新标准下向量法和空间几何教学探索.doc

新标准下向量法和空间几何教学探索摘要：向量是刻画现实世界的重要数学模型，通过向量解题的学习，有助于引导学生探索、发现数学结论，建立学生开放的数学知识框架，达到育人的目地。向量法是现代数学解题中的一种很重要的方法，它是中学数形结合的最好一种手段，本文简单地探究了向量教学的几种常见方法，及向量法和立体几何的关系。关键字 向量法 空间几何 解题 我们知道向量是刻画现实世界的重要数学模型。力、速度、位移等在实际生活中随处可见，这些都是向量的实际背景，可以用向量加以刻画和描述。通过向量解题的学习，有助于学生认识到向量与实际生活的紧密联系，向量在解决实际问题中的广泛应用，从中感受到数学的价值；有助于学生认识数学内容之间的内在联系，体验数学的发展与创造过程；有助于发展学生的运算能力和推理能力；有助于引导学生探索、发现数学结论，建立学生开放的数学知识框架，达到育人的目地。所谓向量法，即从问题的条件入手，找到与向量知识相关点，转化为向量背景下的形式，借助向量的运算法则求解，然后回到原问题中达到解决问题的目地。一般我们可以理解向量法解决问题的模块为：实际问题数学问题向量问题结果与推理向量计算一、中学中向量法解题的几种常见数学思想方法1.1、向量的充要条件：当我们在研究问题时，会遇到一些个别情形，如平行、垂直等，而直接研究它们较困难，那么我们可以利用己知的充要条件到解决问题。如课本中研究点线关系时，可以利用共线、垂直的充要条件。1.2、数形结合：向量运算貌似代数，但它其实是几何，故而它是数形结合的典范。它把几何问题转化为代数问题，即实现形数形，或是把数赋予几何意义，即实现数形数，从而解决问题。将向量问题归结为几何图形问题，可以借助几何图形的性质简化问题；将向量问题赋予坐标表示，可以减弱问题解决的难度。1.3、建立坐标系：向量问题实数化策略如当一个题目中所出现的平面图形较为规则(如正方形、矩形、圆等)时，只须建立适当的坐标系，就能将平面图形中的点、线转化为坐标系中的坐标，从而达到将向量问题转化为实数问题，使解题人实现知识的正迁移。一般地，对于任意背景下的向量，我们都可以根据问题的特征建立适当的坐标系，实现向量的实数化。1.4、映射思想：当处理甲问题有困难时，可以联想适当的映射，把问题甲及其关系结构，映射成与它有一一对应关系且容易处理的问题再把所得结果通过逆影射返回到原来的问题中去，得到原问题的解决方案。例如建立适当坐标系，把向量利用坐标表示，利用数的运算推理解决问题。1.5、基本定理：比较基向量对应系数得出实数方程组，即是平面内一个基底，若任意一个向量具有两种表达式：则。二、向量法和立体几何空间向量的引入，给传统的立体几何内容注入了新的活力，向量是既有大小又有方向的量，既具有图形的直观性，又有代数推理的严密性，是数形结合的一个很好的桥梁。而空间向量是处理空间问题的重要方法，通过将空间元素间的位置关系转化为数量关系，化繁难为简易，化复杂为简单，为学生处理某些立体几何问题提供了的新视角。借助空间向量这一工具，增加了可操作性，从而减轻了学生负担，使他们对立体几何更容易产生兴趣。我们教师知道，以往学习立体几何采用“形到形”的推理方法，即要求学生根据题设条件，将空间图形转化为平面图形，再由线面、线线等关系确定结果，从而达到培养学生空间想象能力的目的。但对大多数大多数学生来说，特别是像我们这类农村的高中学生来讲，掌握这种“形到形”的推理方法比较困难，特别是求线面角，二面角和距离时连垂线都难以找到，大家想想其难度可想而知。现在大纲对向量明确指出：（1）几何发展的根本出路是代数化，引入向量研究几何是几何代数化的需要；（2）向量运算体系与算术，代数运算体系基本相似，学生们就可以运用他们熟悉的代数方法进行推理，来掌握空间图形的性质。（3）通过使用向量方法学习立体几何，可使学生较牢固地掌握向量代数工具，从而丰富学生的思维结构和运算数学的能力。下面以向量处理空间几何所成的角为例进行说明。2.1空间异面直线成角直线AB与直线CD所成的角用向量可以表示为这里需要注意的是异面直线所成的角是指所成的锐角或直角。其余弦值为正值，求出向量间的夹角后要取其绝对值所得的才是最终结果。用综合法一般是要经过平移，然后在三角形中解决问题。2.2直线与平面所成的角如右图所示，直线AB与平面所成的角是由平面的法向量与AB所成的角刻画的。如果直线AB与平面所成的角为，那么AA B 我们看到与向量间的夹角是互余的。然而很多同学在做题中没有意识到这个问题，使得最后得到的恰好是所求线面角的余角。用综合法一般我们会找直线的垂线，利用垂线斜线和射影所组成直角三角形来解决问题 2.3、平面与平面所成的二面角设、是二面角的两个面，分别是、的法向量，如图所示两个法向量的方向都只向二面角的内部（或同指向外部）则这个二面角的大小就是：如果两个法向量一个指向二面角的内部而另一个指向二面角的内部，那么这个二面角的大小就是。用综合法的时候一般会将二面角的一个平面角做出来，再利用解三角形来求出二面角的一个平面角的大小从而得到面面夹角。A B C N M 解决空间角的三大步骤是找角、构造三角形、求角。对学生来说，难点在于找角，往往大多数学生都很难正确找到角，尤其是二面角问题一直是学生的薄弱环节。由于用向量法引入了法向量后，为解决二面角问题提供了新视角，从而较好地解决了学生立体几何求角问题。例如：在直三棱柱中，点N在上，且，求二面角的大小。 对于此问题，如果学生用综合法做，找二面角比较困难，需要引许多辅助线，即使这样做也未必找到符合条件的二面角。由于此题是直三棱柱，有明显的三维立体空间，便于建立空间直角坐标系，所以对学生来说运用向量法解决此问题有明显的解题思路。利用向量法通过建系、设点、设法向量，求出两个法向量的夹角（或其补角）从而使问题很容易得到解决。以上解题过程有章可循，程式化明显，符合大部分学生的思维特点，易于学生掌握。通过这样的训练使学生对于空间角的问题不再感觉高不可攀，遥不可及，空间角的问题不再成为他们学习立体几何的障碍。这从另一方面也大大激发了学生学习立体几何的兴趣，从而树立起他们学好数学的自信心。事实证明，法向量在求角、距离以及证明平行垂直中都有非常广泛的应用，它在中学教学中的出现，是对传统的立体几何知识一个很好的补充及加深。那么如何加强我们向量法教学呢？特别是新标准的要求下，更值得我们研究，下面是我的一些粗略看法：首先更换训练角度A B C D F O M E 更换角度的思维训练是培养学生灵活与敏捷思维、改变呆板性思维的一项有效途径。学生的呆板性，主要表现在不能根据数学题型的变化规律而选择相应的解题方法，因此，只有通过更换角度的思维训练打破呆板性的定势思维，在解答立体几何题时，综合法解题比较困难时，要采取另一种方法向量法进行思考，几何法解题不通时，要想着用代数法来解，注重一题多解，一题多变的培养，学生对几何体从不同的角度去观察思考，灵活地运用知识去解决问题，能起到举一反三，触类旁通之效，这种一题多解的训练是思维广阔性训练的重要方面，它不但有利于开拓学生思维，以达到灵活思维与敏捷思维训练的目的,而且调动了学学生学习数学的兴趣和积极性。例如：已知正方体的棱长为a ，求异面直线BD与的距离。方法1 求两异面直线的距离，一般思路是找到它们的公垂线段：如图，连AC交BD于O，取的中点M，连BM交于E，连结，则OMAC1，过E作EFOM交OB于F，则EFAC1，又斜线AC1的射影为AC，BDAC，从而，同理，EF为BD与的公垂线。两异面直线间的公垂线段有且仅有一条，因此，通常找出公垂线段较为敏琐。如果能摒弃这种呆板的做法，化静为动，则可使问题迎刃而解。方法2 联想到立几中，直线与平面，平面与平面间距离可以互相转化，由解法2得到启发，BD与的距离可以转化为两平面间的距离。即平面与平面之间的距离，易让平面平面，用等积法易求A到面的距离为，同理可知到面的距离为，而，故两平面的距离为 A B C D 方法3 观察下图，易知BD，因此，BD平面，故BD与的距离可化为直线上任一点到平面的距离，再转化为点到平面的距离由得方法4 由方法3可知，所求转化为点到面的距离，我们可以用向量法，先求面的法向量再根据公式求得。第二要开拓训练视野根据学生数学思维的浅陋性特征，只有不断开拓他们的训练视野拓宽思路，才能将学生从狭隘，单一的思维空间解脱出来，力求从课内到课外，从校内到校外，多渠道、多形式地开展各种思维训练，使学生的数学思维从具体到抽象，从抽象到具体，善于以各种数学试题的已知条件，经过分析、判断弄清解题的数量关系，而不被一些司空见惯的表面数量关系所迷惑，努力从思维的深度与广度入手，逐步克服学生思维浅陋的不良习惯。重视类比转化，培养学生数学思维的深刻性，进行类比转换教学。再比如向量在向量上的射影（投影）是（其中为向量与向量的夹角，即），从向量射影的概念可知，向量在向量方向上的射影的绝对值是一个数量，但其绝对值有怎么样的几何意义呢？不难发现，向量在向量上的射影（投影）的绝对值是线段在直线上的射影线段长，这一几何意义的挖掘，提升了向量的应用性，从而为我们求点到面的距离奠定了基础。例如：将空间的数积，类比于平面向量的数积，将空间向量的夹角公式类比于平面向量的夹角公式第三要打破思维定势任何人在思考问题时，都会受到思维定势的作用，鉴于思维定势的两重性，我们在教学时如何挖掘思维定势的正效应（正迁移）的积极因素，克服思维定势的负效应（负迁移）的消极影响，这不仅是提高数学教学质量的有力保障，而且也是我们必须研究的一个重要课题。 （1）利用思维定势的正效应，提高课堂教学的效率（2）打破思维定势，消除负面影响产生思维定势的负效应的根源在于“定”，在教学中，应通过多种形式的思维训练不断推陈出新，以“变”克“定”，才能不断找到新的解题途径。在思维和解题过程中，应该总结某些题的常规作法，做到遇到问题有“法”可循，有“路”可行，但有些学生往往忽视知识的灵活运用，受某些方法的局限形成一定的思维定势。影响思维的灵活性，因而在教学中应设法克服学生的某些思维定势，注重启发学生多角度思维，数形结合，使代数与几何知识统一起来，便于深刻理解数学知识，从心理学角度看，这是直观与抽象、感知与思维的结合，从而培养学生思维的灵活性和全面性。A明书S明书D明书C明书B明书例如，四边形是平行四边形，且是边长为的正三角形，并且平面平面，求证由于底面是平行四边形，没有明显的三维立体空间，由于学生的思维定势，呆板，所以在解题过程中，明显感觉建系困难，找点的坐标困难。应在教学过程中，加强培养学生思维的灵活性，打破思维定势。 总之向量是现代数学中一个重要概念，它具有几何和代数双重身份，因此它成为研究几何、代数问题的共同工具，同时，它也是研究力学、电学以及许多现代科学技术的有力工具，向量法同时也是向量的核心问题，我们在教学中要充分发挥向量这个强而有力的数学工