椭圆几何质的探究.doc

椭圆几何性质的探究福州三中 陈增设计理念 为了培养不仅能“学会”知识，而且能“会学”知识的人才以及根据我校提出的“创设情景、激发情感、主动发现、主动发展”的教学模式，在课堂设计上，教师应学会如何创设情景，激发学生学习的兴趣；围绕教材的重难点，比如本节的“椭圆几何性质的探究”，教师应设计不同的活动环节，设置由浅入深、环环相扣的问题，通过教师适时的引导，通过生生间、师生间的交流互动，通过学生自己的发现、分析、探究、反思，使学生真正成为学习的主人，体验成功的喜悦教学内容椭圆几何性质的探究是湘教版普通高中课程标准实验教科书选修2-1第二章圆锥曲线与方程2.1.2第2课时内容教学目标1知识目标（1）通过与圆性质的类比，进一步加深对椭圆的范围、顶点的理解，了解 的几何性质和长轴与短轴的几何意义并能加以适当的应用2能力目标（1）通过对圆和椭圆的性质类比，体会圆和椭圆的内在的区别和联系（2）能依托椭圆的简单几何性质，借助合情推理，进行科学探究3情感目标（1）营造亲切、和谐的氛围，以“趣”激学（2）引导学生用类比的观点发现问题、探索问题、解决问题，培养学生的 创新意识，体会数学的简捷美、和谐美（3）培养合作学习的意识，体会成功带来的喜悦（4）发展数学应用意识，认识数学的应用价值教学过程一、 复习：师：我们上节课对椭圆的性质已经做了一定的探究，对椭圆的范围、对称性、顶点、离心率都有了一定的了解，首先，让我们对这些内容做一个复习：（教师提问，学生回答）1、 椭圆的范围：设是椭圆上任意一点，有从图形上看，椭圆在四条直线：所围的矩形内2、 椭圆的对称性：关于轴、轴成轴对称;关于原点成中心对称3、 椭圆的顶点：坐标轴与椭圆的四个交点为；且为长轴，为短轴4、 离心率：，师：从椭圆的图形中，我们观察，椭圆什么时候比较圆？生1：当时，生2：当时，所以，则椭圆越圆二、 探究新知师：我们已经从宏观上了解了椭圆的不少性质，今天我们进一步来了解一下椭圆上的点有什么性质师：椭圆上都有哪些特殊点？生：顶点，焦点，中心探究1师：在研究圆的方程的过程中，我们知道：设圆方程为：若点落在圆上，则有：，相应的：若点落在圆内，则有：；若点落在圆外，则有：设椭圆方程为：，若点落在椭圆上，我们有那么类比圆的情况，若点落在椭圆内、落在椭圆外，我们能不能得到类似的结论？我们先来考虑一下点落在椭圆内的情况大胆猜想设椭圆方程为：试证：若点落在椭圆内：有师：很好，该同学从圆的情况中类比得到这个结论，那么我们能进一步检验一下我们的猜想是否正确吗？操作感知如图1，在几何画板上，我们移动椭圆内的点，计算的值，发现 （图1） （图2）小心求证（1）方程的几何意义 （2）代数化证明思路1：如图2从圆的定义出发：延长交椭圆于点连接即：师：以下的证明步骤类似椭圆方程的推导过程，同学们可以类比完成： （可以让学生课外完成） 证明思路2：（如图3）过点做轴的垂线交椭圆于点,设则,即是椭圆上的点，又 （图3）证明思路3：连接延长交椭圆与点，利用定比分点性质来证明归纳总结1椭圆可看作一个被“压扁”的圆，因此圆和椭圆在许多性质上具有相似性，同学们可以类比学过的圆的知识、圆的性质等类比展开在椭圆的几何性质的学习2在推证的过程中，我们从椭圆方程出发多次实现了数和形之间的转化，提高了解决问题的能力探究2设点在椭圆：上，点为椭圆的中心，则的最大值和最小值分别是多少？解：在椭圆上，即则时，即点坐标为时，取到最大值；当时，即点坐标为，取到最小值总结：1、几何问题中的线段极值问题，可以从代数的角度转化为函数的极值问题 2、双元函数的极值问题，可以考虑两个方面处理：一是利用均值不等式；二是考虑如何减少变量，变成一元函数的问题来处理探究3师：在圆中，我们有圆上的任意点到圆心的距离等于定长（半径），我们刚刚研究了，椭圆上的点到中心的距离不为定值，那么在椭圆中，椭圆上的点到焦点的距离为定值吗？，那么在变化的过程中，有最大和最小值吗？已知是椭圆上的点，是椭圆的右焦点，则什么时候取到最小值？ 图4 图5操作感知操作1（几何画板）如图4，当点A在椭圆上运动时，度量长度，观察长度的变化情况操作2 如图5，以为圆心做圆，观察随着圆半径的变化，何时圆和椭圆有交点大胆猜想在所有点与连线中，最短小心求证（学生独立完成） 证明：由椭圆方程：得，点坐标为： 归纳总结1同样的，我们可以求得在所有点与连线中，最长 2在处理动点到定点的距离变化问题时，我们可以将几何的问题代数化，转化为考虑函数极值的问题 3联系实际生活，我们知道月亮绕地球公转的轨迹是椭圆，地球位于椭圆的一个焦点上，并且经常在地理学上提到近地点和远地点，现在我们知道近地点和远地点出现在椭圆轨迹长轴的的顶点上探究4已知是椭圆上的点，是椭圆与轴的一个交点，则何时取到最大值？你能参考刚才的探究过程，找到解决问题的办法吗？问题：请班级同学分组求解下列两个问题：（1）已知：点，且是椭圆上的点，则何时取到最大值？（2）已知：点，且是椭圆上的点，则何时取到最大值？小心求解（1）解：在椭圆上，即则时，即点坐标为时，即点运动到短轴的另一个端点时，取到最大值； （2）解：在椭圆上，即则时，即点坐标为时，取到最大值；师：为什么椭圆上的动点到短轴的最长距离有时在短轴的端点上有时不在呢？生：和椭圆的圆还是扁有关系，当椭圆很扁时短轴就不是最长距离师：那么我们利用几何画板再加以观察，看看我们的猜想是否正确，观察在以上两个椭圆中，以为圆心，和椭圆上动点连线为半径的圆和椭圆之间的位置关系，可以得到，圆和椭圆相切于短轴端点，而圆和椭圆相切于轴对称的2个点上师：有兴趣的同学