（应用数学专业论文）跳扩散市场模型下等价鞅测度的刻画.pdf

摘要 金融数学是一门新兴的交叉学科 在国际金融界和应用数学界受到高度重视 它的资 产定价理论 投资组合与套期保值理论和现代数学中的随机分析 随机控制 优化理论等 有着密切的关系 在上述理论的研究中 一个首要问题是选择一个合适的数学模型来表达金融市场中资 产价格 风险与各种优化问题 目前提出的模型很多 但有些偏于简单 有些偏于抽象 本文选择跳扩散模型 它是一个比较适中的模型 它既能表达金融市场中实际存在的与过 去非独立的市场行为 又能进行非完备市场中等价鞅测度的具体计算 本文详细研究了跳扩散半鞅 采用随机测度和标值点过程来刻画市场中带跳的行为 建立了此类特殊半鞅的i 伯公式 测度变换 鞅表现定理等一般性质 在此基础上 本文 对跳扩散模型的三种等价鞅测度进行了系统的研究 关于极小鞅测度 不仅得到了它的密度过程的具体表达式 发现此密度过程只与跳度 的期望有关 而且得到了使极小鞅测度成为概率测度的条件 这个条件可使鞅密度过程具 有良好的性质 关于最小熵鞅测度 得到了各参数应满足的关系式 对一类带跳b r o w n 运动 通过 e s s c h e r 变换得到了最小熵鞅测度的精确表达式 关于方差最优鞅测度 建立了右连续信息域下连续半鞅的方差最优鞅测度的倒向随机 微分方程 并证明了最优性准则 关键词 跳扩散模型 极小鞅测度 最小熵鞅测度 方差最优鞅测度 结构条件 倒 向随机微分方程 a b s t r a c t m a t h e m a t i c a lf i n a n c ei sar i s i n gs u b j e c tw h i c hr e c e i v e sh i 曲a t t e n t i o ni nt h ec o m u n i t j e s o fi n t e r n a t i o n a l 丘n a n c ea n da p p l i e dm a t h e m a t i c sn d w a d a y s t h ep r o b l e m ss u c ha sa s s e t p r i c i n g i r l v e s t m e n ep o r t f o l i oa n dh e d 酉n gi n 丘n a n c ea r er e l a t e di n t i m a t e l yt os 协c 1 1 a s c a n a l y s i s a t o c h a s t i cc o n t r o la n do p t i m i z a t i o nt h e o r yi nm o d e r nm a t h e m a t i c s h o wt oc h o o s eas u i t a b l em a t h e m a t i c 以m o d e lt od e s c r i b et h er e a l i s t i c 矗n a n c em a r k e t i so n eo ft h ek e yq u e s t i o n si nm a t h e m a t i c a l 丘n a n c e t h e r ea r ean u m b e ro fm o d e l sp a s s j n g f r o ms i m p l et oa b s t r a c t w bc h o o s et h ej u m p d i 行u s i o nm o d e la n dt h i n kt l l a ti ti sar r l o d e r a t em o d e lb e c a u s ei tc a ne x p r e s st h eh j s t o r y d e p e n d e n tb e h a v i o ri nt h em 盯k e ta sw e u a sa l l o wu st oc a r r yo u tv a r i o u sc o m p u t a t i o n se x a c t l h h 锄sp 即e rw eh a v es t u d i e dt h ej u m p 一锄1 s i o n8 e m i m a t t i n g 出ec a r e 蚴 y u s i n g r a n d o mm e a 8 u r ea n dm a r k e dp o i n tp m c e 8 sw ee x p r e 8 st h eb e h a v i o rw i 也j u 巾i n 也e m a r k e t a tt h es a m et i m ew ee s t a b l i s ht h ei t 石f b m u l a c h a n g e so fm e a s u r ea n dm a r t i n g a l e r 印r e s e n t a t i o n b a s e do nt h i sm o d e l w eh a v es t u d i e dt h r e ek i n d so fe q u i v a l e n tm 盯t i n g a l e m e a s u r e s8 y s t e m a t i c a l l y f b rt h em i n i m a lm 龃t i n g a l em e a s u r e w eg e tt h ec o n c r e t ee x p r e s s i o no ft h ed e n s i t y p r o c e s sa n df i n dt h a 七t h ed e n s i t yp r o c e s si so n l yd e p e n d e n to nt h ee x p e c t a t i o no fj u m p s t h ec o n d i t i o nw h i c hm a k e st h em i n i m a lm a r t i n g 出em e a s u r eb e c o m i n gt h ee q u i v 越e n tp r o b a b i l i t ym e a s u r ei 8g i v e n a n dp r o v et h a tt h ed e n s i t yp r o c e s sa l s oh a sw e l lp r o p e r 七i e si nt h i s c o n d i t i o n f o rt h em i n i m a le n t r o p ym a r t i n g a l em e a 8 u r e w eg e tt h er e l a t i o no fi t sv a r i o u sp a r a m e t e r s a ne x p l i c i te x p r e s s i o no ft h en l i n i m a le n t r o p ym a r t i n g a l em e a s u r ei so b t a i n e db y t h ee s s c h e rt r a n s f o r mf o rb r o w nm o c i o nw i t hj u m pm o d e l f o rt h ev a r i a n c eo p t i m a lm a r t i n g a l em e a s u r e w e8 e tu pt h eb a c k 忸r ds t o c h a s t i cd i f f e r e n t i a le q u a t i o no fi t sp a r 锄e t e r sf o rc o n t i n u o u ss e m i m a r t i n g a l ei nr 培h tc o n t i n u o u s i n f o r i n a t i o n 右e l d s w eh a v ea l s op r o v e dt h eo p t i m a l i t yc r i t e r i o n k e yw o r d s j u m p d i m l s i o nm o d e l m i n i i n a lm a r t i n g a i em e a s u r e m i n i m a le n t r o p y m a r t i n g a l em e a s u r e v a r i a n c eo p t i m 出m a r t i n g a l em e a s u r e s t r u c t u r ec o n d i t i o n b a c k w a r d s t o c h a s t i cd i 珏毡r e n t i a le q u a t i o n l l l 第一章绪论 1 1 市场模型与等价鞅测度的研究现状 金融数学是2 0 世纪后期迅速发展起来的一门学科 1 9 5 2 年h m a r k o w i t z 发表了 均 值方差理论 它标志着金融数学的开始 这是公认的现代金融学经历的第一次革命 1 9 7 3 年f b l a c k 和ms c h o l e s 3 发表的 期权定价公式 是公认的现代金融学的第二次革命 这两次革命把现代数学与金融学紧密的联系起来 形成了金融数学的完整体系 并极大的 推动了现代金融学的发展 用数学来研究金融学首先遇到的一个问题是如何用一个合适的数学模型来刻画金融 市场 在金融数学的发展进程中 人们提出了许多数学模型 最初是l b a c h e l i e r 于1 9 0 0 年提出的用b r o w n 运动来描述股票价格 但b r o w n 运动可取负值 而股票价格只能取正 值 为此 p s a m u e l s o n 3 4 于1 9 6 5 年提出了用几何b r o w n 运动作为股票价格模型 这 是一个较好的模型 f b l a e k 和m s c h o l e s 于1 9 7 3 年用此模型得到了欧式期权定价的精 确公式 这是一个划时代的成果 但这个模型的主要缺点是假设了股票价格只能是连续变 化的 而实际情况是股票价格受许多外界的尤其是政治方面的干扰 呈现跳跃式的变化 这种外界的干扰又不可预料 所以后来许多研究者都用b r o w n 运动和点过程叠加起来刻 画股票价格过程 1 9 6 7 年s j p r e s s 3 1 首先将b r o w n 运动和p o i s s o n 过程加在一起作 为指数来表达价格过程 这一模型反映了现实市场中的扩散部分和跳部分 但p o i s s o n 过 程固定的跳度不能很好的刻画现实市场中存在的不同跳度 于是人们开始研究更一般的情 况 l v y 过程的跳部分具有不同的形式 这引起了人们的特别注意 许多研究者用几何 l d v y 过程来表达股票价格 如t c h a n 5 和y m i y a h a r a 2 8 分别对这一模型的极小鞅测 度与最小熵鞅测度进行了研究 根据l e 妒k h i n t c h i n e 公式 l v y 过程本质上是b r o w n 运动和一个平方纯跳过程的线性组合 但l v y 过程独立增量的要求使得这一模型在应用 上受到限制 因为在现实市场中跳的强度依赖于价格过程的历史状态 与上述研究同时进行的是2 0 世纪9 0 年代开始的以半鞅来表达股票价格过程的研究 如m s c 1 w e i z e r 的一系列工作 3 5 3 6 3 7 1 3 8 p g r a n d i t s 和t h r h e i n l i n d e r 1 6 关于最小 熵鞅测度都基于这一模型 这是表达股票价格过程最广的模型 且它与现实更加接近 但 这一模型的缺点是它只能进行一般的理论性研究 得到的结果不够具体 1 第一章绪论 纵观数学模型的发展历史和现状 我们看到 模型越广泛 得到的具体结果越少 于 是人们想到能否找到一个较适中的模型 既能象一般半鞅那样表达与过去非独立的市场行 为 又能对各种等价鞅测度进行明确的表达 近来许多学者把目标集中到跳扩散模型的研 究就是基于这种想法 如w j r u n g g a l d i e r 3 2 y d r a n e r 和a r d a b r o w s k i 6 等等 本文就采用这一模型 但和h b 乱h l i l l a n n 2 等人提出的作法不同 他们是将跳扩散过 程直接作为指数来表达股票价格过程的 而我们采用r u n g g a i d i e r 的作法用跳扩散过程的 随机指数来表达股票价格 我们发现 当股票价格s t 0 时 s t 的跃度 s 与 s 0 之比必定大于一1 这正好与鞅密度过程为严格正的条件 跃度大于一1 相吻合 若将跳跃的相对比率作为标值点过程的跳度来引出跳扩散过程x 则价格过程s t 必定 是跳扩散过程x 的随机指数 这就是我们采用随机指数的原因 即它的跳有直观意义 这样作的另一个好处是一个半鞅与其随机指数有相同的等价鞅测度 从而可使等价鞅测度 的研究得到简化 关于等价鞅测度的研究是在不完备市场下进行的 在无套利的不完备市场中 有无穷 多个等价鞅测度存在 这就需要按照一定的最优性准则 从所有的等价鞅测度集合中选择 合适的等价鞅测度来给未定权益定价 h f 0 1 l m e r 和m s c h w e i z e r f l 4 1 于1 9 9 1 年提出了极 小鞅测度 m s c h w e i z e r 3 6 于1 9 9 5 年提出了方差最优鞅测度 y m i y a h a r a 2 6 于1 9 9 5 年提出了标准鞅测度 即后来的最小熵鞅测度 还有m n i t t e l l i f 1 于1 9 9 6 年提出了效用 鞅测度 t g o l l 和l r u c h e n d r o f 1 5 1 于2 0 0 1 年又提出了最小距离测度准则等等 目前关于极小鞅测度的研究已经比较完善 m s c h w e i z e r 3 6 利用特殊半鞅的结构条 件 给出了极小鞅密度过程的直接定义 t a r a i f l l 于2 0 0 4 年给出了跳扩散过程的极小鞅 密度过程的表达式 关于最小熵鞅测度的研究相对较少 目前最好的结果是y m i y a h a r a 关 于几何l v y 过程 2 8 以及生灭过程 27 的最小熵鞅测度的研究 而关于方差最优鞅测度 却是研究的最多而进展最少的 因为它在理论上的重要性 且涉及到倒向随积微分方程 所以引起人们对它多方面的关注 一方面可以从l 2 空间的投影理论及k u n i t a w w t a n a b e 分解 着手于理论方面的研究 3 3 3 7 另一方面可以用动态规划方法来进行研究 2 3 2 9 第三方面也可以用最优控制理论进行研究 4 2 2 2 4 所有这些研究都涉及到复杂的计算 与推导 而且所有这些研究成果仅限于股票价格过程是连续半鞅的情况 再者所有成果都 是借助于某种倒向随积微分方程的解 间接地来表达方差最优鞅测度的密度过程 这些随 积微分方程的解并没有具体的表达式 而是仅限于存在性的证明 2 第一章绪论 本文研究了跳扩散半鞅的三种等价鞅测度 得到了一些成果 说明利用这样一个适中 的市场模型 可以研究各种类型的风险处理和效益的优化问题 1 2 本文的结构与取得的成果 本文共分四章 其结构如下 第一章综述了市场模型与等价鞅测度的研究现状 并对本文取得的成果作了简要的 介绍 第二章给出了一维跳扩散模型的详细构造 特别是利用随机测度与跳度的密度函数 来表达一个跳扩散模型 本章得到了跳扩散过程的 拍公式 测度变换 鞅表现定理等一 般性质 第三章给出了跳扩散过程的三种等价鞅测度 对跳扩散模型下极小鞅测度的性质进 行了研究 这为研究方差最优鞅测度奠定了理论基础 另外本章对特殊模型下的最小熵鞅 测度进行了详细的研究 本章对信息域只是右连续的 而过程是连续半鞅的方差最优鞅测 度也进行了详细的研究 第四章将市场模型与相应的等价鞅测度推广到多维情况 本文得到的成果如下 1 证明了跳扩散半鞅的极小鞅测度仅与半鞅的跳的期望值有关 而与跳的密度函数 无直接关系 这样在使用跳扩散市场模型时可以将模型简化 在实际应用中将带来方便 2 给出了等价鞅测度的两种刻画 一种是改变扩散系数与跳度系数 另一种是利用 极小鞅测度加上正交局部鞅 另外我们还建立了这两种刻画之间的关系 3 给出了跳扩散半鞅极小鞅测度成为等价概率测度的条件 而此条件也可同时保证 鞅密度过程具有较好的性质 即它是一致可积鞅 满足条件 j 满足反h 岔d e r 不等式等 等 4 给出了跳扩散半鞅最小熵鞅测度各参数的关系 对带跳b r o w n 运动模型 利用 e s s c h e r 变换得到了它的最小熵鞅测度的精确表达式 并给予了详细证明 5 研究了右连续信息域下连续半鞅模型的方差最优鞅测度问题 方差最优鞅测度p 的r 且d o n n i k o d y m 导数嚣在信息域下由测度p 和p 引出两个密度过程 采用这两个密 3 第一章绪论 度过程之比作为参数过程 o 建立它的倒向随机微分方程 用此方程的解来表达方差最 优鞅测度户 并证明了最优性准则 第二章跳扩散半鞅模型 2 1 跳扩散半鞅模型 设 n 五 蚓o 明 p 屉概率空问 滤子 五 t e h 列满足通常条件 我们研究的所有 过程都是适应于滤子 五 的 而且采用有限的时间水平 即t 是个固定的正常数 且 z f o t 我们先研究一维的情况 因为它的表达简洁且更能反映问题的本质 2 1 1 随机元 我们所研究的跳扩散半鞅是关于b r a w n 运动 h k o 日和一个标值点过程 口 的 随机积分 设 u 0 捌是标准b r o w n 运动 tg 是一个标值点过程 并且与w 独立 标值点过程实际上是一个序列 矗 碥 1 其中r 是停时 它表示第n 个跳发生的 时间 k 是第n 个跳的高度 它是实值随机变量 且y n k 所以标值点过程是时间 一空间点过程 记为 v t 9 设肛 此白 为标值点过程 t 的随机测度 即 其中a 廖 r 它表示沿轨道u 直到时间t 跳度落入j 4 中的跳的个数 且它是个整值 随机测度 满足p t 兄 d 或1 由于霸为停时 且k 五i 则p 是可选随机 测度 的补偿测度记为 v d f 由 则v o qx4 e p 口 t 4 本文假设补偿测 度具有如下形式 此的 t p t d t 妇 其中a 尾跳的随机强度 它是严格正的有界函数 p c g 是在时刻z 发生跳的概率密度 函数 这样标值点过程 f 也可由 与v 所确定 并记 这样标值点过程 z 也可由 与一所确定 并记 5 第二章跳扩散半鞅模型 d 可 p d d 由 肛 t d g 令 g d d d 一a p t 口 d d 2 1 1 则口 d c 劫 是一个符号值测度 且它是一个局部鞅 我们称丸与p 为标值点过程 g 的特征 今后固定 w 与 作为一切半鞅产生的基础 并称w 与n 为随机元 它们 是资产价格过程 产生随机波动与跳的源泉 2 1 2关于随机元的随机积分 设 吼 t e 咿 是可料过程 满足露霹d s 蛾 局部可积增过程 则j 一 d w 名即为通 常的关于b r o w n 运动 姒 的随机积分 设妒 u f g 是b o r e l 可料函数 即是定义在qx 日 r 上关于p 8 r 可测的函 数 其中p 为q 珥上的可料盯域 廖 r 是r 上的b o r e l 口域 如果妒满足 九川妒 s 掣 l p s d d s 屯 ju j 那么 厶妒 s d s 可 即为妒关于随机测度p 出 咖 的随机积分 今后 函数妒 y 常记为妒 可 而相应的积分也简记为后厶妒 s f d s 可 随机测度的积分具有如下性质 1 e 石厶妒 s 可 d s 可 e 层厶妒 s a 印 s 可 呦如 2 1 2 2 记 吼 z z 妒 s 川口 崛咖 z 上妒 s d s 一a 印 s 咖d s 213 则 吼 为局部鞅 3 记胍 肛 o 叫 兄 厶d s 它为直到时刻 标值点过程发生跳的个 数 则 m 是p o i s 8 0 n 过程 由 2 1 2 知 e a e z 正d s 可 e z a p s v a a s z a a s 6 第二章跳扩散半鞅模型 函数 m 黾们d s 2 2 耋似兀 k 卅 z 肛 v c s 周 2 萎k 等等 参见文献 3 2 4 将序列 霸 k 进行左连续时间插值 即对任意u n 在区间 瓦 u 上 皆取值为k 在 o 乃 上取值为o 这样得到过程 则有 t f d t h m d 批 2 1 5 j r 由此可得到关于随机测度积分的又一表达式 上 上妒 s d 1 v s 川 z 妒 s k d 帆 2 1 6 2 1 3 跳扩散半鞅 定义2 1 1 设 6 吼 为司料过程 妒 t 为可料b o r e l 函数 满足 舢幽 心 z1 阳 心c z 儿上 两 s g 2 1 p s 句d s 成 且妒 t 可 关于d i v t 可积 则称 x t l ib s d 3 l o s d w s l l y 1 s v d n s 为跳扩散半鞅 条件 2 1 7 称为跳扩散半鞅条件 如果妒 又满足 九上m n 肌愀舢 p s 川州s 蛾 2 1 7 2 1 8 f 2 19 1 7 箜三童旦 芝墼堂塾堕型 8 一 一 则x 为特殊半鞅 条件 2 1 9 称为特殊半鞅条件 参见文献 2 1 1 今后我们总是假定x 为特殊半鞅 特殊半鞅x 允许有如下唯一的分解式 x t x x f 2 1 1 0 1 掣 z 以d 眦 z 6 上妒 s 川 d s 一a s 川由d s z 删 十 咖冰趣鳓 z 如d 瞰怕 x z b a s z 乞妒 s p s d d s j 为x 的局部鞅部分 群为x 的可料可积变差部分 掣中的项 口 d 亿为x 的连续局部鞅部分 而吼为x 的纯断鞅部分 它是二次纯跳局部鞅 由匕昕述可知 跳扩散半鞅x 的三个可料特征为 b z k k 上妒 s p s 可 咖 d s c t e 酗 巩 a p 可 2 1 4 鞅表现定理 鞅表现定理是个重要的定理 关于b r o w n 运动的鞅表现定理是指 设 五 是b r o w n 运动的自然矿域 那么任何一个关于 五 适应的平方可积鞅吖都可以表示成对b r o w n 运动的随机积分 关于标值点过程也有类似的定理 我们总述如下 定理2 1 2 给定一个b r a n 运动 眦 和一个标值点过程 可 设 五 盯 弘 o s j 4 口墨s 茎t 肖 8 冗 b 第二章跳扩散半鞅模型 厂是p 零集 那么对任意的 只五 局部鞅尬 都存在可料过程 吼 及b r e l 可料 函数妒 s 9 满足 篚d s 4 t z 九上 洲2 p s 枷胁 a 纛 使得 舰 z 以眠 z 上砂 s m 喇s 2 1 1 1 参见文献 1 9 2 2 1 模型的建立 2 2跳扩散资产价格模型 一个资产 股票 的价格 是个随机过程 它的轨道不仅有连续的变化 也有跳 现 在我们研究价格过程 是如何与跳扩散过程相联系的 设正 死 一1 于是我们得到一个标值点过程 瓦 k 这样 价格过程 每跳动一次 其值多一个因子 1 k 如果把连续部分也考虑在内 则有 岛e 印 z 虬一譬 d s z 几d 职 戴 k zz 9 第二章跳扩散半鞅模型 由 t j 公式可知 s 是某个过程x 的d o l e a n d a d e 指数 即 s 0 占 x 其中 p r 五2 小如 小毗 三 陀 引 j ib s d s j i s d w 8 j i r d n t s 由 2 1 8 式可知 这里的五正是我们研究的跳扩散半鞅的简单情况 妒 s 可 由此 我们可以给出资产价格过程的跳扩散模型的一般定义 定义2 2 1 设x 是跳扩散特殊半鞅 满足条件 2 1 7 与 2 1 9 且妒 s 一1 a 矗 设一个资产价格过程 满足 s 岛 x t f 0 卅 2 2 3 则称s 为跳扩散模型资产价格过程 注 在金融数学的文献中 出现两种跳扩散型资产价格模型 除了上述模型f 2 2 3 外 还有直接把x 作为指数的所谓几何跳扩散价格模型 即令s t s o e 见文献1 2 硝 筠 及 3 2 等 我们从上面的分析可知 采用随机指数 2 2 3 作为资产价格模型较为自然 其跳有直观含义 下面我们将看到采用这种模型还有许多有利的地方 2 2 2关于跳扩散半鞅x 的 晒公式 由 2 1 8 式可知 d j 已 也d d 仉 妒 t g d j r 如出 吼d w 妒 z k d 批 别净 盯 d s 五 托一五一 妒 f 口 d r t j r f 2 2 4 1 妒 m 札 设 c 2 r 则由 循公式可得 d 五 厂 x 一 d 噩 弼一 d x 拄 j q 一l 厂 k 一 一 x 一 五 1 0 第二章跳扩散半鞅模型 化简可得 其积分形式为 d 五 聂一 出 五一 出 z 7 托一 吼埘 225 i 厂 x c 一十妒 t k 一 五一 d a j 墨 凰 z 墨一 州s z 厂 墨一 a d s 墨 凰 7 墨一 6 d s x 一 a d s j 0 0 卜 删s 墨一十妒 s k 一 五 d 札 j 0 2 2 3 资产价格过程 的表达式 由公式 2 2 3 可知 资产价格过程s 岛 x 而x 的随机指数 x 是下列方 程的解 z t lz 8 一d x 8 或d z t z t d x t 在公式 2 2 5 中 取 z l o g z 可以直接算出 僻 与 来 下面列出 的几 个等价形式 耐瓜一扣s z 6 几a 眦 l o g 1 妒 s k d s s e 印t 瓜一扣s 厶d 眠 z l s 1 妒 s 可 d 掣 s e 科瓜一扣s z 2 删 1 妒 e k 第二章跳扩散半鞅模型 由于x 为特殊半鞅 且 s b 占 x c 故 也为特殊半鞅 它的典型分解为 s t s o j o s s d 墨 一s o l s s d x 警 l l s 8 一d x s 的局部鞅部分为 丘s d x r 可料有限变差部分为甜 厝s d x 于 2 2 4 测度变换的一般形式 为了研究价格过程的等价鞅测度 我们先研究测度变换的一般形式 以及相应的随机 元的变化 在b l 粕k s c h o l e s 模型中 g i r s a n o v 型的测度变换仅涉及到改变b r a w n 运动的漂移 项 而在我们的跳扩散模型中 测度变化既会改变b r o w n 运动的扩散项 又会改变标值 点过程的特征一一跳强度与跳密度函数 因此要给出三个量 吼 与砂 来分别刻画 这三个量的变化 另一方面 确定一个等价鞅测度 其关键问题是确定它的密度过程 设q 是一个与 尸等价的概率测度 器为它的r a d o n n i k o d y m 导数 则q 的密度过程 五叫筹 取右连续修正 是个p 鞅 而且五 o e 五 1 这样的过程 互 一般都要从某个p 鞅m 的随机指数中来寻找 又根据鞅表现定理2 1 1 鞅m 应具有 2 1 1 1 形式 由于我 们采用有限的时间水平 o 卅 随机指数成为鞅的条件可以简单些 设 9 t 是可料过程 妒 t 是b o r e l 可料函数 也是确定的 的函数 它们满足 条件 9 d s 一4 之 妒 t 可 o 且 砂 可 p d g 1 v 口 纠 2 2 6 d 且z 2 九上 1 吨蜘 枷2 p s 蜊s 4 之 令 w 8 一t 3 1 k 妒 s g 出 咖 2 2 7 1 2 第二章跳扩散半鞅模型 1 3 一 一 则 鹄 显然是局部鞅 又由条件 2 2 6 及公式 2 1 2 可知 对任意 o 明 有 e 后9 d s e k 厶 1 一 砂 s 2 p s g 白d s o 妒 o 所以对任意 o 卅 定理2 2 2 在条件 2 2 6 下 如果满足 五 0 p a s 我们还有更进一步的结论 对任意f 也 咖 t g 有界 且 e f e 2 口靠如 f 2 2 9 则由 2 2 8 式确定的过程 磊 在有限时间区间 o 司上是个严正鞅 若设测度q 使得 d 0 厅 面i 乃2 石r 则q 是与尸等价的概率测度 且 1 过程哦 姒 露吼d s 是q 下的b r o w n 运动 2 过程瓯 吼 届九厶妒 s f 1 一亿妒 s 口 p s g d p d s 是q 局部鞅 3 标值点过程 g 在测度q 下的特征 强度为九 吼九 跳的概率密度函数为 p t 9 中 可 p t 并且 4 出 d g d v g 一a t t 母 g p t g t d g 第二章跳扩散半鞅模型 在测度q 下是测度值局部鞅 证明 由于z m 显然z 为p 局部鞅 因此存在递增停时列 使得l i m 丁 t l 一 对每个n 过程z 为一致可积鞅 即 e z i 只 z 功 osssf 互v n 由此式及f a t o u 引理可知 五 是正的上鞅 欲证 毛 为鞅 只需证耽 o 丁 e 五 1 为此我们证明对于 o 卵 随机变量簇 五 n 1 2 是一致可积的 一旦证出 就有 e 磊5 e 县恐五 n 2 曼恐e 五 1 为此我们先证明其积分一致有界 即对任意停时r 皆有e 五 sc 与了 无关 注意到 a 也 妒 可 有界 由 2 2 8 式可得 一 一广州眠一 7 椭j o oj 0 e a p 7a 1 一h 妒 s k d s 唧 z 趴7 肛 懈枷琊 一 印 一j r 叭72 吼d 巩一j 趴7 z d 疹 e 印 一 2 吼d w s 一 7 2 9 j 2 d s j 0 zj o e 印 9 d s e e 曲蜥 其中a q 为正的常数 于是由s c h w a r t z 不等式可得 矧球计广2 埘巩一 7 d s 小 e 五 e e a p 一 2 仉d i 亿一 2 如 2 d s j 0 0 e e 印 霹如 e 2 劬蜥 e c r g 这是因为第一个括号内是一个上鞅 其期望值s1 第二个括号已经与7 无关 再用一次 s c h w a r t z 不等式 由条件 2 2 9 及e e 4 岛蜥 e e 4 2 一n 口k 幽可知其期望值有限 所以 易 n n 1 2 积分一致有界 再由上鞅的极大值不等式易知 该随机变量簇具有 一致绝对连续性 故 互 n 1 2 是一致可积的 1 4 第二章跳扩散半鞅模型 下面再证其它结论 1 因 形 m 一露仉如 所以 为p 局部鞅 于是 形 m i 矿 m w 十m 谚 m 陟 彬 m 彬 z 为p 局部鞅 即影为q 局部鞅 再由 彬 形 w 知 形为q 下的b r o w n 运动 2 由 2 1 1 式可知 d g d t d 掣 g d d 掣 a t p t 掣 d d 可 记 五 z k 上 州1 吨帅 圳p s 圳 如 则 是有限变差过程 且区 吼 又记 一广 甄 妒 s 1 一k 妒 s 可 d k 出 d 可 g 出 d 掣 一 g 出 如 g d 亡 由 j 0j r 贝0 是p 局部鞅 而且匠m k bm 一甄一五 所以i m 瓯m g m k 为尸局部鞅 即 口 m 口 a 羽 4 m 口 z 为q 局部鞅 所以牙为q 局部鞅 3 因4 为q 局部鞅 又 醌 口 z 上妒 s 趴d s 圳一九 t j s p s 川如妇 所以 t 一名九k 厶砂 s 秒 p s f d s 咖为q 局部鞅 由补偿元的唯一性知 z f 在q 下的强度为a c 跳密度函数为砂 t p g 口 1 5 第二章跳扩散半鞅模型 注 这个定理刻画了带跳的指数上鞅成为鞅的条件 条件 2 2 9 显然是鞅的充分条 件 e e 2 譬9 汹 o 是确定的函数 如果 肌 妒 p 满足条件 22 6 与 2 2 9 又满足 k n 一口1 玑 沁 妒 t f 移 t 口 p t y d 口 2 2 1 2 则q m 称 2 2 6 2 2 9 与 2 2 1 2 为等价鞅测度条件 推论2 2 5 若q 为等价鞅测度 则 s o 吼d 蛾 吼 2 2 1 3 7 第三章各种等价鞅测度 由于资产价格过程 带跳 其随机因素增多 所以市场是不完备的 存在许多个 等价鞅测度 这就产生了在众多的等价鞅测度中如何选择一个最优鞅测度的问题 在近几 年的文献中已经出现了许多种选择最优性的准则 得到了许多种最优鞅测度 如极小鞅测 度 最小熵鞅测度 方差最优鞅测度 指数最小相对熵鞅测度 最小逆相对熵鞅测度等等 不少文献都是对一种过程研究某一种最优鞅测度存在的条件 并给出其鞅测度密度过程的 精确表达式 本文就带跳扩散资产价格过程模型研究几种最优鞅测度的条件及其表达式 3 1 结构条件 上一章我们研究了一般的测度变换 给出了m 也 砂 t 三个因素对原半鞅x 的各 个特征的影响 但 2 2 1 2 式表明要想使折现价格过程s 为鞅 或局部鞅 吼 饥 砂 z 可 本质上要通过x 的几个量仉 n 九 妒 f p t 来表达出来 也有许多文献直接研究 半鞅x 满足什么条件时 才能保证它有严正鞅密度存在 著名的结果是m s c h w e i z e r l 3 6 提出的结构条件 它是研究各种等价鞅测度的前提 现在我们给出跳扩散模型下的结构条 件 我们把常用的折现价格s 与x 的分解式列出来 由 2 2 1 0 式可知 毫 小一r s 冲 z d 眠 肌咖肌川 z 州瞰 烈咖冰蛐 z 6 一r d s z a 妒 s v p s 咖d s i 三二 三羔i 号妥 互 i 芝 d d c a t z 6 一r a s z a c p s p s d d s 1 1 8 第三章各种等价鞅测度 折现价格过程雪也有相应的分解式 因曼 岛 贾 所以 t t s 0 s s d 爻s j 0 s n 十ts s a 奶8 i ss d a 8 1 已 磁t f t 一d 逝8 j o 缸 2 童一拍 j o 则s 有分解式 t s a 蕊t a t 定义3 1 1 3 6 如果一个实值的右连左极过程z 是p 局部鞅 玩 l 且乘积z 雪 也是p 局部鞅 则称z 为 的鞅密度过程 如果z 是严格正的 则称z 是雪的严正鞅 密度过程 我们证明 的鞅密度过程实质上只与又有关 命题3 1 2z 为雪的鞅密度过程的充要条件是z 为贾的鞅密度过程 证明 由分部积分公式 d z t t t d z t z t d 妞t z t d a t d z m d z a f 一d 五 五一d 1 4 d z a t 一 d z m 五d a 根据y o e u r p 引理 右端第一个扩号内是局部鞅 的微分 所以z s 为局部鞅的充要 条件是最后一项为局部鞅 但此项可料 故必为o 由曼一 o 所以 z 嘲 五d a o 3 1 2 j 0 同样 z x 为局部鞅的充要条件也是 3 1 2 成立 口 根据此命题 我们只需研究戈的鞅密度过程的存在条件即可 由m s c l l w e i z e r 定理1 1 3 6 为了研究半鞅戈的各种等价鞅测度 必须对完作如下假 设 第三章各种等价鞅测度 假设a a 1 巩 妒 可 a t 为一致有界的可料过程 r a 2 盯 九 妒2 f 可 p d e o v o r j r 假设a 1 保证了特殊半鞅又有如下的典则分解式 贾 砑 a f 3 1 3 1 其中舫 朋3 知 p 零初值局部平方可积局部鞅 a 4 p 可积变差过程 今后我们假 设又都具有典则分解式 3 1 3 命题3 1 3 若假设a 2 成立 则特殊半鞅贾满足结构条件 s c q t c 乙 m 关于m 局部平方可积的过程 使得 耻卜撕 证明 因为 所以 由假设a 2 成立 令 则 m m k z 盯 d s z 妒2 s d s 可 即 存在可料过程 f 3 1 4 厨 府 t z 上妒2 s g a p s 旬 d s 3 1 5 6 一n a t 厶妒0 可 p t 可 d 砖 九 r 妒2 t 可 p t g 咖 垦二垒 垒生 兰2 砖 九e 妒2 k 虬一曲d s z a 上妒 s 川p s 可 咖如 a d 府 f 3 1 6 口 第三章各种等价鞅测度 3 2 极小鞅测度 3 2 1定义 极小鞅测度是由h f j l l m e l 和m s c h w e i z e r 1 4 于1 9 9 1 年提出的 它与未定权益的套 期保值问题紧密相关 在不完备市场上 一个未定权益是不可能被复制的 但可以选择一 个投资策略 使得用此策略去近似复制未定权益时 在某种意义下的风险最小 f j l l m e r 和s c h w e i z e r 提出了剩余风险的概念 并称使得剩余风险最小的投资策略为最优策略 由 此他们给出了极小鞅测度的概念 定义3 2 1 设概率测度p 是s 的等价鞅测度 如果任一个与雪的鞅部分肪正交的 平方可积鞅l 在p 下仍是鞅 就称p 为s 的极小鞅测度 记为m e m m 同样可证p 为s 的极小鞅测度也必为戈的极小鞅测度 即j 弓也是贾的等价鞅测 度 且任一个与x 的鞅部分m 正交的平方可积鞅 在户下仍是鞅 3 2 2极小鞅测度密度过程z 的建立 设贾满足结构条件 它容许有严正鞅密度过程存在 又设p 是戈的极小等价鞅测 度 筹l 所 l 2 p 记e 器l 五 的右连续修正为岔 则2 是p 平方可积鞅 且它就是 户的密度过程 设s 厨 是局部平方可积鞅肪在m 2 p 中生成的稳定子空间 则任何一个与厨 正交的平方可积鞅三都属于s 厨 1 而p 为极小鞅测度 则l 应为户鞅 即l 2 为尸 鞅 所以宕与l 正交 于是2 s 厨 再由密度过程岔非负 它应该是s 廊 中某个 元素的随机指数 于是应存在一个可料过程 风 使得宕 一r 卢d 府 即 之 l z 之 风d 庇 3 2 1 命题3 2 2 由 3 2 1 式确定的密度过程z 必为极小鞅测度p 的密度过程 证明 设l 是任一个与m 正交的平方可积鞅 则 l 府 为p 局部鞅 由分部积分 2 1 第三章各种等价鞅测度 公式及 3 2 1 式可得 宕l t z 之一d 上 z l d 反 2 纠 除m i l 8 出s 一协叫皿讥 右端三项皆为p 局部鞅 故2 l 为尸局部鞅 所以2 为极小鞅测度声的密度过程 口 3 2 3极小鞅测度密度过程2 的精确表达式 为了求出2 需要确定出可料过程慨 由于岔为又的等价鞅密度过程 所以宝贾 必为尸局部鞅 由 1 2 爻 t e 爻3 一d 它5 f 2 8 一d 文8 l 幺 爻 z 宠一d 磊 z 之一d 庇 陇机 防翮 一 2 厨瑚 c 2 3 d a a 0 2 醯1 t j 0 根据y o e l l r p 引理 扩号中的项皆为p 局部鞅 欲使2 戈为p 局部鞅 必须最后两项为 局部鞅 而它们为可料过程 故它们必为0 即 亡 忍一d z 埘 o 又由 3 2 1 式计算出 2 砑 可知 l i28 一d a s 一 l2 8 8 8 d l 酗 8 q 所以 a t 0 8 酞嘲 s j 与结构条件 3 1 4 式相比较可知卢 o 于是我们得到下面的命题 命题3 2 3 满足 3 1 3 式的带跳扩散特殊半鞅戈具有极小鞅测度 其极小鞅测度密 度过程为牙 一t 厂a d 府 下面的命题给出了磊的精确表达式 笠三至鱼登箜堕塾型廑 2 3 命题3 2 4 极小鞅测度密度过程幺的精确表达式为 如州一z 等黼吼d 眠一躲号毫爨鲁煳如 z 2a j j j i 黼妒 s p s 秒 d d s z k s 一皇 j 觜妒 s d s 可 证明 由命题3 2 3 及 3 1 1 和 2 1 6 式可得 矗磊 一毒一 d 磁 一乏一o t 叽d w 妒 t k d f 一 妒 9 a 护 t 匆d 叫 j r 取 z l o g z 则由 拍公式得 f 3 22 弛计小儿d 肌一新 啦 zk 上a s 妒 删 p s 口 d d 5 z 以1 0 9 1 一 s 妒 舢 州 舢地 将 3 1 6 式代入上式即可得到幺的精确表达式 3 2 2 口 我们还需要回答在确定极小鞅测度户时 量m 与砂 可 的具体表达式 推论3 2 5 虬乜与妒 t 们的具体表达式为 6 一n 九e 妒 t k h m 薹薹 陋 母 可 1 一妒 f 竺 f 芊亏 群 证明 将 2 2 8 式与 3 2 2 式相对比 即可得到弧也与砂 t 可 的具体表达式 32 3 再将其代入 2 2 1 2 式直接验证 可知它们满足一般等价鞅测度条件 口 第三章各种等价鞅测度 3 3 最小熵鞅测度 3 3 1定义 最小熵鞅测度的概念最初是由y m i y a h a i a 2 6 提出的 它是近几年来研究的比较多的 一种鞅测度 许多学者研究了最小熵鞅测度的存在及其性质 y m i y a h a r a f 2 6 1 探讨了有界 过程最小熵鞅测度的存在性 并得到了极小鞅测度和最小熵鞅测度的关系 m f r i t t e l l i f l 2 1 研究了局部有界半鞅模型的最小熵鞅测度的存在性 得到了最小熵鞅测度存在的充分条件 和必要条件 t c h a j l 5 t 刑i w a r a 和y m i y a h a r a 1 3 研究了l v y 过程模型的最小熵 鞅测度的构造 定义3 3 1 若一个等价鞅测度户满足 日 尸 p 5 罟现日 q j p 3 3 1 其中甘 q i p 是q 关于p 的相对熵 即 日 qj p 矗1 0 9 器 d q 若q p o 其它 其中器是q 关于p 的r a d o n n i k o d y m 导数 则户叫做最小熵鞅测度 m e m m 下面的定理给出了有界半鞅最小熵鞅测度的存在唯一性 定理证明参看文献 1 2 1 定理3 3 2 若存在q m p 使得日 q l p o 则最小熵鞅测度存在唯一 并且 等价于p 3 3 2最小熵鞅密度过程2 的表达式 下面的命题给出了最小熵鞅测度的参数吼 矽 的表达式 我们用到了c h a n 1 9 9 9 5 介绍的最优性问题的解法 命题3 3 3 最小熵鞅测度的参数珧 凡与妒 的具体表达式为 m 盯 k f 3 32 1 也妒 g e x p 一k 妒 第三章各种等价鞅测度 具中c t 满足朝力崔力 一n 一口 2c a 妒 t p t g e 一 9 d o 3 3 3 j r 证明 由 22 8 及定理2 22 我们可得 岛 1 0 9 z 玩 一z 倒眦一 z