在刀刃上_浅谈数学审题的_着力点_及其策略.pdf

2013 年第4 期中学数学研究 较弱的必要条件来求解 直接得出结论或将求得的 值进行检验即可 筒化解题过程 实为科学有效的解 题方法 例 设 有 四 个 函 数 二 乡 g 二 加 一1 厂二乏 石 子 牛 h x 二 七 l 信下户 子 无 x 二19 二 4 一x 0一 一 产 一 一 产 丫加 1 一 一 了 在至 下丁 其中既非奇函数又非偶函 数的两个函数 是 A f 二 和g 二 B g 二 和h 二 C h 二 和 无 x D 无 和f 二 析解 本题若从奇函数与偶函数的必要条件考 虑 只有定义域关于原点对称的函数才可能具备奇 偶性 就能迅速对本题作出判断二 g x 的定义域 一a o 4 门 4 关于原点不对称 以x 不 具 备 奇 偶 性 又丫 二 的 定 义 域 一 冬 粤2 关 于 原 困 一 闷 7 一 一 一 一了一 一 2 2 产 0 点不对称 h 幻 不具备奇偶性 因此选B 析解 求二次函数的条件最值 常规解法是一 看开口方向 二看轴的位里 三算端点数值 为此必 须 对函 数的 对 称 轴二二 一 牛的 位里 进行分类讨 论 乃 一 一 一2一 一 份 0 八 0 u 虽然完整 但太繁 妙用必要条件 若能取特殊值 利 用基本不等式放缩 消元 传递而达到目的 优化解 题过程 f 一1 1 l 一a b l 弟 1f 1 I 二 11 a bl 弟If 0 l 二 1bl 4y n 2 If 一l I 1f l I 2 1f 0 l 2lf 一l f l 一z f 0 例 8 二 2 爪 子 是否存在常数 b 使等式1 x Z z Z x 32 n n l 2 尹 兴 奋 业 二 0 n 对 切自然数 n 都成立 并证明之 析解 如果存在这样的实数 a b 对一切 自 然 数n 原等式都成立 则其一个必要条件是对 n 二 1 4二代丁 a D C 6 例 6 已 知 函 数 f 二 一 击 二R 若f 幻 是奇函数 求a 的值 析解 若从f 劝 是奇函数的充要条件匆 一 劝 二一 f 习 对一切x E R 恒成立来求a 就要解一个关 于x 的恒等式 较为麻烦 考虑其一个非常简单的必 要条件 f 0 二 易得 一 卫 了 二 即 二1 检 一 00 碑 一 0 2 l0 一 验 当 二 1时 J x 1一 井 丁 二 矍 二 粤 确 为 奇 函 一 一 衬 2二 12二 1 0一 数 故 a 二1 为所求 4妙用必要条件优化解题过程 有意识 合理 恰当地利用必要条件解题 不仅 能缩小 目标 0 活动范围 打开解题思路 而且能优 化解题过程 有效训练学生的数学思维能力 提高学 生分析 解决问题的水平 收到 一石多鸟0的效果 例 7若f 二 二 2 6 a b 丑 当x e 1 一 1 1 时 f 二 的 最 大 值 为 求 证 m 二 冬 一 一 J 一 0J 一 了 一 产 一 v0一 一 0 一2 1 乙乙二 二 耳已 乙D C Z 70二 ga 3 b e r l 矛e e w e e e 胜 立成都 a 2 a二3 b 二 11 e 二 10 接着只要再证明这样的a b 对一切 自然数n 都成立即可 证略 总之 必要条件与充要条件相比 虽条件相对较 弱 但易于寻求和使用 所以有意识 合理 恰当地利 用必要条件解题 不仅可以挖掘问题的隐含条件 有 效寻找解题的突破口 达到简化 优化解题过程 提 高解题的简洁性 准确性的效果 而且还可以开阔学 生的数学视野 拓宽学生的解题思路 培养学生思维 的灵活性 深刻性 从而达到优化 提升学生思维品 质的目的 参考文献 1 2 邹生书 以退为进破解天津高考姊妹题 中学数学月刊 J2 2 0 10 2 磨刀不误砍材工 用力用在刀刃上 浅谈数学审题的 着力点 0 及其策略 江苏省苏州实验中学 2 1 50 1 1 陈海锋 数学解题不仅是一种智力活动 还是一种心理活动 如何在规定时间内较好地完成思维活动 作为 中学数学研究 2013 年第4 期 解题的先引 审题显得尤为重要 审题质量的高低直 接关系到解题的正确率和题解的质量 高三复习练 习量大 一些问题前后 上下之间存在着联系也有区 别 但学生容易生搬硬套 导致高错误率 笔者结合 课堂教学实践 从审题的 着力点0角度将学生的常 见 盲点0 做了归纳整理 并提出一些教学建议 仅 供参考 1 审 限定的范围0 图形辅助辨真伪 一 7介 41 介 例 l已知 eos a 一誉 二一合 a e 0 令 一 一 一6 5 一 一 一 2 1 则 c o a 晋 一 na的 值 是 说明 这是一道得分率只有0 30 4的填空题 答 3万 J二 辛 L 禾 刀一 下 一 带伏 乍卜禾 口 匕弓犷刀工 J 3万 5 错 解 一 誓 4 了 4 二一 了0 c o s 一 了 二了 aC o 冬 一 晋 一 晋 晋 分 布 在 第 例 2若函数f 二二 2 20 1 l 4a2 一3 的 零点有且只有一个 则实数a 说明 这是高三一次学情抽测时一道得分率只 二 J 万 二 万有0 5 4 的填空题 答案为 等 错误答案主要为士 等 门 J嘴 山 一 厂爪 八 2 叹 尸刁 一 一 一 2 错解 f 一x 二 f z Za l l 4a 2 3 f 幻 是偶函数 f 的零 点有且只有一个 片 二 一 万 时 零点只能是0 f 0 二 二土等 阳 z 一 0 J 一 z一 一 一 2 分析 不少学生以为函数f 劝 的零点有且只有 一个时与 f 0 二0是充要条件 从而麻痹大意 因此 万 只要将a 一等 代入检验即可 入 一20 一 一 点评 当题 目中出现了类似于 有且只有一个 唯一 0等特定条件需求时需多留两个心眼 不能将 充分不必要条件或必要不充分条件混为充要条件使 用 从而放松警惕 导致错误 因此将所求结果反代 检验 尤为必要 可以帮助去表象 或四或 轴正 半轴 上 i n a 今 3 二 土弋丁 j3 审 隐含条件 点 0 常见结论作桥梁 c o a 晋 一 压 n a r口 T 一 3 n a 一了 3万 土 一 二 一 2 分析 一 些学 生没 有 注 意题 目中 的 a二 0 引的 限 定 条 件 一 些 学 生 想 到 两 值 不 一 定 都 合 题意 要考虑范围因素 但没有成功 主要错误原因 是 i n 一 粤 二 粤还 是一 粤无 法 确 定 而 初 步 判0JJ 断 出 一 晋 一 晋 李学 生 对 答 案 更 加 坚 信 0 因此错误具有一定的隐蔽性 补 解 令 一 晋 作 出 二 s i n t 一 晋 例3如图 点E 为 乙 左 刀 C 中A B边的中点 点F 为AC 的三 等 分 点 靠 近 点 A BF交cE于李 点G 若通 G y 等于 二二 A E yAF 则x B 晋的 图 像 由图可得 3 5 l一 一又一 小 乙 合题意 一 砚3 q 闰才研巾 l 故 n a一 晋 3 了 一 0 一 一 一 事一了 一 二 厂 eos a 3万 5 今 一 ina 的值 彭 点评 本题关健是如何审 限定的范围0 借助 于图像可以将一定范围 内的 函数值 域研 究透彻 从 而利断求出的解是否符合题意 2 审 特定的需求 0 反代检验去表象 说明 这道题得分率接近0 4 但从做对学生写 在试卷上的草算过程可以看出 费时不少 特别是作 出的那条辅助线 费了不少时 解法一 过E 点作君 胚 AC 交BF 于衬 因为E 点 是 中 点 则 M 也 是 中 点 所 以 婴 二 冬 又 点F为 0 0 叼一 一 0 工 0 A FZ 一 0 一产 君材1E G 大 欢 A C 的三等分点 则若资 二令 二长 长 所 以A C 二注 刀 一 0 一 八 丹 川 F C4 C I 一 二 之下 之1二 丈二 嗽1 二 t 下 六二 嗽 EG 二 注 E 亨Ec 注 E 言 E A 注 c AE l 二 忿 厂 六 二大4 之3二 t 亨 E A 3通 F 所 以 A C 亨 A K 亨 注 F 所 以 一 7 y 寺 丁 飞 井 5 解法二 考虑到课本结论 在平面中若亦 成 井菇 且A p B 三点共线 则有A 拜二1 这 是可逆命题 即在平面中 若亦 二 A 威 拼 菇 满足 人 拜 1 则A 尸 B 三点共线 注意到 元 分别属于 乙 注 刀 F 办通 君 c 中 且B F 与E C c 都三点共线 则 以 一是所 2013 年第4 期中学数学研究 分别 有 元 二 庙 赤 二 手庙 赤 一 争 劣 A E r 手 y 二l r 二 善丽 则 解得 JI l 卜 亨 沙 分析 本题的 锐角三角形 0将是一个特殊背 不妨将三角形特殊为等边三角形 将会发现 亦可以特殊顶角为30 的等腰三角形 可求得 二 万一景2 2 由此可以确定 二si n e 7 一 5 一一 y 琳 4 一 5 3 一 5 点评 解法一中涉及到平面几何平行线段的相 似比 这对进入高中后长期接触空间几何及解析几 何的学生来说 思维方式不一定能及时调整过来 而 且后续中由未知向量向目 标向童转化过程又转了几 个弯 解法二中直接使用课本例题的一个结论就可 以0秒杀 0 学习过程理解并熟记一些常见结论 这 对提高思维层次 解题速度是很有帮助的 4 审 外在背景点 0 特殊背景巧解答 例4 2 0 1 2 江苏省高考调研卷数学 r o一 4 第 1 4 题 设A y 0 为椭圆扩 3尹二 3上任意一点 5 审 上下文联系0 结论铺垫成条件 例 6 l 二尸口荡 Z 2 一 Za 1 x Zl n x a 二 已知函数f 二 二 R l 若曲线y 二 f 习 在二二1 x 3 处的切线 互相平行 求a 的值 2 求f 二 的单调区间 3 设抓二 二 扩一 2 x 若对于任意二 o 2 使得八二 1 0 时 气 1 一 劣2 G 姑 2 2一 sx孟 2 当0 a 11 么函数f 在 0 2 工 a lC 一一 一一 声0 2 妇 万 办 6姑一 1 2姑 z x言 姑一 2瓜 l a l aa 恤了 伟口 当 5 一 瑞 2一 8 3 一 3姑 d 在 2动 所以 而 不难看出 以上解答过程的运算量比较大 一道 填空题耗时过多 对其后续试题的完成带来困难 如果认真审题 发现A 点是椭圆上的任意一点 任意一点0 成为本题 的一个特殊背景 而所求 办丙 d 有可能是一个定值 不妨举两个特殊情形 看看 如A 点为长半轴顶点和短半轴顶点代入求解 发现结果相同 由此特殊法呼之欲出 不妨设 A 0 1 则题 目中的各个量均 已明确 化 易得结果 例5已知0 是锐角三角形A B C 的外接圆的圆 心 且乙 A 二 若 旦 男 璧 庙 旦 孕 旦 舀 丽 Zm劝 则 一 一 一0 脚s i n C 一 s i ll B 一一一0 一 乃 切0 a 0 为增函数 在 含 二尸 Z 2 a o 为增函数 在 1 下 二 盯 乙 函数f 在 O a o 为增函数 3 若对于任意二 1 0 2 均存在 xZ 二 0 2 使得f 二 g xZ 即为f x 合 函 数 f 在 含 2 二 为 增 函 数 在 含 上 为 减 函 数 则 f 一f 含 一 一 六 2 玩 含 g xZ一 器 二一l 2一l 当二 2 时 g x 二 o 所 以 二 合 J X 一 2 一 2 Z l n Z 得 一 奋 J X 一f 含 二 一 2 一 六 2 坑 含 合 综上所述 城一l a 6 审 同 题异构点 0 对比分析辨因果 例 7 已 知 函 数 f x 卜l n x 一 静 鑫 g x 二 扩 一 2加 4 若对任意 1 二 0 2 存在x 二 1 2 2 使得f x 以xZ 则实数 b 的取值范围是 例 8 21邵 a 已 知 函 数 f 言 一 Za x R 2 求f 二 的单调区间 3 设g x 二xZ 一加 若对于任意二 o 2 均存在 二 0 2 使得f x g 求a 的 取值范围 表面上看上去一样的问题 不少同学在分析时 错误地认为是一回事 从而导致错误 这告诫我们在 审题时要注意 同 题异构点0 若对任意 o 2 存在x 1 2 使得f 1 2g 2 与任意xl 二 o 2 均存在二 0 2 使得f 1 g 二 2 是有区别的 两题中出现f x 2 抓 2 J x1 以二 2 在解题时不能孤立地也把不等号改变一下 前者表示f 二 1 2g 2 后者表示f 一一一 一矿扩 右焦点F 的一条弦 尸是椭圆上异于A B 的任一点 直线以 P B分别交椭圆的右准线l于M N 两