第5章+习题.pdf

1 1 试用积分法求图示外伸梁的 DABA ww 及 解 解 首先求支反力 l lFql FB 2 3 2 1 2 ql ql ql 4 5 2 3 22 1 qlqlqlqlFqlFF BC 4 1 4 5 2 1 第 段 第 段 AB 段 第 段 段 第 段 BC 段 梁的弯矩方程分别是段 梁的弯矩方程分别是 2 0 2 1 1 lxqlxxM 1 2 3 2 2 2 1 2 4 5 2 1 2 2 lx ll xq l xqlqlxxM 1 相应得挠曲线近似微分方程 qlxxMwEI 2 1 11 2 0 l x 2 2 22 2 2 1 2 4 5 2 1 l xq l xqlqlxxMwEI 2 3 2 l x l 2 分别积分 1 2 1 4 1 CqlxwEI 3 11 3 1 12 1 DxCqlxEIw 4 2 322 2 2 6 1 2 8 5 4 1 C l xq l xqlqlxwEI 3 22 433 2 2 24 1 2 24 5 12 1 DxC l xq l xqlqlxEIw 4 利用点利用点 B 处梁的连续条件 即处梁的连续条件 即 2 l x 时 有时 有 21 ww 21 ww 而得到而得到 21 CC 21 DD 利用边界条件 2 l x 时 0 1 w 2 3l x 时 0 2 w 即 11 4 11 3 2 2 2962 2 12 1 0DC lql D l C l qlEIw l x 5 433 2 32 22 3 24 1 22 3 24 5 2 3 12 1 0 ll q ll ql l qlEIw l x 22 2 3 D l C 22 4 2 3 96 11 DC lql 6 式 5 6 联解得 24 48 5 4 1 3 1 ql D ql C 7 将积分常数代入式 3 4 3 4 得到转角方程与挠曲线方程 48 5 4 1 3 2 11 ql x ql EI w 2 0 l x 8 A B q C 2 l D 2 qlF l2 l A B q C D 2 ll 2 qlF x y B F C F 2 l 2 2448 5 12 1 1 4 33 1 ql xqlqlx EI w 2 0 l x 9 48 5 2 6 1 2 8 5 4 1 1 3322 22 ql l xq l xqlqlx EI w 2 3 2 l x l 8 2448 5 2 24 1 2 24 5 12 1 1 4 3433 2 ql xql l xq l xqlqlx EI w 2 3 2 l x l 9 对所求特定点的转角或挠度 只须将其 x 坐标值 代入对应方程得 EI qlql EI xA 48 5 48 5 1 33 01 逆 EI qlqllql EI l x B 24 48 5 2 4 1 33 2 2 1 逆 24 4 01 向下 EI ql ww xA 3434 2 48 5 2 24 1 2 24 5 12 1 1 ql l lq l lqlql EI ww lxD EI qlql l 384 24 44 如用叠加法 则 2 外伸梁如图所示 试用积分法求 ECA www和 解 解 约束力 A B CD aFq a E F aaa A B q C 2 l D l 2 qlF C F A B C D 2 ql A B 1 A A B C D 1 D w 1 C 1B 2 A 4 2 ql A B q C D 2 D w 2 C 2 B 3 A 1 A w 2 A w 3 A w 2 l 2 ql 2 ql 3 4 3 2 2 5 F a aqaFa FB 4 5F FqaFF BD 为了运算上的简化 在梁的为了运算上的简化 在梁的 BE 段添加相等相反的均布荷载段添加相等相反的均布荷载 a F q 图中用虚线表示 图中用虚线表示 AB 段的挠曲线近似微分方程 2 11 2 1 qxxMwEI 0 ax 1 积分 1 3 1 6 1 CqxwEI 2 11 4 1 24 1 DxCqxEIw 3 BD 段的挠曲线近似微分方程 22 22 2 1 2 1 axqaxFqxxMwEI B 22 2 1 4 3 2 1 axqaxFqx 3 axa 1 积分 2 323 2 6 1 8 3 6 1 CaxqaxFqxwEI 2 22 434 2 24 1 8 1 24 1 DxCaxqaxFqxEIw 3 DE 段的挠曲线近似微分方程 3 4 5 4 3 2 1 2 33 axFaxFqxxMwEI 2 2 1 axq 43 axa 1 积分 3 3223 3 6 1 3 8 5 8 3 6 1 CaxqaxFaxFqxwEI 2 33 4334 3 24 1 3 24 5 8 1 24 1 DxCaxqaxFaxFqxEIw 3 利用梁在点 B 的连续条件 即ax 时 21 ww 21 ww 由式 2 3 和 2 3 分别相等 得 21 CC 21 DD 同理利用点 D 的连续条件 得 32 CC 32 DD 于是有 321 CCC 321 DDD 4 利用边界条件 当ax 时 21 ww 0 当ax3 时 32 ww 0 有 0 24 II 4 1 DaC qa EIw ax 5 03 3 24 1 3 8 1 24 81 22 43 4 32 DaCaaqaaF qa EIw ax 6 由式 4 5 6 联立求解 并将 a F q 代入得 321 CCC 2 6 5 Fa 321 DDD 3 24 19 Fa 7 A BC aFq a E F aaa y x B F D F x D 4 将式 7 代入式 2 3 2 3 2 3 并将 a F q 代入 得梁的位 移方程 AB 段 0 ax 6 5 6 1 2 3 11 Fa a Fx EI w 8 24 19 6 5 24 1 324 1 Fa x Fa a Fx EI w 9 BD 段 3 axa 6 5 6 8 3 6 1 2323 22 Fa a axFaxF a Fx EI w 8 24 19 6 5 24 8 24 1 32434 2 FaxFa a axFaxF a Fx EI w 9 DE 段 43 axa 6 5 6 8 3 5 8 3 6 1 23223 33 Fa a axFaxFaxF a Fx EI w 8 a axFaxFaxF a Fx EI w 24 24 3 5 8 24 1 4334 3 24 19 6 5 32 FaxFa 9 所求位移 CA ww 和 E w是 EI Fa ww xA 24 19 3 01 向下 a aaFaaF a aF EI ww axC 24 2 8 2 24 2 1 434 22 24 19 6 25 32 FaaFa EI Fa 8 3 3 24 34 5 8 4 24 4 1 334 43 aaFaaF a aF EI ww axE EI FaFaaFa a aaF 6 7 24 19 6 45 24 4 3324 向下 叠加法 EI Fa EI Fa EI a a F EI aFa EI aqa wC 8 3 8 2 816 2 16 2 2 1 33 4 2 22 向上 A 2 2 1 qa C F qa Fa A B CD aFq a E F aaa 5 3 试按叠加法求解图示变截面梁自由端的挠度 解 解 EI Fl EI l F wA 243 2 3 3 1 EI Fl IE lFl IE l F wC 96 5 2 2 2 2 2 3 2 3 23 EI Fl IE l F IE lFl C 16 3 22 2 2 22 2 2 EI Fll www CCAA 16 3 2 3 1 4 试按迭加原理求图示梁中间铰 C 处的挠度 C w 并描出梁挠曲线的大致形状 已知 EI 为常量 解 解 EI a qa EI aq wC 3 3 2 8 3 3 4 EI qa 24 135 4 EI aqa wD 3 3 1 a EI aqa wD 3 2 2 2 EI qa 3 2 4 cD ww 2 1 3 EI qa 48 135 4 EI qa wD 4 48 135 3 2 3 1 EI qa 16 29 4 5 图示梁B处为弹性支座 弹簧刚度 3 4 l EI k 试求C端挠度wC F A B C I I2 2 l F A C I A BC F 2 FL 2 l A q C a3 2 qa B C D a2 a qa A C 2 qa BD a qa 1 D w B CD a2 qa 2 D w 2 qa B C D a2 3 D w a C w A q C A q B C D D w C qa C w 1 C w 2 C w 2 qa 2 qa A B q C a3 D qaF a2a 6 A B k ll 2 EIC q 解 EI ql k ql EI ql k Fl www B BCkCqC 62 2 3 482 3 2 44 6 已知梁的弯曲刚度EI 试用叠加法求图示梁截面C的挠度wC C q AB EI l 2l 2 a 答案 C q B EI l 2l 2 a A C q 2 wC1 C q 2 wC2 C q 2 a lq FB 22 C2 w w B w 0 C3 C q 2 q 2 EI aalq EI alq EI lalq EI ql wC 96 2 256 2 96 2 768 5 3434 EI alqa 96 23 222 7 画出 a b c 三种梁的挠曲线大致形状 eMeMeMeMeMeM a b c 7 答案 a b c 直线 直线 直线 直线 8 已知 梁AB的挠曲线方程为 3107 360 42240 xxll lEI xq w 其中q0为最大载荷集度 向上为正 画出梁的支承形式及载荷分布 EI l x B A w