（基础数学专业论文）关于一些smarandache函数的均值性质.pdf

摘要 数论函数的均值性质问题是目前数论研究的主要内容 数论中的许多疑难问题都与 数论函数的均值性质有密切的联系 所以 对数论函数均值性质任何有实质性的研究都 是对数论发展的一个有力推进 关于数论函数的均值性质问题 研究了s m a r a n d a c h e 函 数蹦 n 的均值估计问题 并得到了关于 蹄 r 1 一个较强的渐近式 t 航 s a m a r a n d a c h e 教授所提出的数字之和函数的均值 得到了数字之和函数均值计算的具体公式 研 究了f i b o n a c c i 数列和l u c a s 数列的计数函数的均值 并给出了关于计数函数均值计算 的一些具体的公式 定义了广义的l u c a s 数列 并讨论了广义的l u c a s 数列的一些性 质 具体说来 本文的主要成果包括以下几方面 1 s m a r a n d a c h e 函数的均值问题研究在数论中占有非常重要位置 它与许多数论函 数均值有密切的关系 利用初等及解析方法在第二章研究ys m a r a n d a c h e i 垂l 数s d n 的 均值性质 并给出了一个较强的渐近公式 2 s m a r a n d a c h e 函数研究有着丰富的内容 第三章研究了s a m a r a n d a c h e 教授提出的 数字之和函数的均值 给出了数字之和函数均值计算的具体公式 3 关于一些特殊数列的均值性质的研究是十分有趣的 著 的f i b o n a c c i 数列 e 和 l u c a s 数列 l 在数学的理论研究中有重要的作用 第四章研究了这两类特殊数列计数 函数的均值 利用初等方法得出了一些新的均值公式 并讨论了广义的l u c a s 数列的一 些性质 关键词 f s m a r a n d a c h e 问题 s m a r a n d a c h e 函数 计数函数 均值 渐近公式 a b s t r a c t 英文摘要 i ti sw e l lk n o wt h a tt h ep r o b l e m so fm e a nv a l u eo ft h en u m b e rt h e o r yf u n c t i o np l a ya n i m p o r t a n tr o l ei nt h es t u d yo fn u m b e rt h e o r y a n dm a n yw e l l k n o w np r o b l e m so fn u m b e r t h e o r ya r ec l o s e l yr e l a t e d t h e r e f o r e a n yn o n t r i v i a lp r o g r e s si nt h i sf i e l dw i l lc o n t r i b u t et ot h e d e v e l o p m e n to fn u m b e rt h e o r y i nt h i sd i s s e r t a t i o n w es t u d yt h em e a l lv a l u ep r o b l e m sa n d n a t u r eo fs o m en u m b e rt h e o r yf u n c t i o n s a b o u tt h ep r o b l e mo fm e a nv a l u e f i r s t l y w es t u d y t h es m a r a n d a c h ef u n c t i o ns d f n a n dg e tas h a r p e ra s y m p t o t i cf o r m u l a s e c o n d l y w es t u d y t h em e a nv a l u e so fd i g i t a ls u mf u n c t i o nr a i s e db ys a m a r a n d a c h ep r o f e s s o r a n dap r e c i s e f o r m u l ai sg i v e n t h i r d l y w es t u d yt h em e a nv a l u eo fc o u n t i n gf u n c t i o no ft h ef i b o n a c c i s e r i e sa n dl u c a ss e r i e s m a k i n gs o m es p e c i f i cf o r m u l a e d e f i n i n gab r o a ds e r i e so fl u c a sa n d d i s c u s s i n gs o m ep r o p e r t i e sa b o u ti t t h em a i ne o n s e q u e n t si n v o l v e di n t h i sp a p e ra r ea s f o l l o w s 1 t h er e s e a r c ho nt h em e a nv a l u eo fs m a r a n d a c h ef u n c t i o np l a yav e r yi m p o r t a n tr o l ei n n u m b e rt h e o r y al o to fn u m b e rt h e o r e t i cf u n c t i o n si sc l o s e l yr e l a t e dt ot h em e a nv a l u e t h e m e a nv a l u eo fs m a r a n d a c h ef u n c t i o ns d f n i ss t u d i e di nc h a p t e ri io ft h i sp a p e rw i t ht h e e l e m e n t a r ya n da n a l y t i cm e t h o d s a n das h a r p e ra s y m p t o t i cf o r m u l ai sg i v e n 2 t h es t u d yo ns m a r a n d a c h ef u n c t i o ni sv e r yr i c h t h em e a nv a l u eo f d i g i t a ls u m f u n c t i o n r a i s e db ys a m a r a n d a c h ep r o f e s s o ri ss t u d i e di nc h a p t e ri i io ft h i sp a p e r a n dap r e c i s e f o r m u l ai sg i v e n 3 i ti sv e r yi n t e r e s t i n gt od os o m er e s e a r c ho nm e a nv a l u eo fs p e c i a ls e r i e s w e l l k n o w n f i b o n a c c is e r i e sa n dt h el u c a ss e r i e sp l a ya ni m p o r t a n tr o l ei nt h et h e o r yo fm a t h e m a t i c a l r e s e a r c h t h em e a nv a l u eo fc o u n t i n gf u n c t i o no ft w ot y p e sa r es t u d i e dw i t he l e m e n t a r y m e t h o d si nc h a p t e ri v o ft h i sp a p e r d r a w i n gs o m en e wm e a nv a l u ef o r m u l a s a n dd i s c u s s i n g s o m ep r o p e r t i e so fab r o a ds e r i e s k e y w o r d s f s m a r a n d a c h ep r o b l e m s m a r a n d a c h ef u n c t i o n c o u n t i n gf u n c t i o n m e a nv a l u e a s y m p t o t i c f o r m u l a 西北大学学位论文知识产权声明书 本人完全了解西北大学关于收集 保存 使用学位论文的规定 学校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版 本人允许论文被查阅和借阅 本人授权西北大学可以将本学位论文的 全部或部分内容编入有关数据库进行检索 可以采用影印 缩印或扫 描等复制手段保存和汇编本学位论文 同时授权中国科学技术信息研 究所等机构将本学位论文收录到 中国学位论文全文数据库 或其它 相关数据库 保密论文待解密后适用本声明 学位论文作者签名 塑盗丝 指导教师签名 旌么j 甲军刍卜 沙尸年朔厂日2 卅7 年于月i o 日 西北大学学位论文独创性声明 本人声明 所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究 工作及取得的研究成果 据我所知 除了文中特别加以标注和致谢 的地方外 本论文不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果 也 不包含为获得西北大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的 材料 与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中 作了明确的说明并表示谢意 学位论文作者签名 多当掐谚 吨年9 窍r 黾 西北大学硕士学位论文 1 1 研究背景与课题意义 第一章绪论 数论是研究整数性质的一个古老的数学分支 几千年来 世界上许多数学家探索着 整数间一个又一个的规律 遗憾的是至今仍有许多规律尚未被人类证明 随着其他数学 学科的发展 数论的研究方法和研究内容也在不断的发展和延伸 目前数论的研究内容 己经深入到代数 几何 逻辑等数学的各个学科 数论的研究方法也发展为初等数论 解析数论 代数数论 几何数论和计算数论等 初等数论是以整除理论为基础 研究整 数性质和方程 组 整数解的数学分支 解析数论是利用数学分析主要是复分析的方法 来解决数论问题的分支 它是解决数论中艰深问题的强有力的工具 代数数论是把整数 的概念推广到代数整数域上的一个数学分支 几何数论主要在于透过几何观点研究整 数 即格子点 的分布情形是 计算数论主要是指借助计算机上的算法来解决数论 中的一些问题 例如素数测试和因数分解等和密码学息息相关的话题 数论与其 他数学学科的相互渗透 使数论这门古老学科的许多研究成果在信息安全 近似分 析等新领域得到了广泛的应用 在许多数论问题的研究中我国都处于领先地位 如闻名于世的孙子定理 它不仅是 初等数论中一个精美的定理 而且在现代的通信理论等方面仍然具有广泛的应用 我国 的数学家华罗庚教授在解析数论方面的研究工作得到了数学界的高度评价 数论学家陈 景润 王元 潘承洞等在筛法与哥德巴赫猜想等问题上的研究也取得了国际上领先的结 果 数论中有许多尚未解决的问题 并有很多几个世纪留下来的未解决的问题 然而随 着科学技术的不断发展和科学研究的不断深入 在新的研究过程中会不断的产生新问 题 而且新问题的产生比老问题的解决更快 因此我们对数论的研究不仅仅是要推进关 于它们我们已经知道的东西 而且还要去研究关于它们我们所不知道的一些东西 正因 如此 数论才不断地充实和发展 才能既古老而年轻 才能始终活跃在数学领域的前沿 在整数上定义的实值或复值的函数称为数论函数 它们在许多数论问题的研究中起 着非常重要的作用 数论函数的各种性质是数论研究的主要内容 其中函数的均值性质 是研究的重要课题之一 在研究过程中我们发现很多重要的数论函数的单个取值尽管很 不规则 但这些函数的均值却又通常表现出一些很好的规律性 所以在数论中对数论函 第 章绪论 数性质的研究经常是在均值意义下来进行的i l 圳 对数论函数均值性质的研究是数论尤其是解析数论的主要研究内容 它是研究各种 数论问题不可缺少的工具 许多数论的疑难问题都与函数的均值性质有密切的联系 所 以 对函数均值性质任何有实质性的研究都是对数论发展的一个有力推进 目前国内对 均值的估计主要涉及到d i r i c h l e tl 函数和未解决的一些s m a r a n d a c h e 问题及相关方 面 而s m a r a n d a c h e 函数的均值估计是目前国内数论研究的主要内容 它是由美籍罗马 尼亚著名数论专家e s m a r a n d a c h e 教授首先提出的 此外 1 9 9 1 年美国研究出版社出版 的 o n l yp r o b l e m s n o ts o l u t i o n s 5 1 书中 罗马尼亚著名数论专家f s m a r a n d a c h e 教 授提出了1 0 5 个关于特殊数列 算术函数等尚未解决的数论问题 随着这些问题的提出 许多学者对此进行了深入的研究 并获得了不少具有重要理论价值的研究成果 如 s m a r a n d a c h e 问题研究 1 6 和 s m a r a n d a c h e 问题新进展 1 7 这两部著作收录了目前 国内一些学者对s m a r a n d a c h 问题研究的最新成果 详细地介绍了数论函数及其均值 恒等与不等式 无穷级数及其性质 s m a r a n d a c h e 函数及相关函数的渐近性质 级数收 敛问题 特殊方程的求解等一系列问题 并提出了关于这些函数的一些新的有待解决的 问题 在 关于s m a r a n d a c h e 理论及其有关问题 8 这部著作中收录了目前中国学者关 于s m a r a n d a c h 问题的一些部分研究成果 以及k e n i c h i r ok a s h i h a r a 博士和其他学者提 出的关于s m a r a n d a c h e 函数新的问题 1 2 主要成果和内容组织 基于s m a r a n d a c h e i 口 j 题丰富的研究内容和对s m a r a n d a c h e i h j 题的兴趣 我们应用初等 方法和解析方法对e s m a r a n d a c h e 教授提出的几个问题进行了研究 主要研究了数论中一 些s m a r a n d a c h e 函数的均值性质 这些成果主要表现在关于s m a r a n d a c h e 函数s d f n 的 均值估计 关于胛进制中数字之和函数的均值计算 f i b o n a c c i 计数函数的均值计算等几 个方面的内容 分别分布在第二章至第四章 具体说来 本文的主要成果和内容组织如 下 1 s m a r a n d a c h e 函数的均值问题研究在数论中占有非常重要位置 它与许多数论函 数均值有密切的关系 利用初等及解析方法在第二章研究了 s m a r a n d a c h e 数s d f n 的 均值性质 并给出一个较强的渐近公式 2 s m a r a n d a c h e 函数研究有着丰富的内容 在第三章研究t s a m a r a n d a c h e 教授提出的 西北大学硕士学位论文 数字之和函数的均值 给出了数字之和函数均值计算的具体公式 3 关于一些特殊数列和函数的均值性质的研究是十分有趣的 著名的f i b o n a c c i 数列 f 7 i l u c a s 数列 t 在数学的理论研究中有重要的作用 在第四章研究了这两类特殊 数列计数函数的均值 利用初等方法得出了一些均值公式 并讨论了广义的l u c a s 数列 的一些性质 第 g r 关于s m a r a n d a c h e 函数 吼扩 z 的均值 2 1 引言 第二章关于s m a r a n d a c h e 函数s d i 厅 的均值 对于任意的正整数 l 著名的f s m a r a n d a c h e 函数s 1 定义为最小的正整数所使 得门in 即就是s 1 m i n m n nlm 很显然 由s 1 的定义我们可得到 除了 刀一4 刀 p 的情况 一般有s p p 和s n 蹄 甩 一1 s d f z l l l i n 伽 腕 乏s 厅 显然这是函数s 以 与 蹄 1 之间的一个简单关系 本章的主要内容是利用初等方法和解析方法研究s m a r a n d a c h e 函数s d f 1 的均 两北大学硕l 学位论文 值性质 并给出函数s d f n 均值的一个较强的渐近公式 具体的来说也就是要证明下 面的定理 定理2 1 设n 为任意的 e 整数 则对任意的实数x 1 有如下的渐近公式 立s e l f 巾 x 幽l n f 工 x d 志 2 2 定理2 1 的证明 下面我们给出定理2 1 的证明 根据函数s n 的性质及 渺 仃 的定义显然有 s 矽 胛 s 玎 s 矿 一1 对该式两边取对数可得 l n i l n s n l n i 由e u l e r 求和公式 3 i 我们有 于是 所以 即 l n f 朋l n m 一聊 d m 聊 i s s a y 1 1 1 f 眺聊一聊 o 1 i l 聊 j s s a f i m i n m m o 1 n m t n s m l n m m o 1 n m l i l s 玎 m l n m m o 1 n m m 裂 4 孵 1inm1 l l i 一 由于 2 1 还可得h 1 垅 l n l n s n 那么 所 丽i n s n 1 2 1 第二章关于s m a r a n d a c h e 函数s 妒 2 的均值 器 档端 因为m s d f n 所以由 2 2 式可得 而 善跚 萎嘲i n s n 十p 睡端 y ins n innn gxl n l n s n l n l n n 一 2 2 萎警三一inin i nh a x 陆 亿3 戈 i 2 萎嵩l n l n s n 萎尚i n l n s n 善 惫 一惫 惫 l n s n i n i n s n 由函数s n 的性质我们可得 薹酾i n s n 善n e a 盖 面i n x 薹 此外 器i nn 盖i ni n 一 u i i 1x i c y ins n 毒面lns丽 np 毒面lnp inins 删 寿 h h s 纠 畚 龇p 疗e d 玎 卢卜li 丹 卢 l 薹丕啬 xh a p 万 睡盎 6 2 4 2 5 及 西北大学硕一卜学位论文 z 荟业p 上i n i n p 陲旦i n h a p 名i 怎 j 由a b e l s 匿等式我们可得 荟警南5 盎 盖 x 旦 j 生 息i n i n p i n l n x 于是结合 2 3 2 4 2 5 2 6 2 7 及 2 8 式我们立刻得到 荟蛳 j 坐i n l n x 加 尚i n l n x 急一 i j 这样就完成了定理2 1 的证明 7 2 6 2 7 2 8 第二三章关于n 进制中数字之和函数的均值 3 1 引言 第三章关于 z 进制中数字之和函数的均值 1 9 9 3 芙国数论专冢f s m a r a l l d a c h e 在他所着的 o n l yp r o b l e m s n o ts o l u t i o n s 一 书中提出了初等数论及集合论中1 0 5 个未解决的问题 其中第2 1 个问题是 研究十进制中 数字之和数列的性质 1 5 关于这个问题 李海龙教授f 抛1 j 给出了十进制中数字之和函数 均值的计算公式4 1 0 t f i a 2 n 1 0 杨倩丽 2 2 2 4 给出了二进制中数字之和函数均值 的计算公式4 2 徐鹤宪1 2 5 讨论了p 进制中幂的数字和 沈忠华 2 q 给出了 l 进制 数中位数码之平方和函数的均值计算公式 马俊青 2 7 讨论了n 进制数中位数码之立方和 函数的均值 本章作为这一问题的一般化 讨论了咒进制中数字之和函数均值的计算问 题 给出了一个精确的计算公式 并给予证明 为叙述方便 我们先引入如下定义 定义3 1 设 l l 1 为一给定正整数 对一任意正整数所 假定小在以进制中表示为 m 暑a i 玎毛 口2 刀七2 口 甩l 其中1s 口fs 以一1 i 1 2 j k l 七2 k s 苫0 记口 m 1 口1 口2 口 称口 聊 1 为所在以进制中数字之和函数 并令为4 玎 口 小 厅 为函数口m 甩 的七次均值 为了方便叙述我们引用了以下记号 吼 h 砚 n 掣 仍 以 一掣 伤 甩 竺二量笔 二 e 纸 n 一n n 1 2n 1 3n2 3n 1 定理3 1n 口1 n 毛 口2 1 l 口 n 其中l a f 七2 t 之0 贝ua 4 n n 善s 善i 1 口 4 口 以向 骞2 a i n t 口 一1 咒一1 t 萎口 3 妻驴1 黔 毡何 拍小k 1 口州毗 咖地拍m 咖 砉4 雾口 3 咒屯一1 仍 口r 刀一1 卿 z t 屯仍 z 互3 n 一1 七 z 仍 口一 西北人学硕士学位论文 口以 一2 6 铭 胛 蚜 七i 仍 i 刀 砖 2 z 一1 三 刀一1 砖 墨一3 仍 n n k c p 3 q 骞p 一1 n 竹 t t 仍 z 锄k 2 0 1 色 刚 z 竹 t 仍 刀 七t 2 以一1 三 万一1 k i k i 一3 仍 n 2 咒一1 万白色仍 口t l k a i 2 n 知一1 3 n 一1 也一2 仍 咒 吼 t 仍 万 4 3 肛 1 砰一5 k i 2 仍 以 t 甩 薪k 吼 刀 刀 吼 q 推论3 1 设 一口1 砂 口2 2 k 2 口 2 其中白 七2 tz o 则 a n 2 砉2 1 6 43 2 3 7 2 2 4 8 i 1 0 t 3 2 引理的证明 引理3 1 2 4 f 2 2 饿 3 砰 8 一2 砰 f 4 口 z t 甩 i a 刀一1 k 口一1 刀 引理3 2 4 彻 n 勋 n z 讫 口 z 一1 仍 刀 讫 七 放饩 以 仍 口 以扣1 引理3 3 4 口 z i 咒 k a 纺 口 2 阼一1 互1 厅一1 血 七一3 6 口鲲 彪 仍 z 够 尼 3 n q l n p 仍 力 咒一1 仍 刀 七 3 n k c p l 咒 讫 咒 n 2 t p a 口 矿2 引理3 1 3 2 3 3 证明见参考文献 1 9 2 2 引理3 4 a 4 n j n k n 2 红 厅 4 轨一1 咒一1 七2 一弘 2 觋 七 竹 z 仍 以 3 咒一1 七一2 孙一1 2 彪铭o 仍o 甩 3 9 第三章关于n 进制中数字之和函数的均值 证明 当七 1 时 左 以 刀 儿 丸 z 右 z 2 钆 z 砉 吼 忍 左 右 所以命题成立 假设当k p 时 命题成立 即 a 4 n p n p n 2 钆 z 4 3 n 一1 n 一1 p 2 5 p 2 劬 p 何 z 仍 z 3 咒一1 p 一2 2 n 一1 2 以锻 z m p m 腮 以p 3 则4 一甩 善 a 4 m 2 互如刀 互a 4 l 小 互 口 m 1 一 口 m 以 口4 m 1 口4 肌 咒 以一1 州 p0ji用 n 0暑m n 2 7 套q 码 1 锄 刀 荟口3 鸭甩 锄 甩 磊 a 2 鸭以 4 妈 以 口 坞刀 畅 刀 矿 篇 日 矿 疗 4 砚 以 4 l p 厅 6 仍 疗 4 矿 疗 4 妈 以 4 l p z 以 l p 由假设及引理3 1 3 3 可得 彳 n p l 疗 p 1 盯砀 厅 4 孙一1 o 一1 p 2 3 p 2 仍 p 1 仍 z 鸭 疗 3 甩一1 p 一1 2 l 一1 2 栉劬 厅 锻 p 1 仍 以 玎一 所以当k p 1 时 命题成立 证明 仁k n 2 q 0 4 n 4 a n 一1 n 一1 七2 垠 2 七 咖 以 3 刀一1 七一2 2 n 一1 知吼 刀m k m 刀 n 3 吼o 锄2 七 o 仍o 嘲2 幽 吲小小 小肋 1 锄 卜鸭 卜 妒3 6 劬 咖 1 n 仍 甩 以 1 0 ll 七 玎 n 5 4 3 4 理r l 丁 a 4 a n n x a 4 m 忍 西北人学硕士学位论文 口4 m k m 2 d 口4 m 一 1 互 a n 口4 历 1 1 4l 矿s m 口4 m r 1 口m 刀 1 4 口 挖 口一1 4 0 历 n o s m n 口磊口4 扰 1 锄 口 荟 口3 r e n 钦 口 荟口2 l 1 锄 口 a m z 纸 口 l a a 刀 疗 锄 口 a j n k n 咄 口 4 厅 厅 锄 口 4 以 疗 吼 口 厅 由引理3 1 3 4 得 a a 忍 z 口 砌2 钆 刀 4 3 万一1 刀一1 七2 一黜 2 砚 七 仍 珂 乃 3 n 一1 七一2 2 n 一1 2 l 铭 肛m k m z 1 3 红 z 4 n 2 k q 7 3 甩 仍 z 砌2 小 吲小锈 协 1 锄小 阳甩 扣3 川 6 蚜 七 劬 以 咒 玎 3 3 定理的证明 下面我们通过以上五个引理证明定理 a 4 n n 2 磊口4 所 以 x a 4 优 i a l n i q e r a c a i n a 2 n2 口4 m 一肌卢 盖 w b a 4 m 刀 a 4 m 五 n q m 1 o s m 乙an k 1 a m z 蚂 4 三小卜小酗 1 1 o 4 i 4 口 z 以 砉 鸣 口 z 白 甩 4 薹口 砉 乏 口r 以与 乃 6 f 茎1 1 口 2 妻 彳 口 甩与 托 4 薹 由引理3 1 3 5 可得定理3 1 4 帅 善s i 善i 1 口 3 雅口 卜鼻 4 l i 1 口 色 z 白 善2 q z 屯 口t 一1 甩一1 t 著口 1 1 3 磊荟 以 v 智 i 第三章关于 l 进制中数字之和函数的均值 嘻扩1 毡铭 蚜 m 咖 咖 幽m 咖t 妻4 雾口 3 n i 1 t p l 口一 z 一1 以 铭 t t 仍 甩 三3 以一1 t z 仍 口t 耐 2 啪 如 叫 妒1 地 3 卜 n z q p 3 口j 骞 锄南q 咒一1 蚜 力 蚜 也 t 讫 z 锄k 1 2 q 0 1 t 6 砚 以 t 仍 刀 岛 2 玎一1 乏 n 一1 向 岛一3 警 聆 2 咒一1 甩与吃鸭 q 以与q 2 陀 2 咒一1 3 n 1 k 一2 仍 n 仍 向 仍 刀 4 3 l 一1 万一1 砰一甄 2 仍 z 仍 砖 伤 刀 刀2 t 红 刀 z 吼 q 定理证毕 令定理3 1 中的以t2 则可得推论3 1 以 2 砉2 与一4 1 6 f 一1 4 3 2 a 7 2 2 4 8 1 0 毛 2 4 i 2 2 4 i 3 砰 一2 砰 砰 1 2 两北人学硕上学位论文 第四章关于两类特殊数列计数函数的均值 4 1 关于f i b o n a c c i 计数函数的均值计算 4 1 1 引言 著名f i b o n a c c i 数列 e 和l u c a s 数列 l 均由二次线性递推公式e e 钉 e t l 所定义 其中瓦 1 互 1 l o 2 厶 1 这两个数列在数学的理论研究中 有重要的作用 从而引起了不少学者的重视 许多学者对这两个数列的一些特性进行了 深入细致的研究 例如r l d u n c a n l 2 8 1 和l k u i p e r s 2 9 证明了l o g f 是 模1 一致分布的 而n e v i l l er o b b i n s 3 0 对形如彤2 1 和p x 2 3 的f i b o n a c c i 数进行了深入探讨 获得了令 人满意的结果 张文鹏教授 3 1 利用初等方法给出了关于f i b o n a c c i 数列的一系列重要恒 等式 本节利用初等方法推导出了f i b o n a c c i 数列计数函数均值计算的精确公式 并给 予证明 为了为简便起见 我们指定以所有f i b o n a c c i 数构成的集合为一组基 不难验证 任意一个正整数 都可由f i b o n a c c i 基唯一的表示为 口f 丘 式中q o 或q2 1 其 所遵守的原则是 当只sn e 时 n c 当艺s 己 时 2 m 刀 依此类推 直到0 0 为止 这就是说对每一个精确的正整数 都可以表示成f i b o n a c c i 数和的形式 对于正整数 善q e 定义计数函数为 a n a l 口2 口 本节主要研究口 的均值分布性质 并给出均值e 丘 一 a r 厅 4 5 主要结果如 象瓦 下 定理4 1 对于任意正整数k 有 色 e 篆a 4 厅 第四章关于两类特殊数列计数函数的均值 去七 七一1 七一2 七一3 e 一 丢七 七一1 七一2 厶 一去七 七一1 e 一 西7 饵厂弛 定理4 2 对于任意正整数 设它在f i b o n a c c i 基下的表示式为n e e 式中k k 也 则有递推公式 日 妻目 气 4 萋马 一喜 6 雾垦 一吝气 萎且 一套 妻c i 一1 气 定理4 3 对于任意正整数k 则有 岛 互 一 a s 冗 0 0 蕊 二话1 七 叫 七一2 七一3 七一4 厶巧 云4 足 叫 七一2 七一3 去 七一1 七一2 之七 西3 尼 七一1 e r 面1 k l 以一珥 定理4 4 对于任意正整数 设它在f i b o n a c c i 基下的表示式为n 五 e 式中k l k t 则有递推公式 尾 2 妻b 毛 5 薹反 一套气 1 萋b 一套气 1 喜色 一喜气 5 薹b 一套 砉c r 一1 气 4 1 2 定理的证明 为完成定理的证明 需要引入以下几个引理 弓i 理4 1 且 互 量口 玎 2 j lm k l 一2 互 n 震r 3 引理4 2 易 最 乏口2 咒 2 抄1 1 最r 互1 5 一k l t 一2 最j 咖4 3 色 e 0 丕口3 咒 去 七 h 厶 3 弘 互 地 1 2 最 西北大学硕士学位论文 引理4 1 4 2 4 3 证明见参考文献l j 4 定理4 1 的证明 现用归纳法证明 当七 l2 时 有色 e b 4 e o 所以 鼠 最 荟口4 1 云1 尼 七一1 七一2 七一3 最一 丢七 七一1 七一2 厶 一云1 七 七一1 丘一 去 也r 珥 对k 1 2 成立 假设e 式对所有的ks m 一1 都成立 则由引理4 1 4 3 及恒等式 可得 l 一5 c 一 巴一 k 一3 l 一5 5 一 芑6 朋 5 b 4 f m 口4 n 卜 薹口4 肛 口4 刀 o 彳焉 o t 乞 i 一 再果 一 日 嘶互 口 甩 1 4 一b 一 曰 巴 4 色 6 最 l 4 b c 去 m 一1 m 一2 小一3 研一4 巴 5 丢 肌一1 肌一2 z 一3 k 一 一去 m 一1 优一2 l 7t 朋一1 l m 2 2 巴 万1 肌一2 z 一3 肌一4 z 一5 一 丢 坍一2 肌一3 m 一4 l 一瑟l m 一2 聊一3 一 话7 所一2 厶 一2 巴一 丢 川一2 肌一3 历一4 3 胁一2 肌一3 一 一 m 一2 k 2 一 子6 所一2 历一3 一 一丢 胁一2 乙一 一2 一 亏4 聊一2 l 一2 f 2 一去川 小一1 肌一2 所一3 一 万2 所 研一1 肌一2 厶 3 一云1 胁 肌一1 一 去 鸣 1 2 即对k m 成立 由归纳法可知定理4 1 成立 定理4 2 的证明 1 5 第四章关于两类特殊数列计数函数的均值 色 量州2 磊州 聂 口4 1 e 最 4 0 f f i n 善 口 刀 t 1 4 一口 气 b 一毛 皑 一气 峨 一气 幄 一气 一 b 4 一毛 b 4 r b 4 n e 一气 4 b a n e 一e 6 b 一 一气 4 b n f k 一晟 一疋 一气 b 4 n f k i 一 一 e 只 4 8 3 f k 6 8 2 f k 幄 b 4 n 2 喜色 最 4 薹蠢 一套e 6 詈岛 一套 4 薹置 一套e 妻c z 1 定理4 2 证毕 定理4 3 的证明 当七 1 2 时 有色 e b e 一o 所以 岛 e 一 a 5 力 o 右南 一l 上z k k 一1 七一2 七一3 七一4 厶一 4 k k 一1 七一2 七一3 互一 上 9 l k k 一1 七一2 丘一 3 上 k k 一1 最圹面1 5 k l 1 2 f k 对k 2 成立 假设上式对所有的七s m 一1 都成立 则由引理4 1 4 3 定理4 1 及恒等 背 可得 l 6 c 一7 f 一5 m 7 l 一4 l 一6 5 f 5 m 6 b 巴 口5 z 宣 墨口5 厅 口5 咒 o 言屯o 彳毛 l 尊丢 2 色 l 嘶 荟 口 以 1 5 o i l 1 1 6 西北大学硕士学位论文 b 己一 口 一 5 色 1 0 b c 1 呱 l 一 5 曰 巴一 e 一 去 m 一1 小一2 胁一3 胁一4 川一5 厶 云4 m 一1 协一2 研一3 小一4 c 巧 去 z 一1 胁一2 卅一3 厶一 去 聊一1 聊一2 艺 一去 朋一1 厶圹砭一1 去 m 一2 胁一3 肌一4 聊一5 所一6 k 7 丢 m 一2 忉一3 肌一4 研一5 一 去 肌一2 研一3 m 一4 厶弓 丢 聊一2 聊一3 艺 去 m 一2 l 3 2 一 5 怯 m 一2 1 扰 3 肌 4 m 5 豸2 m 一2 m 一3 m 4 一丢 2 m 3 去 小一2 k 一2 云1 0 m 一2 所一3 坍一4 k 3 坍一2 历一3 一 研一2 峨 1 陟2 怕h 一丢阶一巩一琢妒陟2 k 珥z 卜 西1 优 耽一1 所一2 历一3 m 一4 k 云4 历 历一1 m 一2 t 一3 两9 聊 聊一1 聊一2 厶 3 去m 朋一1 巴r 去 鸣r 2 巴 且p x l k m 成立 由归纳法可知定理4 3 成立 定理4 4 的证明 b 卜 三刑2 乏州 五 墨 a 5 咒 b 互 瞻 聂吒 口 以 1 5 b 气 b n 一气 5 玩 一气 1 吗 一最 1 0 色 一丘 5 置 一气 n 只 色 一五 色 瓦 色 一e 一毛 5 8 4 u 一五 一e 1 0 马 一e 一e 1 0 b n 一只 一最 5 e n e 一疋 一e 一互 1 岛 一气一 一亿 忍 吃 忍 气 观 气 1 喝 气 1 咀 墨 理 气 1 7 第1 q 章关于两类特殊数列计数函数的均值 b s n 砉色 5 薹日 一套i 1 霎鼠 一妻 1 薹最 一套 4 2 关于l u c a s 计数函数的均值计算 著名的f i b o n a c c i 数列 e 和l u c a s 数列 t 均由二次线性递推公式只 只 e 厶 一l l n 乏0 所定义 其中磊一1 墨一1 厶 2 厶 1 这两个数列在数学的 理论研究中有重要的作用 h l o n d o n 和r f i n k e l s t e i n1 3 2 1 讨论了l u c a s 数列是完全方幂 的情况 张文鹏教授1 3 3 1 利用初等方法给出了关于l u c a s 数列的一系列重要的恒等式 讨 论了关于l u c a s 数的一种新的计数函数a n 并研究了l u c a s 数列计数函数的均值 本 节将讨论4 t 首先 考虑s m a r a n d a c h e 广义基底 s m a r a n d a c h e 教授定义自然数集上的无穷广义 基底 1 一g o 9 1 瓯 他证明了对任意正整数 都能被s m a r a n d a c e 广义基底 唯一表示为 2 扣 并且呦r 叫譬 这种基的概念在分拆理论研究中起 着重要的作用 如果用l u c a s 数列代替 就可以得到一组特殊的基 为简便起见 称之为s m a r a n d a c h el u c a s 基 任意一个正整 可由s m a r a n d a c h el u c a s 基表示为 口t 厶 口t o 1 也就是说 任何一个正整数都可表示成l u c a s 数的和 对任意正整数 定义计数函数 a n 口1 口2 口 对于正整数 2 善口r 厶 本节进一步研究口 的均值分布性质 并给出均值 4 厶 4 荟州 吒d 一 一 r 台 荟 一 暖 孓白 5 鞋 证4如理定 西北大学硕士学位论文 主要结果如下 定理4 5 对于任意正整数k 有 4 厶 薯 丕口4 甩 0 而也 去卜 忌一1 七一2 尼一3 厶一 1 敞 七一1 七一2 e 一 1 必 七一1 厶一 3 崛4 定理4 6 对于任意正整数 设它在l u c a s 基下的表示式为n l k 丘 l k 式中k k t 则有 4 c 塞4l k 4 薹4 一套k 6 薹4 一套i 4 薹4 一砉厶 砉 f 一1 气 4 2 2 定理的证明 定理4 5 的证明 引理4 4 4 l k 一 口 以 啦 o 象l 弓i 理4 5 4 厶 美口2 1 2 扪 丘 2 溉一 引理4 6 4 厶 互口3 忍 2 云1 5 七 h 褂 l k 2 7 k l k 一 引理4 4 4 5 证明见参考文献 3 1 3 2 1 引理4 6 证明见参考文献 3 4 6 1 现用归纳法证明定理4 5 当七一1 2 时 有4 厶 0 a 4 l 2 所以 4 厶 磊口4 疗 去 j i 七一2 七一3 厶一 1 戤 m 七一2 f k l l k k 一1 厶 2 姆一 对k 2 成立 假设匕式对所有的ks m 一1 都成立 则由引理4 4 4 6 及恒等式 l 一5 一巴 6 巴一4 棚乏6 l 一3 k 一5 5 f 一4 m 之5 1 9 第四章关于两类特殊数列计数函数的均值 口j 得 4 厶1 2 磊m 2 磊坼 点 4 e 点 怫1 4 4 k 心 鸥 k 钥 k 叱 未 历一1 册一2 聊一3 川一4 上躺 叫优一1 聊一2 所一3 露4 1 1 历一1 肌一2 上如 3 历一1 j 乙 t 妻 垅一2 垅一3 胁一4 川一5 上o q 所一2 优一3 朋一4 l 乙 1 1 i m 一2 研一3 上 3 历一2 易习 乓 5 历一2 历一3 胁一4 9 肌一2 臃一3 k 7 l 一2 历一2 肌一3 3 肌一2 k 卜4 i m 一2 如叱 去叫优一1 腕一2 聊一3 上 x 8 t l m 一1 历一2 j 乙 1 叫历一1 厶吨 3 吁矗 即对七 肌成立 由归纳法可知定理4 5 成立 定理4 6 的证明 4 量口4 1 互口4 咒 篆 州 4 k 嘶豪k 口 刀 1 4 一彳 气 彳 一气 心 一k 6 a 2 n k 4 a n 一气 n k a 4 n l k f f ia 4 l k 以 一k 一厶 4 4 一厶 一k 鸭 一厶 一毛 q 一厶 一k 一厶 一气 4 一k 一 一k a 4 l 4 k 心 k 鸭 k q 气 l k 4 5 砉4 k 4 薹4 一再i 6 薹4 一套 4 萋4 一套 砉c z 一1 毛 定理4 6 证毕 西北大学硕士学位论文 4 3 关于广义的l u c a s 数的一些恒等式 4 3 1 引言 著名的f i b o n a c c i 数y o n l u c a s 数列具有很多有趣的性质 这两个数列的一些重要的性 质在计算数学和最优化技术中有广泛应用 许多学者对于f i b o n a c c i 数列及广义的f i b o n a c c i 数列进行了研究 取得了较多的研究成果 如史永堂 3 7 讨论7 f i b o n a c c i 多项式的一 些性质 席高文f 3 8 4 0 j n 用数学归纳法给出了广义f i b o n a c c i 数的一些恒等式 朱伟义 4 1 l 也给出了一部分广义f i b o n a c c i 数的有限和的证明 杨存典等1 4 2 讨论了广义高阶f i b o n a c c i 数的计算公式 f i b o n a c c i 数列和l u c a s 数列虽说有相似之处 但也有很大的差别 特别是 在解偶次丢番图方程中 l u c a s 序列的性质是不可缺少的工具 然而关于l u c a s 数列的研 究却比较少 因此 我们对广义l u c a s 数列的性质进行了研究 得出了一些有趣的结果 若 广义l u c a s 数列定义如下 l k 以 k l k 刀 1 l k 刀一2 z 七 0 2 l k 1 1 其中咒一o 1 z j 当k 一1 时上式为l u c a s 数 w j z 足 j 本节将证明广义l u c a s 数列的一些恒等式 4 3 2 预备知识 为了证明广义l u c a s 数列式的一些恒等式 首先给出几个引理 引理4 7 以 一孵一 一1 1 抽 3 证明用数学归纳法证明 当 ln i t l 2 时 由定义可知引理1 显然成立 假设当挖a m 时引理1 成立即 一 一以 一1 1 放 3 贝0 当 z m 1 时 w m w 2 w 2 1 w m k w 1 一 老 1 w m 七 一 毒 一一 一 一以 一1 2 2 k 3 因此 引理4 7 得证 第四章关于两类特殊数列计数函数的均值 引理4 8 证明由 一 昙 嵋一幢 一1 2 k 3 帆 m 和 一 一一 一1 1 2 k 3 可得 以 帆一 一 一 一帆一 畦 一1 1 2 k 3 所以w 一 昙 以一 一1 广 放 3 引理4 8 靴i e 引理4 9 证明 以 一1 1 2 k 3 由 一 m 一嵋 一1 1 2 k 3 所以可得 引理4 9 得证 4 3 3 主要结果 定理4 7 一 一以一 一1 1 2 k 3 h 证明根据定义有 w j w i 1 所以定理4 7 成立 定理4 8 蟛j j l 所以后套 2 喜 w m 一 一 5 薹 雌 一 一m 1 一 一1 嵋 1 一m w o 比 1 3 1 一2 证明根据定义有k w j w j 1 一 1 故 2 w j 1 w j 一叶一1 w j 那么 由此可得套砖 旦础k何 七套砖2 喜 一 一一一t k 1 一2 2 2 华 y 角 y 角 七 西北犬学硕士学位论文 定理4 9 舯 一出毕 证明令s 一w l 一w 3 一1 那么 舾 一帆