高中数学 2.2《直接证明与间接证明》素材3 苏教版选修12.doc

联立分析法、综合法分析法和综合法是两种常用的解题方法，有时候我们会把这两种方法结合起来使用一、用分析法寻找思路，用综合法表述过程例已知，求证：分析：本题用综合法不容易找到证明思路，因此用分析法探路要证原不等式成立，由得，因此移项，只需证通分得，即证只需证成立思路找到证明：，即点评：分析法解题方向较为明确，有利于寻找解题思路；综合法条理清晰，宜于表述因此，在实际解题时，通常以分析法为主寻求解题思路，再用综合法有条理地表述过程二、分析法与综合法联合使用对于那些较为复杂的数学命题，不论是从“已知”推向“未知”，或者是由“未知”靠拢“已知”，都有一个比较长的思考过程，单靠分析法或综合法显得较为困难为保证探索方向准确及过程快捷，人们常常把分析法与综合法两者结合起来使用，即常采取同时从已知和结论出发，寻找问题的一个中间目标从已知到中间目标运用综合法思索，而由结论到中间目标运用分析法思索，以中间目标为桥梁沟通已知与结论，构建出证明的有效路径上面所言的思维模式可概括为如下图所示：综合法与分析法是逻辑推理的思维方法，它对于培养思维的严谨性极为有用把分析法与综合法并列起来进行思考，寻求问题的解答途径，就是人们通常所说的分析综合法例2若a，b，c是不全相等的正数，求证：证明：要证，只需证，只需证但是，且上述三式中的等号不全成立，所以因此点评：这个证明中的前半部分用的是分析法，后半部分用的是综合法反证法知识点睛反证法是一种重要的间接证明方法，在数学中使用相当普遍下面加以系统归纳，供参考一、反证法的基本内容定义；思考过程、特点；解题步骤；推出矛盾情形二、注意事项注意一：“否定所证结论”是反证法的第一步，它的正确与否直接影响能否正确使用反证法否定结论的步骤是：弄清结论本身的情况；找出结论的全部相反情况；正确地否定上述结论注意二：反证法中引出矛盾的结论，不是推理本身的错误，而是由于开始假定“结论的反面是正确的”是错误的注意三：在反证法证题的过程中，经常画出某些不正确的图形，甚至是不可能存在的图形，这样做的目的，是为了能清楚地说明问题在证明过程中，每一步推理所得结论的正确性，应完全由它所依据的理由来保证，而不能借助图形的直观性，这与用直接证法借助图形的直观性找到证题的途径是不完全一样的注意四：用反证法证明命题时，若原命题结论的反面不惟一，这时要把每种可能一一否定，不要遗漏三、何时运用反证法1正面繁琐或困难时宜用反证法；2惟一性命题可考虑用反证法；3当命题的结论涉及“至少”、“至多”、“无限”时，可考虑用反证法；4当问题的结论是以否定形式出现的否定性命题，可考虑用反证法；5当反面结论比原结论表述更明确时，可考虑用反证法四、典例剖析例已知函数对其定义域内的任意两个实数a、b，当时，都有求证：至多有一个实数x使得证明：假设存在两个不等实数，使得（）不妨设，由条件可得，与（）式矛盾故至多有一个实数x使得点评：此命题中出现“至多”，宜用反证法欲证“至多有一个”，可从反面假设存在“两个”，证明过程中出现矛盾，即证得原命题成立例2已知，求证：分析：本题已知为关于p、q的三次幂等式，而结论中只有p、q的一次幂，应考虑求其立方根，同时用到放缩法，但很难得证这时可考虑反证法证明：假设，则将其两边立方，得将代入上式，得，即，与矛盾故点评：当命题“结论反面”比“结论”更明确具体时，可采用反证法本题的结论的反面只有一种情况，故推翻此种情况就可达到证明目的反证法中的“特殊化”反证法是一种重要的证明方法反证法的难点在于提出与结论相反的假设后，如何合理地展开思路，以便尽快凸现矛盾笔者认为，“特殊化”有时是反证法得以成功的一个重要突破口一、特殊值巧合的数目，特殊的数字，个性化的特征，看似纯属偶然，但往往蕴含着正确的解法的必然例1设、是上的函数证明：存在、，使得分析：要找出具体的、，难以下手，不妨考虑用反证法证明：假设这样的、不存在取特殊值，得同理，故，这是不可能的因此，原命题成立注：本题反复利用0与1这两个特殊值，并进行凑配，从而推得矛盾“”二、特殊运算某些相对独立的对象各有各的特点，不足以发现问题的本质，而通过特殊运算使之形成一个整体，矛盾便暴露无遗了1求和例2今有有限个砝码，它们的总重量是，将它们分别编号为1，2，证明：从这有限个砝码中必可找出一个编号为的砝码，它的重量大于证明：假设不存在这样一个编号，使得相应的砝码重量设共有个砝码，从而，有，累加求和得，矛盾 因此，原命题成立2求积例3证明：任何三个实数都不可能同时满足下列三个不等式：，分析：本题要证明所有的对象都具有同一性质，无法从正面考虑，宜用反证法证明：假设存在某三个实数同时满足题设的三个不等式将它