（应用数学专业论文）随机利率下的期权定价.pdf

摘要 本文首先在股票价格服从指数o r n s t e i n u h l e n b e c k 过程模 型假设下 求解了股票的定价公式 分析了期权公式的性质 然 后针对以往对利率假定的缺陷 考虑到市场利率波动与股价波动 的相关性 提出了市场利率模型 并在此基础上 着重分析了市 场利率的波动对期权价值的影响 求得了适合于期权有效期较长 情形下的期权定价公式 并将该公式通过实例与著名的 b l a c k s c h o l e s 期权定价公式进行了深入比较 关键词期权定价 市场利率 指数0 一u 过程 6 公式 a b s t r a c t u n d e rt h eh y p o t h e s i so fs t o c kp r i c es u b m i t t i n g t o e x p o n e n t i a l o m s t e i n u h l e n b e c kp r o c e s s w es o l v et h ef o r m u l ao fp r i c i n go f s t o c k a n da n a l y s et h ek i n do ft h eo p t i o nf o r m u l a a n dt h e na i m i n ga tt h e b l e m i s ht os u p p o s et oi n t e r e s tr a t eb e f o r ea n dc o n s i d e r i n g t h er e l a t i o n o ft h ef l u c m a t i o no fi n t e r e s tr a t ea n dt h ef l u c t u a t i o no f m o c k p r i c e w eb r i n gu pt h em o d e lo ft h em a r k e ti n t e r e s t r a t ea n df o c u so n a n a l y z i n gt h ee f f e c to f t h ef l u c t u a t i o no fm a r k e ti n t e r e s tr a t eo nt h e o p t i o np r i c eb a s e do nt h em o d e l f i n a l l y w es o l v et h ef o r m u l ao f o p t i o np r i c i n gs u i t a b l ef o rt h es i t u a t i o nt h a to p t i o n sv a l i d i t yp e r i o di sl o n g e r a n dc o m p a r ei tw i t hb l a c k s c h o l e s o p t i o np r i c i n gf o r m u l a k e y w o r d so p t i o np r i c e o m s t e i n u h l e n b e c kp r o c e s s m a r k e ti n t e r e s t r a t e e x p o n e n t i a l mf o r m u l a 第一章引言 第一章引言 随着我国金融市场的日益完善和发展 股票及其期权引起了 投资者的普遍兴趣 更多的人开始进入股票市场 但由于金融市 场的不确定性与高风险性 长期以来 人们一直在探索利用各种 因素正确评估资产风险和期权 或衍生证券 价格的有效方法 以往对股价和期权的价格的分析 估计和预测多使用数理统计 方法 不仅需要大量的原始数据和复杂的计算 而且得出的结果 往往比较粗糙 为了克服这个缺陷 西方经济学家率先开始用随 机分析来构造金融数学模型以研究证券市场 金融数学模型的建立 对金融市场风险分析 预测与监控有 着非常重要的作用 5 0 年代末6 0 年代初 m a r k o w i t z 的投资组 合的均值一方差理论与s h a r p e 的资本资产定价理论 开创了金融 数学理论的先河 他们的理论引发了所谓的第一次 华尔街革 命 第二次 华尔街革命 是在b l a c k 和s c h o l e s 于1 9 7 3 年提 出衍生证券定价理论后开始的 正是这二次 革命 关于期权 定价的著名b l a c k s c h 0 1 e s 公式与m a r k o w i t z s h a r p e 理论 构成了蓬勃发展的新学科 数理金融学的主要内容 同时也是 研究新型衍生证券设计的理论基础 2 0 世纪5 0 年代初提出的投资组合理论是金融定量分析的开 始 在这之前的金融学通常以定性研究为主 很少有精致的定量 分析 1 9 9 0 年诺贝尔经济奖授予m a r k o w i t z s h a r p e 和 一 墨二里i i 一一 m i ll e r 以奖励他们在金融经济学中的先驱作用 他们的得奖工 作 m a r k o v i t z 的投资组合理论 s h a r p e 的资本则产定价理论 和m i l l e r 的公司财务理论都是非常数学化的 同样 1 9 9 7 年诺 贝尔经济奖授予了m e r t o n 和s c h o l e s 来奖励他们和b l a c k 在确 定衍生证券价值方法方面的贡献 b l a c k 是一位出色的数学家 但由于他过早地离开了人世 故没有获得1 9 9 7 年的诺贝尔经济 奖 在衍生证券定价理论中 最典型的是所谓欧式看涨期权 即 买入期权 的定价 通俗地说 此期权就是一份合约 台约双方 在t o 时刻商定一个执行价格 规定合约持有人有权利在给定 的时刻t 到期曰 以执行价格买人一定数量的股票 但只有合 约持有人有此权利 由于合约持有人拥有的是权利而非义务 合 约持有人在认为无利可图时 可以不执行合约 显然 若该期权 到期 则该期权的价值 亦即买方在t 时刻获益 为股票市价与 执行价格的差价的正部 这是一种只有到了t 时刻才能确定其真 正获益大小的随机变量 称为或有债权 一般情形的或有债权的 一个重要用途就是帮助各类投资者在风险迭起的生产和贸易活动 中进行套期保值 以回避风险 它也构成了目前很流行的金融工 程的主要数学基础 既然合约的受益方只有买方 那么买方在t o 时刻就应付期 权金给卖方 问题是该期权目前应如何定价 换句话说 究竟该 付多少钱给卖方才合理 b l a c k 与s c h o l e s 在股票价格的变化是 几何b r o w n 运动的假设下 导出一个随机微分方程 并在无套利 状态下 利用随机分析的技巧 得到了在完全市场中无股息支付 的股票的欧式看涨期权价格的显式解 即所谓的b l a c k s c h o l e s 第一章引言 公式 b l a c k s c h o l e s 公式出现后 随即引起大量的研究 尤其是 在数学上对随机分析 随机控制 非线性分析 偏微分方程 数 值分析 数理统计等许多方面都带来了极大的推动力 不仅如此 由于b l a c k s c h o l e s 理论是以套利理论为基础 表明了任何期权 交易和有关金融证券的结合都可获得无风险的回报 其方法是先 利用期权和有关证券达到无风险保值 然后再求期权价格或套期 保值比率 因此b l a c k s c h o l e s 模型为投资者提供了一种精确确 定期权价格 控制投资风险的手段 对未来的风险 提供了系统 的 不依赖人们对风险主观态度的估价方法 并且还为如何化解 风险提供了完整的思路 利用随机分析和鞅论能够较好的解决金融市场不完备时的 衍生证券定价问题 从而使现代金融理论取得了突破性的进展 目前基于鞅方法的衍生证券定价理论在现代金融理论中占主导 地位 国内许多文献也开始尝试建立相应数学模型来研究股票市 场 在金融市场中 对股票及其期权进行分析时 般使用几何 b r o w n 运动模型来描述股票价格运动模型 其中股票价格s 满足 随机微分方程 d s r 1 s d t o i s d b 1 i 其中第一项是股票在t 时刻变化的期望值 称为漂移项 第二项是 变化的不确定量 称为扩散项 在上式中 由于股票的预期收益 率 是一个常数 因而股票的价格随着时间的推移 将朝同一个 方向变化 因此它不能准确的描述预期收益率波动的情况 为了 鹪一章引言 克服这一缺陷 我们引进了指数o r n s t e i n u h l e n b e c k 过程模型 d s f l 1 一c l n s f s f d t f f l sz 裆 卜2 此处i n s 中的s 理解为 4 s l c 为0 到1 之间的常数 常 0 数c 的作用在于股票价格上升到一定高度之后 它使s 有下降的 趋势 这在一定程度上 克服了 1 式的缺陷 在此基础上 我们首先对股票的定价进行分析 然后利用数 理金融的知识 通过测度变换 考虑在指数o r n s t e i n u h l e n b e c k 过程下股票期权定价与在几何b r o w n 运动模型下的期权定价公 式的差异 并研究了它的及其性质 由于国家政策 经济发展状况以及股市的起伏等多种因素都 会引起市场利率的波动 因此进行较长期投资时 我们使用几何 b r o w n 运动来描述市场利率模型 d a 卢2 口 d t d2 a t 积 1 3 其中卢 为预期市场利率 a 为积累值的瞬时波动率 用市场随机利率模型来处理股票及其期权定价问题 可以更 加真实准确的反应股票及其期权价格的变化 在此模型基础上 我们获得了股票的价格 分析了股票期权的主要性质 并通过测 度变换 利用鞅方法和肪公式 g 置 f e x p c r t s n d i 解得欧式买入期权定价公式 e e x p 一 t r f d 2 1 4 最后 我们通过实例将本文获得的欧式期权定价公式与著名 的b l a c k s c h o l e s 公式进行了比较 第二章预备知识 第二章预备知识 2 1 证券组合与投资分析常用知识 2 1 1 利率 在社会经济生活中 为了购买资本品 一部分人必须进行储 蓄来提供购买资本品的资金 在一个复杂的现代经济社会里 像 具有高度先进的金融制度的美国那样 家庭和厂商也可以通过借 款使资金流入到投资者手中 人们购买公债和股票或把钱存入储 蓄账户 退休基金 所有这一切都是把资金作为从储蓄者手里转 移到厂商或实际购买资本品的人们手里的工具 但是 人们并不 是无偿的提供资金 而利息正是借入资金的个体 如银行和其他 借款者 为了在一段时间里使用资金而必须支付给资金出借人的 价格或回报 名义利率可分为两部分 即实际利率和通货膨胀溢价 实际 利率是对投资者推迟消费的补偿 通货膨胀溢价是对投资者购买 债券造成的货币购买力损失的补偿 实际利率使货币的供求保持 平衡 利率具有多种形式 按货款存放的时间长短 分短期和长 期利率 在讨论资本资产定价模型和套利定价模型时 所讨论的 利率一般为较短期利率 并假定利率是一确定过程 在那里 我 们的兴趣集中于一种有价证券的风险和它给投资者带来的收益率 之间的关系 而本篇文章中 我们感兴趣的主要是较长期随机波 动利率的情形 然而 投资者对自己是否具有十分准确的分析未来利率的变 第 章预备知识 动的能力是缺乏信心的 因此 一般情形下 我们假定投资者预 期未来利率的变动满足一随机过程 2 1 2 期权 11 期权概述 期权 o p t i o n 的基本含义是 买卖特定商品或有价证券合约 并在合约到期使由合约买方决定是否执行这一合约 从形式上 看 期权是一种交易双方签订的 按约定价格 约定时间 买卖 约定数量的特定商品或有价证券的合约 期权和一般的合约相比 有一个本质的区别 即购买并持有这种合约的一方 在合约规定 的交割时间有权选择是否执行这一合约 而出售这种合约的一方 则必须服从买方的选择 正是这种选择权使期权合约成为一种特 殊的合约 简单说来 期权是一项选择权 期权交易实质上是 种权利的 买卖 期权的一方在向对方支付一定数额的货币后 即拥有在 定时间内以一定价格向对方购买或出售一定数量的某种商品或有 价证券的权利 而不负必须买进或卖出的义务 在期权交易中 获得选择权的一方通常称为期权购买人 o p t i o nb u y e r 因为他们为获得这种选择权必须向该权力的提 供方支付一定的货币 而向交易对方提供这种选择权的一方 通 常被称之为期权出售人 o p t i o ns e l l e r 因为他们是以收取一定 货币为前提而提供这种权力的 因此 期权出售人也被成为期权 创造人 m a k e ro f t h eo p t i o n 或出具人 w r i t e r 按照期权中包括的选择权力不同 期权可分为两类 即看涨 期权 也称买入期权 c a l l o p t i o n 和看跌期权 也称卖出期权 第二章预备知识 p u to p t i o n 看涨期权的购买人有权利 但不是义务 在约定时间按约定价 格向期权出具人购买特定数量的特定商品或有价证券 而不管届 时这种商品或有价证券的价格发生了怎样的变动 例如 交易人 a 从交易人b 那里购买了一份美式看涨期权 该期权规定a 可在 本年9 月份以前以6 0 美元一股的价格从b 手中购买1 0 0 股i b m 公司股票 在期权有效期间 a 可以行使购买权力 也可以不行 使这一购买权力 假如此间i b m 公司股票价格涨至每股7 0 美元 a 认为实施购买是合算的 他便可以按每股6 0 美元的价格向b 购买1 0 0 股i b m 公司股票 反之 如果9 月份以前m m 公司的 股票价格一直未超过6 0 美元一股 a 便可以行使其不向b 购买 的权力 在a 行使选择权的过程中 作为这一期权的出具人 b 完全是被动的 他在a 要求实施购买时不能因为股票价格已高 于约定价格而拒绝向a 出售 也不能在a 决定不买是因股票施加 低于约定价格而强迫a 购买 过了9 月份 若a 未实施购买 这 份期权便自动失效 a 便无权再要求b 按协议条件出售这笔股票 了 与看涨期权相反 买进看跌期权 购买人就有权利 但不是 义务 在期权有效期内 按约定价格向期权出售人出售约定数量 的特定商品或有价证券 而不管在此期间这种商品或有价证券的 价格如何变动 在西方国家的期权市场上 关于期权有一系列的术语 期权 购买人行使自己 购 或者 售 的权利 称为实施 e x e r c i s e 期权规定允许实施的最后一天 叫做期满日 e x e r c i s ed a t e 期 权规定选择实施时应依照的价格 叫实施价格 e x e r c i s ed r i c e 第二蠢预备知识 由于实施价格是期权买卖双方在交易时协商一定的 因此在多数 场合又称之为敲定价格或协议价格 s t r i k i n gp r i c e 期权所代表 的实施时应实际交割的有价证券 叫做基础证券 u n d e r l y i n g s e c u r i f i e s 例如 某期权规定选择买卖的股票 这时的股票便成 为该期权的基础股票 u n d e r l y i n g m o c k s 期权交易由来己久 传统的期权交易主要是用于现货商品和现 货有价证券 如房地产 贵金属 股票等 早在2 0 世纪2 0 年代 美国纽约金融区新街的小饭店就有股票期权交易进行 在期权交易发展史上 1 9 7 3 年是具有划时代意义的一年 在 此之前 世界上没有一家进行期权交易的有形市场 期权交易采 用柜台方式进行 期权交易公司或期权经纪人公司把潜在的期权 交易双方拉到一起 安排期权条件 提供记账服务 并收取一定 的手续费 由于交易手续复杂 成本较高 使许多投资者望而却 步 再加上期权合约标准程度很低 很难转换对冲 因此交易量 一直很小 1 9 7 3 年4 月2 6 日 美国的芝加哥期权交易所 c h i c a g o b o a r d o p t i o ne x c h a n g e c b o e 率先在交割数额 交割月份以及交易 程序等方面对期权合约实现了标准化 从此期权交易开始以公开 竞价的拍卖方式组织 交易技术也日趋完善 最终形成了一个完 整的期权市场 o p t i o nm a r k e t s 随着期权市场的发展 期权交 易的种类也不断增多 除股票外 又出现了以指数 外汇 利率 期货等为基础 证券 的期权 如果按期权交易实施惯例来看 期权可分为两类 美式期权 和欧式期权 如果一个期权可以在期满之前 包括期满日当天的 任何一个营业日实施 这样的期权叫美式期权 a m e r i c a n 8 第二章预备知识 口t i o n s 如果一个期权只能在期满日当天实施 这样的期权叫做 欧式期权 e u r o p e a no p t i o n s 在标准化的期权合约中 期权的有效期 敲定价格 基础证 券的种类和数量等都是事先规定的 只有期权的价格是期权合约 中唯一的变量 使交易双方在交易所内用公开竞价方式决定出来 的 期权的购买或销售价格通常称为权利或保险费 p r e m i u m 它是期权购买人付给期权出具人用以换取期权所赋予权利的代 价 以下两节我们将从理论上讨论期权的基本性质和合理价格 2 1 期权的性质 设f s t t e f s t t e g s t t e 和g s t t e 分别表 示在r 时刻到期 执行价格为e 0 的美式或欧式买入期权以及 美式或欧式卖出期权在t 时刻的价值 s 为f 时刻股票的价格 以 下我们总假定股票和期权的交易在没有任何税收和交易成本的完 全市场上进行 现给出期权的基本性质 性质1 0 g 0 厂 0 g 0 性质2f s t t e f s t t e m a x s e 0 o s t t e g s t t e m a x e s 0 性质3 f s t t e s e a s t t e s e 性质4 对疋 互 f r 2 z 且g 疋 g z 性质5 厂 且g g 9 鹅二誊预备知识 性质6对e e 2 f e 兰f e 2 且 e 1 厂 e 2 g e 1 s g e 2 点l g e i g e 2 性质7s f s t t e f s t t e 性质8 f o f o 0 性质1 由期权合约的有限债务性获得 因为期权的持有者有 选择是否执行期权的权利 所以他们决不会使他们的交易头寸为 负值 除开初始的支付 性质2 表明 在到期时刻 假如期权有正的内在价值 对买 入期权定义为s e 对卖出期权定义为e s 期权将被执行 否则将不执行期权 性质3 表明 在无套利条件下 美式期权的出售价格至少不 低于其执行时的 内在价值 否则可以通过马上执行期权而获得 一笔比出售期权更高的利润 对欧式期权这并不成立 因为他们 不能在到期前执行 以致这种套利不可获得 性质4 和性质5 表明 额外的权利不能有负的价值 在性质 4 中考虑的是在 t i t 2 期间执行的权利 在性质5 申 考虑 的是在到期目之前执行的权利 性质6 表明 买入 卖出 期权实质性价格的非增 非减 函数 当它应用于欧式期权时 这是性质9 的特殊情况 性质7 直接从性质4 和6 第一个不等式 以及性质5 第 二个不等式 获得 性质8 从性质7 和期权多头的有限债务性获 得 性质7 和8 是唯一依赖于假设e 0 及股票有限债务的两个 第二章预备知识 性质 本文主要考虑的是欧式期权 所以下面专门讨论几个关于欧 式期权的性质 因为不存在套利机会等价与存在正的状态价格 它支持所有的资产价值 我们假定这些状态是按序标递增的价值 设纯状态证券在状态时墨 j 为一美元 其当前的价值记为p 确 定状态下r 时刻的一美元在r 时刻的现值记为 p f 丁 我们假定纯 利率总是正的 所以对f t p t t e l 厂 e i 一厂 e 2 p t 丁 e 2 一e 证明 g e 一 e 2 p m a x s e i 0 p m a x s e 2 0 p e 一e j 2 p t r e 2 一e 1 第二鼋预备知识 性质1 1 一个买入期权的价格是执行价格的凸函数 即对于 e i e 2 e 3 e 2 矽 e 1 一五 厂 e 3 其中五 e 3 一e 2 e 3 一e 1 证明 因为m a x s e 0 关于e 是凸的 所以和 p m a x s e o 是正线性的 特别 可 e 1 一五 e 3 一厂 e p 2 m a x s e l 0 1 2 m a x s e 3 0 一m a x s e 2 0 只a o e 1 p m 一脏l s e 2 0 臣s j s e 2e 2 s j 5 屿 因为旯 1 和关于j 是递减的 所以当5 毛 最小项是零 欧式卖出期权也有类似的性质 即卖出期权也是e 的凸函数 性质1 2 卖出一买入平价关系 g s t t e f s t t e 一s e p t t 3 欧式期权定价的b l a c k s c h o l e s 公式 假定t 时刻股票价格s 满足微分方程 u s t s t 1 t d t a d b t 3 1 其中 盯为常数 b t 为一维标准b r o w n 运动 市场无风险利率 为r 假定在期权有效期内 基础股票不支付任何红利 股票市场 没有任何交易费用 无套利机会 基础股票交易能够连续的进行 允许卖空且股票的数量是可分的 第二童预备知识 假定我们有一期权 其价值记为y s r 它依赖于s 和f 且假 定v s f 关于t 一阶可导 关于s 二阶可导连续 由肺公式 d v 豁k 盯2 s2 矿矗 v d t o s v 招 3 2 现在构造一投资组合 它由期权和数量为一 的基础股票构成 投资组合的价值是 h v a s 3 3 微分得 d h d v a d s 3 4 结合 3 1 3 2 3 3 兀满足如下随机微分方程 d h u s l 盯2 s 2 蠢 巧一 s 破 o s 一z x d b 3 5 选择a 昧 则我们可以根除随机项 这时资产组合增益是 确定的 d i i 盯2 s2 v d t 3 6 如果将兀投资于无风险资产 其收益是 兀击 在无套利条件 下 应有 r l l d t 一十 盯2 s 2 d r 3 7 将 4 3 和 4 弋a 3 7 即导出期权价值所满足的b l a c k s e h o l e s 偏微分方程 号c r 2 s 2 蠢 s 一r v 0 3 8 在迸一步讨论之前 我们就导出的结果给出以下三个方面的讨 论 第二章预备知识 首先 a v s 是期权或期权投资组合价值关于s 的变化率 这 在理论和实际当中都是非常重要的 它是期权和期权的基础股票 之间联系的度量 其次 线性微分算子 舻昙巾2 s2 熹 心昙一 有一金融意义下的解释 它是套期保值期权投资组合收益率 前面 三项 和无风险收益率 最后一项 之差的度量 虽然这个收益对于 欧式期权一致为零 但以后会看到对美式期权并不一定成立 最后我们注意到 b l a c k s c h o l e s 方程并不包括增长系数 换句话说 期权的价值独立与资产增长的快慢 随机微分方程中 影响期权价格的唯一参数是方差仃 其结果时 两个人如果估计 的 不同 其期权价值仍然相同 为确保 3 8 有唯一解 以下我们讨论欧式买入和卖出期权的 终期边界条件 记欧式买入期权的价值是c s t 其到期时刻为 执行价格为 当时 买入期权的价值是确定已知的收益 由 3 一1 我们看到 假如s t s 0 则d s z0 所以s 永远不会 变化 这是随机微分方程 3 1 唯一确定的情况 假如s 丁 0 则买入期权收益为零 这样纵使到期时间很长 买入期权在 s r 0 处也无价值 因此当s t 0 时我们有 c o r 0 3 9 当股票价格无限递增时 期权越来越可能执行 而且执行价 第二章预备知识 格的大小变得不太重要 这样 当s 寸o o 时 期权的价值变成了股 票的价值 即 c s t s 当s 斗 3 1 0 对于卖出期权 其价值记为e s f 终期收益条件是 p s 丁 m a x e s 0 3 1 1 我们已经表明 假如s t 0 那么卖出期权的终期收益是e 为了确定p o t 我们不得不计算在丁时刻执行价格 的现值 假定利率是常数 s 0 的边界条件是 p o r e e 3 1 2 更为一般地 对于依赖于时间的利率 我们有 e o f e e 一胁 3 1 3 当s 寸 时 期权不可能被执行 所以 p s f 专0 当s o oa 3 一1 4 4 欧式期权定价的b l a c k s c h o l e s 公式导出 由 3 8 欧式卖入期权价值c s 满足方程 c 盯2 s 2 c r s c s r c 0 3 1 5 s c o f 0 c s 7 s 当s 3 1 6 方程 3 1 5 类似于扩散方程 但它有更多的项 在每一个 时间点上 c 关于s 求微分并且乘以s 从而给出了非常值系数 方程显然是向后形式的 并且给出了终期时刻t t 时刻的值 我们要做的第一件事情是根除c 和c s 前令人厌恶的s 和 第二章预备知识 s2 我们首先将方程转化成向前方程 置 s e e 5 扣t f d 2 c e v x f 3 1 7 结果方程变为 v v k l 一1 v 一k l v 3 1 8 其中k r i g2 初始条件变为 v x 0 m a x p 一1 0 3 1 9 注意到此方程仅包括一个参数 代替了原来问题中的四个参数 e t 盯2 和 控制期权价值唯一本质因素是 2 这是问 题中唯一的无维参数 方程 3 1 8 现在非常想扩散方程 而且 我们可以经过一简单变换将 3 1 8 转换成扩散方程 置 v e 4 p r u x f 3 2 0 其中 口和 是待定常数 微分得到 h 十 2 2 a u 甜 尼j 一1 a u 一k t 3 2 1 现在选择口和卢 使其满足 卢 口2 l 一1 口一k 3 2 2 0 2 口 k l 一1 3 2 3 从而根除了方程 3 2 1 q h 的 和 项 求解 3 2 2 和 3 2 3 得 口 一 l i 卢 一 女 1 2 3 2 4 这样我们有 6 第二章预备知识 v x f e x p k 1 一1 x 一 女 1 2 f 工 r 3 2 5 式中 满足 u 盯 一o o x 0 3 2 6 s r x o u o x m a x e x p 专 k l 1 x 一e x p k 1 一1 x 0 3 2 7 由偏微分方程的知识 姆 f 壶d 小 e x p h x 叫2 4 啦 3 2 8 其中 x 由式 3 2 7 给出 剩下的任务是计算积分 3 2 8 作变换 x 一j 万 所以 v 击e x 厄 x e x p 一吉x 2 d x 再1 压e x p 晰 1 州 压 e x p 一 工 2 耐一上2 4 y r 4 5 e x p 皓 t 一1 x x 磊 e x p 一扣 2 埘 j l 一 2 3 2 9 1 其中 铲击 压e x 蠼 k t 1 x 厨 e x p 扣2 挑 第二章预备知识 其中 警r 皓一 1 2 r j x t x t 万 伍 4 2 x e x p 一 x 一 t 1 厄 2 出 瓜 恽 e x p 一 咖 2 e x p k i 1 x 七l 1 2 r n d 3 3 0 d i 各 士 七 1 五 3 3 1 吖z f 州1 去 一出 3 3 2 是正态分布的累积分布函数 除开将 t 1 1 代换为k 1 1 的计算与 的计算是完全类 似的 最后回到我们的解题步骤 将x l o g s e f 盯2 r r 及 c e v x f 代入 3 2 9 整理得 c s f s n d i 一e e 7 一 n d 2 3 3 3 其中 d l o g s e r 盯2 r 一 匹而 第二章预各知识 一l o g s e r 一 口2 丁一 a 一 盯 丁一f d l 一仃 丁一 3 3 4 总结以上讨论 我们有 定理b l a c k s c h o l e s 欧式期权定价公式 到期时刻为t 执 行价格为e 价格过程为 3 1 的股票欧式期权价值为 c s f s n d 一e e 一7 n d 2 其中 d 和d 由 3 3 4 给出 2 2 鞅及其相关知识 2 2 1 鞅的定义及其基本性质 定义1 一个乒适应的随机序列 z 称为一个乒鞅 f 上 鞅 乒下鞅 如果对每个即 n 彳 可积 且 e x l 明 以 肖 瓦 a s 3 3 5 由鞅的定义 我们可以推出 对一切m n 0 有 e x i 兀 z x 瓦 a s e x m e x n e 下面再介绍几个常用的性质 1 设x 以 y 匕 为两个鞅 上鞅 则 y 以 e 为 鞅 上鞅 2 设x 瓦 为鞅 下鞅 f 为r 上一连续凸 连续凸增 函数 1 9 第一章预备知识 如果每个f x 可积 则l 厂 x 厂 j 乙 为下鞅 3 设 为鞅或非负下鞅 五 1 为一常数 若对每个 0 l x 1 2 可积 j l i z 1 2 为下鞅 4 设 为 鞅 上鞅 s t 为两个有界停时 且s t 则 有 e x rf 石 x s 夕互 首先假定t s 1 这时由上鞅性 我们有 f x s x r d p 2 砉k m p 门 x j x m d e 对一般情形 令q t n s j l n 则每个r j 为停时 且 s r i 茎 r t r l s 1 r j 1 一r 1 1 n 一1 令 a 巧l 对每个歹 1 s 力a a 磊 a a 天a a a a a a 由上面可得 l x s 卯 l 爿r d p l x 耳d p 则e x j 固 x s 6 6 6 6 2 2 2b r o w n 运动及其判定定理 第二章预备知识 定义l 随机过程 一0 0 f 称为参数为盯2 的b r o w n 运 动 如果 1 w o 0 2 对于任 意 l f 2 0 当仃2 1 时 称为标准b r o w n 运动 除非特别说明 我们总 假定盯2 1 即b r o w n 运动为标准b r o w n 运动 性质1b r o w n 运动是鞅 性质2b r o w n 运动是正态过程 这两条简单性质可直接由鞅的定义与b r o w n 运动的定义直接 推的 性质3 b r o w n 运动判定定理1 设 q 只p 夕功为一滤过空间 n 维过程 e 为 冗p 冗 上的适应过程 如果对任意的 a 旯 旯 7 r f s 0 恒有 e e 一 b j 一且1l 万 e 一拶 a e 卯 3 3 7 则b e 为一n 维b r o w n 运动 2 2 3 一维朋微分公式 设肖 是一个由 2 1 第二章预备知识 d x f 出 v t d b 3 3 8 给出的随机过程 其中b 为标准b r o w n 运动 二元函数 g t c 1 2 o 尺 则 靠 r x 型o t 舢掣即三2 驾 北j 硪 x 3 3 9 第三章股价波动的指数o u 过程 第三章股价波动的指数o u 过程模型 3 1 股价的随机模型 3 1 1 几何b r o w n 运动模型 把交易时间内的股价看作随时间变化的连续时间变量 它 遵循某种连续时间的连续变化的随机过程 如果假设证券市场 是一个弱有效的市场 一种股票现在的价格包含了过去的所有 信息 并设将来的价格只与现在的价各有关 则股票的价格遵 循马尔可夫 m a r k o v 过程 另外 投资者投资任何一种资产 所获得收益和收益变化的不确定方向与这种资产的价格无关 即一个投资者不论他购买价格高的股票好是购买价格低的股 票 都要求有相同的预期收益率和相同变化方向 我们用期望 代表收益 方差代替风险 则股价服从几何b r o w n 运动 设s 为t 时刻股票的价格 s 为股票的初始价格 b 为 标准b r o w n 运动 s 满足随机微分方程 d s t i s l d t 盯l s d b 3 1 其中 为股票预期收益率 a 代表股价的瞬时波动率 模型 3 1 是描述单个股票价格波动几何b r o w n 运动模型 第 一项为平均收益 第二项为风险收益 此处没有考虑多种股票间 的相互影响 杨振宇把它推广到n 维形式 并在简化的n 为形势 下讨论了推广模型的性质 利用随机微分方程和偏微分方程之闻 第三章股价波动的指数0 一u 过程 的关系 对股票投资风险进行了估计 得到了关于风险指标的动 态轨线 3 1 2 股价波动的指数0 u 过程模型 在模型 3 1 式中 由于股票的预期收益率 2 是一个常数 因 而股票的价格随着时间的推移 将朝同一个方向变化 这与现实 是不相吻合的 也就是说它不能描述预期收益率波动的情况 其 他文献虽然也把 3 1 式推广到一般 t 6 过程 并得到了一些性质 但并没有得到解析解 因而应用价值不大 考虑到股票上升到一 定高度后 其上升力量与趋势不会很大 因此假设s 满足随机微 分方程 d s l 1 c l n s f s f d t q s f d b 3 2 此处量理解为善 s o 1 c 为0 到i 之间的常数 这就是股价 0 0 波动的指数o r n s t e i n u h l e n b e c k 过程模型 常数c 的作用在于股 票价格上升到一定高度之后 它使s 有下降的趋势 这在 定程 度上 克服了 3 1 式的缺陷 3 2 指数o u 过程随机模型的性质 3 2 1 指数o u 过程模型下的股票价格 目i 理1 如果股票价格最满足 3 2 则 耻唧c 专 p 卜 川1 3 2 4 第三章股价波动的指数o u 过程 证 由微分公式及式 3 2 可得 d o n s 卢 1 一c l n s 一i 1 盯2 d t o d b 3 4 令x i n s m 2 一 仃2 k p c 则公式 3 4 变为 d x m 一肼 加 c r d b 由于 d e x k e x d t 十e 小一料 硪 ek t o d b m e 舡d t e l a o d b 注意到x o i n s o 0 得 于是得 证毕 z i e k t 傀 j d b s exp 去12 芦1一三口12 1一ew 一 db i 2o 引理l 给出了描述股票价格波动的随机过程的解析表达式 不难验证 当c 0 时 s 恰为几何b r o w n 运动模型的解析解 从而模型 3 1 式是该模型的一种极限情况 而该模型是模型 3 1 式的一种改进 3 2 2 指数0 u 过程模型下的股票期权定价 测度变换 在指数o u 过程模型下对概率测度p 做变换如 下 令 第三章股价波动的指数o u 过程 睢昏j 由 其中叩 三盟掣 则由数学期望 e 等f 兵 p 中 拈 一圭 中2 幽 唯一确定了一个与原概率测度p 等价的概率测度q 令s e s 为无风险利率 为股价波动过程的贴现过程 在测度q t s 满足随机微分方程豳j 甜 招 于是它为一个 q 鞅 其解为j p p 所一三 z 定理假设一股票期权在t 0 f t t 为期满日 w t n f f j 价 值为g s r 那么g s 满足微分方程 扩 詈 嚆考甲12 s 等 b s 证令g 量 f s f 由期权定理 厂 s j f e n s j f 在 测度q 下是一个关于滤子冗的鞅 即 e r t s r g 一巾 e o 厂 s 二 r j i 兵 3 6 令s 寸0 可得偏微分方程 少 瓦o f i 1 拥 2 嘉 3 7 因为 詈 熹 e n s 3 8 第三章股价波动的指数0 u 过程 詈 熹堡o t 玎 素o s p 8 s 8 s 将 3 8 式与 3 9 式代入 3 7 式 整理可得 掣 鼍 r s t 鼍 1 警 证毕 由此可以看出 公式 3 5 与按几何运动所导出的期权定价公 式偏微分方程完全相同 从而说明了股票期权价值与描述股价波 动的随机模型的漂移项无关 第四章随机利率下的期议定价 第四章随机利率下的期权定价 4 1 市场利率模型 市场利率在短期情况下 一般都认为是稳定的 可以看作常 数 但若是进行较长期投资时 由于国家政策 经济发展状况以 及股市的起伏等多种因素都会引起市场利率的波动 为了更准确 描述市场利率的变化 我们使用几何b r o w n 运动来描述市场利率 模型 设q 为t 时刻积累值 吼 1 b 为标准b r o w n 运动 口 满 足微分方程 d a f 2 口f d t o 2 口f 船 4 1 其中f 为预期市场利率 t y 为积累值的瞬时波动率 用市场随机利率模型来处理股票及其期权定价问题 可以更 加真实准确的反应股票及其期权价格的变化 下面就是要在上述 市场利率模型基础上 对期权定价问题进行深入分析 4 2 市场利率波动对期权价值的影响 4 2 1 指数o u 过程模型下的股票价格 引理1如果股票价格满足 3 2 则 s e x p 一 z i c 8 a l c t lp h d b i 4 2 第四章随机利率下的期权定价 证明过程详见 1 9 不难验证 当c 0 时 s 恰为几何b r o w n 运动模型的解析解 从而模型 3 1 式是该模型的一种极限情况 而该模型是模型 3 1 式的一种改进 4 2 2b r o w n 运动判定引理 引理2 设硝 砰为空间 q fp 上标准一维b r o w n 运动 b 卜b 与口 砰一口 与占 分别独立 其中o 5 f p 日 p p 为常 数 令 厢i 了而 则 i 尘坐上掣 4 3 盯 为空间 q 只p 上的标准一维b r o w n 运动 证明 已知口 b 为b r o w n 运动 则b 卜厦 n o 卜s b 一占 n o t s 因此 由p b l o 2 p 可得 e b 沁 p t f o p 辟一一 砰一砰 f j e b t t 日 b 一b 一e 占 霹 一e 日 i d 2 f j e 叫群 一e 趔 砰一霹 霹 t j 墨婴童堕垫型童工塑塑堡塞堕 垒二盟 p r j 因此盯 占 一b b a 2 口 一口 n 0 仃j 盯 2 f f l d 2 p 令 j 一赢则 n 0 f s 对应的特征函数为 e e 8 t 一8s l 元位 o 协丽1e x p 南 出 j 2 万p s 1 2 0 s 焉丽1e e x p 一面兰面 互1 罢m 出 一掣 由b r o w n 运动判定定理1 可知 巨为标准一维b r o w n 运动 证毕 4 2 3 市场利率模型下的期权定价 在金融市场是有效的假定下 通过对概率测度作适当的变换 可以唯一确定一个与原概率测度等价的概率测度 股价在新的概 率测度下 是一个鞅随机过程 令s a i l s 为股价波动过程的贴现过程 则由加公式和 4 1 式可得 d s s i 1 一l o g s 一 2 仃 西十o 1 d b 一盯2 a b e 4 4 令db 口j 招卜o 2 d 8 i 口 其中a 一f a 2 0 r a z p 咖 由 引理2 宣为标准的一维b r o w n 运动 在指数o u 过程模型下 第四章随机利率下的期权定价 对概率测度p 作g i r s a n o v 变换如下 令 日 i 一i o e o 幽 其中 中 f 坐 二 璺兰12 盯 则 e 箬l 元位 e x p c 中 拈 一圭 中2 幽 唯一确定了一个与原概率测度j d 等价的概率测度q 在测度q 下 s 满足随机微分方程嬲 a s a s 于是它为 一个q 鞅 其解为 s e x p c r 西一喜口 f 4 5 定理3 假设一股票期权在t o r t 时刻的价值为g s f 那么 g s f 满足微分方程 s 鲁t u 2 s t 考 s 案 4 们 其中 卢2 a 2 中 旦罕勾一d 证明 令g s r 5 7 r 由期权定理 s r n i l s r 在 测度q 下是一个关于滤子冗o e 的鞅 由l t 6 公式 第四章随机利率下的期权定价 a f s f a 岳一疵 硝 1 2 旦0 s 2 2 群2 瑚一觑四 熹g 田 4 7 b 在测度q 下是滤予兵 的鞅 而b 为测度p 下的鞅 利用b a y e s 规则 令 z t p f 吣 d b 2 一i 1f m 川 则 口i 1 如2 姆3i 兵疆 口i 1 归2 e a b 冗佛 2 d e i y 沪去州z 十m a b r c e 弓一e b 0 口一砰 z 一z z i 兵o e l 16 l 口f 2 d z fi 兵o e 二 j 1 e 吆m 中 f z d 宣i o e 中 f e 占三口d 三 i 巧 由三 的定义和b r o w n 运动的性质可得 e b 0 m d b 所以 矾 叫1 n o f 郴1 0 t2y 筹m 轰跏w d s a s 由鞅性质可知 e a f s f l 冗茁 0 4 8 所以 第四章随机利率下的期权定价 芦 鲁 s 2 丽0 2 f 4 9 又因为 鲁 熹 i l u 2 溉 瓦o f 4 1 0 斋 蠹等呵 寿 c 4 将 4 lo 式与 4 一1 1 式代a 4 9 式 整理可得 f 铲警 t u 2 s o g 妒s 警 证毕 在上述公式中 当疗 0 时 也就是将市场利率看作无风险 利率 这时无论股价服从几何运动模型 还是指数0 u 过程模型 对应的期权定价公式完全相同 都不包括股票价格的增长系数 硒 换句话说 期权的价值独立予资产增长的快慢 影响期权价 格的唯一参数为盯 其结果是 如果两个人估计的m 不同 其期 权价值仍可能相同 在市场利率模型下 期权的定价相应变得复 杂一些 若驯和群独立 则公式中p 0 但严格来说 随着股 票价格的上下波动和利率的波动 纠和砰相互影响 但这种影 响也很难相当直接的表示出来 即纠和彰之间也不是简单的线 性关系 去除因经济过热或过冷而引起的股票价格和利率的同向 变化 我们一般认为p i o 在这时 期权价值不仅与o i 秽 有关 而且也间接与股票价格的增长系数 有关 第刚章随机利率下的期权定价 4 2 4 期权定价公式 股票期权在t 0 t t 为期满日 时刻的价值为g s g s 满足微分方程 炉8 孥 g i z 2 s t 急 s 豢 4 1 2 s t g o f 0 g s s 当s 其中 一2 一c c 叮 a 2 中 r 旦 2 舢z 护 钉一彳 g 姐 方程 4 1 2 变为 其中 署 警椰 i 百c g v 也r 4 1 3 h 2 也 k 1 1 0 印2 初始条件变为v x 0 m a x p 一1 o 令 v e 肛u x r 其中a 和p 是待定系数 微分得到 肌等 a 2 u 2 t z 芸 軎州 1 a