（应用数学专业论文）测度链上一类动力方程边值问题正解的存在性研究.pdf

摘要 对时间测度上动力方程的研究可以追述到它的创立者s t e f a nh i l g e r 这是一个最近 引起人们广泛关注的数学领域 它的创立是为了统一微分方程和差分方程 全文共四章 第一章 我们介绍了测度链上微分方程的历史和发展 第二章 我们对测度链上的一些 基本概念和微积分理论作了一个简要介绍 第三章 研究了测度链上二阶动力方程组边 值问题的正解存在性 得到了三个正解存在的充分条件 所得的结果推广了已有的结论 第四章 我们研究了一类有理差分方程的全局吸引性 关键词 测度链 动力方程 正解 平衡解 全局吸引性 t h e s h l d yo fe x i s t e n c eo fp o s i t i v es o l u t i o n sf o ra c l a s so f b o u n d a r yv a l u ep r o b l e mf o rd y n a m i cs y s t e m s 伽m e a s u r ec h a i n s z h a n gk e x u e a p p l i e dm a t h e m a t i c s d i r e c t e db yp i o f f e ix i a n g l i a b s t r a c t t h es t u d yo fd y n 锄i ce q 吼t i o n so nt i m es c a l e sw h i c hg o 岱b a c kt 0i t sf o u n d e rs t e f 抽h i l g e ri sa na r e a o fm a t h e m a t i c sm 砒l l a sr e c e n t l y 似圮i v c dal o to fa 吮n t i o n i tl l a sb e c r e a t e di no r d e rt ou n 母m es n j d y o fd i f 诧r e t l t i a l 锄dd i 侬鹏n c ee q u a t i o i l s t l l i sa n i c l ei sc o m p o s e do ff l o u rc h a 舯琊 1 l lc h 印t e r1 w ep r c s e n t t i l eh i s t o r y d e v e i 叩m e n to fd i f f c r e n t i a ic q 咖i o 鸺伽m e 鹤u 聪c i i a i n s h 1c h 印t e r2 w ei m m d u c em e p r e l i f i l i n a r i e so fd y n a i i l i cc q t i o 璐0 nm 髓s u r ec h a i n 1 1 1c h 印t c r3 w es t u d yt l i ec x i s t e n c eo fp o s i t i v e s 0 1 o nf 研b o l l n d a 拶v a l u ep 1 o b l 锄f o i s e c o n do r d e rd y n 砌ce q 吼t i o 嬲 柚de s 诅b l i s hn l r e es u f f i c i e n t c o n d i o n s o u r 嘶t e r i ai m p r o v es o m eh o nr e s u l t s i nc h a p t c r4 w es t u d ym eg l o b a l 撒c t i v 时o fa c l a s so f 枷o n a ld i f f 毫r e n c ee q 嘶0 n k e yw o r d s m e a s u r ec l l a i 玛d y n a m i ce q u a t i o 玛p o s i 6 v es o l u t i o n e q u i l i b r i u m g 1 0 b a l a t t i a c t i v i t 关于学位论文的独创性声明 本人郑重声明 所呈交的论文是本人在指导教师指导下独立进行研究工作所取得的 成果 论文中有关资料和数据是实事求是的 尽我所知 除文中已经加以标注和致谢外 本论文不包含其他人已经发表或撰写的研究成果 也不包含本人或他人为获得中国石油 大学 华东 或其它教育机构的学位或学历证书而使用过的材料 与我一同工作的同志 对研究所做的任何贡献均已在论文中作出了明确的说明 若有不实之处 本人愿意承担相关法律责任 学位论文作者签名 数垒虹 日期 翻年岁月习日 学位论文使用授权书 本人完全同意中国石油大学 华东 有权使用本学位论文 包括但不限于其印 刷版和电子版 使用方式包括但不限于 保留学位论文 按规定向国家有关部门 机构 送交学位论文 以学术交流为目的赠送和交换学位论文 允许学位论文被 查阅 借阅和复印 将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索 采用 影印 缩印或其他复制手段保存学位论文 保密学位论文在解密后的使用授权同上 学位论文作者签 指导教师签名 日期 力一g 年岁月句日 日期 勿 年 月7 日 中国石油入学 华东 硕士学位论文 第一章绪论 1 1 测度链产生的历史背景 测度链上的微分方程是近年来兴起的新的数学分支 众所周知 重要的动力过程要用微分方程和差分方程来构建数学模型 差分方程常 用对微分方程离散化来得到 然而 从近年来对差分方程理论的研究中我们看到差分方 程作为 个数学分支呈现出更多的独立性 从方法上来说 差分方程与微分方程可以类 比地进行研究 当然 差分方程理论要比简单的通过平移微分方程所的结果要丰富的多 在研究差分方程时为了克服缺乏连续性这一拓扑缺陷 我们经常要做一些比研究微分方 程时更多的假设 从模型的观点来看 用动力系统描述一种现象的更现实的方法是将变量定义在连续 和离散的点的混合实数子集上 也就是在一个实数集的非空闭子集上 这种闭子集称之 为一个时间链或时间标架 t 衄es c a l e 它是更一般的测度链 m e 撇c h a i l l 概念的常用 的特殊情形 因此一个自然的问题是 能否找到一种新的理论框架 它能使人们可以同 时处理连续和离散系统 并且能够包含更丰富的内容 以便更好的洞察两类不同系统之 间的本质差异 测度链理论就是在此背景卜 产生的 测度链上的动力系统为我们提供了一个框架使得在其中可以对微分差分进行统一 研究 从而使我们能一方而更好的洞察两种系统的差异和联系 另一方面还避免重复研 究 事实上 测度链上的动力系统比微分差分的简单统一研究性内容要更加丰富得多 测度链上的动力系统的基础是测度链上的分析学的建立 1 2 国内外研究现状 测度链理论是德国学者s t e 缸h i l g e r 于1 9 8 8 年在其博士论文 中提出的 是为了统 一连续分析和离散分析理论而引人的一种新的分析理论 提出这种新的分析理论 其主 要目的是 统一和推广 近年来这一理论备受人们的关注 已有多部专著出版 1 由于 测度链理论自身的不断发展和完善 测度链上动力方程的研究近几年来一直受到人们的 高度重视 简略地说 主要工作集中在以下几个方面 不等式理论 振动理论 稳定性 理论和边值问题等 文献 6 到文献 1 5 中有详细的讨论 第 章绪论 非线性泛函分析是现代数学的一个重要分支 它的丰富理论和先进方法为解决当今 科技领域中层出不穷的非线性问题提供了富有成效的理论工具 在处理实际问题所对应 的多种非线性积分方程 微分方程和偏微分方程中发挥着不可替代的作用 由于边值问 题正解的存在性在理论和应用上的重要性 因此 在常微分方程 差分方程及偏微分方 程领域边值问题正解的存在性引起了国内外许多数学工作者的广泛关注 根据测度链理 论统一连续和离散分析的特性 自然的会研究测度链上动力方程边值问题正解的存在 性 因此 如何利用拓扑度理论 不动点理论及半序方法等非线性分析中的先进的分析 工具 来研究测度链上的动力方程边值问题 近年来 引起了国际上许多数学工作者的 浓厚兴趣 下面 我们主要介绍一下有关终值问题和边值问题的研究现状 1 2 1 一阶终值问题的研究现状 对常微情形已有研究 但还未有差分方面的研究 所以测度链上一阶终值问题的一 个直接应用就是丰富了差分方程的内容 在 1 6 中 作者得到如下关于一阶终值问题结 果 考察测度链上一阶动力系统的终值问题 t v p 设 x 6 厂 f x x o o 1 其中厂 c 丁 r 专用 h 丁是回归的 满足s u p 丁 o d 定理1 1 令i 厂 乙x i 0 下面的初值问题 g f o o o 1 一1 的解在 气 o 存在且是有界的 则初值问题的每一个解x f 都在 岛 上存在且l i m z f 存在有限 并且对任给的1 r 终值问题都在某个区间陋 上有解 推论1 2 设g f p f 弦 g f 其中p f g f 是正的连续函数满足 j o o 岛 且扣 s 血 则t v p 卜1 在某个区间陋 o o 上有解 下面考虑闭集终值问题解的存在性 令c l r r 伽 f r 啼r l f m f 是连续的 m 存在 2 中国石油火学 华东 硕士学位论文 定义1 3 若v f 厂 f v f v f r v x 一则函数v f c 1 r r 称作是t v p 卜1 的下解 若v f 厂 f v f v f r 1 k 则函数v f c r r 称作是 t v p 卜1 的上解 引理1 4 设厂 f 曲 r x 尺寸r 是连续的 f 和似f 分别是t v p 卜1 的上下解 厂 f x 关于x 非减 i e f x 厂o y v f r x y 则1 f f v r r 定理1 5 设厂 f z 丁x 月 尺是连续的且在r 上是回归的 v f f 分别是t v b 卜1 的上下解 而且 厂o 工 p f l x l v 0 x q 其中e p o o 盯 6 o 有三个正解的存在性准则 这里厂 是非减函数 第 章绪论 此外 2 0 0 0 年a g 删a l 和r e g a n 在 2 1 中考虑了差分方程边值问题 i i j z 后 2 j 0 七 0 1 k z o 足 j 2 尼 厶 后 i 七 o 尼 z o k 口 0 一层 o o 乃 f k 1 谚 f k 1 0 f l 2 这里尺是集合 1 2 中的一个固定的数 并建立了此边值问题一个和两个解的存在性 结果 用的工具同样是l e r a y s c m d e r 非线性抉择和g u o k r a s n o s e l s k i i 不动点定理 运用g u o k r a s n o s e s 蚓不动点定理来研究方程至少有一个解的存在性问题 考虑非线性边值问题 一x a a 厂 f x 4 f 口 6 1 2 d x 口 一f k 口 o 盯 6 蠡 仃 6 o 其中我们假设口 y 万 o 且 d 侈 口艿 口y 矿 功一口 0 还假设厂 c a 盯 6 x 尺 尺 且极限 厶 姆掣和厶 熙掣 存在 兀 o 厶 o 的情况称为超线性的 石 无 o 的情况称为次线性的 定理1 6 如果超线性和次线性的情况有一成立 那么边值问题 卜2 有一正解 运用g u o k r a s n o s e l s l i i 不动点定理来研究方程至少有两个解的存在性问题 考虑边值问题 卜丛 m 4 f o l 1 3 l 鲫 o 一胁 o o 盯 1 国 口 1 o 的正解的存在性 善 幽 f n 竽 国 一咐 f s 掣 召 x 0 口 1 r 4 中嚣石油大学 华东 硕士学位论文 尸 缸 占 工0 o f o 口 1 目j o m i i x i l f f 仃 彩 定理1 7 假设 满足如下条件 a l o b 存在p o 使得 当0 x p 时厂 石 猡 其中 刁 陋 叫一 o 那么至少存在属于p 的两个解 使得 o i f i i p f 2f f 运用a v e 巧 h e n d e r 8 0 n 不动点定理研究两个正解的存在性 y 丛 厂 y 4 o f o 1 1 4 o 1 o 定义1 8 设尸为实b 锄c h 空间口上的锥 泛涵 尸 召称为在尸上是增的 如果 对于任意的x y 血 y 有y x 妙 y 定义1 9 设p 为实b a n a c h 空间b 上的锥 泛涵y p 专 o 连续 对任意的d 0 我 们定义集合 p y d 工 p y x 0 h q 奄 y x 矽 x 口 x i l x l i 上砂 d 勺7 x p y c 假设存在全连续算子彳 p 7 c 啼p 0 口 6 c 工 a p y c i i 乡 口 x a p 口 口 那么彳至少有两个不动点而 恐属于以厂 c 使得 口 口 五 p x i 6 d x 2 j y 屯j c 定理1 1 1 设o 口 专6 亩c b 如果o w 羔朋w 导 那么边值问题 卜4 有两个正解而 f 工 f 使得 口 黝而 黝五 6 6 黝x 2 f 积恐 c a 丑d s o n 研究了如下二阶测度链上的s t r l 黝 l i o u v i l l e 型边值问题 一x 和 f 厂 x 9 f f f l f 2 o 一触 f 1 o 仃 如 苏 仃 f 2 0 作者运用g u o 1 n o s e l s l i i 不动点定理研究了其解的存在性 从而得到了特征区间的存 在性 a g a 刑a 1 等运用上下解方法 研究了实数域问题的解的存在性 在 2 2 中作者用 l e g g w i n i a m s 不动点定理来研究测度链上s t l l 功 l i o u 忻u e 型边值问题 x 6 工 仃 f o m 乞 1 5 a z f j 一肛a o 仃 f 2 苏 仃 如 o 我们定义如下凸集 秒 k i lyf l c k 缈 口 6 抄 k 少 口 l lyf l 6 定理1 1 2 设存在常数o 口 6 垒 c 满足 儿 功 暑一 力叱 毗 叻 6 中国石油大学 华东 颂十学位论文 a 2 o 戈 鱼 o x 善 口 f 2 6 鱼 竹 p a 3 饨 曲 云 工 h 矿 f m 则边值问题 卜5 至少有三个正解而 x 和毛满足 i i 五f l 口 6 口 少 屯 1 借助g u o k 隐s n o s e l s k i i 不动点定理 a v e 巧 h e i l d e r s o n 不动点定理和l e g g e t t w i l h a n l s 不动点定理 建立了此边值问题存在一个 两个和三个正解的充分条件 特别地 我们 列出一些数学家的主要结果 这些结果启发我们考虑测度链上p l a p i a c i a n 动力方程两点 边值问题 为了简洁 记 为p l 印l a c i a n 算子纬 爿 r 2 p 1 l p l q 1 以及 石 姆器小熙器 对于一维p l 印i a c i 锄微分方程 w a n g 船引研究了如下边值问题的单个正解的存在性 9 p 口 厂 0 o o 使得对 v o o 4 6 0 v w 2 厂 是定义在 o 佃 上的非负下半连续函数 此外 在 o 棚 的每一个紧子 区间上至多存在有限多个第一类不连续点 l w 3 口 f 是定义在 o 1 上的非负可测函数 且满o p f 出 0 0 仃 6 o 他们的主要结果是 定理1 1 4 假设厂 o o 一 o o 是非减 连续函数 且存在o 尺 使得 k 下列条件成市 这里 i 厂 j 而 一 m i n 一以州j g 柚 厶 玎 i i i r 而r 一 s u p i 口 一堋 g 柚 厶 刁 曲 t 仃 6 3 口 4 七 口 盯 6 一口 4 4 口 仃2 6 一口 4 0 口 一 曲 一 口 f 协邯 口 一 口d卜 l i 曲o g 则 卜8 至少存在三个正解 l 2 3 满足 科舞堋h f 7 科骝6 s f 州嬲堋 s f 2 0 0 2 年 c h y 锄和h e l l d e i s o n 在文 2 6 中运用文献 2 7 中不动点定理建立了测度链上 边值问题 厂 仃 f o f o 1 厂 t 1 9 o o 盯 1 两个正解存在的充分条件 主要结果如下 定理1 1 5 假设 7 m i n p t 秽2 1 2 f 1 及内点 t 且刀 1 存在 令 c p 厶叫c 卅刁 弘血 e 血姒口 争韶c 并且 c 仃 j 厶 刁 p 1 一 7 d p s 血 e p s 血 o 口 丢6 韶c c 焉 c 缸m w 每w 南 i i i 咖尝 o w 口 则边值问题 卜9 至少存在两个正解 且 口1 黔删 黔删 啪 黼删 黔 删 c 对于测度链上p l a p l a c i a n 动力方程边值问题 1 6 文 2 3 中假设 a 1 刁 m i n p t 竿鳅帔内点耐且忡 o a 3 是定义在 0 上的非负连续函数 a 4 连续函数 月专尺 且存在常数o e 岛使得 o 蜀x 岛 x s 岛x x 0 9 并得到如下结论 定理1 1 6 假设下列条件满足 c 1 存在常数p o 使得厂 缈p p 人1 o s p 这里 人 c 盈 口2 c 6 一口 4 c j 厶 1 c 2 存在常数g o 使得厂 q 人 孑毛吾 曰 这里 人 蜀妒 r 亨z c s 厶 矿了 伊 c 4 善 l c s 心 r p g 则 卜6 至少有一个正解 且陋l l 在p 和g 之间 定理1 1 7 假设存在正常数口 6 c 使得 且假设厂 满足下列条件 其中 4 争 踹c 仃 6 一a 弛p 蹦务 警c c i i 厂c 伊 鲁 口 三竽口 s 血1 5 厶1 j 心i 则 1 6 至少有两个正解 口 鼢删 编删 6 和6 鼢 z f 鼢 f 存在掰e o 使得 刷 p 蒜材 一 则 卜6 至少有两个正解 定理1 1 9 假设存在常数o 矗 露 竺鲨塑 堕 c 使得 7 7 一口 弛脚p 射吲 办这里 如c 枷2 御吨陆 丛l 舯伤 卦 据 试尘地 玎一口 这里 c t 雪 露一露 寸箩羔t s e 落 m 鳓 导 州 翻 则 1 6 至少有三个正解 1 3 本文的主要工作 本文主要研究了测度链上满足s t t l 撇 l i o u v i u e 边值条件的二阶动力方程组边值问题 续 群l 凸 a f z 毛鲑l a f 越2 c f f 掰 c r f 0 f 露 6 a j j 口 一屈 f 口 0 y f m f 6 谚 f d 盯 6 等0 f 1 2 l 歪解的存在性和多重性 褥到了三个充分条件 所褥的结果推广了前入的相关工作 榍 关内容在第三章 分别在3 1 节 3 2 节和3 3 节得到了至少有一个 两个和三个正解的 存在性定理 涉及的主要工具有k 臻y s 渤谣e r 菲线性抉择定理 g 鼬 x 豫s n o s 秘始i 不动 第一章绪论 点定理和锥拉伸与锥压缩不动点定理 最后在第四章 对于测度链的特例 差分方程 研究了一类有理差分方程 y 监丛越叠兰血三堑兰坐 7 o l 月 y 一 y h z p m p y 月一i j 口 的全局吸引性 其中口 o 一 儿 小 y l o o 并且1 七 z s 时y r j 0 i i i l 是连续的 有序集的一些重要概念 诸如 开区间 闭区间 有界性 最小上界 最大上界 保序映像等概念在这里都可以用 在本文中我们主要讨论一种特殊的测度链 即取丁为实数集合 序 为通常的大小 序关系 通常把实数r 的任何一个非空闭子集都称为一个时间链 记为丁 定义2 2 设仃 丁一r 为一映像 定义为 仃 f i n f 如 r s f 称此映像为前跳算子 后跳算子p 丁一丁定义为 以f s u p 扣 丁 j o 若 f o 则称为右致密的 元素f r 叫做左 离散的 若p f o 存在f 的邻域u 使 i 盯 f 一厂 s 一厂 f 仃 f 一s l 0 存在f 的领域u 使 l 厂 p f 一厂 s 一厂v o p f 一s l 在本章中 对f l 2 我们总假设 h 1 删 川口 6 并且 和e 者前在 ch 2 帆 巧狐并且扣燕 蒜 r 者刚 尸 口 p 口 d 柏 p f 假设集合 口 仃 6 使得 孝 m i n f t l f 学 缈 m a x 存在且满足 垒 f 功 1 2 1 4 4 并且假设当盯 缈 6 点 0 时 盯 彩 u 忙毽磐 l l s s n 3 7 3 8 3 9 中国石油大学 华东j 硕士学位论文 b a n a c h 空间b 中的锥尸定义为 l o s u pi u i l f r e 口 盯2 6 l 尸 u b 1 f o f 口 口2 6 l 罂毋训 f i j l i f l 2 其中七 t 同前面定义 定义算子4 p b 为 4 u r 4 u f 4 u r 4 u f r 口 c r 2 6 3 1 0 其中 么 u f r 扪g f s 厂 u 仃 s j l f 甩 3 一1 1 g f j 是边值问题 3 3 3 4 的g r e e n 函数 显然 算子的不动点就是边值问题 3 1 3 2 的解 引理3 3 算子么为全连续算子 证明 令u b 由 3 6 有 么 u f r u 2 g f 占 厂 s u 莎 s j r 伯 g p s 厂 s u 仃 s 血 则 i i 彳 ul l r g 盯 j 厂 u 盯 s s f 口 口 6 3 1 2 再由 3 9 及 3 1 2 我们有 j u f r g o s 厂 s u 仃 s 血 孔 g 口 j j 厂 叫 j 血 ti l 血i j 所以 么u 尸 这表明彳映锥p 到自身 由厂的连续性 易知彳是连续的 且对尸上 的任一有界集q 彳q 是一致有界的和等度连续的 由舵e l a 舳c o l i 定理知彳 p 一尸为 伞连续簋子 口 第三蕈二阶动力万程纽边僵i 刈越的正解 下面给出本章中需要的几个不动点定理 定理3 4 l e r a y s c l i a u d e r 非线性抉择定理 设e 为b a n a c h 空间 闭凸子集磊 e u 是的磊相对开子集 o 4 u 是全连续算子 则 a 4 在 中存在不动点 或 b 存在 a u 和兄 0 1 满足 朋 定理3 5 g u o k r a s n o s e l k i i 不动点定理 2 9 3 0 1 设么为b a n a c h 空间b 中的有界闭凸子集 假设4 4 是彳中的不相交的闭凸子集 u 是么中的非空开子集 且满足 以c4 和 c 彳2 假设算子s 彳一彳是全连续的 并且下面的条件成 立 a s 4 c4 且s 彳2 c4 b s 在 4 u u 彳 中没有不动点 那么s 至少有三个不动点 1 l f 2 3 使得 u l 2 2 且 3 彳 4u 彳2 定义3 6 设k 是b a n a c h 空间的一个锥 称 是k 上的非负连续凹泛函 如果 矽 k 寸 0 o o 连续 且对所有五j k 和o f l 矽 1 一z y r 矽 x 1 一f 9 5 y 我们定义如下凸集 k c 抄 k f yi i c k 少 口 6 秒 k o 口 i i y 临6 定理3 7 l e g g 鲋 w i l l i a m s 不动点定理 1 设彳 瓦一瓦是一个全连续算子 是k 上的一个非负连续的凹泛函并且对任意x 痧 x i i xj j 又设存在o 口 6 6 并且对z k f 6 6 d 么曲 6 中国石油人学 华尔 顾士学位论文 c 2 对i lx i 口 i l 么xi i d 有 彳工 6 则彳至少有三个不动点而 工2 和恐 使得 l i 五l l 而 并且 3 2 至少有一个正解的存在性 屯i l 口 屯 6 在本节中我们研究边值问题 3 1 3 2 至少有 个正解的存在性 定理3 8 假设 口 6 x 尺 一尺 1 f 珂连续 且存在与兄无关的正数膨 使得对 3 2 肛 f 6 f 无f f i 盯 f 2 仃 f 仃 f 0 f 口 6 3 一1 3 的任何解u l 2 曰 有 lui m 3 一1 4 其中五 0 1 则边值问题 3 一1 3 2 2 至少有一个解u 甜 曰且 ui f 肘 证明 我们将利用定理3 4 来证明 注意到求边值问题 3 一1 3 3 2 2 等价于寻找算子 方程 u a 4 u 在 b 中的不动点 这里么的定义见式 3 1 0 运用测度链上的a r z e l a a s c o l i 定理 易知彳是全连续算子 令 u u 尸il iuf f o f u 口 6 0 c 2 以 1 2 石 f w j 1 w 2 2 0 f l 2 以 6 0 其中石 口 6 寸 o o o o 一 0 1 歹 n 是非减的连续函数 c 3 存在 0 使得 谚w l w 2 这里 d r 蒜 r 吼洲s 纽 那么边值问题 3 1 3 2 存在正解u 甜江甜 甜 占 且l l u 0 这里 j 的定义见 条件 c 3 证明 我们首先考虑 3 2 肛 f f z f l l l 口 f 2 仃 f 盯o o f 口 6 f 1 2 刀 3 1 5 其中z 缸 川 尺 一r 定义为 z f z f hl l h 肼 1 2 甩 显然z 连续 下面证明边值问题 3 1 5 3 2 有解 为此 注意到 3 2 反o a 6 0 霞 f i 仃 f 2 仃 f n 盯o o f 口 6 f l 2 挖 3 1 6 其中五 0 1 设u 嵋 口是 3 1 6 3 2 的任一解 我们将证明 忡忙 3 1 7 事实上 显然有 f 彳r q f s z s 盯 s 2 盯 蛳 盯 j 血 3 1 8 其中f 陋 仃2 6 f 1 2 1 由 3 1 6 c 2 及 c 3 知 对f 1 2 刀 o f 名r g f f s z j 仃 j 仃 j 甜 仃 j r a f 怕 q f s z s 仃 s l i l l 口o i l 仃o 1 出 z rg f f 毗 s n 蚶k 邢 沁 中罔石油入学f 华东 硕十学位论文 从而 五r 毗s z 心 n w 舯l l 灿 彳冉删吵然 即却加沁 砝 兀w f i v f a 仃2 6 f 1 0 s 蒯 兀w 1 如果对某个 1 2 刀 有i lu i i i o 则结合 1 8 可得 u 临d j 兀 1 与条件 c 3 比较 有 ui 由定理3 4 知 3 一1 5 3 2 存在解u 曰 且f l u l i 由 3 1 6 c 2 及 c 3 知 对江1 2 行 从而 o f f 6 g f s 夕 i 盯 s 口 s 仃 s 血 r 曲 g f s zo i 仃 s i i 仃o l l 仃o i 血 g f 厄 s 卉w f 陬仃 s 吟 r 6 g f j 石o n m 1 ui f 灿 尊删吨拣 r g f 删厶 吐兀w f i v f 口 仃2 6 3 1 9 第二章二阶动力力 程组边值问题的正解 l l o d j 丌w 1 3 2 0 r l 如果对某个 1 2 刀 有i ui i a 则结合 3 1 9 可得 与条件 c 3 比较 有怕忙 因此 u i 喀d 兀m 1 此夕 对1 f 刀 f 口 口2 6 我f 有 于是 则 u i i r f r 伯 g f s z s 盯 s 仃o 仃 s 缸 r 6 g f f s 夕o i 盯 s i i 盯 s i i 盯o i s 3 2 1 2 0 口 口2 6 f 1 2 一 3 2 2 j f r g f s s i 仃 s p s 口 占 厶 即u i 三 b 是边值问题 3 1 3 2 的解 并且i iu i i r 使得对 l 2 及集合 1 2 玎 中的某一f 依赖于 下式 成立 r 缈 尺 w 哆 尺 丘q 厶 s f s 血 这里七 的定义见式 3 9 以 口 仃2 6 满足 f g 乃 s 毛 s 血 z 髯 j f g 心 s 勺 s 厶 定理3 1 0 假设条件 c 一 c 5 成立 则边值问题 3 1 3 2 有两个解u 面 b 使得 0 马i u i i r q l 豇l l 尺 其中r 尺的定义分别见 c 和 c 证明 由定理3 9 可知存在解u 并且满足 o 笃i u l i 下面我们利用锥拉伸与锥压缩不动点定理证明丽存在 令 q l u b l u i i q 2 u b i i uj i 首先 我们证明l 么u 悃iul i u p n 孢 令u p na q l 则l iu 忙 由条件 c 和 c 3 得 对f 口 盯 6 l fs o 4 u p f q p 占 j 仃 盯 仃 血 f j q f 占 石 s 亟w 仃 s 血 口f o q f j 6 q f j 石 j 亟m 血 口f 王i 奎 芒嚣 j r p p 厶占况 j 血 z 蠡w j 灯 使得下式成立 彳 u 气 r 扪g 九 占 仃 仃 s 仃 占 s l g k 占 1 口 s 2 仃o 盯o j 掰 l g j 丑 s t s w 盯 s s p 脚 k 尺 i g j k s 血 尺爿l u l i 因此 i 彳 ui o 习iu l l 1 f 门 于是我们可得到 j i 么ul l 理磐l 么 ui 到iul j 由锥拉伸与锥压缩不动点定理知彳存在不动点西 尸n 砭 q 即存在解丽 且满 足 马l 面i 巨尺 由条件 c 2 及 c 3 知 对f l 2 o 扰j f r 扒g r s z 仃 仃 仃 血 r g 厶j j i 仃 i f 甜 盯 i i 材 盯 血 s r g 澎 烈占蚺w k 删f 沁 g 删烈s 瘴w r 沁 中国石油火学f 华东 硕士学位论文 从而 彝圳吵然 r g 心 删厶 d 兀w i v 口 旷2 6 r l l d 兀w f i 如果对某个 l 2 刀 有 l j o 则结合 3 2 3 可得 忡临d 兀 1 r l 与条件 c 3 比较 有怕f 从而 3 4 三个正解的存在性 l l 丽l i 定义算子s 尸一b 为踟 r s l u f s u f s u f r 口 盯2 6 其中 r 口f 6 s u f l g f s 厂0 u c r s s 1s i 胛 口 g f s 是边值问题 3 3 3 4 的g r e e n 函数 显然 算子的不动点就是边值问题 3 1 3 2 的解 由 3 6 a 1 和 a 2 知 对u p 有 o r 6 g f s w j g u 盯 j 厶 s u n r 6 q t j g u 丛 r 口 仃2 6 1 f 门 因此 肌 尸 这表明s 映锥p 到自身 其次由测度链上的衄e l a a s o o l i 定理 可知 s 尸一p 是全连续算子 定理3 1 1 假设存在常数o 口 使得对于1 下列条件满足 a g u 口 q u o 口 b 下面的两个条件中有一条成立 b 1 对某一 f 1 2 有 l i m s u p 卅 吕 l 2 j 7 使得 g u 7 q u 0 7 7 c r g u y q u b 以y 则边值问题 3 一1 3 2 至少存在三个正解u 1 u 2 u 且满足 j r y f 口 盯2 6 1 f 胛 i f u 2i i 口和n 3 叠 3 2 6 巾嗣石油人学 华东 硕士学位论文 这里对实数d 函数九 口 2 6 卜 r 定义为 九 f 蠢 d 矗 掰 d 2 6 其中 p l 如 彰 露 2 6 证明 由条件 a 易知 s 西 乞c 搿 3 2 7 其中只 取 pll l 引l 使得 s 妒 c 妒 3 2 8 显然 如果条件 b 1 成立 则易知 3 2 8 成立 这里p 呀 如果条件 b 2 满足 则对l i 撑 存在k 0 和参 1 7 q 使得 丛型趔 墨 3 2 9 令厶 m 墼 l f 彪 南 3 2 9 知 对每一个l 露和菜一个灭f l 2 刀 o 菇 有 趣 s 毫 茧鞋j 娃 0 3 3 0 令屏 1 f s 刀 满足 肛 一m 扣冲 洚3 并设 户 蹬辟 3 3 2 对u p p f 豳 口2 西 由式 3 3 0 3 3 1 3 3 2 及 3 2 4 可知 叠毯g 2 麓 f 瓣黛 s 麓 s g 国 口 纽 巍hi c r 秘 g s 妇 皇 毒掰 筮 3 第二三章 阶动力方程组边值问题的正解 勰 j 聃 厶 毒夕沁 必 l 缶p j s q p 去一每 每p 2 p 1 f s 刀 因此 l i 鼬i f 或鼬 e 于是得 3 2 8 证得 令么 p 户 4 4 的内部 4 p u 只 则分别由 3 2 8 3 2 7 可知 s 彳 c 么 s 彳2 c 4 由 3 2 7 得s 4 2 因此可知s 在彳2 u 中没有不动点 为了运用定理3 5 还需证明s 4 u 且s 在4 u 中没有不动点 为此 设u 4 由函数九的定义知 s p y s 口 盯2 6 f 1 2 1 3 3 3 由条件 c 和 3 3 3 得 r g u s 是r g 岛s w 鲁f 即 吣沁 之譬 煦 fg f s w o 厶 只二值 口 圳七 77 3 3 5 此外 由 3 2 4 得 对于f 口 仃2 6 中国石油大学 华东 硕士学 奇 论文 s u r rg f 占 v j 咖 仃 s 丛 综合 3 3 5 和 3 3 6 有 黼 r g 咏s 苦缸f e 口 f r f 妇 办 f 鼬o 办o r 口 仃2 6 因此鼬 队 这意味着s 4 uc 4 且s 在4 u 中没有不动点 3 3 6 3 3 7 由定理3 7 知 3 1 3 2 至少存在三个正解u 1 u 2 u j 尸p 使得 3 2 6 成立 口 3 3 第四章 一类有理差分办程的全局吸引性 第四章一类有理差分方程的全局吸引性 4 1 引言和引理 数学上 连续结果与离散结果有时是可以相通的 因此 把微分方程的结果离散化 有时就能得到相应差分方程的结果 然而 差分方程与其相应微分方程之间存在许多差 异 甚至是本质上的差异 本章就研究测度链的特例 差分方程 主要是一类有理差 分方程的全局吸引性 对形态各异 即使较为简单的分子分母各为一次多项式的有理型差分方程 其性质 的研究也常常是很困难的 因此 有理型差分方程的稳定性理论 尤其是全局吸引性 全局渐近稳定性等 近来受到许多关注 一些工作可参见 3 2 3 5 等 对有理型差分方 程平衡点x 全局吸引性或者全局渐近稳定性的研究 目前用得较多也较有效的方法是分 析半环 取上极限与下极限的方法 寻找有效的手段研究有理型差分方程的全局吸引性 或者全局渐近稳定性还有待于进一步探索 本章考虑差分方程 监必芷盟兰血型鱼坐z 出 刀 o 1 4 1 y 一k y 一l 七y l y 一m 七y m y n k n 其中口 0 卫 l 儿l o 叫 并且1 七 朋 近年来 对有理差分方程性质的研究引起了人们的广泛关注 对于如上差分方程的 研究就是由近期的一些结果得到的启发 在 3 6 3 7 中 李义先研究了差分方程 x 墨 益 2 益兰 墨 益 2 益曼 毛 l 2 x 一l 屯 一2 一4 1 和 x 益 2 盏 益兰 益 2 益曼 益兰 一2 以 3 毛 2 x 4 x n 一3 毛一4 l 并证明了平衡解的渐进稳定性 从而启发了k s b 蛐和s s t 晰c 3 8 研究更一般的差分 方程 中国石油大学 华东 硕士学位论文 k 五盛盛五竖d 玉粤 x n k x n 一 x n k x n m x n i x n m l 其中 小 儿 o 并且1 露 z 小 证明了其正解的渐进稳定性 在 3 6 3 7 中 李先义还研究了差分方程 和 无 五盛盛生玉立立t 半 一l 毛 2 以一i 3 毛一2 毛一3 j 口 以 至鱼k 兰芷立盎立 尝 毛毛一l 毛毛一3 吒一l 毛一3 l 口 的全局稳定性 作者由此受到启发研究了形如 4 一1 的差分方程 文 4 2 中k 锄n e 山 s b 渊b a u t 等人提出了关于方程 4 1 中的口 o 时 方程的全局 吸引性的猜想 文 3 8 对猜想给出了证明 我们在没有看到该文时 独立地证明了该猜 想 后来对更一般的方程 4 1 讨论了平衡解的全局吸引性 给出了关于猜想类似的结论 下面我们先建立三个所需的引理 定义以 的变换序列如下 h 咒 1 并2 仁咒 o 时 关于x 单调递增 2 当 一1 0 一1 0 时 厂关于工单调递减 该引理由昙厂 毛弘z 垒三等筹宅号兰警容易证之 出l 删 馏 戤 h 口厂 弓i 理4 2 l 虻 姚钞 t y 一 y 4 3 第1 j q 章一类有理差分方程的全局吸引性 证明 由 y n k y l y m y n k 七y l y 一m 七a b 一k y n 1 y 一l y n y n m y n k 1 槲一1 以 一1 一1 可知以与1 的关系可由y 哪 儿 儿一 与1 的关系确定 令x m a x 钞 y y 一 我 们考虑如下8 种情形 f 情形 1 y 柚 1 y f 1 以一 1 咒 1 由 2 和引理1 可得 j j 监监訾芷监型趔掣 y n k y 1 yn i y n m 七y n m y n k a 一y n k yn y 一m 七y n k 七y n 1 y n m a 二二 一 yn k y n i y 1 yn m 寺y n m y n k 七i a 型 兰 兰 上 曼 一 砂n y y y 埘工 l 口 工3 3 x 口 一 一3 x 2 1 口 sx 情形 2 y 一t 1 y 1 j 一 1 y l y n 2 y n 羔 羔 f 型 兰 兰 型 兰 里 竺 y k y 1 y n l y m y n m y 一k n 11 11 y 了一 y 一孟 了一 口 z 2 之 型兰 型之 11l1 j 一l 7 一 7 一 r 广 月 i l 口 yn l y ly b qy m 情形 3 y l y 一 1 y 一 1 y l 类似于情形 1 2 可得zs 工 口一口 一 x 一13 一 一2 x 一3 x 一 一 中国石油大学 华为i 硕士学位论文 情形 4 j 一i 1 y 一 1 j l y l 类似于情形 1 2 可得正 工 情形 5 y l y 一 l j 1 y l l y 2 2 y y k y l yq l yr m y n m yn k n y k yn l y 一m yn k y n 1 yn m a 1l y n k y n i y n 一 f 一 一y k l n 21 翌 21 型 1 1 y 一k y t l f 一七 h k 七 一 七 f 一 n y n my n m 丝童匕型丝 苎 兰z 丝 l 丝 墨 必 堡 y n k yn l y n i y n 七yn m y t k i y n m 三兰 堡 苎 羔 苎 型 璺 一 x 秽 一 y 一m 工 l 缈 三 查 型二 一3 x 2 l 缈 肘 y 1 青形 6 y l y 一 l y m l j 1 类似于情形 5 可得z z 情形 7 y t l y 一f l y 1 y 1 类似于情形 5 可得y x 情形 8 y 七 1 y s 1 y 1 y 1 d y 上 y y n k yr 1 七y y n m yq m y n t a y k yn 一 y n m y 一k y 一 七y m m 七n 1lll11 了一 7 一 7 一 7 一十l 口 兰 兰 羔 型兰 里羔 ll1111 f 7 一 一 7 一 7 一 口 h ky 一lym m yn k y n l yn m 3 7 第四章 一类有理差分方程的全局吸引悄 辱进必嘻警型些 阜 华掣掣每 y n k y n l y n l y n m y n m yq k l 1 y n k yn l y n m x x x x 掣n k y n i y m x j c 戤 l 纱 一i y h 一 j 一删 3 x 缈 一 y 一y 一 爵甭i 瓦磊 x 3 3 x 口 1 那么对任意的占 o d 都可以找到一个 使得y d d 并且当f 一m 时 y 1 d s 这里同样分引理4 2 证明过程中的8 种情形来证明d l 情形 1 y 1 y 1 y 一 1 y 1 由引理4 2 可得 y 巩 岩冀者冀舞y h k y n 一 yn l y n m yn m y p kt 卜十u 3 8 中国石油大学 华东 硕士学位论文 所以 o 的任意性可得d 1 d 一1 坐 望 2 2 d 2 2 d 口 情形 2 y 一 1 y l y 一 1 y 1 d z 咒 上吐丝 f 2 皇芝三匕生 匕i 匕 兰旦 y k y n l y n i y n m 七y n m y p k 七 七a 由此可得 1l 11 y h 了一 y 月一i 7 一 口 羔 翌 型兰 里 1111 y n 一女 了一 7 一 r y h 一七 l 口 y n ly n y n m y n m 匕 l z 2 f z 塑 匕 兰g 罂 型2 巴 yn k y m l y n 一 y n m 七y n m y n k 七l l yn 一 y n m 3 哆n 1 y n m 七x 七y n 1 七y n m 七c 嗲n 一 y n m 哆n l y n l y n m y n m x l c 嗲n l y n m d s 3 3 d s 回c z 坍 i 3 j d 占 2 1 q 圪一y 一 d 一1 s 坐 二 堕 2 d 2 2 d 口 由占 0 的任意性可得d 1 情形 3 j 1 y 一 l y l j 1 d z 只 兰2 羔 兰 里 z 型 羔 罂 y 一k y 1 y y n m y m y 一k 1 n 3 9 第用章一 类有理羞分力 程的全局吸引性 由此可得 f 7 一y h 一所 7 一 y h m 口 2 兰 之 兰 y 一y 1 口 f 了一十 了一y 月一研 y n 吲 了一 j 口 y n kyn ly t 一 yn k 上 三2 f 上 璺 上2 上g f 上2 璺 型 上 f y n t y n y n l y m 七y n m y k 七l c 哕 k y 一t c 上 匕 三 匕 匕 兰 璺二 匕 f y p k y n l 七y n i x 码 n k 七l c l y p k y m t 塑 丛 坌 1 2 互 立 3 d 占 2 l 匈 一t 虻 o 的任意性可得d 1 情形 4 y 一女 l y 一f 之l y 一 l y l d s 试 y 羔2 上 兰 堕 1 2 兰 f 羔 型 y k y n 1 七y 1 y m 七y 一m y n k n 1 l1 1 了一y h 一 r 7 一十y 月 口 一y n k yn myn yn 叫 l 1 1