（应用数学专业论文）一种非线性奇异积分方程解的研究.pdf

广西大学硕士学位论文 2 0 0 6 年 一种非线性奇异积分方程解的研究 一种非线性奇异积分方程解的研究 摘要 本文对非线性奇异积分方程 学z 丝 d 0 蝴m 其中l 为复平面的一条光滑曲线 6 0 6 不同时为o 6 0 6 d 0 d 为已知常数 c 表示多项式c 0 护 c 扩 1 c 0 在h 6 l d e r 连续函数空间中求解时 将它化为一 个带平方根的r i e m a n n 边值问题而得出其一般解 全文共分为五节 在 l 对非线性奇异积分方程的有关的历史 背景 研 究现状作简单的介绍 在 2 介绍与非线性奇异积分方程有关的概念和引理 在 3 主要讨论如何求解非线性奇异积分方程 譬 当 d 0 蝴 c c 其中l 是一条封闭光滑曲线 在 4 主要讨论如何求解非线性奇异积分方程 半z 磐 d 0 蝴 c 归州 l 其中l 是一条开口光滑弧 在 5 一些特殊情况的研究 关键词 非线性奇异积分方程 带根号的r i e m a n n 边值问题 p l e m e u 公式 中图分类号 0 1 7 58 皇查兰丝圭兰竺竺圭 竺兰 竺 竺竺童量堡垒窒兰竺竺竺圣 t h er e s e a r c ho nt h es o l u t l 0 n0 fak i n do fs p e c i a l n o n l i n e a rs i n g u l a ri n t e g r a le q u a t l 0 n a b s t r a c t t h en o n l i n e a rs i n g u l a ri n t e g r a le q u a t i o n 掣 丝 d 0 d l 蝴 c 归o w h e r e6 0 6 l d 0 d l a r ec o n s t a n t sa n dli sas n l o o t hc o n t o u r i ss o l o v e di nh 6 l d e rc o n t i n u o u s s p a c eb yt r a n s f o r m i n gi tt oar i e m a n nb o u n d a r yv a l u ep r o b l e mw i t hs q u a r er o o t s i ti s f o u n d t h a t i ng e n e r a l i t h a so t h e rs o l u t i o n sb e s i d e st 1 1 et r i v i a lo n e s t h ee x p r e s s i o no f s u c hs o l u t i o n s a 5w e ua st h ec o n d i t i o n so fi t ss o l v a b i l i t yi so b ta i n e d t h i sp a p e ri sc o m p o s e do f 矗v ep a r t si nt h e 矗r s tp a r t w ei n t r o d u c eb r i e 丑yh i s t o r ya n d c o n t e x ta n ds o m ek n o w nr e s u l t sa b o u tt h en o n l i n e a rs i n g u l a ri n t e g r a le q u a t i o n i nt h es e c o n d p a r t w ei n t r o d u c es o m ec o n c e p t sa n dl e m m a sa b o u tt h en o n l i n e a rs i n g u l a ri n t e g r a le q u a t i o ni nt h et h i r dp a r t w em a i l ys t u d yh o wt ot r a n s f o r mt h en o n l i n e a ro fs i n g u l a ri n t e g r a l e a u a t i o n 学 当 d 0 懈 c 归o t oar i e m a n nb o u n d a r yv a l u ep r o b l e mw i t hs q u a r er o o t sw ew i l ld i s c u s st h es o l u t i o no ft h e e q u a t i o na n dt h ec o n d i t i o n so fi t ss 0 1 v a b i l i t yw h e nli sas m o o t hc i o s e dc o n t o u r i nt h ef o u r p a r t w es n l d yt h en o n l l n e a rs i n g u l a ri n t e g r a le q u a t i o n 孚 等 d 0 懈 c 归州 磊 嘶 6 w h e nli sa no p e na r ca t1 a s t w ea n a l y s es o m es p e c i a lc o n d i t i o n sa b o u tt h en o n l i n e a rs i n g u l a r i n t e g r a le q u a t i o n k e y w o r d s n o n l i n e a rs i n g u l a ri n t e r g u l a re q u a t i o n r i e m a n nb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m w i t hs q u a r er o o t s p l e m e uf o r m u l a c h i n e s el i b r a r yc l a s s s i 6 c a t i o n 0 1 7 58 广西大学硕士学位论文 2 0 0 6 年 一种非线性奇异积分方程解的研究 1引言 解析函数边值问题是复分析研究的一个重要方面 它既有理论意义又有广泛的应用 如在弹性力学 断裂力学及工程技术中都有重要的应用 前苏联学派在这方面做出了许多杰 出的工作 如穆斯海里什维里的专著 奇异积分方程 f 5 和维库阿的著作 奇异积分方程 组及某些边值问题 6 等 建国以来 国内也有不少学者从事这方面的研究工作 特别以 路见可教授的 解析函数边值问题 8 为代表 该书系统地论述了解析函数的各种基本边 值问题及其在奇异积分方程上的应用 包括r i e m a n n 边值问题 h i l b e r t 边值问题 复合 边值问题 周期边值问题 双周期r i e m a n n 边值问题 双准周期r i e m a n n 边值问题等等 非线性积分方程的研究 起源于上世纪2 0 3 0 年代 例如a h a m m e r s t e i n n c y pb icoh 进行了研究 到5 0 年代中期m a kpa c hoce 五ckhn 和m m b anw6epr 也进行了研究 他们分别利用拓扑方法和变分方法来系统地研究f r e d h o l m 型非线性积分方程 他们的著作直到现在还常被人们所引用 7 0 年代初的p k m i l l e r 和 c c o r d u n e a n u 则系统地研究了v o l t e r r a 型非线性积分方程 随着积分方程和线性奇异积分方程理论研究的深入和实际应用的需要 关于非线性奇 异积分方程的研究 又有了新的发展 这个理论的发展在很大程度上依赖于现代泛函分析 算子理论和s c h a u d e r 不动点等原理 虽然非线性奇异积分方程远比线性方程复杂 一般很难得到方程的一般解 但是我们 常常可以考虑在各种不同条件下的比较特殊的非线性奇异积分方程的一般解的封闭形式及 其可解条件 众所周知 一个带有c a u c h y 核的奇异积分方程与边值问题密切相关 特别是2 0 0 2 年 路见可教授在文献f 1 1 中给出了一种特殊的非线性r i e m a n n 边值问 题即一种带平方根的r i e m a n n 边值问题在光滑封闭曲线上的解法 即求解 皿 g 一 9 l 其中l 是复平面中一条光滑封闭曲线 已知函数g 9 h 且g 0 未知函数 z 是以l 为跳跃曲线的分区全纯函数 在2 处有有限阶 要求 皿 在l 上连 续 单值 通过对未知函数 z 的结构分析 把该带平方根的r i e m a n n 边值问题化为一 般的线性r i e m a n n 边值问题 再利用已知的r i e m a n n 边值理论 就给出了该问题的解和可 解条件 通过这篇论文 我们能在某些非线性奇异积分方程与带平方根的r i e m a n n 边值问 题之间建立起桥梁 很快路见可教授就在2 0 0 2 年的 数学年刊 的2 3 a 5 中考虑了特 殊的非线性奇异积分方程 袅z 碧 c 1 其中l 为复平面的一条封闭光滑曲线 以逆时针为正向 而n 6 c 为已知常数 在h 6 l d e r 连续函数空间中求其解妒 t 2 0 0 4 年 路见可教授在 数学物理学报 讨论了形如 袭z 筹拈巾 1 其中l 为复平面的一条封闭光滑曲线 以逆时针为正向 而6 为不等于零的已知常数 为n 次多项式 在h j l d e r 连续函数空间中求其解妒 t 本文在以上两篇论文的基础上 进 广西大学硕士学位论文 2 0 0 6 年 一种非线性奇异积分方程解的研究 一步讨论两种条件下的奇异积分方程 妒2 哇堕 塑打 d d 1 妒 c t o l 1 3 j lt t 其中l 为复平面的一条封闭光滑曲线 以逆时针为正向 而6 0 6 1 不同时为o 6 0 6 l d 0 d l 为 已知常数 c t 表示多项式c 0 扩 c 1 1 c 0 妒2 生坐 塑d r d d 1 c o l a 6 14 m jl1 一l 其中l n 6 自n 到6 取作正向 是一条开口光滑弧段 而6 0 6 1 不同时为o 6 0 6 1 d o d 1 为 已知常数 c 表示多项式c 0 护 c 护 1 c 0 这里考虑把这两种特殊的非线性奇异积 分方程 转化为非线性r i e m a n n 边值问题 从而得到其一般解的封闭形式以及可解条件 2 苎皇查兰丝圭兰竺篁塞 兰 三竺 垒竺兰量垒坌童矍竺竺竺兰 2相关定义与引理 2l 相关的定义 定义2 1 1 8 设 定义于 开口的或封闭的 光滑曲线l 上 若对l 上任意两点 1 2 恒有 l 1 一 幻 1 4 i 1 一 2 i o 1 21 其中 1 n 是确定常数 则称 在l 上满足 阶的h 6 l d e r 条件 记为 o l 或 简记为 h 若不强调 也可简记为 l 或简记为 t h 定义2 1 2 8 设l 是一条封闭曲线 它把全平面分成两个区域 f z 在每个区域中 全纯 在z o 处至多有一极点 且当z 从l 的任一确定的侧趋向于l 的任何点 时 f z 的极限值存在 则称f z 是以l 为间断曲线的分区全纯函数 如果l 中含有开口弧 段 则要求在各端点附近 f z 有不到一阶的奇异性 即 若n 为l 的一端点 则在z n 附近 4 i f z is 赢 o o 问题 25 的 k 中的一般解为 吣 熹 咎d c 眦 2 6 其中f m 为一任意的m 次多项式 若m o 即中 有限或中 z 在 o o 处解析 时 则此时p 0 z 为常数 若 z 1 即垂 o 0 时 则此时只l 三o 若m 一2 当且仅当满足条件 9 圹出 o o 1 一m 一2 27 才h 解 此时 m i0 引理2 2 4 2 q 设上是一光滑 封闭或开口 曲线 r 在上 三上满足h 6 l d e r 条件 则对于l 上除去端点外的所有的点 有下式成立 去z 去去z 磐虻肌 熹p 击z 揣 抓 s 引理225 设s 表示奇异积分算子 s 妒 三 丝打 l nljl 一l 其中l 是复平面的一条光滑封闭曲线 表示单位算子 妒 妒 妒 日 l 则 s 2 证明 设c a u c h y 主值积分 妒 t 三 型打 l 则 去z 掣坼去z 鲁去 等打 对上式右端的积分 运用p o i r l c a r 白b e r t r a l d 换序公式 交换积分次序 得 d n 丁一丁1 去z 赢 圭 熹z 鲁一去z 鲁丌z l n t p n t t 7 r i 止丁l t7 r i ln r 4 一h正 一仉 打 厂 磊 f f n 磐 u 一m 为因 又 广西大学硕士学位论文 2 0 0 6 年 一种非线性奇异积分方程解的研究 2 之 1 一1 o 因之有 去z 格机7 r z n f 故得到 s 2 2 9 1 引理22 6 若c 表示多项式印俨 c 1 1 响 算子 耻去z 丝打 其中l 是复平面的一条光滑封闭曲线 则有s c c 证明 s c 熹 等a r 去z 业碧型打 l 去 掣 熹z 墨打 去 高拈吣 引理227 川2 6 吲设l 是复平面的一分段光滑封闭曲线 围成一内域d 取定反时针 方向为正向 设函数妒 z 在d 内有孤立奇点z t 砘 z m 而在l 上有极点 1 2 如 阶数分别为r 1 r 2 r q 可为整数或分数 又 n 一 妒 珥 r m a x 蚓 j 1 其中珥表示 若函数 风 即 r 则 熹加渺 其中 为d 在 处的张度 它表示d 在 处的内角占有整个周角2 7 r 的几分之几这一份 额 例如当幻是l 上的光滑点时 o o 实际上 墨 哟r e s 妒 岛 表示对 为整数的那 些j 求和 而对于分数阶的极点 在高阶奇异积分计算中是不起作用的 引理2 2 8 设函数 在全平面除去点n o o k 1 f 外都是解析的 而在这些点处 它有极 并且函数 如 在极点的邻域内的展开式的主要部分具有形式 在点 处 g o c 0 z c 5 0 2 2 鹕 z 2 1 1 5 01 口0妒 s陀 町 芦 筘 s心 m 陶 皇叁兰丝圭兰竺篁圭 竺兰 三竺 垒兰童量垒坌童兰竺 竺垒 在点n k 处 其中 1 2 f g c 去 兰 禹卜 啬 仁 其中c p 毋 c 诧 j o 1 2 z 都足常数 则函数 r z 是有理函数 它可以表示为 z c g 出 喜g m 去 k l 2 1 3 这里c 是任意常数 特别是 如果函数 的唯一奇点足无穷远点 在此点为极点 其阶 为n 那么函数 z 是一个n 次多项式 c 0 c l z c z 2 1 4 这里c 0 c c 都是常数 引理22 9 8 设d 是一以分段光滑曲线l 为边界的有界区域 f z 在d 内全纯 且 除去l 上一点n 以外 它可连续延拓到l 上 而在 n 附近 1 f z l 亡每 o 1 2 d 其中a 为常数 则 即 d c 0 6 3封闭光滑曲线上奇异积分方程的求解 踮去z 磐打 其中l 是复平面的一条封闭光滑曲线 逆时针为正向 本节涉及的 均指这条曲线 则方 程 掣z 磐 如 愀 c 归 3 1 变形为 妒2 厶1 s 1 铲 d o d 1 妒 c o 以算子s 作用 并运用p o i n c a r 臣b e r 打a n d 换序公式 得 s 妒2 b 妒 一袅z 妒 r 打 d 0 d t s 妒 烹z 妒 r 打 s c 3 2 其中 s 6 川m m 去 击 学z 等 妣 6 0 1 c 象z 删熹z 揣d f l 弦 b b t 妒 t 熹 妒 r d r 一鲁 b 0 埘 一笔 打 3 1 32 可得 s 妒2 f 6 0 6 l s 妒 f d o d l s 妒 s c t 等 时渺 3 3 7 r z 7 定义 三 7 r oj l 妒2 丁 b o 6 1 t 妒 丁 d o d l r 妒 下 c 丁 一f r z 分别记l 所围成内域与外域为d 与d 一 则由p l e m e b 公式得到 u 妒2 b o b l 妒 d o d 1 妒 c 三 盟出坠型粤粤坚型必打 i l jl 一l z 隹l 3 4 舻 去z 业掣 胁 半z 坐 安加胁删 s 妒2 6 0 6 t s 妒 袅上妒 r d r d 0 d t s 妒 熹z 妒 r d r c t 故 删 鲁 油地o n s t 其中c o n s t 表示常数 即 c o n s t 兰 时 打7 r z 7 下文出现的所有c o n s t 均指这个常数 因此我们得到u 1 z 2 c o n s t 伊并且有 u f 一2 妒2 b o b 1 妒 d 0 d 1 妒 c t 2 c o n s t 可得到 妒 6 b 妒 t d 0 d 妒 c c n s t 一 u i o t 二坠型 型生业兰半兰生型生竺生型 3 此外我们知道 u i 0 一已 1 皿一 z 6 0 d 0 6 l d 1 z 2 4 c z 一c o n s t u f z d 一 36 在d 一内全纯 有边值 1 一 6 0 d 0 6 1 d 1 1 2 4 c 一c o n s t u f t 因要求妒 在l 上连续及单值 故 面 雨也是如此 只要 面 两在l 上取定一分支 这样 上面的方程可简写成 6 0 d o 6 l d 1 哪 2 l 3 7 3 2 一 3 1 得 s 一 妒2 6 0 6 1 c 一s 妒 d 0 d 吼s j c p 一笔上妒 r 打 皇上妒 r 打 3 删 定义 三 7 r oj l兰 2 二 二2 竺 2 查 2 笙 1 2 打t 一2 z 隹l 39 广西大学硕士学位论文 2 0 0 6 年 一种非线性奇异积分方程解的研究 根据p i e m e b 公式 得 u i 一 妒2 一 6 0 6 l 妒 t d o d l 妒 三 鳢 l 幽坐2 生 型坐2d 7 r z 儿 r 一 一 妒2 t 一 6 l t 妒 d 0 d 1 妒 s l p 2 一去z 型掣删r 掣z 丝打 象z 打 一妒2 6 0 6 l 妒 一 d o d l 妒 s 妒2 一 6 0 6 1 s 妒 一 妒 r d 丁 d d s 妒 妒 下 d r 也即 f o 从而忱 z eo d 一 且 逮 2 妒2 一 6 0 6 1 妒 d o d 1 铲 妒2 f 0 一 d 1 一厶1 妒 一去u o 妒 堕垫生坠堕壁塑辛鱼坐 业幽 3 1 0 令 z 陋 一d o 6 1 一d 1 2 2 2 u 手 z d 3 1 1 则 在d 内全纯 有边值 t 6 0 d o 6 l d 1 纠2 2 u 手 其中 t 可取定 皿 在l 上的一分支 则可简单地写成 妒 堕垫生坠 堕丛型 31 2 比较 3 7 3 1 2 我们可以得到 一 一2 6 0 b l l 31 3 皿 是一分区全纯函数 以l 为跳跃曲线 边值函数 皿 z 与 皿一 z 都是单值的 在 l 上h 6 l d e r 连续 分析 z 设 z 在d 的奇数阶的零点个数m 当m 2 m 为自然数 时 不妨令其零点为 l z 2 m 记 n z 一z 1 一z m 当m 2 n 1 m 为自然数 时 可以在l 上补充一个点 不妨设为z 吖 l 这时记 z 一z 1 z z 盯 z z m 1 如没有这样的零点 则规定 z 1 从而我们取适当的割线 得到 皿 z z 垂吉 z z d 3 1 4 9 广西大学硕士学位论文 2 0 0 6 年 一种非线性奇异积分方程解的研究 其中圣手 在z d 单值解析 这时 垂手 z 在z m 点处可能有不超过l 2 阶的奇异性 分析皿一 设皿一 z 的在 的阶为q 则q 只可能为不超过n 阶 设在d 一内 有n 个奇数阶的零点 当 q 2 n 为偶数时 定义 n z 1 石一可 当 q 2 n 1 为奇数时 可以在l 上补充一个点 设取为 1 定义 丌 如 z 一 1 z 一 0 一g v 1 如没有这样的零点 则规定 1 作适当割线 我们可得到 皿一 z z 中i z z d 一 31 5 其中在d 一内町 z 单值解析 这时 町 在 点处可能有不超过1 2 阶的奇异性 在 o 的阶为整数金笋或生譬土根椐 2 得到 中 c 垂一 c 一兰 杀若孚 l 其中 吣 博影灞 乞 3 1 7 z z 兀 z 中一 z 在z o 的阶为k 坐一m 或掣一m 吣 去i 黼 懒础 俑 厕 去 黼 酬 础 皿 z z 去 拦d 只 z 2 z 茌l 皿 c c c c 二 言等 熹z 黼出 只c c j 2 州删 湍 去z 揣 酬2 皿 t 一皿 t n t 鬻 丢z 揣d r 2 只 t v 儿l j j v 儿l 八 一o 1 0 3 1 8 f 3 1 9 又知v 研一 研丽 2 6 从而得到 型盟蛆竽心盟 妒 d d 厕 击兄耥d r r 2 当k 一1 时 z o 则有一般解为 同理可得到 妒 壬 6 0 6 1 n 啪俐 厕去z 揣打 2 当k 一1 时 可解条件为 掣d o r o 1 一k 一2 l n t 一 则可解时 有唯一解 得到 又 从而得到 兀 e l j l 6 0 6 1 t l 32 0 d f 2 z 簪l l 32 1 t l 一 一 t t 鬻磊 揣a r 妒 妒 厕一厕 2 6 0 2 d o d 1 而 哪 4 啪俐 厕去z 6 l 丁 r 丁 d 丁 2 1 1 l 32 2 t l 32 3 4开口光滑弧上奇异积分方程的求解 若l 是复平面的一条开口光滑弧段时 我们先把非线性奇异积分方程转变成带平方根 的r i e m a n n 边值问题 然后求解方程 这里我们换另外的方法构造带平方根的r i e m a n n 边 值问题 学 丝 蝴 c 归 l 矗 6 4 1 令 熹z 掣打 z l n 6 则由p l e m e u 公式得到 邓 1 f 去z 坐酬 熹z 坚等半型州r 娟 6 埘 去 粤圳 象z 陟 4 z 删 6 俐m 熹 磐圳 去上坠等半型咖陟 6 0 6 1 t 去z 当圳 象z 时弦 由 41 得 妒 t 一 6 6 妒 d d 妒 堕 l 堕三掣 6 l f 去z 墼圳俐一世坐掣 4 3 陋 垒堕 尘掣 妒 一c n s t c c 一丛堕l 上垡生 掣 记 q c n s t c t 且垡生 兰生j 掣 则得到 同理由 4 1 得 堕坐乓皇型盟 瓶丽n v 妒2 6 0 6 1 妒 d o d 1 妒 6 6 固m 去z 碧驯俐 1 2 d 0 d 1 6 0 6 1 2 4 查 鱼 生 4 4 4 4 5 广西大学硕士学位论文 2 0 0 6 年 一种非线性奇异积分方程解的研究 陋 生堕 生生掣 2 妒一 一c n s t c 一竖堕l 上堡生i 掣 o n 一 s t 一 丛皇生 堕生去尘趔一妒一 则得到 妒 一垦堑 生生妄型 厕 比较 4 5 47 得 伍币i 厣面一 6 0 6 4 6 4 7 48 现在我们考虑上述的带平方根的r i e m a n n 边值问题在一条开口光滑弧段上的解 即求 解 q q 一 一 6 6 l l 0 6 f n 6 49 其中l n 6 自n 到6 取作正向 是一条开口光滑弧段 而未知函数q 为全平面用l 剖开后所成的区域s 中在无穷远处具有有限阶的全纯函数 q 仍表示它在l 正 负侧 的边值 f 阿在l 上连续且单值 分析未知函数q z 的结构 假设n z 在区域s 中有 o 个奇数阶零点 0 1 n 2 v 在z o o 处 有q 阶极点 当 0 2 n 是偶数时 有 其中 n n 2 西 z 2 s 如果n z 在s 中没有这样的零点 即 0 则n z il 中 z 是s 中的全纯函数 在s 中作连接n n v 的适当割线 取定 i 玎万的某一单值分支 又要求 五丽 在l 上连续且单值 除去端点 6 则有 q z z 垂 z s 中 z 在 o o 处有一 7 一 阶极点 当 v q 2 n 1 是奇数时 在l 上取一个点 不妨设为n 1 o 6 构造 z 如 下 z z 一 1 z a 2 一a z n 1 1 3 皇查兰丝圭兰竺丝塞 耋 兰 丝竺童量垒坌童兰竺 竺兰 同样在s 中作连接 1 n o n v 的适当割线 并取定 兀 2 的某一单值分支 其中 壬 z 在n 点处可能有不超过1 2 阶的奇异性 它在z o 处的阶数为一 q 一 一1 根据以上对n z 的结构分析 问题 49 可以变为 矿 划飞卜嵩 涎k 五缚吼6 4l o 这是典型的开口弧段上的r i e m a n n 问题 a 如果一 一l 则问题 4 1 0 的一般解为 吣 熹z 端 晰础 4 1 1 其中只 z 为一次任意多项式 p z o 吣 k z 高篙出俐z i 础 从而由p l e m e u 公式 得到 训 渊 熹 端出圳明2 州删 酱 熹z 耥出圳州2 q t 一q 一 t t 二4 号群 去z 耥8 r 2 r t 4 1 3 又知 研一 雨丽 b 0 b 从而得到 妒 二生垫二 生堕二二 芋至王嗵 l 晶 n b 4 1 4 二 二尘塑墼菱 型 晶 4 1 5 妒iej2 一 一 o7 o b 如果x 一l 则当且仅当可解条件 z 竺芝群a c 一 一一一z c a l 满足时 问题 4 1 0 有唯一解 吣 熹z 粼眠叫 1 4 6 0 6 1 2 n d i z 隹l 去z 揣训2 6 0 6 1 t 6 l 下 兀 r r 一 毛0 6 0 6 l 丁 v 何两 r 一 又知 研一 鬲啊 6 0 6 从而得到 妒 t 二量查j 生生 l 玉 至玉塑 t l a t n 6 妒 一 d o d 厕击l 栽打 2 t l a t n 6 4 1 7 广西大学硕士学位论文 2 0 0 6 年 一种非线性奇异积分方程解的研究 5 5讨论 i 3 1 的解由 3 2 1 32 2 或 3 2 3 给出 而可解条件依z 玑的总数m 或 1 以及他们的位置 但是与 n 和 瓦疋可成为单值分支的割线的方式和 形状无关 4 1 的解由 4 1 5 或 41 7 给出 而可解条件依口 的总数 r 或 l 以及 他们的位置 但是与 n 成为单值分支的割线的方式和形状无关 i i 两种特殊非线性奇异积分方程 卜 丝打 d 0 d 1 黼 删扎 5 1 粤 d 0 愀 删扎 5 2 其中l 是一条封闭光滑曲线 即使翰 珊中有盟笋或 1 2 笋盟个点任意取定 方程可解条 件恒为零 例如 设o d 并且l 对0 点对称 让z 1 z d 与 1 d 一随意 取定 而取 z m z 一 1 m n j 一协0 1 凡 则 n z z 2 一z n z 2 一谚 滓1 j l 令 n 是 n z 当 l 时的确定分支 当5 一 l 时 兀 s 1 并且当z 沿l 环行一周时 s 一 也以同向环行一周 而2 z 揣拈z 舞a s z 篙赫州 南z 蔫小 慨 当k m 为奇数时 则 0 o 此时对于任意取定z h z 与玑 以及任意r 上志拈 2 积分 2 上等拈z 籍a s 1 6 广西大学硕士学位论文 2 0 0 6 年 一种非线性奇异积分方程解的研究 z 鬻州 高嘉z 希出 a 当k m 为偶数时 则 1 o 与上面的分析相同 即使任意取定z z 与 1 可解条件恒为零 i i i 若l 是封闭光滑曲线且满足比较特殊的条件 则也可通过如下方法求解 1 若m 0 即 z 1 容易得到 去z 揣肚 莉儿 n t z 如果k o 则中 z r 2 d 一 又因此时垂 z 垂i 面雨 丽圣i z d 一 故当多项式c z 满足 n 2 z 幽 厶l d 1 z 1 2 4 c z 一c o n s t 即多项式 堕垫业生业生当垃盥生生 型 d 则方程 3 1 可解 并且解为 妒 尘盥生堕晏址尘型 l 妒 二堕 业堕掣b 魁 如果k o 则圣 2 0z d 一 从而 一 z o 此时若能够始终满足 6 0 d o 6 l d 1 2 4 c z 一c o n s t o 则方程 3 1 的解为 否则方程 3 1 无解 从而 妒 c 尘直譬幽 z 5 5 5 6 57 2 若q 为偶数 0 m o 则 俑 去 等半 囊 5 s 皿 z 妒 2 6 囊 z 扣丽 囊 z 一f 6 0 d 0 6 1 d 囊 1 7 2 59 5 l o 广西大学硕士学位论文 2 0 0 6 年 一种非线性奇异积分方程解的研究 去z 糕出 等等q h 一 i c i 丽 一 i 丽 如果k20 时 垂 z i i i 2 尸 z 一z a z 一 师 丽r z 2 b o 6 z 一2 6 嘶 妒 二堕垫业掣盟型塑 z l 51 1 5 1 2 妒 堡二壹地二 婪隧 蛔 51 3 如果k o l 司时又能够满足 6 0 d o 6 1 d 1 2 4 c z 一c o n s t 4 b o 6 l 2 4 6 l z 一8 6 1 b o 6 1 一半 其中 z 2 一z 1 z z 2 厅万 i 盯 二j 万在z o 的l a u r e n t 级数为 饥二i 1 一导 5 1 一粤 z 1 一乏 1 一芝 1 一警 则方程 3 1 有解 妒 c 坠生坐 婴竺堂型 否则方程 31 无解 5 1 4 5 1 5 4 若q 为偶数 0 m 4 则 去z 揣出 等箸 征矿 慨峋 z l 一z z 4 如果k o 时 中 z 呈 箫 尸 z z 一 而 丽r z 2 6 0 6 1 z 坐堕掣掣二圃 5 1 7 5 1 8 苎里查兰丝圭兰竺丝塞 竺兰 竺 垒竺 兰垒坌童堡丝 竺兰 妒 坠二 垫掣 型盟 如果一 0 同时又能够满足 b o d 0 6 1 d 1 z 2 4 c 一c o n s t 2 6 0 6 l z 2 则方程 3 1 有解 否则方程 3 1 无解 妒 坠生掣 1 9 5 1 9 52 0 广西大学硕士学位论文 2 0 0 6 年 一种非线性奇异积分方程解的研究 参考文献 1 i l uj i a n k e 0 ns o l u t i o no fak i n do fr i e m a n nb o u n d a r y r a l u ep r o b l e mw i t hs q u a r e r o o t s f j la c t am a t h s c i 2 0 0 2 2 2 b 2 1 4 5 1 4 9 2 1 l uj i a n k e n o n h o m o g e n e o u sr i e m a n nb o u n d a r yv a l u ep r o b l e mw i t hr a d i c a l s j 1 u h a n u n i v j o fn a t u r a ls c i 2 0 0 2 7 4 3 7 9 3 8 2 f 3 l 路见可 一种非线性奇异积分方程的解法 j 1 数学年刊 2 0 0 2 2 3 a 5 6 1 9 6 2 4 4 1 l uj i a n k e o nh i l b e nb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m sw i t hs q u a r em o t s j 数学理论与应用 2 0 0 3 2 2 f 3 1 4 5 穆斯海里什维里 奇异积分方程i m 上海 上海科学技术出版社 1 9 6 6 f 6 l 维库阿 奇异积分方程组及某些边值问题l m l 上海 上海科学技术出版社 1 9 6 3 7 l 维库阿广义解析函数l m l 中国科学院数学研究所译 北京 人民教育出版社 1 9 6 0 8 路见可 解析函数边值问题 第二版 m l 武汉 武汉大学出版杜 2 0 0 4 1 9 l 赵桢 奇异积分方程l m l 北京 北京师范大学出版社 1 9 8 4 1 1 0 l 闻国椿 共形映射与边值问题j m l 北京 高等教育出版社 1 9 8 5 1 1 李星 一类r i e m a n n 边值逆问题 j 数学杂志 1 9 9 6 1 6 3 3 0 3 3 0 6 1 1 2 l 侯宗义 李明忠 张万国 奇异积分方程论及其应用i m 上海 上海科学技术出版社 1 9 9 0 1 3 路见可 钟寿国 积分方程论l m 高等教育出版社 1 9 9 0 1 1 4 王明华 r i e m a n n 边值逆问题与奇异积分方程组 j 数学杂志 1 9 9 9 1 9 2 1 7 5 1 8 0 l5 1 a n gm i n g h u at h ei n v e r s er i e m a n nb o u n d a r yv a l u ep r o b l e r i l sf o rb i a n l y t i c n l n c t i o n s j 四川师范大学学报 自然科学版 2 0 0 3 2 6 2 1 3 2 1 3 4 1 6 l 赵桢 双解析函数的某些性质 j 四川师范大学学报 自然科学版 1 9 9 4 1 7 2 1 1 4 一1 1 6 1 7 l 蓝师义 双解析函数的r i e m a n n 边值问题及其相应的奇异积分方程 柳州师专学报 1 9 9 5 1 0 1 1 3 1 3 6 1 8 赵桢 双解析函数与复调和函数以及它们的基本边值问题 j 北京师范大学学报 自然科学版 1 9 9 5 3 1 2 1 7 5 一1 7 9 1 1 9 l 赵桢 双解析函数的某些边值问题 j 宁夏大学学报 自然科学版 1 9 9 6 1 7 1 4 1 4 3 2 0 1 z h a oz h e n r i e n l a n n h i l b e r t sp r o b l e mf o rb i a n a l y t i cf u n c t i o s j 北京师范大学学报 自 然科学版 1 9 9 6 3 2 3 3 1 6 3 2 0 1 2 1 王明华双解析函数的性质及其h i l b e r t 边值问题 j 北京师范大学学报 自然科学版 1 9 9 8 3 4 1 1 3 2 0 2 2 王明华无穷直线上含参变未知函数的r i e m a n n 边值问题 j 西南师范大学学报 自然科学 版 2 0 0 3 2 8 6 8 3 1 8 3 4 2 3 1 l ig 恰贝斯 积分方程简明教程l m i 哈尔滨工业大学出版社 2 4 w a n g1 y u f 色n g d uj i n y u a n o nr