6、图像变换(1-基础、Radon、Hadamard、Ft).ppt

数字图像处理 2013年11月 主要内容 1 图像变换2 图像Radon变换3 图像Hadamard变换4 图像Fourier变换 1 图像变换 图像变换的目的在于 1 使图像处理问题简化 2 有利于图像特征提取 3 有助于从概念上增强对图像信息的理解 1 图像变换 频率通常是指某个一维物理量随时间变化快慢程度的度量 例如交流电频率为50 60Hz 交流电压 中波某电台1026kHz 无线电波 1 图像变换 图像是二维信号 其坐标轴是二维空间坐标轴 图像本身所在的域称为空间域 SpaceDomain 图像灰度值随空间坐标变化的快慢也用频率来度量 称为空间频率 SpatialFrequency 频域世界与频域变换 任意波形可分解为正弦波的加权和 时域TimeDomain 频域FrequencyDomain 频域与时域 1 图像变换 图像可以看作是一个矩阵 所谓图像变换 就是通过变换矩阵 将图像矩阵变换成另一个矩阵 变换后的矩阵能得到某些图像的信息 通常 变换后的图像能体现图像的频率特征 可以用于图像的数据压缩和各种处理 1 图像变换 图像变换必需满足一下三个条件 1 变换是可逆的 变换后的图像能保持原始图像的信息 可以通过逆变换矩阵把图像真实复原 1 图像变换 图像变换必需满足一下三个条件 2 变换后能给图像的进一步运算带来方便 也就是说 图像的变换具有一定的含义 变换后的图像要么体现图像的某些特征 要么在数据上带来某些方便的处理 1 图像变换 图像变换必需满足一下三个条件 3 变换的算法简单 最好有快速算法 图像的变换通常要经过两次矩阵乘法的运算 运算的速度关系到图像变换的好坏 大多数图像变换 要求图像是方阵 且行列数是2的幂次方才有快速算法 1 图像变换 图像变换通常是一种二维正交变换 正交变换的特点是在变换域中图像能量将集中分布在低频率成分上 边缘 线状信息反映在高频率成分上 有利于图像处理 因此正交变换广泛应用在图像增强 图像恢复 特征提取 图像压缩编码和形状分析等方面 1 图像变换 2 变换公式图像变换都是二维的离散变换 通用公式由下列两式给出 正变换逆变换其中 称为正变换核称为逆变换核 1 图像变换 2 变换公式正变换核逆变换核 1 图像变换 2 变换公式假如 则称变换核是可分离的 假如 则称变换是加法对称的 此时 正变换可表示为 1 图像变换 2 变换公式即二维的变换可分离成两次的一维变换 先对行进行变换 再对列进行变换 2 变换公式用矩阵来表示 可表示成可表示成可表示成显然有 可表示成 1 图像变换 2 变换公式若可表示成可表示成显然有 可表示成 则有 1 图像变换 2 变换公式变换有 同样反变换有 显然 若 则 即 要使变换可逆 必需要求变换是正交变换 所以 图像变换 就是找出这样的变换矩阵 产生正交变换 1 图像变换 1 图像变换 每一种变换都有自己的正交函数集 引入不同的变换傅里叶 Fourier 变换离散余弦 DCT 变换沃尔什 Walsh 变换哈达玛 Hadamard 变换图像变换霍特林 Hotelling K L 变换拉东 Radon 变换小波 Wavelet 变换等等 主要内容 1 图像变换2 图像Radon变换3 图像Hadamard变换4 图像傅里叶变换 2 图像Radon变换 图像投影 就是将图像在某一方向上做线性积分 或理解为累加求和 如果将图像看成二维函数f x y 则其投影就是在特定方向上的线性积分 比如f x y 在垂直方向上的线性积分就是其在x轴上的投影 f x y 在水平方向上的线积分就是其在y轴上的投影 通过这些投影 可以获取图像在指定方向上的突出特性 这在图像模式识别等处理中可能会用到 2 图像Radon变换 Radon变换 拉东变换 就是将数字图像矩阵在某一指定角度射线方向上做投影变换 这就是说可以沿着任意角度 来做Radon变换 均匀图像上的Radon变换 2 图像Radon变换 2 图像Radon变换 radon变换大致可以这样理解一个平面内沿不同的直线 直线与原点的距离为p 方向角为 对f x y 做线积分 得到的像F p 就是函数f的Radon变换 2 图像Radon变换 在MATLAB中实现这个变换的函数为radon 其语法格式为 R radon I theta R xp radon R为返回的积分 xp为返回的坐标 theta为投影的夹角 2 图像Radon变换 A imread 0372 bmp C x1 radon A 0 D x2 radon A 30 subplot 1 3 1 imshow A title origineimage subplot 1 3 2 plot x1 C title 0度方向的radon变换曲线 subplot 1 3 3 plot x2 D title 30度方向的radon变换曲线 2 图像Radon变换 读入图像 然后调用radon函数 变换后绘制出如下所示图形 可以看到图像变换后得到的是一个线图 也就是说Radon变换后变成了一维数组 变换的基本原理是在指定方向进行灰度投影计算 例如上面程序中的图像0371 bmp大小为 172168 宽度为168 以图像中心作为原点 向水平方向投影 颜色值和在100左右 如图4 1 b 所示 以图像中心作为原点 向与水平成30度角的方向投影 颜色值投影相加的情况显示在图4 1 c 中 2 图像Radon变换 2 图像Radon变换 A imread 0372 bmp C x1 radon A 0 D x2 radon A 30 subplot 1 3 1 imshow A subplot 1 3 2 plot x1 C subplot 1 3 3 plot x2 D 2 图像Radon变换 由于radon变换将图像变换到按角度投影区域 可以应用与检测直线 通过将图像矩阵在多角度做积分投影 再对得到的数据做统计分析 可以确定出图像的一些基本性质 2 图像Radon变换 MATLAB中的逆Radon变换函数 是利用滤波后向投影算法来计算逆变换 R iradon R theta 其中R radon I theta 是图像I的Radon变换 下面例题先利用radon函数计算一组旋转角度下的Radon变换R R是二维数组 记载着对应于每个角度的变换后的数据 然后利用R及旋转角度 使用函数iradon重建图像 2 图像Radon变换 B imread 0371 bmp T 0 10 180 C x radon B T D iradon C T subplot 1 3 1 imshow B title origineimage subplot 1 3 2 imagesc T x C title 0 180度方向的radon变换曲线集合 subplot 1 3 3 image D title iradon变换后的图像 2 图像Radon变换 程序中语句T 0 10 180定义了一个向量T 共有19个元素 调用函数语句 C x radon B T 中 如果角度T是一个向量 那么 C x 中的C就是一个二维数组 用来表示多条变换后的曲线 多条变换后的曲线绘制在一起 形成图4 2 b 所示图形 横轴表示180度 纵轴表示每条曲线的高度 从图4 2可以看出复原的结果与原图有些差别 这是由于在Radon变换的过程中损失了一些数据等原因造成的 2 图像Radon变换 2 图像Radon变换 逆Radon变换1 在求逆变换时 利用R各列中的投影来构造原图像I的近似值 2 使用的投影数越多 所获得的图像越接近原始图像 3 theta矢量必须是固定增量的均匀矩阵 即每次角度增加值为常数 若角度增加值已知 可以作为参数取代theta值传入iradon函数 4 投影值含有噪声时 可以通过加窗消去高频噪声 逆Radon变换 clc closeall clearall P phantom 256 figure subplot 2 3 1 imshow P title 原图 theta1 0 10 170 R1 xp radon P theta1 theta2 0 5 175 R2 xp radon P theta2 theta3 0 2 178 R3 xp radon P theta3 subplot 2 3 2 imagesc theta3 xp R3 title 做了多次投影后的曲线集合 colormap hot colorbar xlabel theta ylabel x prime 逆Radon变换 续 I1 iradon R1 10 I2 iradon R2 5 I3 iradon R3 2 subplot 2 3 3 imshow I1 title theta取10的逆Radon变换 subplot 2 3 4 imshow I2 title theta取5的逆Radon变换 subplot 2 3 5 imshow I3 title theta取2的逆Radon变换 逆Radon变换 主要内容 1 图像变换2 图像Radon变换3 图像Hadamard变换4 图像傅里叶变换 3 图像Hadamard变换 哈达玛 Hadamard 变换与拉东 Radon 变换有着本质的区别 Hadamard变换 等价于把原图像矩阵左右分别乘以一个矩阵 这两个矩阵都是正交矩阵 称为Hadamard变换矩阵 Hadamard变换矩阵元素都是1或 1 为正交矩阵 3 图像Hadamard变换 对2 2的矩阵 H变换矩阵为 对4 4的矩阵 H变换矩阵为 3 图像Hadamard变换 当已知低阶的Hadamard矩阵H后 则可按 将低阶Hadamard矩阵扩展为高阶Hadamard矩阵 3 图像Hadamard变换 例如 8 8的矩阵H为 列率 沿某列符号改变的次数为该列的列率 列率 3 图像Hadamard变换 Matlab没有提供图像Hadamard变换功能 不过提供了求Hadamard变换矩阵的功能 例如使用命令hadamard 8 能够得到下面 88 的Hadamard变换矩阵 111111111 11 11 11 111 1 111 1 11 1 111 1 111111 1 1 1 11 11 1 11 1111 1 1 1 1111 1 11 111 1 3 图像Hadamard变换 A imread 0 bmp B imread 1 bmp A1 imresize A 6464 B1 imresize B 6464 s size A1 A1 double A1 B1 double B1 H1 hadamard s 1 H2 hadamard s 2 A2 H2 A1 H1 sqrt s 1 s 2 B2 H2 B1 H1 sqrt s 1 s 2 subplot 2 2 1 imshow A1 subplot 2 2 2 plot A2 subplot 2 2 3 imshow B1 subplot 2 2 4 plot B2 3 图像Hadamard变换 在这个例题中 因为A1与B1维数一样 都是方阵 所以H1与H2也是维数一样的 在语句A2 H2 A1 H1 sqrt s 1 s 2 中 之所以缩小sqrt s 1 s 2 倍 是因为乘积以后得到的矩阵数值太大 缩小后便于绘制图形 3 图像Hadamard变换 哈达玛变换 HT 是基于平面波函数的一种变换 具有高信噪比 单检测器多通道同时检测 成像 能力以及能量分布等优点 特别适用于微弱光谱测量及图像分析 在荧光 红外和拉曼光谱成像以及仪器联用技术等方面都取得了重要的研究成果 3 图像Hadamard变换 从数学上讲 HT实际上是统计学中的称量设计在光学中的应用 n个物体 分组称量所得各物体的重量 比一个一个单独称出的重量要准确 因此 如采用n个HT模板对试样信号进行调制 可得到n个调制的信号 用检测器检测每一个调制信号的量值 n次测量后则可以通过HT把n次测得的调制信号还原成试样的信号 在常规测量中 检测器在每一时间间隔里只检测一个分辨单元的信号强度 而哈达玛变换多通道检测技术在同一时间里却可以同时检测多个分辨单元里组合信号的总强度 在相同的实验条件下 经哈达玛变换后 可减小信号的均方差 提高信噪比 3 图像Hadamard变换 主要应用范围 带宽降低 Bandwidthreduction CDMA Codedivisionmultipleaccess 信息编码 Informationcoding 视频编码 videocoding 特征识别 Featureextraction 心电图分析 ECGsignalanalysisinmedicalsignalprocessing Hadamard频谱量测 Hadamardspectrometer 避免量化误差 Avoidingquantizationerror 由于阿达马变换转换输入输出皆为整数 因此不会有量化误差的问题 主要内容 1 图像变换2 图像Radon变换3 图像Hadamard变换4 图像傅里叶变换 4 图像傅里叶变换 傅里叶原理表明 任何连续测量的时序或信号 都可以表示为不同频率的正弦波信号的无限叠加 而根据该原理创立的傅里叶变换算法 利用直接测量到的原始信号 以累加方式来计算该信号中不同正弦波信号的频率 振幅和相位 4 图像傅里叶变换 图像的频率是表征图像中灰度变化剧烈程度的指标 是灰度在平面空间上的梯度 如 大面积的沙漠在图像中是一片灰度变化缓慢的区域 对应的频率值很低 而对于地表属性变换剧烈的边缘区域在图像中是一片灰度变化剧烈的区域 对应的频率值较高 4 图像傅里叶变换 从纯粹的数学意义上看 傅里叶变换是将一个函数转换为一系列周期函数来处理的 从物理效果看 傅里叶变换是将图像从空间域转换到频率域 其逆变换是将图像从频率域转换到空间域 4 图像傅里叶变换 实际上对图像进行二维傅里叶变换得到频谱图 就是图像梯度的分布图 当然频谱图上的各点与图像上各点并不存在一一对应的关系 傅里叶频谱图上我们看到的明暗不一的亮点 实际上图像上某一点与邻域点差异的强弱 即梯度的大小 也即该点的频率的大小 经过傅里叶变换后的图像 四角对应于低频成分 中央部位对应于高频部分 细节较少图片的傅立叶变换 细节中等图片的傅立叶变换 细节较多图片的傅立叶变换 离散傅立叶变换后的频域图 例如数字图像的傅立叶变换 原图 Fourier变换的频率特性 Fourier变换的低通滤波 Fourier变换的高通滤波 Fourier变换的压缩原理 压缩率为 1 7 1 压缩率为 2 24 1 压缩率为 3 3 1 Fourier变换的压缩原理 压缩率为 8 1 1 压缩率为 10 77 1 压缩率为 16 1 1 2 傅里叶变换的几种可能形式 连续时间 连续频率 傅里叶变换连续时间 离散频率 傅里叶级数离散时间 连续频率 序列的傅里叶变换离散时间 离散频率 离散傅里叶变换 2 傅里叶变换的几种可能形式 连续时间 连续频率 傅里叶变换 FT 这是连续时间 非周期信号x t 的傅里叶变换 它得到连续的 非周期的频谱密度函数X j 2 傅里叶变换的几种可能形式 连续时间 离散频率 傅里叶级数 FS 这是连续时间 周期信号x t 的傅里叶变换 它得到离散的 非周期的频谱密度函数X j 例如信号x t sin100 t只有一个频率分量 X jK 0 是频谱相邻两谱线间角频率的间隔 K为谐波序号 2 傅里叶变换的几种可能形式 离散时间 连续频率 序列的傅里叶变换 DTFT 时域离散 将导致频域周期化 且这个周期是 s 2 傅里叶变换的几种可能形式 上面所讲的三种傅里叶变换至少在一个域内是连续的 不适于计算机运算 最好是时域和频域均为离散的 才方便用计算机运算 思路 从序列的傅里叶变换出发 若时域为离散的序列 则频域是连续周期的 若此时我们对频域的连续信号抽样 人为的使其离散化 这样 频域的离散又导致时域的周期化 于是有 2 傅里叶变换的几种可能形式 离散时间 离散频率 离散傅里叶变换 DFT 一个域的离散造成另一个域的周期延拓 因此离散傅里叶变换的时域和频域都是离散的和周期的 3 图像的离散傅里叶变换 1 变换表达式正变换 逆变换 其中 若令 显然傅里叶变换的正变换核有 正变换矩阵为 3 图像的离散傅里叶变换 二维离散傅里叶变换对二维离散数据 x 0 1 1 y 0 1 N 1 则其离散傅里叶变换定义可表示为 式中 u 0 1 M 1 v 0 1 N 1 3 图像的离散傅里叶变换 二维离散傅里叶变换对二维离散数据 x 0 1 1 y 0 1 N 1 则其离散傅里叶逆变换定义可表示为 式中 x 0 1 M 1 y 0 1 N 1 3 图像的离散傅里叶变换 1 变换表达式 在图像处理中 一般总是选择方形数据 即 正变换 逆变换 其中 若令 显然傅里叶变换的正变换核有 正变换矩阵为 3 图像的离散傅里叶变换 1 变换表达式其中 逆变换核逆变换矩阵为 3 图像的离散傅里叶变换 例 变换核 N 4 w4 inline exp 2 j pi 4 x u x u G w4 0 0 w4 0 1 w4 0 2 w4 0 3 w4 1 0 w4 1 1 w4 1 2 w4 1 3 w4 2 0 w4 2 1 w4 2 2 w4 2 3 w4 3 0 w4 3 1 w4 3 2 w4 3 3 H w4 0 0 w4 0 1 w4 0 2 w4 0 3 w4 1 0 w4 1 1 w4 1 2 w4 1 3 w4 2 0 w4 2 1 w4 2 2 w4 2 3 w4 3 0 w4 3 1 w4 3 2 w4 3 3 H H 4 G H G H 3 图像的离散傅里叶变换 例 傅里叶变换w4 inline exp 2 j pi 4 x u x u G w4 0 0 w4 0 1 w4 0 2 w4 0 3 w4 1 0 w4 1 1 w4 1 2 w4 1 3 w4 2 0 w4 2 1 w4 2 2 w4 2 3 w4 3 0 w4 3 1 w4 3 2 w4 3 3 H w4 0 0 w4 0 1 w4 0 2 w4 0 3 w4 1 0 w4 1 1 w4 1 2 w4 1 3 w4 2 0 w4 2 1 w4 2 2 w4 2 3 w4 3 0 w4 3 1 w4 3 2 w4 3 3 H H 4 f 1234 5678 9101112 13141516 F G f G f1 H F H f F f1 3 图像的离散傅里叶变换 2 离散傅里叶变换的显示f x y 的振幅谱或傅里叶频谱 相位谱 能量谱 功率谱 3 图像的离散傅里叶变换 许多图像的傅里叶频谱随着频率u v的增大而迅速减小 使得显示和观察图像的频谱遇到困难 当以图像的形式来进行显示时 高频分量变得越来越不清楚 所以通常利用以下显示函数来显示频谱图像 3 图像的离散傅里叶变换 3 Matlab提供的函数Matlab提供了傅里叶变换函数返回图像X的二维傅里叶变换矩阵Y 输入图像和输出图像大小相同 格式为 Y FFT2 X 返回图像X的二维傅里叶反变换矩阵Y 输入图像和输出图像大小相同 格式为 Y IFFT2 X 3 图像的离散傅里叶变换 例 傅里叶变换f 1234 5678 9101112 13141516 F FFT2 f f1 IFFT2 F f F f1 3 图像的离散傅里叶变换 例 图像的傅里叶变换CLFf zeros 256 256 f 108 148 108 148 1 F fft2 f F2 log 1 abs F log 1 abs F subplot 121 imshow f subplot 122 imshow F2 4 傅里叶变换的性质 1 可分离性 4 傅里叶变换的性质 1 可分离性先对行做变换 然后对列进行变换 f x y 0 0 N 1 N 1 x y F x v 0 0 N 1 N 1 x v F x v 0 0 N 1 N 1 x v F u v 0 0 N 1 N 1 u v 4 傅里叶变换的性质 2 平移性函数自变量的位移的傅里叶变换产生一个复系数 4 傅里叶变换的性质 例 图像的平移CLFf1 zeros 256 256 f1 108 148 108 148 1 f2 zeros 256 256 f2 158 198 58 98 1 F1 fft2 f1 F1 log 1 abs F1 F2 fft2 f2 F2 log 1 abs F2 subplot 221 imshow f1 subplot 222 imshow f2 subplot 223 imshow F1 subplot 224 imshow F2 4 傅里叶变换的性质 2 平移性特别地 的傅里叶逆变换为 即 将转换图像的原点移到图像的中心 4 傅里叶变换的性质 2 平移性Matlab提供函数 进行移动频谱原点到中心 即一 三象限和二 四象限进行互换 函数格式为 F1 fftshift F 例 f 2334455623 4434983434 2134991034 1123345589 9866374523 F fft2 f fftshift F 4 傅里叶变换的性质 例 图像的傅里叶变换CLFf zeros 256 256 f 108 148 108 148 1 F fft2 f F2 log 1 abs F subplot 131 imshow f subplot 132 imshow F2 subplot 133 imshow fftshift F2 4 傅里叶变换的性质 3 函数平均值离散函数的均值等于该函数傅里叶变换在 0 0 点的值 4 傅里叶变换的性质 例 f 12345 678910 1112131415 1617181920 2122232425 F fft2 f F 1 1 sum f 4 傅里叶变换的性质 4 周期性傅里叶变换和它的反变换具有周期性 周期为N 即 同样 由于反变换的存在 也赋予了以下周期性 4 傅里叶变换的性质 5 共轭对称性从前面的例子可以看到 原函数有N N个实数 变换函数有N N个复数 似乎傅里叶变换后 数据量增加一倍 原因为傅里叶变换具有共轭对称性 4 傅里叶变换的性质 例 f 2334455623 4434983434 2134991034 1123345589 9866374523 F fft2 f 4 傅里叶变换的性质 6 旋转不变性 4 傅里叶变换的性质 例 图像的傅里叶变换CLFf1 zeros 256 256 f1 58 198 108 148 1 f2 imrotate f1 45 crop F1 log 1 abs fftshift fft2 f1 F2 log 1 abs fftshift fft2 f2 subplot 221 imshow f1 subplot 222 imshow f2 subplot 223 imshow F1 subplot 224 imshow F2 4 傅里叶变换的性质 7 比例性 4 傅里叶变换的性质 例 图像的傅里叶变换x ones 256 1 y1 cos linspace 5 pi 5 pi 256 y2 cos linspace 50 pi 50 pi 256 f1 x y1 f2 x y2 F1 log 1 abs fftshift fft2 f1 F2 log 1 abs fftshift fft2 f2 subplot 221 imshow mat2gray f1 subplot 222 imshow mat2gray f2 subplot 223 imshow mat2gray F1 subplot 224 imshow mat2gray F2 4 傅里叶变换的性质 二维傅里叶变换 幅值及相位 意义 4 傅里叶变换的性质 图像的说明左边一列 上方为原始图像 下方为本图的相关说明 中间一列 上图幅值谱 下图为根据幅值谱的傅里叶逆变换 忽略相位信息 设相位为0 右边一列 上图相位谱 下图为根据相位谱的傅里叶逆变换 忽略幅值信息 设幅值为某一常数 5 傅里叶变换应用 1 图像频谱显示许多图像的傅里叶频谱随着频率u v的增大而迅速减小 使得显示和观察图像的频谱遇到困难 当以图像的形式来进行显示时 高频分量变得越来越不清楚 所以通常利用以下显示函数来显示频谱图像 5 傅里叶变换应用 例 频谱对数运算CLFx linspace 10 10 1024 y1 abs sinc x y2 log 1 y1 y3 20 y1 y4 log 1 y3 subplot 221 plot x y1 axistight title abs Fu subplot 222 plot x y2 axistight title log 1 abs Fu subplot 223 plot x y3 axistight title 20abs Fu subplot 224 plot x y4 axistight title log 1 20abs Fu 5 傅里叶变换应用 例 频谱图像显示CLFI imread lena bmp I1 fftshift fft2 I subplot 121 imshow abs I1 colormap jet 256 colorbarsubplot 122 imshow log 1 10 abs I1 colormap jet 256 colorbar 5 傅里叶变换应用 例 频谱三维显示CLFf zeros 256 256 f 123 133 123 133 1 F fftshift fft2 f imshow log 1 abs F colormap jet 256 colorbar 5 傅里叶变换应用 例 频谱三维显示CLFf zeros 256 256 f 123 133 123 133 1 F fftshift fft2 f surf log 1 abs F axistight shadinginterp colormap jet 5 傅里叶变换应用 2 特殊函数的傅里叶变换 例 点函数CLFf zeros 256 256 f 128 128 1 F fftshift fft2 f imshow log 1 abs F colormap jet 256 colorbar 5 傅里叶变换应用 2 特殊函数的傅里叶变换 例 全1函数CLFf ones 256 256 F fftshift fft2 f imshow log 1 abs F colormap jet 256 colorbar 5 傅里叶变换应用 2 特殊函数的傅里