（应用数学专业论文）时间序列在地下水位预测中的应用.pdf

摘要 本论文利用时间序列建立了一个趋势回归 最小二乘法 模型 虚拟参数的 季节模型 以及时间序列分析的统计预测模型 该模型能够很好地分离出时间序 列中的趋势成分 且能够很好地刻画它在各个年度周期内部光滑的季节成分 本 文借助于e v i e w s 软件将地下水位统计数据进行消除趋势成分及消除季节影响的 处理 再将新得到的数据进行平稳化 零均值化处理 并利用时间序列的自相关 函数 偏自相关函数的性质 以及相应的模型评选标准 最终确认了适当的时间 序列模型 本文以北京市1 9 9 0 o l 1 9 9 4 1 2 共6 0 个月份的地下水位统计数据为实例进 行分析 确定此模型为d r 配4 1 4 模型 通过对数据的计算 可预测出北京市1 9 9 5 年地下水位值 并通过残差平方和最小这一评选标准表明 此法用于短期的预测 具有很高的精度 关键词 时间序列 自回归模型 趋势回归模型 季节性模型 滑动平均模型 a b s t r a c t i nt h i sp a s s a g ei tb u i l d su paf o r e c a s t i n gm o d e l w h i c hi sc o m b i n e d w i t ht h eo r d i n a r yl i n e a rr e g r e s s i o n 1 e a s ts q u a r ee s t i m a t e m o d e l n o n p a r a m e t r i cs e a s o ne s t i m a t i o na n dt i m es e r i e sa n a l y s i s t h ep r o p o s e dm o d e l c a nw e l ls e p a r a t et h et r e n dc o m p o n e n to ft h ed a t aa n dd e p i c tt h es m o o t h s e a s o nc o m p o n e n to fe v e r ym o n t h u s i n ge v i e w s s o f t w a r ei t e li m i n a t e s t r e n dc o m p o n e n ta n ds e a s o nc o m p o n e n t si n f l u e n c e si nt h ed a t a d e a li n g i n t os m o o t ha n dz e r oe x p e c t a t i v ed a t a w i t ht h en e wd a t a f r o ma ca n dp a c s c h a r a c t e r sa n dt h es e l e c t i o ns t a n d a r d sa n dt h em o d e l s e l e c t i o ns t a n d a r d s i td e t e r m i n e sa p p r o p r i a t em o d e l b ya n a l y z i n gt h ed a t ao fb e i j i n g sg r o u n dw a t e rl e v e ld a t af r o m 1 9 9 0 0 1t o1 9 9 4 1 2 i td e f i n e sa st h ea r m a 1 4 m o d e lf r o ma ca n dp a c s c h a r a c t e r sa n dt h es e l e c t i o ns t a n d a r d s w h r o u g hc o m p u t i n gt h ed a t a i t c a nf o r e c a s tb e i j i n gc i t y sg r o u n dw a t e rl e v e li n1 9 9 5 i ti n d i c a t e st h e r e s u l tt h a tt h ei d e a sh a v et h em o r ep r e c i s i o nt h r o u g hr s s k e y w o r d s t i m es e r i e s t h eo r d i n a r yli n e a rr e g r e s s i o nm o d e l s e a s o nm o d e l a r p m o d e l m a q m o d e l 独创性声名 本人声明所呈交的论文是本人在导师指导下进行的研究工作和取得的研究 成果 除了文中特别加以标注和致谢之处外 论文中不包含其他人已经发表或 撰写过的研究成果 也不包含为获得天津工业大学或其他教学机构的学位或证书 而使用过的教材 与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作 了明确的说明并表示了谢意 学位论文作者签名 切香 签名日期 佣观每9 月 夕日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解天津工业大学有关保密 使用学位论文的规定 特 授权天津工业大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索 并采用影印 缩印或扫描等复制手段保存 汇编以供查阅和借阅 同意学校向国 家有关部门或机构送交论文的复印和磁盘 保密的学位论文在解密后适用本授权说明 导师躲奖j 7 廊i 醪导师签名 卞 川7 蚤 馏榭咖 轹 管 签旷墀捌以 论 日 学 签 学位论文的主要创新点 一 在b j 方法的指导下 用a r m a 模型预测了一个实际的时间序列 的问题 二 虽然非平稳的时间序列 经过差分后可以变成平稳的时间序列 但经过差分后的数据会损失一些信息 本论文结合趋势回归模型及季 节性模型对非平稳时间序列进行不损失信息的处理 并进行相应的预 测 天津工业大学2 0 0 6 届硕士毕业论文 1 1 原模型简介 第一章引言 采用季节性指数平滑法进行预测将是很有效的 在文献 8 1 中用这种方法 对地下水位预报中的应用进行了初步探讨 现简单介绍如下 1 1 1 计算方法 季节性指数平滑法和其它指数平滑法一样 也是一种非统计性的数学模型 它的基本方法是先把直接量测到的时间序列分解成水平因素 趋势因素和周期因 素三部分 然后再把三者合起来进行预测 因此 这种预测方法能有效地反映季 节变动对时间序列的影响 在应用季节性指数平滑法进行预测或预报时 必须事先获得头两个周期内每 一个时期的观测值 例如要预报地下水位的变化 就必须首先知道前两年中每个 月的水位变化情况 设直接测量到的时间序列周期长度为 已知其观测值为y y y 应 用季节性指数平滑法的预报过程为 分别计算前两个周期中每个时期的平均值 y 蝴 喜乃 1 1 1 k 渺l 1 y 一 奶 7 1 善2 1 1 1 2 计算两个周期内平均每个时期的增量 b 一 1 1 3 计算初始指数平滑值 s k 三生b 1 1 4 天津工业大学2 0 0 6 届硕士毕业论文 确定前两个周期内每一个时期的季节变动指数q 第一个周期内每一时期的季节变动指数为 q 2 巧y t 2 力 1 1 5 其中 当t 1 时 肼 1 当t 2 时 m 2 当t 研 第二个周期内每一时期的季节变动指数为 c 2 i 丽y t 1 2 2 1 l 6 其中 当t 1 时 彤 l 当t 2 时 历 2 当t 2 1 册 计算前两个周期中平均每个时期的季节变动指数 1 c 夕 妻 c 乙 c o l 1 2 2 0 1 i 7 共有f 个平均季节变动指数 将季节变动指数正态化 c 万三 一c 7 导c o l 2 2 1 1 1 8 掣 2 1 其中 7 戳 础2 呓 掣 f l 1 2 2 1 t l l 对第三个周期内每一时期进行初步预测 e s r o b c 1 1 9 其中t 2 1 所 1 2 初步预测第 2 1 2 1 2 3 0 时期的值 对指数平滑值进行修正 当获得第三个周期的第一个时期的观测值后 y 2 i i 用l 组确定的平滑常数 口 修正指数平滑值 趋势和季节变动指数 修正公式为 墨 口瓦y t 1 一口 s b 2 天津工业大学2 0 0 6 届硕士毕业论文 e s 一回 1 r b 1 1 1 1 c 嗜 1 阴一 这样可以重新预测第三个周期内其余 一1 个时期的数值 f 墨 r o b c 一 其中肌 1 2 一1 以后 每次当获得前f 时期的观测值只时 就可以用以下公式分别计算单 指数平滑值 趋势和季节变动指数 只 t z c f y t 1 一口 墨一l e 1 1 1 1 4 e y s 一墨一i 1 y b t i 1 1 1 5 c 2 哮 1 胡c 一 对 f m 时期的预测值 墨 m b c t 其中坍 1 2 z 1 每当计算完1 个周期 得到 个季节变动指数后 就要按第 6 步的方法 把 它们重新加以正态化 在以上预测时 需确定一组最佳平滑参数口 的数值 口 一般在o 1 o 2 2 f 司 按实际情况处理 预测时间为3 个月时选0 1 预测时间为6 个月时选0 o l 1 1 2 预报实例 应用季节性指数平滑法对其中的7 6 7 号孔1 9 9 0 年 1 9 9 4 年的地下水位情况 进行了不同过程的模拟分析及预测 计算时采用的周期长度为1 2 个月 平滑参数 口 o 3 声 0 1 y o 0 1 天津工业大学2 0 0 6 届硕士毕业论文 代入预测公式得1 9 9 5 年的预测结果 i t 234667891 01 11 2 t z s 4 2 3 2 4 2 4 24 2 5 64 2 5 84 2 6 84 2 8 54 2 7 04 2 7 54 2 5 24 2 4 04 2 3 3 1 2 原模型的点评 在文献 8 中使用了季节指数法中最新的霍尔特一温特斯季节指数法进行 预测 操作起来比较简单 预测精度也较高 但单纯的使用这种方法 只是考虑 到水位受趋势和季节的影响 并没有充分考虑到除趋势和季节影响外不同季节之 间的联系 即前一季节地下水位对本季节地下水位的影响 或前几个季节地下水 位对本季节地下水位的影响 尤其当趋势因素表现的不显著时 不同季节之间的 影响就会显得更加重要 所以在本文中将不仅考虑到趋势和季节的影响 而且还 要充分考虑到不同季节的影响 4 天津工业大学2 0 0 6 届硕士毕业论文 第二章地下水位预测的相关时间序列基础理论 2 1 背景介绍 北京市作为一个内陆地区 其地下水位的变化规律同其它地区的地下水位的 有类似的变化规律 所以具有典型的代表性 而研究其数量规律的一个重要课题 就是要能够对其地下水位予以合理预测 本文主要考虑对北京市的7 6 7 号孔 1 9 9 0 年 1 9 9 4 年地下水位的预测 关于地下水位的时间序列是趋势变动 季节交动 循环变动 随机变动综合 影响的结果 本文将逐一地介绍针对趋势变动 季节变动和循环变动的建模 趋 势反映了待估变量缓慢的 长期的变化特征 季节性是序列每年表现出的一种重 复变动模式 循环性是一个一般性的 涵盖所有周期性质的特性 即任何趋势和 季节性都无法刻画的一类动态特征 下面就关于地下水位的预测所用到的相关知识逐一进行介绍 2 2 趋势回归建模与预测 方法 用最小二乘法提取趋势项 2 2 1 模型的建立 线性趋势模型 设t 为时间虚拟变量 第一期取值为l 第二期取值为2 以此类推 称 为线性趋势模型 数学模型 y 口 厨 占 2 2 1 0堆 口 r f j l 天津工业大学2 0 0 6 届硕士毕业论文 其中 口 仃2 为未知参数 即 2 2 2 模型的参数估计 y l 口 p t 1 毛 y 2 g p l t 2 s 2 y o p n sn 日一 o 盯2 且相互独立 记 q a 杰 乃一五 窆 一口一线 z f i ih l 选择口 使得 q a 仂 m i n q a 则称口 为口 的最小二乘估计 令 瓦a q 2 喜 m 一口一成 嚣q 喜c y l o e 跗 一 则 珂口 y 扣l1 1 t 口 p z t 帆y 记名净 去喜y 乒 去挈 故 口 y 一8 t 多 t y j t y t 2 一t h 一 一 一2 记 厶 纯一f 2 n t 2 一t 扛l 弓 去私 2 2 3 h 一一一一一 b f 一f 一y 月 纱一t y 括i 一 一 一2 岛 m y 2 甩 y 2 y 2 l 6 2 2 3 预测 天津工业大学2 0 0 6 届硕士毕业论文 在t t 处 预测公式 2 2 4 非线性趋势的线性化 常见的趋势 双曲线一1 口 一b y 工 y 0 i t b t o 作法 令 二 v 二 则v 口 6 z f l1 x y 幂函数曲线歹 a x 6 作法 l n y l n a b l n x 令u l n xv i n y a l n a 2 2 4 2 2 5 2 2 6 2 2 7 贝u v a b u 指数曲线y a e 缸 2 2 8 作法 h a y l n a b x 令v l n y a i n a则v a b x b 倒指数曲线y a e 2 2 9 作法 l n y l n 口 b令甜 11 l n y 彳 l n 4 则 1 彳 6 h xx 对数曲线y 口 b l o g x 作法 令砧 l o g x则y a b u s 型曲线y i 丽1 7 2 2 1 0 2 2 1 1 天津工业大学2 0 0 6 届硕士毕业论文 作法 令 e xv 一1贝 v 口 6 y 2 3 季节性建模与预测 季节指数法要从原始序列中消除随机变动 然后分别识别出季节变动和趋势 变动的变化模式 设时间序列为 y t y 它是由m 年统计数据构成的 季节长度为 则n m l 预测步骤为 1 建立趋势方程 z f 2 3 1 2 根据趋势方程 计算各期趋势值 五 疋 l 3 剔除趋势 用各期的观察值除以趋势值 得出季节指数和随机干扰的混 合值为 j 2 詈 t 1 2 n 4 估计季节指数 对同季节的 求平均值 以消除随机干扰 得到季节指 数的估计值 s f s s l t l s 2 1 4 s f 一1 7 f h 一 5 正式估计季节指数 一个周期内的各季节指数之和应等于 即 s 4 1 1 但是用上面的方法求出的季节指数的初步估计值 一般不满足这一要求 因此要 加以调整 调整的方法是 先求出一个周期内各平均季节指数的均值作为调整系 数 即 8 天津工业大学2 0 0 6 届硕士毕业论文 s 圭j l 扛l 然后用各平均季节指数蟊除以调整系数s 可得到季节指数的正式估计值 即 s 詈 呻 功 6 建立趋势季节预测模型 并进行预测 预测模型为 y r s o 1 2 2 3 6 式中 y 为第f 期的预测值 s 为第f 期的季节指数 2 4 循环建模与预测 1 随机过程 由随机变量组成的一个有序序列称为随机过程 记为 抄 j f s s t 乃 其中s 表示样本空间 t 表示序数集 对于每一个f t t y f 是样本空间s 中的一个随机变量 2 严平稳过程 一个随机过程中若随机变量的任意子集的联合分布函数与 时间无关 即无论对r 的任何时间子集 f l f t 以及任何实数七 4 k t f 1 2 n 都有 f y t y f 2 y t f y t t 七 y f 2 七 y t 后 2 4 i 成立 其中f 表示疗个随机变量的联合分布函数 则称其为严乎稳过程或强平稳过 程 3 宽平稳过程 如果一个随机过程m 阶矩以下的矩的取值全部与时间无关 则称该过程为m 阶平稳过程 9 天津工业大学2 0 0 6 届硕士毕业论文 研y e y t l t a o o 2 4 2 陆 y 0 v a r y t t 盯2 o o c o v y t 1 y f c o v y t 七 y t t 盯 o o 2 4 4 其中u 盯2 和西为常数 不随f f 丁 t f k r f 的变化而变化 则称 该随机过程仉 为二阶平稳过程 该过程属于宽平稳过程 如果严平稳过程的二阶矩为有限常数值 则其一定是宽平稳过程 反之 一 个宽平稳过程不一定是严平稳过程 但对于正态随机过程而言 严平稳与宽平稳 是一致的 4 时间序列 定义 随机过程的一次实现称为时间序列 记为 刀 o 1 垃 差分 时间序列变量的本期值与其滞后值相减的运算叫差分 首先给出差分 符号 对于时间序列y 一阶差分可表示为 a y y 一y 一l y 一砂 1 一b y 其中 a 称为一阶差分算子 b 称为向后移位算子 其定义是b y y 二次一阶差分表示为 a 2 y 妙 一 妙肛i y y 一1 一 y 加l 一 一2 y 一2 y 一 y 加2 1 2 b b 2 y 2 4 6 k 阶差分可表示为 y y i a t y 1 一b y 2 4 7 5 方法 用差分法可使部平稳的时间序列成为平稳的时间序列 使数据最后可用平稳 时间序列模型拟合 6 平稳时间序列线性模型 定义 设抄 疗 o l 9 是平稳时间序列 称 1 0 天津工业大学2 0 0 6 届硕士毕业论文 儿 c o v y y i e o y 柑 k o l 垃 2 4 8 为抄 力 o l 监 的自协方差函数 定义 设o 一 o l 监 一 是平稳时间序列 称 v 以 丛 k o 1 也 2 4 9 为 y n 以 o 1 生 的白相关函数 其中 p o 1 特别地 若抄 n 0 土l 垃 的均值函数为零 则其自协方差函数的定义 没有变化 而自相关函数实际上就是相关系数函数 白噪声 w h i t e n o i s e 过程 对于随机过程抄 l o l 也 如果 e y o v a r y 盯2 p 时 0 定理 设删 鼋 模型儿 占 一办 i 一办厶一 一九占 口则 t y 刀 o l 控 的自相关函数为 以 l 以 哦办一1 虹 九 l 砰 衙 以 o 知n 截尾 拖尾 定理 设a r m a p g 模型 则 k 0 1 七 q 七 q y 一仍y 一l 一仍y 2 一 一作y 8 n 一办占 i 一九s n 一 一九占 一g 2 4 1 6 抄 以 o l 监 的自相关函数为 p k 一9 t p t l l p 2 p t 4 一 一9 p p t p 0 岛 伊n 拖尾 8 样本自协方差和样本自相关函数 定义 设 y n 0 l 2 是平稳时间序列 y i y y 是来自 以 n o l 2 的一个样本 则样本自协方差函数为 其中 万1n 缶 k m 一多x y 一 七 l 垃 册 册 天津工业大学2 0 0 6 届硕士毕业论文 定义 自相关函数为 1 告 y i 毛m 2 4 1 9 刍 譬 七 0 l 垃 肌 坍 p 时 o 当七 p 时 参 l n o 万1 当 充 大时 有 尸例 六硼3 啦卜嘉棚麟 利用该性质可判断缈 0 的截尾性 若风之前参 都明显地不能认为是零 而当p p 时 参 中满足上述不等式的个数达到了比例 则认为 在风处 截尾 即认为是a r p 模型 对于捌 q 模型 由于当t q 且n 充分大时 有 尸州 嘉娟3 中卜专洲删 天津工业大学2 0 0 6 届硕士毕业论文 利用该性质可判断n 的截尾性 若吼之前p i 都明显地不能认为是零 而当 日 吼时 二 中满足上述不等式的个数达到了比例 则认为凤在g o 处截尾 即 认为是m a q 模型 对于a r m a p 曲模型 利用该性质可判断n 的截尾性 若p 和妒艟的个数 均不满足上述的比例 则认为以和妒 都是拖尾的 从而线性模型为a r m a p 曲 但a g 不定 我们只能主观取p q 的值 一般p g 是较小的数值 9 随机序列的平稳性检验 直观上可以利用散点图进行判断序列的平稳性 即将所得的样本序列数据 绘成散点图 若各观察点在样本均知水平直线y 击 j 上下波动 则可认为是 7 i l l 平稳序列 利用样本自相关分析图进行判断 若序列的自相关系数很快地 之后阶数 p 大于2 或3 时 趋于o 即落入随机区间 时间是平稳的 反之是非平稳的 1 0 模型参数估计 a r p 模型 j 乙一仍x i 一仍x 2 一 石 p s 则吼的估计为 妒1 妒2 伊3 伊i 1 p lp 2 p i 1 p l p 2p t 1 p p d p p 2 p 一 r p 川l ip l 刍一0 刍 n 8 一 p 8 0 3 m 纠 彩模型x 占 一而s 一办s m 一九f 则妒 的估计为 o a o 1 i 2 妒4 2 l a o 一妒l 妒l 妒2 矿q l 矽口 1 5 天津工业大学2 0 0 6 届硕士毕业论文 2 厂q e o 一 g 彳r p 模型 x 一9 l x 一9 2 x 2 一 一妒p x p e 一妒i g 一九s m 一 一口q s g 则吼的估计为 的估计为 妒l 妒2 伊3 p t 1 p 1p 2 p l 1 p i p 2p l 1 p p ip p 2p 一 r p 川0p l 如8 刍 一 户p 3i f p 3 1 k o 盯o 1 i 矿2 7 1 a o 一 l 妒1 矿2 妒口一i 妒q y 2 仃 卜妒2 矿1 矿3 矿叮 2 声q 口 o o 一声g 1 1 假设检验 完成模型的识别与参数估计后 应对估计结果进行检验 为了确定所选用 的模型是否合适 参数显著性检验 h q 9 i 0 一h l e i 0 检验统计量 u l 竺f 珂一 污 1 6 天津工业大学2 0 0 6 届硕士毕业论文 给定口 w 目 l f n k 1 其中 q 为爿r 删 p 鼋 中的乃或办 k p 或七 q 残差序列为白噪声的显著性检验 h o p l 岛一 p k 1 至少有一个n 0 检验统计量 u 叫m 壹鲁2 以n p iq i 给定口 w 缸 z 一p g 其中 九表示用残差序列计算的自相关系数值 k 表示自相关系数的个数 1 2 时间序列模型预测 a r p t 莫型x 一仍x 一i p 2 x n 2 一 x p 6 的预测公式 理论上第疗 l 时刻的j 舯 的值应按下式计算 x 肿i 妒i x 一 z 舻2 x 肛 占 用估计值仍o 1 2 力代替仍 而毛是未知的 但占 氏 0 故第n l 时刻的以 的值可按下式计算 x 一 缈1 x 月 伊2 工舻i 妒 z 俨 i 第n 2 时刻的x 的值可按下式计算 y 胂2 矿l x 月 妒2 x t p p k p 2 依次类推第n k l k p 时刻的x h 1 的值可按下式计算 x 肿h l 尹1x n t 伊2x 肿t i 矿口x 肿 l p 即 如一赢幺 蠢箧r n k 即 r 肿i l 妒1 妒2 伊口m 五肿 1 1 7 天津工业大学2 0 0 6 届硕士毕业论文 私 g 模型x 厶一办厶一 一改占一 一幽占 的预测公式 x 9 2 10 o 0l 0 m g 一 00 i 痧口0 0 0 其中 疗较小时 可取z g 0 e s 0i 刀一毋疗一g l 疗 娩 懂 一 q l 彳 一仍x i 一伊2 x 一伊p z 一p 占 一唬s 一戎s m 一龙s 的预测公式 x 一g l g 2 一瓯一t g g 伊q l0 o 0l o 0o l 伊口一2 矽l x 一 鼋 一 其中 参 代 l j l 时 预测公式为 y j 件i y i a y y y 并一 1 8 r iii i 一 丸 九 红 九 叶 o o o z 七厶十 r l 肿 r 1 j q q 晖q 天津工业大学2 0 0 6 届硕士毕业论文 2 5 模型的评选标准 y i y t 1 4 r j t 1 在确定循环模型p q 的阶数时 所用的评选标准为 利用a c 准则 一等汕串 r r 其中 k 为待估参数的个数 t 为样本容量 易见 a c 越小越好 利用s i c 准则 踟 竿儿翠 易见 a i c 越小越好 2 判断预测效果的评选标准 均方误差旌e 1 9 尸 y l r 知争 銎 天津工业大学2 0 0 6 届硕士毕业论文 现有1 9 9 0 1 9 9 4 年北京市的浅水层地下水位观测资料 单位 米 表3 1 11 9 9 0 1 9 9 4 年北京市的浅水层地下水位观测值 1234567891 0 1 1 1 2 1 9 9 04 2 6 l 4 2 5 3 4 2 5 9 4 2 5 l4 2 6 04 2 7 0 4 2 鸵4 2 6 74 2 7 74 2 5 94 2 5 64 2 5 l 1 9 9 14 2 3 64 2 2 64 2 4 l4 2 5 94 2 6 84 2 9 24 2 9 54 2 6 74 2 8 34 2 4 84 2 2 64 2 1 9 1 9 9 2 4 2 0 74 2 0 4 4 2 0 2 4 2 4 44 2 4 84 2 5 84 2 7 24 3 0 44 2 8 04 2 6 6 4 2 6 l 4 2 4 7 1 9 9 34 2 2 9 4 2 1 7 4 2 4 44 2 4 9 4 2 3 7 4 2 4 44 2 4 2 6 84 2 3 24 2 3 74 2 4 04 2 3 0 1 9 9 44 2 1 24 2 0 94 1 9 84 2 2 84 2 2 44 2 2 04 2 5 44 2 7 54 2 跖4 2 5 54 2 5 64 2 5 6 试预测1 9 9 5 年北京市的浅水层地下水位值 所有计算结果及图形均有e v i e w s 3 1 软件实现 3 1 趋势回归法 3 1 1 表3 1 1 的折线图 表3 1 2折线图 根据折线图3 1 2 的直观观察 作表3 i 2 的线性趋势回归 3 1 2 线性趋势回归 天津工业大学2 0 0 6 届硕士毕业论文 表3 1 3线性趋势回归 从趋势回归检验表格中的y c 工 c 2 x 中的 2 0 0 0 3 5 9 6 可知 此时间 序列不具有明显的线性回归趋势 c 2 不显著 有可能x y 间不具有线性关系 用非线性回归趋势进行拟合 发现也是不显著 则认为x 不具有明显的线性回归趋势 用回归法作出相应的回归曲线后 将原始数据y 减去相应的回归值y 作用 是为了剔除趋势因素的影响 作出相应的残差图 以便于分析其它因素的影响是 否显著 3 1 3 残差图 表3 1 4残差图 e 三三三团 从残差图中可看出 残差表现出明显的季节性 下冉季节指数法验证季节因 素的显著性 2 1 3 2 季节指数法 天津工业大学2 0 0 6 届硕士毕业论文 3 2 i 建立纯季节虚拟变量模型 纯季节虚拟变量模型 y pj d 口 8 t l 其中 b 1 000 0 0 0 0 0 0 0 0 100 0 0 0 0 0 0 0 0 010 0 0 o d 1 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 010 0 0 0 000 0 0 0 0l0 0 0 0 o 岛u 1 2 1 2 称为季节因子 反映了每年季节的变动模式 若不存 在季节性 岛u 1 2 1 2 将完全相同 3 2 2 模型参数岛0 1 2 1 2 估计值 表3 2 1 岛u l 2 1 2 估计值 v a r i a b l ec o e f f i c i e n ts t d e r r o r t s t a t i e t i cp r e b d 14 2 2 9 0 0 0o 0 8 2 9 6 s5 0 97 3 3 9o 0 0 0 0 d 24 2 2 1b 0 0o 0 8 2 9 6 55 0 8 日6 6 1o 0 0 0 0 d 34 22 b b 0 00 0 8 2 9 6 55 0 97 0 9 800 0 0 d d 44 24 6 2 0 00 0 8 2 9 1 5 55 11 8 0 7 10 叩0 0 d 54 24 7 4 0 000 8 2 9 6 s5 119 5 1 7o 0 0 0 0 d 64 25 3 8 0 000 8 2 9 6 55 12 7 2 3 10 0 0 0 0 d 74 2 7 5 2 0 000 日2 9 6 55 15 3 0 2 6d 0 0 0 0 4 27 6 2 0 000 8 2 9 6 55 1 5 4 2 3 1 0 0 0 0 0 d 94 27 16 0 0o 0 8 2 9 6 55 14 8 6 8 6 00 0 0 0 d 1 04 2 s 3 0 0 0o 0 8 2 9 6 5 5 12 6 2 6 70 0 0 0 0 d 11 4 24 7 6 0 0 o 0 日2 9 6 5 5 11 9 7 5 8o 0 0 0 0 d 1 2 4 24 0 4 0 0o 0 8 2 9 6 5言111 0 8 000 0 0 口 r s q u a r e d a d j u s t e d 冀一s q u a r e d seo fr e g r e s s i o n s u ms q u a r e dr e s i d l o gl i k s l i h o o d 0 5 2 2 1 0 3 0 4 12 5 e 4 0 1 8 5 5 1 5 16 5 1 9 6 0 2 26 3 5 1 5 m e a nd e p e n d e n tv a r sd d e p e n d e n tv a t a k a i k 日i n f oc r i t e r i o n s c h w a r zc r i t e r i o n d u r b i n w e t s e ns t a t 4 2 4 9 2 5 0 o 2 4 2 0 5 1 03 5 4 5 0 5 0 0 6 4 3 6 4 05 日6 2 1 5 从表3 2 1 中的d 1 d 2 d 1 2 可以看出它们之间是有显著差别的 所以 地下水位有显著的季节性 这与直观感觉 地下水位受季节的影响 是相吻合的 天津工业大学2 0 0 6 届硕士毕业论文 剔除季节因素的影响 作出相应的残差图 下面分析各季节之间的的影响是 否显著 3 3 循环预测法 3 3 1 消除季节影响的时间序列图 表3 3 1时间序列图 从表3 3 1 并不能直观的观测出各季节之间的影响是否显著 下作相关性 检验 3 3 2 模型的识别 表3 3 2自相关 偏相关表 a u t o c o r r e l a t i o np a r t i a lc o r r e l a t i o n a cp a cc o 8 t a tp r o b i f 10s e 80 6 6 82 81 1 40 e 1 0 0 i ii 204 8 00 0 6 24 2 9 1 700 0 0 2 0 0 0 0 901 5 86 6 0 4 300 0 d 1 n n en n r n 隔1 n 正n 八m 00000000000000000 o 0000000000000000000000000000000006 63707223830 6馏恤 鲫引 捌均叫 挖西弼蛇船引 甜研刚引鲫引娩娩昭叫融阻阻叫 8皓 8 侣 驼 8刀m 侣驰盯m砣叮嘶佃洲加蚴晌 倒吆 呵 叫叮信 加00000000000000000 4 4 4 9 0328339190917钔s 刚们 叫艘 0000口00000000000034567890123456789 1吖叶h斗斗0 天津工业大学2 0 0 6 届硕士毕业论文 根据a g p 自相关函数的拖尾性 偏相关函数的截尾性和m a q 的偏相关函 数的拖尾性 自相关函数的的截尾性 由表3 3 2 可以看出 p 1 g 4 利用a i c 准则 一等 牟 r 丁7 其中 七为待估参数的个数 t 为样本容量 及利用s i c 准则 跚 竿 霉 r r 7 由这两个评选指标进行检验 确定为p l q 4 即认为该时间序列适合 4 砌纠 1 4 模型 下面估计该模型的参数 表3 3 3a r m a 1 4 模型的参数 从表3 3 3 可以看出对应的模型表达是 只一4 2 4 6 7 4 8 0 4 3 6 0 3 6 y 一l 一4 2 4 6 7 4 8 s o 2 6 4 6 1 5 占 一2 o 4 7 5 4 2 5 口t 一3 0 5 4 7 6 4 4 s 4 3 3 3 模型的检验 天津工业大学2 0 0 6 届硕士毕业论文 为考核所建模型的优劣 需要对模型的残差序列进行白噪声检验 若残差序 列不是自噪声 意味着残差序列还存在有用信息没被提取 需进一步改进模型 通常侧重于残差序列的随机性 即滞后期七 l 时 残差序列的样本自相关系数 应近似为0 判断残差序列是否为白噪声序列 可采用较直观的方法 即看残差的自相关 分析图 表3 3 4残差的自相关分析图 a u t o c o r r e l a t i o np a r t i a lc o r r e l a t i o n a cp a cq s t a rp r o b i m m l 0 3 5 1 0 9 0 4 3 0 3 1 0 5 2 0 7 1 明1 9 0 0 2 0 0 2 0 2 4 2 1 1 0 8 0 0 7 1 0 1 8 1 1 3 0 0 5 1 5 1 1 9 4 0 4 0 口b 500 7 7 6 1 1 0 08 2 7 8 0 3 50 9 4 6 9 0 4 11 0 1 1 8 d 6 91 1 9 2 2 0 7 91 5 3 5 5 0 7 21 9 日8 4 0 6 82 0 9 3 3 0 1 32 0 9 3 5 0 1 72 0 9 3 8 0 2 12 1 3 8 0 2 2 55 5 5 1 5 0 5 56 0 5 0 5 1 4 4 64 4 9 7 0 0 264 7 5 7 0 5 87 5 5 口5 0 3 日7 5 5 2 8 1 3 19 5 6 4 0 2 1 21 2 9 4 2 0 1 51 3 0 9 1 由图知 残差序列的自相关与0 无显著差别 或可以认为基本落入随机区间 可以认定残差序列为白噪声序列 故模型通过检验 5 4 5 9 6 1 2 7 5 6 0 9 1 3 7 6万艏盱 刚 乃玎卧刚盯均印 8 0 0 0 0 00000000 0 0 0 0o田田母田 0旬0毋0毋m加m0啦0毋加 0旬扣扣旬m0 0旬0扣扣旬00田0扣田 2 3 4 56789佃 住俏 佰循仃侣伯扣 天津工业大学2 0 0 6 届硕士毕业论文 3 3 4 模型的预测 白噪声检验 模型说明北京的地下水位可以用上一月的地下水位及前4 个月的残差及季节 因子表示 基于上述所选的模型的估计参数和检验结果 对样本期向后一年 即 1 9 9 5 年北京地下水位作一预测 预测结果为 表3 3 6 预测结果 i 234567891 0l l1 2 4 z s 4 2 2 l 4 2 3 04 2 4 54 2 4 74 2 5 24 2 7 34 2 7 44 2 6 94 2 5 l4 2 4 54 2 3 8 3 4 结果对比 分析 3 4 1 结果对比 用该文所介绍的方法给出1 9 9 4 年的预测结果及拟合误差 天津工业大学2 0 0 6 届顼士毕业论文 表3 4 1 l234567891 0l l1 2 预测结果哇z 1 84 2 i 口4 2 4 2 4 24 2 4 44 互龉 4 2 7 0 记3啦 5 84 2 3 54 2 2 84 2 1 6 拟合误差 仉 o t 3 0 2 7 o o 吨0 3 0 0 舯 0 1 4 一o 0 7 0 0 3 0 0 4 用霍尔特一温特斯指数平滑法给出1 9 9 4 年的预测结果及拟合误差 表3 4 2 l2345678g1 0i l1 2 硬翱结果4 2 1 84 2 1 94 2 3 04 2 救4 2 4 44 2 5 54 2 t o4 2 34 2 硒4 2 3 54 2 2 8 4 2 1 5 拟台误差吨阳 0 1 0 吨3 2 0 1 4 n 2 0 0 3 5 n n2 2m2 8 地2 0m3 2m4 0 根据评选标准 脱 擎 劫矗 掇e 上l 一 二 1 一y 2 rr 鲁 分别计算得 0 0 11 2 o 0 6 2 7 即用该文介绍的方法得到的均方误差远远小于 用霍尔特一温特斯指数平滑法得到的均方误差 3 4 2 结果的分析 该文的时间序列数据恰如之前提及的当趋势因素表现的不显著时 不同季节 之间的影响就会显得更加重要 因在该文中将不仅考虑到趋势和季节的影响 而 且充分考虑到不同季节之间的影响 故通过均方误差这一模型评选标准可以很清 晰的看出该模型对信息的挖掘比较充分 而且包含趋势变动 季节变动和循环变 动的时间序列在作预测时只考虑预测序列本身历史数据反映和包含的信息 数据 来源容易 建模工作量小 预测方法简单 可对预测历史数据变动规律进行有效 的概括 能够保证一定的预测精度 天津工业大学2 0 0 6 届硕士毕业论文 4 1 模型的推广 第四章模型的展望 i 该文所提出的模型不仅可以预测1 9 9 5 年的地下水位 而且可以预测将来 的地下水位 2 该文所提出的模型也可以被用来预测其它的指标 如 g d p 的增长 房 地产 销售额 投资额 土地开发面积等 3 若数据具有不平稳性时 还可经过一阶