小波变换基本方法.ppt

小波变换 小波变换既有频率分析的性质 又能表示发生的时间 有利于分析确定时间发生的现象 傅立叶变换只具有频率分析的性质 小波变换的多分辨率的变换 有利于各分辨度不同特征的提取 图像压缩 边缘抽取 噪声过滤 小波变换一个信号为一个小波级数 这样一个信号可由小波系数来刻画 小波变换速度比傅立叶快一个数量级 长度为M的信号 计算复杂度 傅立叶变换 小波变换 设有信号f t 其傅里叶变换为F j 即 t 1 2 2t t0 2 3 4t t1 像 t 这样 有限长且均值为0的函数称为小波函数 常用的小波函数如下图 小波函数必须满足以下两个条件的函数 小波必须是振荡的 小波的振幅只能在一个很短的一段区间上非零 即是局部化的 如 不是小波的例子 图4 图3 平均与细节 设一维信号 x1 x2 平均细节则一维信号可以表示成 a d 且原信号可以恢复如下 当x1与x2非常接近时 一维信号 x1 x2 可近似的用 a 表示 可实现信号压缩 a可以看成信号的整体信息d可看成原信号用a表示时丢失的细节信息 平均与细节 对多元素信号 x1 x2 x3 x4 信号可以表示为 a1 0 a1 1 d1 0 d1 1 丢失细节信号压缩为 a1 0 a1 1 信号可进一步表示为 a0 0 d0 0 丢失细节信号压缩为 a0 0 平均与细节 x1 x2 x3 x4 最高分辨率信息 a1 0 a1 1 次高分辨率低频信息 d1 0 d1 1 次高分辨率细节信息 a0 0 最低分辨率低频信息 d0 0 最低分辨率细节信息 x1 x2 x3 x4 的小波变换 a0 0 d0 0 d1 0 d1 1 由整体平均和两个不同分辨率的细节信息构成 金字塔算法 一维信号 3 1 2 4 的小波变换为 1 5 0 5 1 3 1 5 最低分辨率低频信息 0 5 最低分辨率细节信息 2 1 次高分辨率低频信息 1 3 次高分辨率细节信息 3 1 2 4 最高分辨率信息 尺度函数与小波函数 信号序列 x1 x2 x3 x4 看成单位区间上的一个函数 平移 伸缩 引入记号 定义 可得 其它 其它 函数可以由一个尺度函数的伸缩与平移的线性组合表示 同理 对小波变换 其它 伸缩和平移 序列的多分辨率表示 1 1一维小波变换 一维多尺度分析 设有L2 R 空间的子空间序列 Vj的正交基函数是由一个称为尺度函数的函数 x 经伸缩平移得到的 设Wj是Vj相对于Vj 1的正交补空间 Wj的正交基函数是由一个称为小波函数的函数 x 经伸缩平移得到的 构成Vj 1的正交基 满足下列关系式 二尺度方程 信号的多尺度分解 1 2二维小波变换 二维多尺度分析 二维小波变换是由一维小波变换扩展而来的 二维尺度函数和二维小波函数可由一维尺度函数和小波函数张量积得到 即 图像的二维小波变换包括沿行向 水平方向 和列向 垂直方向 滤波和2 下采样 如图所示 图5图像滤波采样 说明 如图所示 首先对原图像I x y 沿行向 水平方向 进行滤波和2 1下采样 得到系数矩阵IL x y 和IH x y 然后再对IL x y 和IH x y 分别沿列向 垂直方向 滤波和2 1下采样 最后得到一层小波分解的4个子图 ILL x y I x y 的 粗 逼近子图IHL x y I x y 的水平方向细节子图ILH x y I x y 的垂直方向细节子图IHH x y I x y 的对角线方向细节子图 二维金字塔分解算法令I x y 表示大小为M N的原始图像 l i 表示相对于分析小波的低通滤波器系数 i 0 1 2 Nl 1 Nl表示滤波器L的支撑长度 h i 表示相对于分析小波的高通滤波器系数 i 0 1 2 Nh 1 Nh表示滤波器H的支撑长度 则 对逼近子图重复此过程 直到确定的分解水平 下图是二层小波分解的示意图 图6图像多尺度分解 a 一层分解 b 二层分解 图像的小波特征提取首先对输入图像做J层二维小波分解 因为小波变换具有很好的时频局部化特性 所以可以将图像的不同底层特征变换为不同的小波系数 输入图像经过经一层小波分解后 被分成4个子图 LL1 逼近子图 它代表输入图像水平和垂直两个方向的低频成分 HL1 细节子图 它代表输入图像水平方向的高频成分和垂直方向的低频成分 LH1 细节子图 它代表输入图像水平方向的低频成分和垂直方向的高频成分 HH1 细节子图 它代表输入图像水平和垂直方向高频成分 在逼近子图LL1上重复二维小波分解过程 进行二层小波分解 如此继续分解 得到子图序列 LLJ HLk LHk HHk k 1 2 J 小波基与分解层次的选取是非常重要的 目前还没有一个统一的标准 I x y 128 128 I1 x y 64 64 I1H x y 64 64 I1V x y 64 64 I1D x y 64 64 I2 x y 32 32 I2H x y 32 32 I2V x y 32 32 I2D x y 32 32 I3 x y 16 16 I3H x y 16 16 I3V x y 16 16 I3D x y 16 16 I4 x y 8 8 I4H x y 8 8 I4V x y 8 8 I4D x y 8 8 图7图像I x y 的多尺度分解 小波基的选取一般考虑下列因素 线性相位 如果小波具有线性相位或至少具有广义线性相位 则可以避免小波分解和重构时的图像失真 尤其是图像在边缘处的失真 紧支性和衰减性 紧支性和衰减性是小波的重要性质 紧