 类儆楚，由6 8 静可敬条件， 0 = ；l ( 9 8 l + 8 壤+ 8 ) 。 如果p u t ，通过引理1 1 2 ，我么得出b l = b s = 0 ，或 b l = 0 和堍是非零常函数首先讨论6 l 和b 8 在点p 的莱个邻域受 同时为零的悸况。出引理1 1 3 ，我们可以找到局部坐掾系 让，射 使得z 。= x 1 ，= x 2 ，这里指z 浸入映射。同时，引理1 。1 ，3 告诱我们 z u = l ，z “u = 6 ，z = 1 ， 篾然两= 0 并盈掰有兹霄都为零，怒常数蠢有 a ，p ， 瓦i2 8 l 茹e ，蕊l 2 吨i 篁口 拶珏8 移 2 0 0 5 年9 月 中国科学技术大学博士学位论文第1 9 页 篁三兰叁兰坚塑! 竺竺：墼堡篓竺竺竺丝竺兰皇 ! ! ：! 塞兰! ：塞垩兰塑 通过一个变换它说明1 = 一n l 。这样我们有 z “u = 一0 1 x z “u = 2 o u u2a l x 通过( 1 3 2 ) 式，我们可把浸入的形式写做 z ( u ，钉) = a ( u ) + b ( v ) + 札u 2 利用( 1 3 1 ) ( 1 3 3 ) ，我们得到 a 7 7 ( u ) = 一a l ( u v 2 + a ( u ) + b ( u ) ) ( 1 31 ) f 1 3 2 1 ( 1 3 3 ) b ”( ) = 凸l ( “u 2 + a ( u ) + b ( u ) ) 这是不可能的。 接着，我们考虑b l = 0 和b 8 为常数的情形。通过z l ( p ) = 0 和( j d ) = ；6 8 j d 引进一个函数p ，它显然满足可积条件，且也有 p x l ，x 2 】= 0 。假如我们把浸入映射仍记为z ，我们可以找到局 部坐标系 乱，u ) 满足z 。= p x l ，z 。= x 2 。函数p 还满足下面 的方程： 品p - o ，嘉p = 8 p 把它们积分可以得到p = e 弘s ”十g ，通过把g 变为0 ，有p = e i b ”。与前面的情形类似，我们有1 = - a l x 与已是常数并且有 z u u = p 2 b s x 一a l p 2 = k 掀z z u u = b s x u + a l x ( 1 3 4 ) ( 1 3 5 ) ( 1 3 6 ) 2 0 0 5 年9 月 中国科学技术大学博4 - 学位论文第2 0 页 董三兰叁兰! 塑! 竺! ! ! ! 墅竺垒兰竺竺丝竺竺皇! ! ：! 兰兰兰兰矍兰塑 再根据( 1 3 6 ) 式，我们可把假设浸入形式为 利用( 1 3 4 ) ( 1 3 5 ) ，得到 a ? ( ) + 2 a ：( u ) b ：( 乱) + 4 “tu ，d 。i i ( u ) + a i 捌2 ( “) ) = 6 8 e h ”a i ( u ) k i n l e b ”a i ( u ) ) 和 e k i a ：( u ) e 如旦( ”+ k i a i ( u ) 耳( ) e h 叶b ( ”) = ；6 8 【a ：( ) e h + b ( u ) + a i ( u ) b ：( u ) e k t u + 甄( u ) 】+ e 6 8 ”已) 我们找不到方程可以满足它们。这说明巩= 毋。当p 巩 a l = 0 时，b l = b s = 0 和前面的方法类似我们可得到 z “u = 1 ，z u = f 2 ，z u = 一l 和1 ，已都是常数。将其积分之即可完成证明。 端二章局部对称半定空间中的完备类空子流形 设 四忡是n 十p 围连通的具有指数p 的半定黎曼漉形，我 们拣之为具有捂靛p 的半寒空闻。尤其当p = 1 时，称拼y 1 为 l o r e n t z 空间。半定凝间a 舒+ p 的子流形m ”被称做是类空的如果 这个半定空阁在埘”上诱导的度量是正定的。当半定空酒a 露却其 有常截曲率c 时，我们称它为半定空间形式并把它记做 舒+ p ( c ) 。 特别弛，称a 蜉“( c ) 为l o r e n t z 空间黟式。此井。螽栗e 0 ， 我们称 嚣+ 9 ( c ) 为具有指数p 的d es i t t e r 空间。我们知道许多 几何学者已经从各种角度广泛遗研究了半定空间形式中的具有常 中曲率的完备类空子流形。本文主要考虑半定空阍中满足条件( 十) 的更一般的究备类空子流形，( $ ) ：( 1 ) 对任意类空( s p a c e l i k e ) 向 量就和任意类时( t i m e l i k e ) 睫量v ，k ，”) = 鲁；( 2 ) 对任 意类空向量u 和 。k 7 ( 札，u ) c 2 ，其中7 指 的常馥率， 并且c 1 和c 2 是常数。 2 。l 准警知识 设a 碧+ 是具有指数p 的托+ 尹维半定空间，a 扩是且留却 的n 维完备类空子流形。在 四+ p 上选取一组局部规范正交标槊 绣 e l = l ：，8 * p ) ，使碍当限制予埘”上孵，e l ，：e ” 切于胪， e ，小，e 叶p 法干m 即e l ，e 。是类空向 量，e 。+ l ，一，岛+ ，是类噼向量。以下如果没有特殊说明，指标的 范围按惯例取做： 1 a ，b ，兰n + p ；1 曼z ，墨孔；礼+ i 蔓，声，茎n + p 令 “ 一 w 1 ：一，“9 ) 为c a 的对描标架。则髓罗忉 2 l 2 0 0 5 年9 月中嘲科学 盎术大学博士学位论文 第2 2 页 第二章局部砖称丰定空瓣中螃完备楚空子漶彭 2l 准舂知识 的伪黎曼度髓9 7 一e a ( 训 ) 2 ，其中8 l 一= e ，一一1 a f i n + 1 一一+ p 一1 。勉爹+ 的结褐方程为 d w a 一一w a a w 嚣， 口 如一一钳巷a 帮箬一；路d w c a w p 2 ) c c d 当棱陵麓到涮8 上器雩凑 鲫8 0 ，8 = 摊+ l ，豫+ p ( 2 1 3 ) 并且，m n 的黎曼度量可写做g e ( 鲫) 2 。设 i 叫笋= e 蝇， ( 2 1 4 ) ， 则根据c a n t a n 引理我们知道一咏，其中蝎是m ”的第 二基本形式麓分萋。定义磊轳魏审蘧率彝璧遣i 蠲平穆錾率商量为 h = 五ie ( e h 嚣) e n ，它的模 日= 去屉萝 江拍， 定义为中曲窭或是平均t l t t 枣。 将( 2 2 1 ) 和( 2 2 2 ) 限制到m n ，得到结构方程 d w i = 一蟛a 删， w ；十铷i = 0 ， z 一 j o j d w 净一训i a 蝣 ( 2 1 6 ) f 2 1 7 )ua 惫 u ，哟 娥 l 一2 2 0 0 5 霉9 月 中豳科学技术大学博士学位论文 第2 3 掰 兰三塞量竺兰篓耋耋塞塑兰竺兰查塞兰兰兰篓! ! ! 兰童兰篓 和g a u s s i 公式 苟刖= 鼢e 还可以得到法丛的结构方獠 萁中 ( 蝴啄一慨危荛) ( 2 1 8 ) ( 酞秽：一厂韧蔷a 掰8 口 抛g 一w ，a w # 一i 倒著+ 划：= 0 ， ( 2 1 。9 ) 昂雕= 磷e 一( 螨缘一h i k h n 。) l 对( 2 2 。4 ) 式外微分并且利用 。w 。一d 蝎一叫? 一h i k w j 。+ g 叫参( 2 1 1 2 ) k k 口 定义喝，得到c o d a z z i 方程 类似地，乖j 用 啼* 一礤 ( 2 1 1 3 ) 唠懿w 。一耋毳一蠡氛 u 3 i 5 - - 礁鹋一嗨留l + 蟓螂 fll l 口 ( 2 1 1 4 ) 定义庇舀埘并且将( 2 2 1 2 ) 外微分，还可襻到m “盼关于第二基本 形式的r i c c i 公式 一九瓢= 0 h i j r z j ：厂r 孙一躁j ( 2 1 1 5 ) 2 0 0 5 颦9 月中图科学技术大学博士擘位论x 第24 盥 蒡二奄局部对戆半定空鲻申的咒套类空子麓彤21 准喜知识 下面我们记r 詹r a 。口的协变导数为兄龆de 。则当限制于m “ 上辩髋有 r 篡，产r 锄一月孙 2 尼氲蝎一兄孙蝇+ r 黜 008 “ ( 2 1 1 6 ) 萁孛f 曝l 表示磁终免m ”夔率张量戆捡交导数，并鼹 r ，i 。j k z 删。= d r 蕊一r 蕊棚l 。 一脚0 一pi j l i l k 。2r 。j t w ；+ 礁叫爹。阻1 7 )一脚m r pl + r 孑叫爹- 、 第二基本形式鹩拉普藏斯蠕定义为= 强拼蠢 七 ( 2 2 1 3 ) 和( 2 2 。1 5 ) ，可以推算出 = 车嗨玎十车礁幻+ 写磷k 一嘛璐一啄+ 磙嘞、 。 暑l 理2 1 ：设a l ，a n ，6 l ，k 是2 他个实数并且满足 啦= 0 和6 t 一0 。剜 i e ；a i 蚓墨稿【】【p 。，( 2 1 1 9 ) 量等式残立逡显莰姿至少( 托一1 ) 令a 薅鼹耀等纛裎应鹣6 i 蓠耨 相等。 季| 瑾2 2 ：竣掰“为完备翡黎曼瀛形并盈它的r i c c i 馥搴 有下界+ 如果f 是m “上上有界的c 2 一函数，那么对于任意的 e 0 ，存在一个点z m “满足 s u p f e f ( 篁) ，l v f l ( x ) 0 存在x m “使得 s u p f 一 f ( z ) ，i v f i ( x ) ，a f ( x ) e ( 2 2 1 3 ) 所以， ；y 4 ( z ) n l , 1 2 ( 茁) = 3 1 v f 2 ( z ) 一y ( x ) a f ( x ) 0 和l i r ae 。= 0 的收敛数列 e 。) ，存在一个 m _ 0 0 。 点列 。) 使得 f ( z 。) 满足( 2 3 1 2 ) 且收敛于娲这是因为 f ( z 。) ) 是一个有界数列，如果需要的话，取一个子序列即可。从 上确界的定义和( 2 3 1 2 ) ，我们有f o = s u p f 和l i r n 川2x 。) = s 印川2 。 另一方面，根据( 2 3 1 3 ) 式， f 4 ( 。) l p l 2x 。) = 3 v f l 2x 。) 一y ( x 。) a f ( x 。) o ( 2 ) ，存在一个足够大的整数m 使得 f 4 ( z 。) a i p l 2 ( z 。) e( 2 2 1 6 ) 联合( 2 3 1 1 ) 式，有 ( 2 一e ) i 卢1 4 2 、( n n - 【礼2 一) 竹l h j i 肛1 3 + 2 ( c l + 2 n c 2 - n h 2 - e a ) 肛1 2 一。2 n h 2 ，则川2 = 0 ；当n 3 时，如果 c l + 2 n c 2 者器，l7 一1 2 = 0 ，即= o ( 0 f n + 1 ) 。 第三章 球的紧致超曲面上的谱 3 1主要结论 设( m ，9 ) 为札维紧致定向黎曼流形，v 9 是作用在m 的 p 一形式上的拉普拉斯算子，则我们有它的离散谱，通常被记为 s p e 矿( m ，g ) = o a i a ； 铲丰1 另一方面，我锯褒 j _ ( c 1 十2 c 3 ) + ( c 2 2 c 。， i n n l 2 - 。3 一n + j 3 + 【沈( 2 瓤一4 ) + 8 c 3 j 【( 一1 ) 一辩2 l 嚣一2 ) 妒2 女1 ( 3 2 1 2 、 j 击 ( c l + 2 c 3 ) + ( c 2 2 、n m 2 - 。3 一n 。+ j 3 + ；i e 2 ( 2 珏一4 ) + 8 c 3 】【( 扎一1 ) 一甜2 】( 张一2 ) 铲；1 通过( 3 2 。1 1 ) ( 3 2 1 2 ) ，我嬲褥知如果 ：篡l 慧48c33黛(n1 扣。胁_ 2 ) 2 0 ，( 3 t z 朋) + ； 现( 2 托一) +一) 一7 玎2 】( 键一) ， 则有如妒2 $ 1 = 岛2 m1 ；如果 c l + 2 c 3 + ( c 2 2 c 3 ) 瓣 ( 3 2 1 4 ) ；【e 2 ( 2 诧一4 ) + 8 。3 】 ( 耗一1 ) 一托r 2 ( 耗一2 ) 一0 ， 、 2 0 0 5 年9 月 中国科学技术大学博士学位论文第3 0 页 第三章球的紧致超曲面上的谱32 定理的证明 则 j 矗( c 2 ( 2 咒一4 ) + 8 c 3 ) h 五写芒乒妒+ 1 s 厶 ( c 1 + 2 c 3 ) 妒2 + ( c z ( 2 n 一4 ) + s c 3 ) h 札i n 12 = + ( c 2 2 c 3 ) u 纠4 $ 1 i = 1 nn = j ( c 1 + 2 c 3 ) 2 + ( c 2 ( 2 n r ) + 8 c 3 ) heu ( c 2 2 c 3 ) 乱4 】 1 = 岛( c 2 ( 2 n r ) + 8 c 3 ) i 蒜木1 ( 3 2 1 5 ) 根据( 3 2 9 ) ， f ：m 蒯( c 2 ( 2 n 2 - - 川4 ) + 鬲8 c 8 c h 3 ) 南h 静一：1 ( 3 2 1 6 ) = 岛( c 2 ( 2 n 一4 ) + 十 、。 由于所有不等式成立，我们得出 从而 如果 或者 u 22 = 乱n2 n 1 妒2 丽研 h = 肛m 一卉i ，毗_ 一2 ( c 2 ( 2 n 一4 ) + 8 c 3 ) h 0 ，( c 2 2 c 3 ) 0 ( c 2 ( 2 n 一4 ) + 8 c 3 ) h20 ，( c 2 2 c 3 ) 20 2 0 0 5 年9 月 中国科学技术大学博士学位论文第3 6 页 第三章球的紧致超曲面上的谱 5 32 定理的证明 或者 ( c 2 ( 2 n4 ) + 8 c 3 ) h2o ，( c 2 2 c 3 ) o ， 和前面的类似，我们可以得到相同的结论。再根据文章f 3 4 1 ，我们 推断出m 等距于m 。 定理3 2 的证明：如果礼= 1 ，根据文章 3 2 的结论我们 知道定理3 2 是正确的。如果n 1 ，n ( 竹一1 ) 0 满足定理 3 1 的条件，从而定理3 2 也是正确的。这样定理3 2 的证明就完 成了。 注：本章结果是导师徐森林教授，邓勤涛同学和我共同完成 的。 笫四章单俄切球丛上的一些讨论 4 1 主要结论 本章主更研究单位切球丛，主要结果如下： 定瑾4 i ：鼙襁镶球迭霄：墨艇一掰是，- e i n s t e i n 魏采它 的底流形m 具有藏常截曲率1 。 定理4 2 ：如采单位切球丛霸m 具有常一截曲率c ，那么 c = 1 或0 和m 具有常曲率1 或0 定理4 3 ：对一个黎曼流形m 叶1 ( 他2 ) 来说，它的配有标 准螺皴度量结槐的单位切球丛墨埘不可熊具有常截夔率。 定理4 4 ：设( m ，g ) 怒( 佗+ 1 ) 维黎曼流形，乃m 是它的配 有弦准凌魅澄量缝檎翡擎短蘩球瑟。懿暴它豹垂鬟分布客墨掰懿 r i c c i 算子q 的作用下不变，则在m 上( v 取蕊) 心x ) e k = 0 ， 括黑l 并鱼水平分布在国的作蔫下也不变。 定理4 5 ：设( m ，g ) 鼹( n + 1 ) 维黎曼流形，噩艇是它的凝 有标准切触度量结构的单位切球丛。则具有正常截曲率幽且仅当 墨徽的r i c c i 算子q 潢是q 妒一妒q = 穗a 妒，a = c o n s t 穰垂直分 布，即由毒张成的1 - 维分布l ( f ) ，以及难直于毒的水平分布的 子分枣由q 秘特诬空阕决定。 4 。2 准备知识 没( m ，舅) 是一个( 髓+ 1 ) 绻光溪黎燕波形，嚣：t m 一掰 是它的切丛。联络映射k ：丁丁m t m 由关于g 的l e v i c i v i t a 3 7 2 0 0 5 年9 月中国科学技术大搿博士学位论文第3 8 页 纂四章单位切玮瞌上的一些讨论 黔2 准冬知识 联络v 决定，它被定义为 j ( a ：= ( e x p p ，r ( 一z ) 4 r ) + a ，v a ? 拟j ， 其中z t m ，p 一贡( z ) ，对任意x 蛑，寿冀一z ) x ：= x - z ， 如果我们首先选取pem 的一个法坐标领域v ，丁作用在每 令z # - l ( 移) 震褥裂骢元素r ( z ) 具磊是透过从q ：一嚣( 三) 戮 p 对z 做平行变换得到的，因为在u 中存在一条唯一的测地弧避 接q 鞠p 。囡瑟，钥空阗? 娩穗波予v 可分缨戏采平秘垂直懿 子空间v t m z 和h t m z ： ? m z v t 粥z 镱班t m z ， 其串矿，掰岩：= - - - k e r n t ( # + i t m z ) ，曩f 矗幺譬k 拶n i ( k t t m z ) ； t m 上存在一个殆炭结构，满足 膏；( 囊) = 一x a ，h ( j a ) = 氦a ( 4 2 1 ) 对拟上的一个趣量场x 求说，x 的水平提升x ”是t m 上存 在的唯一一个向量场，它满足 氮x 8 = 0 ，k x ”= x 。( 4 2 2 ) 也使得x 。w = 甜( 义) t7 r ，其中w 是m 上的l 一形式，这个1 一 形式在方程的左边被看作麓，甜上的一个函数。x 的疆壹提升 x “鼹t m 上存在灼唯一一个向量场，使得 氟x “一x ，k x “一o ( 4 2 3 ) 由上面的介绍易觅：j x 6 = x ”，j x ”= 一x 8 。在【3 9 j 中， d o m b r o w s i 证明了j 是可积的当飘仅当v 嗌率为零。作为黎曼 流形( m ，g ) 的切稼丛，t m 上的s a s a k i 度量雪定义为 雪( x ，y ) 一爹( 磊x ，氩y ) + g ( k x ，贸y ) ， ( 4 ，2 ；4 ) 2 0 0 5 年9 月 中嘲科学技术大学博士学位论文第3 9 贾 墨墅竺竺壁垒圭竺三兰兰篓= = 坠惫兰叁兰塞 其中x 和y 是t m 的向量场。由v 决定的t m 的殆复结构 关予嶷量雪怒不变懿，西此多对予j 来说楚h e r m i t i a n 度蓬。假设 ( 茁1 ，x 时1 ) 为m 的局部嫩标系，令矿一x i 开，则( q l ，q n + 1 ) 和纾缎坐标( 掣1 ，。，掣瓣2 ) 将可穗藏t m 的局部堡舔。佟为v 酶 联络系数，x “的局部表达式为 x h = x 畚划r 5 未 ( 4 2 5 ) 令显，r i c 裘示g 的曲率张基和r i c c i 张潦，审表示耍的l e v i c i v i t 氇联络，袁表承耍的鳆率张援。则移和袁毒 4 6 1 ： ( 移x n y “) 。= ( v x y ) ：一；( 鸯( x ，y ) “) ：， ( 4 2 6 ) ( 审x n y ”) 。= 一；( 照( y t ) x ) ：十( v x y ) ：， ( 4 2 7 ) ( 移舻y “) 。= 一i ( 旦( x ，t ) y ) i 零p y ”一0 ， 并且 ( 4 2 8 ) 4 。2 。9 ) 盈( x ”，y ”) 扩= 0 ，( 4 2 ，l o ) ( n ( x ”，y 。)