高中数学 新教材变式题7《立体几何》.doc

七、立体几何1（人教a版，必修2p17第4题）图1是一个几何体的三视图，想象它的几何结构特征，并说出它的名称图1正视图侧视图俯视图变式题1如图11是一个几何体的三视图（单位：cm）（）画出这个几何体的直观图（不要求写画法）；（）求这个几何体的表面积及体积；（）设异面直线与所成的角为，求图11俯视图正视图侧视图解：（）这个几何体的直观图如图12所示（）这个几何体是直三棱柱图12由于底面的高为1，所以故所求全面积这个几何体的体积（）因为，所以与所成的角是在中，故2（人教a版，必修2，p20例3）如图2，已知几何体的三视图，用斜二测画法画出它的直观图图2俯视图正视图侧视图变式题21如图21已知几何体的三视图（单位：cm）（）画出它的直观图（不要求写画法）；（）求这个几何体的表面积和体积图21正视图侧视图俯视图解（）这个几何体的直观图如图22所示（）这个几何体是一个简单组合体，它的下部是一个圆柱（底面半径为1cm，高为2cm），它的上部是一个圆锥（底面半径为1cm，母线长为2cm，高为cm）所以所求表面积，图22所求体积变式题22如图23，已知几何体的三视图（单位：cm）（）画出这个几何体的直观图（不要求写画法）；（）求这个几何体的表面积及体积；（）设异面直线、所成角为，求（理科考生）俯视图正视图侧视图图23解：（）这个几何体的直观图如图24所示（）这个几何体可看成是由正方体及直三棱柱的组合体图24由，可得故所求几何体的全面积所求几何体的体积（）由，且，可知，故为异面直线、所成的角（或其补角）由题设知，取中点，则，且，由余弦定理，得3（北师大版必修2p31第4题）如图3，已知e，f分别是正方体的棱和棱上的点，且，求证：四边形是平行四边形图3变式题：如图31已知、分别是正方体的棱和棱的中点图32（）试判断四边形的形状；（）求证：平面平面解（）如图32，取的中点，连结、分别是和的中点，图31，在正方体中，有，四边形是平行四边形，又、分别是、的中点，四边形为平行四边形，故四边形是平行四边形又，故四边形为菱形（）连结、四边形为菱形，在正方体中，有，平面又平面，又，平面又平面，故平面平面4（人教a版，必修2，p74例2）图4如图4，在正方体中，求直线与平面所成的角图41变式题：如图41，已知正四棱柱中，底面边长，侧棱的长为4，过点作的的垂线交侧棱于点，交于点（）求证：平面；（）求与平面所成的角的正弦值解：（）如图42，以为原点，、所在直线分别为、轴建立空间直角坐标系设，则图42，又，且且且平面（）由（）知是平面的一个法向量，又，与平面所成角的正弦值为5（人教a版，必修2，p87，第10题）如图5，已知平面，且是垂足，试判断直线与的位置关系？并证明你的结论图5图51变式题51，如图5，已知平面，且是垂足（）求证：平面；（）若，试判断平面与平面的位置关系，并证明你的结论变式题51，如图5，已知平面，且是垂足（）求证：平面；（）若，试判断平面与平面的位置关系，并证明你的结论解（）因为，所以同理又，故平面（）设与平面的交点为，连结、因为平面，所以，所以是二面角的平面角又，所以，即在平面四边形中，所以故平面平面图52变式题52如图51，已知直二面角，与平面、所成的角都为，为垂足，为垂足（）求直线与所成角的大小；（）求四面体的体积解：（）如图52，在平面内，作，连结、则四边形为平行四边形，所以，即为直线与所成的角（或其补角）因为所以同理又与平面、所成角为，所以，所以，在中，从而因为，且为平行四边形，所以又，所以故平面，从而在中，所以，即直线与所成角的大小为（）在中，所以三角形的面积，故四面体的体积6（人教a版，必修2，p87，b组第1题）如图5，边长为2的正方形abcd中，（1）点是的中点，点是的中点，将分别沿折起，使两点重合于点，求证：（2）当时，求三棱锥的体积图6变式题如图51，在矩形中，是的中点，以为折痕将向上折起，使为，且平面平面（）求证：；（）求直线与平面所成角的正弦值图61解（）在中，在中，平面平面，且交线为，图62平面平面，（）设与相交