线性代数课件第三章.ppt

第二章矩阵的初等变换与线性方程组 1 矩阵的初等变换 2 矩阵的秩 3 线性方程组的解 以Em ij k 左乘矩阵A aij m n 相当于把A的第j行乘数k加到A的第i行上 ri krj 类似地 以En ji k 右乘矩阵A aij m n 其结果相当于把A的第j列乘数k加到A的第i列上 ci kcj 五 行阶梯形矩阵 经过初等行变换 可把矩阵化为行阶梯形矩阵 其特点是 可画出一条阶梯线 线的下方全为0 每个台阶只有一行 台阶数即是非零行的行数 阶梯线的竖线 每段竖线的长度为一行 后面的第一个元素为非零元 也就是非零行的第一个非零元 六 行最简形矩阵 经过初等行变换 行阶梯形矩阵还可以进一步化为行最简形矩阵 其特点是 非零行的非零首元为1 且这些非零元所在列的其它元素都为0 八 矩阵的秩 若在矩阵A中有一个r阶子式D非零 且所有的r 1阶子式 如果存在的话 都为零 则称D为矩阵A的一个最高阶非零子式 称数r为矩阵A的秩 记作R A 矩阵秩的定理 如果A中有一个r阶子式非零 则R A r 如果A的所有的r 1阶子式都为零 则R A r 行阶梯形矩阵的秩等于非零行的行数 若A为n阶可逆矩阵 则 1 A的最高阶非零子式为 A 2 R A n 3 A的标准形为单位矩阵E 4 A E 性质1 0 R Am n min m n 性质2 R AT R A 性质3 若A B 则R A R B 性质4 若P Q可逆 则R PAQ R A 性质5 max R A R B R A B R A R B 特别当B b时 R A R A b R A 1 性质6 R A B R A R B 性质7 R AB min R A R B 性质8 若Am nBn l O 则R A R B n 矩阵秩的性质 把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵 行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩 注意 行变换与列变换不能同时进行 2 初等变换法 1 利用定义 矩阵的阶数 求矩阵秩的方法 寻找矩阵中非零子式的最高阶数 九 线性方程组有解判别定理及解法 齐次线性方程组的解法 系数矩阵化成行最简形矩阵 便可写出其通解 非齐次线性方程组的解法 增广矩阵化成行阶梯形矩阵 便可判断其是否有解 若有解 化成行最简形矩阵 便可写出其通解 定理1 n元线性方程组Am nx b 1 无解的充分必要条件是R A R A b 2 有唯一解的充分必要条件是R A R A b n 3 有无穷多解的充分必要条件是R A R A b n 把行最简形中r个非零行的非零首元所对应的未知量取作非自由未知量 其余n r个未知量取作自由未知量 并令自由未知量分别取c1 c2 cn r 由B 或A 的行最简形即可写出含有n r个参数的通解 初等变换法解矩阵方程 或者 1 AX B 2 XA B 注意 用初等行变换求逆矩阵时 必须始终用行变换 其间不能作任何列变换 同样地 用初等列变换求逆矩阵时 必须始终用列变换 其间不能作任何行变换 例3 当a取何值时 下述齐次线性方程组有非零解 并且求出它的通解 解法一 系数矩阵A的行列式为 当a 1时 把系数矩阵A化成最简形 从而得到方程组的通解 k为任意常数 当a 1或者a 2时 A 0 方程组有非零解 当a 2时 把系数矩阵A化成最简形 从而得到方程组的通解 k为任意常数 解法二 用初等行变换把系数矩阵A化为阶梯形 当a 1或者a 2时 R A 4 此时方程组有非零解 可仿照解法一求出它的解 例3 求解非齐次方程组的通解 答案 例 设矩阵且R A 3 求k 答案 k 3 例4 求矩阵 的逆矩阵 注意 用初等行变换求逆矩阵时 必须始终用行变换 其间不能作任何列变换 同样地 用初等列变换求逆矩阵时 必须始终用列变换 其间不能作任何行变换 答案 课后题6 设 且AX A 2X 求矩阵X 答案 课后题16 取何值时 非齐次线性方程组 1 有唯一解 2 无解 3 有无穷多个解 课后题17 非齐次线性方程组 当取何值时有解 并求出它的通解 课后题18 设 问取何值时 此方程组有唯一解 无解或无穷多解 并在有无穷多解时求其通解 A 存在且唯一 B 存在但不唯一 C 不存在 D 存在与否不确定 4 设B是数域K上的n阶可逆矩阵 对应K中任意n个数b1 bn 线性方程组的解 2009年期末考题 二 填空题 每题3分 共12分 1 设则 2009年期末考题 七 10分 求非齐次线性方程组 的通解 2009年期末考题 一 单项选择题 每题4分 共16分 1 设A是矩阵 B是矩阵 则 A 当m n时 必有行列式 B 当m n时 必有行列式 C 当n m时 必有行列式 D 当n m时 必有行列式 2010年期末考题 2 已知P为3阶非零方阵 且满足PQ 0 则 A t 6时 P的秩必为1 B t 6时 P的秩必为2 C 时 P的秩必为1 B 时 P的秩必为2 2010年期末考题 2 设A B为n阶非零方阵 且AB O 则A和B的秩 A 必有一个为零B 都小于nC 一个小于n 一个等于nD 都等于n B 2009年期末考题 线代I 2009年期末考题 线代II 1 设A与B均为n阶方阵 则下列结论中成立的是 AB 0 则A 0或B 0 B AB 0 则 A 0或 B 0 C AB 0 则A 0或B 0 D AB 0 则 A 0或 B 0 B 2010选考题 2010选考题 4 设非齐次线性方程组Ax b有n个未知量 m个方程 且R A r 则此方程组 A 当r m时 有解 B 当r n时 有唯一解 C 当m n时 有唯一解 D 当r n时 有无穷多解 2008年期末考题 I 2008年期末考题 II 1 若方程组 m n 对于任意m维列向量b都有解 则 R A n B R A m C R A n D R A m 六 10分 求方程组 的通解 2008年期末考题 I 2 已知A B 0 B为3阶矩阵 且AB 0 则t A 9 B 27 C 18 D 27 2008年期末考题 II 例 设 求为何值时齐次线性方程组只有零解线性方