河北省晖中学高中数学 3.1 不等关系与不等式学案 新人教B版必修5(1).doc

第三章不等式3.1不等关系与不等式1不等式的基本性质对于任意的实数a，b，有以下事实：abab0；abab0；ababb0，m0，要比较与的大小，就可以采用以下方法：.m0，ab0，ba0，0，b，bcac.(2)ab，cdacbd.(3)ab，c0acbc.(4)ab，c0acb0，cd0acbd.(6)ab0，n为正实数anbn.双向性：(1)ab0ab；ab0ab；ab0abbbacbc.单向性主要用于证明不等式；双向性是解不等式的基础(当然也可用于证明不等式)若把c0作为大前提，则abacbc，若把cbacbc.这两条性质也经常用于解不等式例如，下面这个简单的一元一次不等式也需要在上述性质下才能完成解不等式：xx.解xx2x98x1 (不等式两边都乘以12，等式方向不改变)2x8x10 (不等式两边都加上9)10x1 (不等式两边都乘以，不等式方向改变！)3正分数的一个有趣性质在ab0，m0的条件下，我们可以利用比较法证明下列事实：1.由可知：一个正的真分数，分子、分母加上同一个正数，分数值将增大例如：.由.从函数的观点看：当ab0时，函数f(x)在x0，)上是单调递增的；函数f(x)在0，)上是单调递减的一、利用作差法比较实数大小方法链接：作差比较法比较两个实数大小，步骤可按如下四步进行，作差变形判断差的符号得出结论比较法的关键在于变形，变形过程中，常用的方法为因式分解和配方法例1已知mr，ab1，f(x)，试比较f(a)与f(b)的大小解可将f(a)与f(b)分别表示出来，然后根据m，a，b的取值范围进行比较，但由于m的取值不确定，所以应用分类讨论的方法求解由于f(x)，所以f(a)，f(b)，于是f(a)f(b)，由于ab1，所以ba0.当m0时，0，所以f(a)f(b)；当m0，所以f(a)f(b)；当m0时，0，所以f(a)f(b)二、利用作商法比较实数大小方法链接：作商比较法比较两个实数的大小，依据如下：(1)若a，b都是正数，则ab1；abb1.a1；ab1.作商比较法的基本步骤为：作商；变形；与1比较大小；下结论例2设a0，b0，且ab，试比较aabb，abba，(ab)三者的大小解aabbab当ab0时，1，ab0，001，aabb(ab).当0ab时，01，ab0，01，aabb(ab).所以，不论ab0还是0a(ab).同理：(ab)abba.综上所述，aabb(ab)abba.三、利用不等式的性质比较大小方法链接：利用不等式的性质比较代数式的大小，有时要结合函数的单调性加以判断例3对于0a1，给出下列四个不等式loga(1a)logaa1aa1其中成立的是()a与 b与c与 d与解析0a1，a1，1aloga，a1aa1.答案d四、利用不等式性质求参数范围方法链接：在含有参变量的某些函数、方程和不等式中，有时要求确定参变量的取值范围此类问题常常使学生感到束手无策，即使能解，过程也十分繁琐对这类问题，如能把参变量分离出来，问题就会化难为易，化繁为简，下面以例说明例4是否存在实数a，使不等式loga (a1)对一切大于1的自然数n都恒成立？如果存在，试确定a的取值范围，否则说明原因解记f(n) (nn*，且n1)如果存在题意中要求的实数a，那么loga(a1)f(n)minf(n)f(n1)0，f(n)为增函数，故f(n)minf(2)，loga(a1)，由此可解得1a，所以满足本题的实数a存在，其取值范围是.误用不等式的性质而致错例已知：1ab2且2ab4，求4a2b的范围错解由于1ab22ab4得32a6a3(1)得02b30b4(2)得34a2b12.点拨上面的解法看上去似乎每一步都是合情合理的，但实际上答案是错误的那到底是为什么呢？我们先看不等式4a2b3什么时候取等号，由上述解题过程可知，当a且b时，才取等号，而此时ab0，不满足式，因此4a2b是不能等于3的同理可验证4a2b也不能等于12，出现上述错误的原因是“同向不等式两边分别相加所得不等式与原不等式同向”这一性质是单向的，用它来做变形，是非同解变形因此结论是错误的正解换元法令ab，abv，则24,1v2.由解得.4a2b4222vv3v.而24,33v6，则53v10.54a2b10.例设0x0，a1，试比较|loga(1x)|和|loga(1x)|的大小解方法一首先判断对数式loga(1x)和loga(1x)的符号，以便去掉绝对值符号，然后作差比较解题过程必须注意对数函数的单调性0x1，01x1,11x1时，loga(1x)0p|loga(1x)|loga(1x)|loga(1x)loga(1x)loga(1x2)01x20.故p0，得|loga(1x)|loga(1x)|.(2)当0a0，loga(1x)0p|loga(1x)|loga(1x)|loga(1x)loga(1x)loga(1x2)01x20.即p0.故|loga(1x)|loga(1x)|综上所述，当a0，a1时，均有|loga(1x)|loga(1x)|.方法二将两数平方去绝对值后作差比较，由于对数函数的底数取值范围对对数式正负取值有影响，故需分类讨论plog(1x)log(1x)loga(1x)loga(1x)loga(1x)loga(1x)loga(1x2)loga由已知0x1，得01x21,01x1,11x2，01x1x，01时，loga(1x2)0，loga 0；(2)当0a0，loga 0，p0综合(1)、(2)知，当a0，a1时总有log(1x)log(1x)故|loga(1x)|loga(1x)|.方法三将两式用作商法进行比较，根据对数换底公式|log(1x)(1x)|0x1，01x1,11x2.01x21，1xlog(1x)(1x)1，|loga(1x)|loga(1x)|.1如果xy0，那么()ayx1 bxy1c1xy d1yx解析不等式转化为1yx.答案d2若0a1a2,0b1，最大的数应是a1b1a2b2.方法二作差法