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第1 4节抽样分布 二 次序统计量 三 样本中位数和样本极差 一 抽样分布 一正态总体样本均值和方差的分布 1 单个总体样本均值的分布 定理1 11 证 所以 设X1 X2 Xn是取自正态总体 样本 分别为样本均值和样本方差 则有 的 和相互独立 2 单个总体样本方差的分布 注 自由度减少一个 减少一个自由度的原因 事实上 它们受到一个条件的约束 自由度表示独立 自由 变量的个数 证 且两者独立 由t分布的定义知 4 两个正态总体样本均值差的分布 定理1 14 总体X和Y 则 证 由定理1 11及定理1 12 知 定理1 15 总体X和Y 则 5 两个正态总体样本方差商的分布 证 例 一个样本 求 1 2 由定理2知 解 例 一个样本 求 1 2 查表可得 思考与练习 是来自正态总体 的样 设 本 则有 二 一些非正态总体样本均值的分布 1 问题的提出 抽样分布的精确分布可以归属到计算随机变量或随机向量函数的分布 但是从关于随机变量或随机向量函数的分布介绍中可以看到计算相当复杂 因而对于一般总体情形下的抽样分布的计算几乎无法完成 因而对于一般情形 一方面可以考虑特殊总体情形下的抽样精确分布 另一方面考虑大样本情形下抽样分布的渐近分布 例 解 由泊松分布的可加性可知 因此 2 特殊情形下抽样分布的精确分布 例 解 由于指数分布是 1 因而由其可加性可知 因此 故 3 一般情形下样本均值的渐近分布 定理1 16 即 证 由林德贝格 列维中心极限定理可知 因而 例 解 其精确分布为 由定理1 16可知 其渐近分布为正态分布 二 次序统计量的分布 定理1 19 证 根据分布函数的定义 可以得到 因此 说明 例1 p26例 解 三 样本中位数和样本极差 1 样本中位数 定义 其观测值为 2 样本中位数的意义 样本中位数主要用来描述样本位置的特征 具有和样本均值类似的含义 但它不受样本异常值的影响 同时也容易计算 也可以作为总体均值的估计 缺点是分布不容易计算 因而在理论讨论时 带来一定困难 3 样本极差 定义 其观测值为 4 样本极差的意义 样本极差主要用来描述样本变化幅度以及离散程度的特征 具有和样本方差类似的含义 但它受样本异常值的影响较小 同时也容易计算 也可以作为总体均方差的估计 在实际中应用比较广泛 例 从总体中抽取容量为6的样本 测得样本值为 32 65 28 35 30 29 试求 样本中位数 样本均值 样本极差 解 首先将样本观测值进行排序 可得
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