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必修部分计算题汇总运动、牛顿运动定律24(10年)(14分) 短跑名将博尔特在北京奥运会上创造了100m和200m短跑项目的新世界纪录，他的成绩分别是969 s和l930 s。假定他在100 m比赛时从发令到起跑的反应时间是015 S，起跑后做匀加速运动，达到最大速率后做匀速运动。200 m比赛时，反应时间及起跑后加速阶段的加速度和加速时间与l00 m比赛时相同，但由于弯道和体力等因素的影响，以后的平均速率只有跑l00 m时最大速率的96。求： (1)加速所用时间和达到的最大速率： (2)起跑后做匀加速运动的加速度。 (结果保留两位小数)【答案】（1）1.29s 11.24m/s （2）8.71m/s2【解析】(1)加速所用时间t和达到的最大速率v，联立解得：，(2)起跑后做匀加速运动的加速度a， ，解得：带电粒子在磁场中的运动25(10年)(18分) 如图所示，在0xa、oy范围内有垂直手xy平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B。坐标原点0处有一个粒子源，在某时刻发射大量质量为m、电荷量为q的带正电粒子，它们的速度大小相同，速度方向均在xy平面内，与y轴正方向的夹角分布在0范围内。己知粒子在磁场中做圆周运动的半径介于a2到a之间，从发射粒子到粒子全部离开磁场经历的时间恰好为粒子在磁场中做圆周运动周期的四分之一。求最后离开磁场的粒子从粒子源射出时的 (1)速度的大小：(2)速度方向与y轴正方向夹角的正弦。AxyDPORCva【答案】（1）（2）【解析】设粒子的发射速度为v，粒子做圆周运动的轨道半径为R，根据牛顿第二定律和洛伦兹力得：，解得： 当a/2Ra时，在磁场中运动的时间最长的粒子，其轨迹是圆心为C的圆弧，圆弧与磁场的边界相切，如图所示，设该粒子在磁场中运动的时间为t，依题意，t=T/4时，OCA=/2设最后离开磁场的粒子的发射方向与y轴正方向的夹角为，由几何关系得：，且解得：运动、牛顿运动定律24(11年).（13分）甲乙两辆汽车都从静止出发做加速直线运动，加速度方向一直不变。在第一段时间间隔内，两辆汽车的加速度大小不变，汽车乙的加速度大小是甲的两倍；在接下来的相同时间间隔内，汽车甲的加速度大小增加为原来的两倍，汽车乙的加速度大小减小为原来的一半。求甲乙两车各自在这两段时间间隔内走过的总路程之比。答案：57解析：设汽车甲在第一段时间间隔末（时刻t0）的速度为v，第一段时间间隔内行驶的路程为s1，加速度为a；在第二段时间间隔内行驶的路程为s2，由运动学公式得： v = at0 设汽车乙在第一段时间间隔末（时刻t0）的速度为v，第一段时间间隔内行驶的路程为s1，在第二段时间间隔内行驶的路程为s2，由运动学公式得： v = 2at0 设汽车甲、乙的总路程分别为：s、s ，则有：s = s1 + s2 s = s1 + s2 联立以上各式解得：ss = 57 评分参考：式各2分，式各1分，式2分。带电粒子在磁场中的运动25(11年).（19分）如图，在区域I（0xd）和区域II（dx2d）内分别存在匀强磁场，磁感应强度大小分别为B和2B，方向相反，且都垂直于Oxy平面。一质量为m、带电荷量q（q0）的粒子a于某时刻从y轴上的P点射入区域I，其速度方向沿x轴正向。已知a在离开区域I时，速度方向与x轴正方向的夹角为30；此时，另一质量和电荷量均与a相同的粒子b也从P点沿x轴正向射入区域I，其速度大小是a的1/3。不计重力和两粒子之间的相互作用力。求（1）粒子a射入区域I时速度的大小；（2）当a离开区域II时，a、b两粒子的y坐标之差。答案：B解析： （1）设粒子a在内做匀速圆周运动的圆心为C（在y轴上），半径为Ra1，粒子速率为va，运动轨迹与两磁场区域边界的交点为P，如图，由洛仑兹力公式和牛顿第二定律得 由几何关系得 PCP = 式中 = 30 由式得 (2)设粒子a在内做圆周运动的圆心为Oa ，半径为Ra2，粒子射出点为Pa(图中未画出轨迹)，POaPa = ，由洛仑兹力公式和牛顿第二定律得 由式得 C、P、Oa 三点共线，且由式知Oa 必位于 的平面上，由对称性知Pa 与P点的纵坐标相同，即 式中h为C点的y坐标.且 = 60 设b在中运动的轨道半径为Rb1，由洛仑兹力公式和牛顿第二定律得解得： 设a到达Pa点时，b位于Pb点，转过的角度为，如果b没有飞出，则解得：式中，t是a在区域中运动的时间，而解得：由式得 = 30 由式可见，b没有飞出。Pb点的y坐标为yPb= Rb1(2+cos )+h 由式及题给条件得，a、b两粒子的y坐标之差为评分参考：第(1)问8分，式各2分，第(2)问11分，式各1分，式2分，式1分，式各2分。受力分析、平衡24(2012年).（14分）拖把是由拖杆和拖把头构成的擦地工具（如图）。设拖把头的质量为m，拖杆质量可以忽略；拖把头与地板之间的动摩擦因数为常数，重力加速度为g，某同学用该拖把在水平地板上拖地时，沿拖杆方向推拖把，拖杆与竖直方向的夹角为。（1） 若拖把头在地板上匀速移动，求推拖把的力的大小。（2） 设能使该拖把在地板上从静止刚好开始运动的水平推力与此时地板对拖把的正压力的比值为。已知存在一临界角0，若0，则不管沿拖杆方向的推力多大，都不可能使拖把从静止开始运动。求这一临界角的正切tan0。答案（1）了 （2）解析（1）设该同学沿拖杆方向用大小为F的力推拖把，将推拖把的力沿竖直和水平分解，按平衡条件有 式中N与f分别为地板对拖把的正压力和摩擦力。按摩擦定律有联立式得一、 若不管沿拖杆方向用多大的力都不能使拖把从静止开始运动，应用这时，式仍满足，联立式得现考察使上式成立的角的取值范围，注意到上式右边总是大于零，且当F无限大时极限为零，有0使上式成立的角满足0，这里是题中所定义的临界角，即当0时，不管沿拖杆方向用多大的力都推不动拖把。临界角的正切值为带电粒子在电场、磁场中的运动25(2012年).（18分）如图，一半径为R的圆表示一柱形区域的横截面（纸面）。在柱形区域内加一方向垂直于纸面的匀强磁场，一质量为m、电荷量为q的粒子沿图中直线在圆上的a点射入柱形区域，在圆上的b点离开该区域，离开时速度方向与直线垂直。圆心O到直线的距离为。现将磁场换为平等于纸面且垂直于直线的匀强电场，同一粒子以同样速度沿直线在a点射入柱形区域，也在b点离开该区域。若磁感应强度大小为B，不计重力，求电场强度的大小。答案解析粒子在磁场中做圆周运动，设圆周的半径为r，由牛顿第二定律和洛仑兹力公式得 式中v为粒子在a点的速度。过b点和O点作直线的垂线，分别与直线交于c和d点。由几何关系知，线段、和过a、b两点的轨迹圆弧的两条半径