王莉考研数学复习教程概率统计部分习题解答(数三).docx

强化训练（一）1设事件满足，考虑以下结论：A发生，B必发生； A不发生，B必不发生；B发生，A必发生； B不发生，A必不发生其中正确的个数为（A） （B） （C） （D）详解由条件可知，所以可知B发生，A必发生，以及A不发生，B必不发生，也就是命题是正确的，所以正确答案是（C）2设随机事件A与B互不相容，且，则下列结论中一定成立的是（A）互不相容 （B）相容（C）A与B相互独立 （D）A与B不独立详解 由条件随机事件A与B互不相容可知，但，也就是，所以A与B不独立；另外，当A与B互斥时，互不相容，否则相容，所以选项（A），（B）都不是必然成立3设当事件A与B同时发生时，事件C必然发生，则（A） （B）（C） （D）详解由条件可知，所以；又，所以可知，也就是（B）是正确的4设事件A，B，C满足，且，则有（A） （B）（C） （D）详解由条件可知事件A，B相互独立，所以事件也相互独立，从而，所以（A）是正确的5已知，则有（A） （B）（C） （D）详解，所以（D）是正确的65人以抽签的方式决定谁得一张电影票设表示事件“第个人抽得电影票”，则下列结果中不正确的是（A） （B）（C） （D）详解，所以结果不正确的是（A）7甲、乙、丙3人依次从装有7个白球，3个红球的袋中随机取出1个球，已知丙取得了红球，则甲、乙取到不同颜色球的概率为详解设分别表示事件“甲、乙、丙3人取得红球”，表示事件“甲、乙取到不同颜色球”，则，所求概率为8检验一批产品丹凤 每次取到1个次品的概率为，则在取到2个次品之前已经取到3个正品的概率为详解 取到2个次品之前已经取到3个正品相当于检验前4次取得三件正品，一件次品，同时第五次检验取到次品，所以概率为9设A，B为两个随机事件，且，则10设A，B为两个随机事件，且，则 详解，解方程得11已知，事件A与B相互独立若事件C发生必然导致A与B同时发生，则A，B，C都不发生的概率为 详解由条件可知（1）（2）所以A，B，C都不发生的概率为12设事件A，B，C两两独立，且，已知事件A，B，C至少一个发生的概率为，则 详解 事件A，B，C至少一个发生的概率为解方程，得，或者注 书中只给出了，是丢了条件13设10件产品中有3件次品，每次从中任取1件进行测试，直到3件次品均被取出为止，则第7次取到最后一件次品的概率为详解 第7次取到最后一件次品相当于前6次取得4件正品和2件次品，并且第7次刚好取到次品，由乘法公式，知14在矩形区域中任取一点，则使关于的方程有两个实根的概率为详解这是一个几何概率，方程有两个实根的充分必要条件是，画出可得方程有两个实根的概率为15从共8个字母中任意取出3个不同字母，则3个字母中不含有但含有的概率为；3个字母中不含或的概率为16袋中有5个乒乓球，其中2个白球，3个黄球现依次从袋中各取一个球，取后不放回，结果第2次取到黄球，则第1次取到白球的概率为详解用表示事件“第次取到球为白球”，表示事件“第次取到球为黄球”，所求为17已知40件产品中有3件次品，现从中随机取出两件产品（1）取出的两件产品中至少有一件是次品概率为；（2）取出的两件产品中有1件次品，另一件也是次品的概率：（这是一个条件概率）（3）已知取出的两件产品成本中第一件是次品，则第2件也是次品概率；（4）第一次取到次品的概率；第二次取到次品概率（从抽签公平性也可知道和第一次取到次品的概率是一样的）第二次才取到次品概率18某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意拨号，假设他拨过了数字不重复，试求下列事件概率（1）拨号不超过3次而拨通的概率：（2）第三次才拨通的概率19100个产品中，次品率为10%现接连从中不放回地取两个（1）第二次才取到正品概率（2）已知第一次没取到正品，求第二次取到正品的概率（3）不超过2次取到正品的概率20解：用表示“抽到的一批产品中含有件次品”，B表示事件“产品通过检查”则由全概率公式可知21解：用分别表示事件“随意取一箱取到第1，2箱”；用表示事件“第1，2次取出的零件是一等品”（1）（2）所以，在先取出一件为一等品的条件下，第2次零件也是一等品的概率为22解：设表示事件“随意取出一箱中含有0，1，2件次品”，B表示事件顾客买下玻璃杯”则（1）（2）在顾客买下后，确实没有次品的概率：23设有白球与黑球各4个，现从中任取4个放入甲袋，剩下4个放入乙袋中，然后分别在两袋中各任取一个球，其颜色正好相同，试问放入甲袋中4个球中有几个白球的概率最大？并求出此概率值解：设放在甲袋中有个白球，有个黑球，其中，则分别在两袋中各任取一个球，其颜色正好相同的概率分别为则，所以当时，概率最大在已知分别在两袋中各任取一个球，其颜色正好相同的条件下，放入甲袋中有两个黑球的概率为（贝叶斯公式）24甲袋中有9个白球和1个黑球，乙方袋中有10个白球，每次从甲、乙中各取一个球进行交换放入另一袋中，这样进行了3次，求黑球仍然在甲中的概率解：由于要求黑球仍然在甲中，所以黑球被交换的次数应该为偶数，也就是交换了0次或者2次所以所求概率为25.解：由曲线所成的图形的面积为；区域D的面积为，由几何概率可知，随机投入一点，落在由曲线所成的区域内的概率为，投入10个点，至少2次落入由曲线所成的区域的概率为26解：系统由3个元件组成的情况下，系统正常工作的概率为系统由5个元件组成的情况下，系统正常工作的概率为所以当时，强化训练（二）一、 选择题1 考核点：是随机变量的分布函数，则必须满足所以选项中只有（A）是满足的注 此题其实应该改为：“则可能的取值为”更好一些！2 考核点：是随机变量的分布函数必须满足：（1）；（2）在是个不减的非负函数；（3）在任意点应该是右连续的，即对于此题，选择项（A）中的不是单调函数；（C）中；（D）中，所以都是错误的3注意：通过观察，随机变量X是个连续型的随机变量，这时分布函数在内应该满足连续（不仅右连续） ；在处连续（不仅右连续），则；在处连续，则所以4解；所以与无关（C）是正确答案5解：的分布函数（1）当时，显然；（2）当时，（3）当时，所以可知为的踊跃间断点，故（D）是正确的6解：随机变量，则分布函数，从而，而对于标准正态分布，有，所以选择项（D）是正确的7解：随机变量的分布函数（1）当时，；（2）当时，；（3）当时，所以（A）是正确的8解：同理，；由条件可知所以（B）是正确的二、 填空题9解：由概率密度函数的性质可知10解：由概率分布的性质所以11解：由于，所以所以12解：三个变量中任何一个落在区间的概率为；由于三个变量相互独立，所以可以看成一个二项式分布至少有一个落在区间的概率为13解；由于服从指数分布，所以，14解：，由条件可解得15解；方程没有实根的概率相当于判别式的概率所以16解：由条件可得，此时随机变量的概率密度函数为，也就是由正态分布概率的计算可知：三、 解答题19解：（1）由概率密度函数的性质可知（3）分布函数（2）20解：（1）由概率密度函数的性质可知（2）分布函数（3）X落入概率为21解：（1）由概率密度函数的性质可知；由条件可知，解方程组，得；分布函数22解：（1）两次故障之间的时间间隔的分布函数为当时，当时，显然所以概率密度函数为，是个指数分布。（2）由于指数分布的无记忆性，所以在设备已经无故障工作8小时情况下，再无故障工作8小时的概率与设备无故障工作8小时概率完全一样。为。23解：设三个元件的无故障工作时间分别为，则三个都服从参数为的指数分布，且相互独立，电路正常工作时间为则的分布函数为（1）当时，显然为（2）当时，24随机变量函数的分布列为25解：随机变量的分布函数为（1）当时，（2）当时，所以概率密度函数为26解；（1），概率密度为（2）的分布函数为当时，显然；当时，所以概率密度为27解：如右图随机变量X的概率密度为的分布函数为（1）当时，（2）当时，（3）当时，所以概率密度函数为强化训练（三）5解：由于随机变量X，Y相互独立且都服从，所以可知这样，所以（A）、（B）错误；，所以（C）是正确的；，所以（D）也是错误的。6解：由于是个二维正态分布，所以两个边缘分布也都是正态分布，且，又由于相关系数，可知相互独立，从而有结论：，这样，也就是（C）中的结论是错误的，也是本题正确选择项。7解：的分布函数为，所以求导后得到概率密度函数，应该选择（B）8解；分析题目后得到结论：（X，Y）只在两个线段上的概率密度不等于0，其余都是0，也就是联合概率密度为：所以的分布函数为（1） 当时，；（2） 当时，；（3） 当时，；（4） 当时，显然分布函数是个连续的函数，没有间断点，应该选（A）二、填空题16解：（1）由联合概率密度的性质，有所以；（2）先求边缘概率密度当时，；当时，所以。再求边缘概率密度当时，；当时，。所以。由于当进，所以X，Y不相互独立。17解：21解：由条件可知，当时，（1）所以（X，Y）的概率密度函数关于Y边缘概率密度当时，；当或时，（2）。（3）求的概率密度先求分布函数当时，显然当时，显然当时，所以概率密度21解：由题意可知随机变量X是个离散型随机变量，概率分布为；而随机变量Y是个均匀分布，概率密度函数为。由于相互独立，所以（X，Y）的概率分布如图所示。22解：的分布函数做定积分的换元，令，则所以，经求导得到所求概率密度为。23解：（1）串联系统时，此时的分布函数当时，当时，显然（2）并联系统时，此时相当于，求得的分布函数为（3）备用系统时，相当于强化训练（四）1解：所以，（A）是正确的。2解：，所以由条件可知线性不相关。（D）选择项是正确的。3解：所以，所以（D）是正确的。4解：注意，所以（B）正确；另外：，所以（A），（C）也正确，只有选择项（D）是错误的，刚好是此题答案。5解：由于在处连续，又有，所以可知；故（B）选择项是正确的。6解：由于，所以从而有此题正确答案是（D）7解：随机变量都服从正态分布，也不一定服从正态分布，也不一定服从二维正态分布，所以即使有条件也不能保证相互独立，也就是选择项（C）X，Y不一定独立是正确的。8解：，；所以；而从而，（A）是正确答案。15解：（1）由概率密度的性质，有所以；。（2），所以不相关。（3）显然不独立，因为是关于的函数，随着改变，相应改变。从计算角度也可以证明：因为，所以显然不独立。16解：以表示该汽车首次停车前已经通过路口的个数，则X可能的取值为，且则有；17解：如右图根据U，V定义可计算得到（注意：复习教程上的答案有些错误）U V-11-10.2500.2510.250.50.750.50.5计算可得；（2）随机变量的概率分布为U+V-202P0.250.250.5计算可得：（3）从而18解：；所以；。19解：复习教程上的答案好象又错了！（1）；（2）20解：（1），（2）（3）由于，所以不相关。但在区间内两个边缘概率密度分别为显然，所以不独立。21解：而所以（2）当时，相互独立，也就是当时，相互独立。22解；（1）显然另外，所以线性相关，且。，所以X，Y不相互独立。，计算可得，所以不相关。（2）令计算可得，所以23假设在国际市场上每年对我国某种出口商品的需求量X，服从区间上的均匀分布。每销售1吨赚3万，不销售需要保养费1万元，问组织多少货源才能使国家获益最大？解：设Y表示国家收益，假设组织货源吨，则，则由题知X的概率密度函数为于是Y的期望显然，当吨时，最大，所以应该组织货源3500吨才能使国家获益最大。强化训练（五）一、选择题1设随机变量相互独立同分布，且令，则对任意的，根据切比雪夫不等式可得：解：，则数学期望，所以由切比雪夫不等式可得：。（B）是正确答案。2设相互独立同分布，且，则根据独立同分布的中心极限定理，当充分大时，近似服从的正态分布为：解：设，则，所以根据独立同分布的中心极限定理，当充分大时，近似服从的正态分布为。（D）是正确答案。3解：只要注意应用辛钦大数定律时要注意条件：（1）独立同分布（2）数学期望存在。只有（C）先项同时满足这两个条件，所以是正确的。先项（A）缺少同分布这个条件，而（B）、（D）这条件下虽然保证了独立同分布，但并不能保证数学期望的存在。4设随机变量，当时，根据独立同分布的中心极限定理和贝努利大数定律，可知依概率收敛于两点分布的期望；服从正态分布，所以可知四个命题中只有这两个是正确的，应该选择（B）。二、填空题5解：根据要比雪夫不等式，6解：，根据切比雪夫不等式知（复习教程上的参考答案好象是错误的）！7解：由于相互独立且服从参数为的指数分布，所以；，所以当时，可知依概率收敛于；依概率收敛于。8解：设，则，当时，9解：，且独立同分布，由中心极限定理，可知，所以些题中。10解；设11解：设表示“装运的第i箱的重量”，则相互独立且同分布，总重量由独立同分布的中心极限定理知由题目要求可知即，解得，故最多装98箱。强化训练（六）解：显然，所以（C）中含有未知参数，不是统计量。解：由于题中不知道随机变量是否相互独立，当然也不确定是否相互独立，所以（A）、（C）、（D）都不正确。对于（B），是正确的。解：应该熟悉结论相互独立。所以有，也就是（A）、（B）、（C）都是错误的。对于（D）：，所以是正确的。解：，所以（A）错误；，所以（B）错误；，所以（C）是错误的。，所以（D）是正确的。解：所以；。只有是正确的。注意：在中，除了之外的随机变量都与独立，当然协方差都是0。所以，所以（A）是正确的。而，（C）、（D）都错误。解：（A）是错误的。虽然可以证明正态总体下是正确的，但不能想当然！（B）也是错误的。虽然不论总体服从什么分布，样本方差是总体方差的无偏估计，也就是，但不要当然认为，这是错误的。（C）当然错误，一般来说，样本方差不是极大似然估计，反例非常好找。（D）是正确的。只要注意，当时，所以对任意的正数，有当时，显然有，也就是是的一致估计量。解：所以，（B）是正确的。解：，同理，所以此题中，自由度为。解：解：此题有误！因为并不满足相互独立的条件。应改为，故 ，从而，所以时，服从分布。第2问去掉。12解：总体的数学期望，令，可得矩估计量为。13解：矩估计量为，极大似然估计量为这个结论最好记住。14解：经计算可得所以：15解：16解：（1）因为独立同分布，所以也满足独立同分布