高中数学 第一章§2.2绝对值不等式的解法导学案 北师大版选修45.doc

2.2绝对值不等式的解法1会利用绝对值的几何意义来证明不等式2掌握|axb|c，|axb|c，|xa|xb|c和|xa|xb|c的求解及证明方法1(1)解绝对值不等式的主要依据解含绝对值的不等式的主要依据为_、_及不等式的性质(2)绝对值不等式的解法(同解性)|x|a|x|a【做一做1】解下列绝对值不等式：(1)|x|3；(2)|x|42|axb|c(c0)，|axb|c(c0)型不等式的解法(1)|axb|c(c0)型不等式的解法：先化为不等式组_，再利用不等式的性质求出原不等式的解集，也可以利用绝对值的几何意义求解(2)|axb|c(c0)的解法：先化为_和_，再进一步利用不等式的性质求出原不等式的解集，也可以利用绝对值的几何意义求解【做一做21】不等式|x4|9的解集是_【做一做22】不等式|2x1|x1的解集为_3|xa|xb|c和|xa|xb|c型不等式的解法解法一：可以利用绝对值的_(简称几何法)解法二：利用分类讨论的思想，以绝对值的“_”为分界点，将数轴分成几个区间，然后确定各个绝对值中的多项式的_，进而去掉_(简称分段讨论法)解法三：可以通过_，利用_，得到不等式的解集(简称图像法)由上可以看出：解含有绝对值的不等式，关键在于利用绝对值的意义设法去掉_，把它转化为一个或几个普通_或_(即不含绝对值符号)【做一做3】解不等式|2x5|x1|2答案：1(1)绝对值的定义几何意义(2)axa无解xa或xax0xr【做一做1】解：(1)30，3x3(2)40，x4或x42(1)caxbc(2)axbcaxbc【做一做21】x|x13或x5由原不等式，得x49或x49，解得x5或x13【做一做22】原不等式可化为不等式组：或解得x0或x3几何意义零点符号绝对值符号构造函数函数图像绝对值符号不等式不等式组【做一做3】分析：利用零点分区间法解题解：令2x50，得x令x10，得x1(1)当x1时，原不等式等价于(2x5)(x1)2，即x62，即x4，无解(2)当1x时，原不等式等价于(2x5)(x1)2，即3x42，即xx(3)当x时，原不等式等价于(2x5)(x1)2，即x62，即x8x8综上，得原不等式的解集为用分段讨论法解含绝对值的不等式剖析：分段讨论法解含绝对值的不等式时，是先求出使每一个绝对值符号内的数学式子等于零的未知数的值(称为零点)，将这些值依次在数轴上标注出来，它们把数轴分成若干个区间，讨论每一个绝对值符号内的式子在每一个区间上的符号，去掉绝对值符号，使之转化为不含绝对值的不等式求解，求解过程中不要丢掉对区间端点的讨论，以免漏解在分段讨论过程中，每一段的讨论都有一个“x”的范围(或值)作为本段讨论的前提，这与解含参数的不等式有些类似，但本质上又不同，每一段的讨论结果，都是“x”的前提范围与本段含绝对值不等式去掉绝对值号的不等式解集的交集，而最后的不等式的解集应是每一段结果的并集；解含参数的不等式讨论时，每一步的前提条件是参数所取的范围(或值)，每一步间的结果各自独立不存在“交、并”集的说法，因此最后的结果也必须在参数的不同限制范围下叙述结论所以解含绝对值不等式与解含参数不等式，虽然都是用的分段讨论法，但实质上是不同的这就要求准确理解和把握各自不同的解题思路及解题过程，以免出错题型一|axb|c(c0)和|axb|c(c0)型不等式的解法【例1】解不等式2|2x5|7分析：分清楚绝对值不等式的类型，利用绝对值不等式的同解性或几何定义求解反思：(1)|axb|c(c0)axbc或axbc；(2)|axb|c(c0)caxbc在实际问题中，我们应先把x的系数化为正数后再求解题型二|xa|xb|c型不等式的解法【例2】解不等式|x1|x2|5分析：这个绝对值不等式比较复杂，我们需要从它的几何意义来分析，设数轴上与2,1对应的点分别是a，b，那么不等式的解就是数轴上到a，b两点的距离之和不小于5的点所对应的实数所以我们只要在数轴上确定出具有上述特点的点的位置，就可以得出不等式的解集反思：本例题有三种解题方法，各有特点解法一可利用绝对值不等式的几何意义，体现了数形结合思想从中可以发现，理解绝对值的几何意义，给绝对值不等式以准确的几何解释是解题关键解法二可利用|x1|0，|x2|0的解，将数轴分为三个区间，然后在这三个区间上将原不等式转化为不含绝对值符号的不等式而求解，体现了分类讨论思想从中可以发现，以绝对值的“零点”为分界点，将数轴分为几个区间的目的是为了确定各个绝对值中的多项式的符号，进而去掉绝对值符号解法三可通过构造函数，利用函数的图像，体现了函数与方程的思想从中可以发现，正确求出函数的零点并画出函数图像(有时需要考察函数的增减性)是解题的关键题型三|xa|xb|c型不等式的解法【例3】求关于x的不等式|x4|x2|6的解集反思：分类讨论法，令|xa|0，|xb|0从而把数轴分成3部分，在各个小区间上去掉绝对值号求解，最后写出并集即可答案：【例1】解：解法一：原不等式等价于解得原不等式的解集为解法二：原不等式的解集是下面两个不等式组解集的并集原不等式可化为(1)或(2)解不等式组(1)，得x6解不等式组(2)，得1x原不等式的解集为【例2】解：解法一：(几何法)如图，设数轴上与2,1对应的点分别是a，b，那么a，b两点的距离是3，因此区间2,1上的数都不是原不等式的解为了求出不等式的解，关键要在数轴上找出与点a，b的距离之和为5的点将点a向左移动1个单位到点a1，这时有|a1a|a1b|5；同理，将点b向右移动1个单位到点b1，这时也有|b1a|b1b|5从数轴上可以看到，点a1与b1之间的任何点到点a，b的距离之和都小于5；点a1的左边或点b1的右边的任何点到点a，b的距离之和都大于5所以，原不等式的解集是(，32，)解法二：(分段讨论法)(1)当x2时，原不等式可以化为(x1)(x2)5，解得x3，即不等式组的解集是(，3(2)当2x1时，原不等式可以化为(x1)(x2)5，即35，矛盾所以不等式组的解集为(3)当x1时，原不等式可以化为(x1)(x2)5，解得x2，即不等式组的解集是2，)综上所述，原不等式的解集是(，32，)解法三：(图像法)将原不等式转化为|x1|x2|50构造函数y|x1|x2|5，即y作出函数的图像(如图)，它是分段线性函数，函数的零点是3,2从图像可知，当x(，32，)时，有y0，即|x1|x2|50所以原不等式的解集是(，32，)【例3】解：令x40，得x4令x20，得x2(1)当x4时，原不等式等价于(x4)(x2)6，得2x26，即x4x4(2)当4x2时，原不等式等价于(x4)(x2)6，即66成立4x2(3)当x2时，原不等式等价于(x4)(x2)6，得2x26，即x2x2综上，知原不等式的解集为x|4x21下列不等式中，解集为r的是()a|x2|1 b|x2|11c(x78)21 d(x78)2102不等式的解集是()ax|0x2 bx|x0或x2 cx|x0 dx|x23不等