陕西省西安市西北工业大学附中高考数学二模试卷 理（含解析）.doc

陕西省西安市西北工业大学附中2015届 高考数学二模试卷（理科）一.选择题：（512=60）1（5分）已知a=x|xk，b=x|1，若ab，则实数k的取值范围为（）a（1，+）b（，1）c（2，+）d2，+）2（5分）复数z=的共轭复数=（）a2+ib2ic1+2id12i3（5分）设f（x）是定义在r上的奇函数，当x0时恒有f（x+2）=f（x），当x0，2时，f（x）=ex1，则f+f（2015）=（）a1ebe1c1ede+14（5分）在锐角三角形abc中，bc=1，b=2a，则的值等于（）a3b2c2d05（5分）一个算法的程序框图如图所示，若输入的x值为2015，则输出的i值为（）a3b5c6d96（5分）“a=b4”是“直线y=x+2与圆（xa）2+（yb）2=2相切”的（）a充分不必要条件b必要不充分条件c充要条件d既不充分也不必要条件7（5分）已知向量与的夹角为120，则等于（）a5b4c3d18（5分）设sn为等差数列an的前n项和，给出四个结论：（1）a2+a8a10（2）sn=an2+bn（a0）（3）若m，n，p，qn+，则am+an=ap+aq的充要条件是m+n=p+q（4）若s6=s11，则a9=0其中正确命题的个数为（）a1b2c3d49（5分）已知双曲线=1（a0，b0）的左、右焦点为f1（c，0），f2（c，0），若直线y=2x与双曲线的一个交点的横坐标为c，则双曲线的离心率为（）a+1b+1c+d10（5分）若a0，b0，lga+lgb=lg（a+b），则a+b的最小值为（）a8b6c4d211（5分）若二项式（）6的展开式中的常数项为m，则=（）abcd12（5分）定义在0，+）的函数f（x），对任意x0，恒有f（x）f（x），a=，b=，则a与b的大小关系为（）aabbabca=bd无法确定二填空题：（54=20）13（5分）一个类似杨辉三角形的数阵：则第九行的第二个数为14（5分）某班班会，准备从包括甲、乙两人的七名同学中选派4名学生发言，要求甲、乙两人中至少有1人参加，则甲、乙都被选中且发言时不相邻的概率为15（5分）已知满足条件的动点（x，y）所在的区域d为一直角三角形区域，则区域d的面积为16（5分）已知函数f（x）对一切实数a、b满足f（a+b）=f（a）f（b），f（1）=2，（且f（x）恒非零），数列an的通项an=（nn+），则数列an的前n项和=三.解答题：（125+10=70）17（12分）已知函数f（x）=sin（x+）cos（x+）+sin2（x+）（0）的图象经过点（，1）（1）求f（x）（2）在abc中，a、b、c的对边为a、b、c，a=，sabc=2，角c为锐角且f（）=，求c边长18（12分）某同学参加语、数、外三门课程的考试，设该同学语、数、外取得优秀成绩的概率分别为，m，n（mn），设该同学三门课程都取得优秀成绩的概率为，都未取得优秀成绩的概率为，且不同课程是否取得优秀成绩相互独立（1）求m，n（2）设x为该同学取得优秀成绩的课程门数，求ex19（12分）如图，在底面为菱形abcd的四棱柱abcda1b1c1d1中，abc=60，aa1=ab=2，a1b=a1d=2（1）求证：aa1面abcd（2）若点e在a1d上，且=2，求二面角eacd20（12分）椭圆+=1（ab0）的左、右焦点为f1、f2，离心率为，过点f1的直线l交椭圆于a、b两点，af2b的周长为8（1）求椭圆方程（2）若椭圆的左、右顶点为c、d，四边形abcd的面积为，求直线l的方程21（12分）已知函数f（x）=alnxax3（ar）（1）求f（x）的单调区间（2）设a=1，求证：当x（1，+）时，f（x）+20（3）求证：（nn+且n2）请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一个题目计分【几何证明选讲】22（10分） 如图，ab是o的直径，c、f是o上的点，ac是baf的平分线，过点c作cdaf，交af的延长线于点d（1）求证：cd是o的切线（2）过c点作cmab，垂足为m，求证：ammb=dfda【极坐标系与参数方程】23已知曲线c的参数方程为（为参数），以直角坐标系原点为极点，ox轴正半轴为极轴建立极坐标系（1）求曲线c的极坐标方程（2）若直线l的极坐标方程为（sin+cos）=1，求直线l被曲线c截得的弦长【不等式选讲】24已知函数f（x）=|xa|（1）若不等式f（x）3的解集为x|1x5，求实数a的值；（2）在（1）的条件下，若f（x）+f（x+5）m对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围陕西省西安市西北工业大学附中2015届高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一.选择题：（512=60）1（5分）已知a=x|xk，b=x|1，若ab，则实数k的取值范围为（）a（1，+）b（，1）c（2，+）d2，+）考点：集合的包含关系判断及应用 专题：计算题；集合分析：化简集合a，b；再由ab可求得实数k的取值范围解答：解：b=x|1=（，1）（2，+），a=x|xk=k，+），又ab，k2；故选c点评：本题考查了集合的化简与集合包含关系的应用，属于基础题2（5分）复数z=的共轭复数=（）a2+ib2ic1+2id12i考点：复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算 专题：计算题；数系的扩充和复数分析：首先化简z=1+2i，从而求共轭复数解答：解：z=1+2i；故=12i； 故选：d点评：本题考查了复数的化简与共轭复数的求法，属于基础题3（5分）设f（x）是定义在r上的奇函数，当x0时恒有f（x+2）=f（x），当x0，2时，f（x）=ex1，则f+f（2015）=（）a1ebe1c1ede+1考点：函数奇偶性的性质 专题：函数的性质及应用分析：利用函数的性质得f（2015）=f=f（1），f=f（0），再求得f（0）、f（1）的值，可得答案解答：解：当x0，2时，f（x）=ex1，又f（x+2）=f（x），函数的周期是2，又函数f（x）是定义在r上的奇函数，f（2 015）=f=f（1）=1e，f（0）=0，f=f（0）=0，f+f（2015）=1e，故选：a点评：本题考查了函数的周期性、奇偶性及应用，熟练掌握函数的奇偶性、周期性的定义是关键4（5分）在锐角三角形abc中，bc=1，b=2a，则的值等于（）a3b2c2d0考点：正弦定理 专题：计算题分析：利用正弦定理表示出=，把bc的长及b=2a代入，其中的sin2a利用二倍角的正弦函数公式化简后，变形可得所求式子的值解答：解：由bc=1，b=2a根据正弦定理得=，即=，则=2故选b点评：此题考查了正弦定理，二倍角的正弦函数公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键5（5分）一个算法的程序框图如图所示，若输入的x值为2015，则输出的i值为（）a3b5c6d9考点：循环结构 专题：图表型；算法和程序框图分析：根据题意，模拟程序框图的执行过程，求出输出的结果是什么解答：解：模拟程序框图执行过程，如下；开始，输入x：2015，a=x=2015，i=1，b=，bx？是，i=1+1=2，a=b=，b；bx？是，i=2+1=3，a=b=，b=2015；bx？否，输出i：3；故选：a点评：本题考查了程序框图的执行情况的问题，解题时应模拟程序框图的执行过程，属于基本知识的考查6（5分）“a=b4”是“直线y=x+2与圆（xa）2+（yb）2=2相切”的（）a充分不必要条件b必要不充分条件c充要条件d既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断 专题：直线与圆；简易逻辑分析：根据充分条件和必要条件的定义结合直线和圆相切的条件进行判断即可解答：解：若直线y=x+2与圆（xa）2+（yb）2=2相切，则圆心坐标为（a，b），半径r=，圆心到直线的距离d=，即|ab+2|=2，解得ab+2=2或ab+2=2，即a=b或a=b4，故“a=b4”是“直线y=x+2与圆（xa）2+（yb）2=2相切”的充分不必要条件，故选：a点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据直线和圆相切的条件是解决本题的关键7（5分）已知向量与的夹角为120，则等于（）a5b4c3d1考点：数量积表示两个向量的夹角；向量的模 分析：本题是对向量数量积的考查，根据两个向量的夹角和模之间的关系，用数量积列出等式，再根据和的模两边平方，联立解题，注意要求的结果非负，舍去不合题意的即可解答：解：向量与的夹角为120，=1（舍去）或=4，故选b点评：两个向量的数量积是一个数量，它的值是两个向量的模与两向量夹角余弦的乘积，结果可正、可负、可以为零，其符号由夹角的余弦值确定8（5分）设sn为等差数列an的前n项和，给出四个结论：（1）a2+a8a10（2）sn=an2+bn（a0）（3）若m，n，p，qn+，则am+an=ap+aq的充要条件是m+n=p+q（4）若s6=s11，则a9=0其中正确命题的个数为（）a1b2c3d4考点：命题的真假判断与应用 专题：等差数列与等比数列；简易逻辑分析：利用等差数列的通项公式、前n项和公式及其性质即可判断出解答：解：设等差数列an的公差为d（1）a2+a8=2a1+8d，a10=a1+9d，若a2+a8=a10，则a1=d，因此若a1d，则a2+a8a10，因此不正确；（2）sn=，若sn=an2+bn，a可以为0，因此不正确；（3）若m，n，p，qn+，则am+an=ap+aq2a1+（m+n2）d=2a1+（p+q2）d（m+npq）d=0，因此m+n=p+q是am+an=ap+aq的充分不必要条件，不正确；（4）若s6=s11，=，化为a1+8d=0，则a9=0，正确其中正确命题的个数为1故选：a点评：本题考查了等差数列的通项公式、前n项和公式及其性质、简易逻辑的判定，考查了推理能力与计算能力，属于中档题9（5分）已知双曲线=1（a0，b0）的左、右焦点为f1（c，0），f2（c，0），若直线y=2x与双曲线的一个交点的横坐标为c，则双曲线的离心率为（）a+1b+1c+d考点：双曲线的简单性质 专题：直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：联立直线方程和双曲线方程，解得交点的横坐标，得到a，b，c的方程，结合c2=a2+b2，和e=，化简整理，计算即可得到离心率解答：解：由y=2x代入双曲线方程=1，可得x=，由题意可得c=，由c2=a2+b2，化简整理可得c46a2c2+a4=0，由e=，可得e46e2+1=0，解得e2=3+2或e2=32（舍去）即有e=1+故选：a点评：本题考查双曲线的方程和性质，主要考查离心率的求法，同时考查联立方程求交点的方法，属于中档题10（5分）若a0，b0，lga+lgb=lg（a+b），则a+b的最小值为（）a8b6c4d2考点：基本不等式在最值问题中的应用 专题：计算题；不等式的解法及应用分析：运用对数的运算性质，可得ab=a+b，即+=1，则a+b=（a+b）（+），展开运用基本不等式即可求得最小值解答：解：由a0，b0，lga+lgb=lg（a+b），则lg（ab）=lg（a+b），即有ab=a+b，即+=1，则a+b=（a+b）（+）=2+2+2=4，当且仅当a=b=2时，取得等号则a+b的最小值为4故选c点评：本题考查基本不等式的运用：求最值，同时考查对数的运算性质，属于基础题11（5分）若二项式（）6的展开式中的常数项为m，则=（）abcd考点：二项式定理 专题：计算题；二项式定理分析：运用二项式展开式的通项公式，化简整理，令x的次数为0，求出m，再由定积分的运算法则，即可求得解答：解：二项式（）6的展开式的通项公式为：tr+1=，令123r=0，则r=4即有m=3则=（x22x）dx=（x3x2）=故选：c点评：本题考查二项式定理的运用：求特定项，同时考查定积分的运算，属于基础题12（5分）定义在0，+）的函数f（x），对任意x0，恒有f（x）f（x），a=，b=，则a与b的大小关系为（）aabbabca=bd无法确定考点：利用导数研究函数的单调性 专题：函数的性质及应用；导数的概念及应用分析：构造新函数，研究其单调性即可解答：解：令，则g（x）=，对任意x0，恒有f（x）f（x），ex0，g（x）0，即g（x）是在定义域上是减函数，所以g（2）g（3），即ab，故选：a点评：本题考查函数的单调性，构造新函数是解决本题的关键，属于中档题二填空题：（54=20）13（5分）一个类似杨辉三角形的数阵：则第九行的第二个数为66考点：归纳推理 专题：计算题；推理和证明分析：观察首尾两数都是1，3，5，7等为奇数，可知第n行的首尾两数，设第n（n2）行的第2个数构成数列an，则有a3a2=3，a4a3=5，a5a4=7，anan1=2n3，相加得an，即可求出第九行的第二个数解答：解：观察首尾两数都是1，3，5，7，可知第n行的首尾两数均为2n1设第n（n2）行的第2个数构成数列an，则有a3a2=3，a4a3=5，a5a4=7，anan1=2n3，相加得ana2=3+5+（2n3）=（n2）=n（n2）an=3+n（n2）=n22n+3，所以第九行的第二个数为8118+3=66故答案为：66点评：本题主要考查了数列的应用，以及利用叠加法求数列的通项，同时考查了等差数列求和，属于中档题14（5分）某班班会，准备从包括甲、乙两人的七名同学中选派4名学生发言，要求甲、乙两人中至少有1人参加，则甲、乙都被选中且发言时不相邻的概率为考点：古典概型及其概率计算公式 专题：概率与统计分析：根据题意，分2种情况讨论，只有甲乙其中一人参加，甲乙两人都参加，由排列、组合计算可得其符合条件的情况数目，再求出没有条件的种数，从而得到答案解答：解：根据题意：若甲乙两人都参加，有c22c52a44=240种情况，其中甲乙相邻的有c22c52a33a22=120种情况；则不同的发言顺序种数240120=120种，所有的发言顺序是=840种，甲、乙都被选中且发言时不相邻的概率为：=，故答案为：点评：本题考查概率的计算问题，考查组合的应用，要灵活运用各种特殊方法，如捆绑法、插空法15（5分）已知满足条件的动点（x，y）所在的区域d为一直角三角形区域，则区域d的面积为1考点：二元一次不等式（组）与平面区域 专题：计算题；作图题；不等式的解法及应用分析：作出平面区域，从而由三角形面积公式求解即可解答：解：不等式组表示的平面区域如下，在oag中，og=2，oag为直角三角形，故k=1，则由解得，x=1，故点a到直线og的距离为1，故s=12=1，故答案为：1点评：本题考查了平面区域的作法与应用，属于基础题16（5分）已知函数f（x）对一切实数a、b满足f（a+b）=f（a）f（b），f（1）=2，（且f（x）恒非零），数列an的通项an=（nn+），则数列an的前n项和=4n考点：数列的求和 专题：等差数列与等比数列分析：函数f（x）对一切实数a、b满足f（a+b）=f（a）f（b），f（1）=2，可得f（n+1）=f（n）f（1）=2f（n），利用等比数列的通项公式可得f（n），即可得出an及其前n项和解答：解：函数f（x）对一切实数a、b满足f（a+b）=f（a）f（b），f（1）=2，f（n+1）=f（n）f（1）=2f（n），数列f（n）是等比数列，首项为2，公比为2f（n）=2n数列an的通项an=4数列an的前n项和=4n故答案为：4n点评：本题考查了等比数列的通项公式，考查了变形能力，考查了推理能力与计算能力，属于中档题三.解答题：（125+10=70）17（12分）已知函数f（x）=sin（x+）cos（x+）+sin2（x+）（0）的图象经过点（，1）（1）求f（x）（2）在abc中，a、b、c的对边为a、b、c，a=，sabc=2，角c为锐角且f（）=，求c边长考点：余弦定理的应用；三角函数中的恒等变换应用 专题：三角函数的求值；解三角形分析：（1）运用二倍角的正弦和余弦公式，结合两角和差的正弦公式，化简即可得到f（x）的解析式；（2）由同角的平方关系和三角形的面积公式，结合余弦定理，即可求得c解答：解：（1）f（x）=sin（x+）cos（x+）+sin2（x+）=sin（2x+）+=sin（2x+）cos（2x+）+=sin（2x+）+，图象经过点（，1），sin（2+）+=1，即sin（+）=，即cos=，0，=f（x）=sin（2x+）+；（2）f（）=sinc+=，sinc=cosc=，sabc=absinc=b=2，b=6，c2=a2+b22abcosc=5+3626=21c=点评：本题考查三角函数的求值和化简，同时考查二倍角公式和两角和的正弦公式及同角的平方关系的运用，以及余弦定理和面积公式的运用，属于中档题18（12分）某同学参加语、数、外三门课程的考试，设该同学语、数、外取得优秀成绩的概率分别为，m，n（mn），设该同学三门课程都取得优秀成绩的概率为，都未取得优秀成绩的概率为，且不同课程是否取得优秀成绩相互独立（1）求m，n（2）设x为该同学取得优秀成绩的课程门数，求ex考点：离散型随机变量的期望与方差；相互独立事件的概率乘法公式 专题：概率与统计分析：（1）设该同学语、数、外取得优秀成绩分别为事件a、b、c，可得p（a）=，p（b）=m，p（c）=n，由已知条件可知：p（abc）=p（）=，利用相互独立事件的概率计算公式即可得出；（2）x=0，1，2，3利用相互独立事件的概率计算公式、互斥事件概率计算公式可得分布列，再利用数学期望计算公式即可得出解答：（1）设该同学语、数、外取得优秀成绩分别为事件a、b、c，p（a）=，p（b）=m，p（c）=n，由已知条件可知：p（abc）=p（）=，又mn，则m=，n=（2）x=0，1，2，3p（x=0）=，p（x=1）=p（a+b+c）=+=，p（x=2）=p（ab+ac+bc）=+=，p（x=3）=p（abc）=，x的分布列为x0123pex=0+1+2+3=点评：本题考查了相互独立事件的概率计算公式、互斥事件概率计算公式、分布列、数学期望计算公式，考查了分类讨论思想方法、推理能力与计算能力，属于中档题19（12分）如图，在底面为菱形abcd的四棱柱abcda1b1c1d1中，abc=60，aa1=ab=2，a1b=a1d=2（1）求证：aa1面abcd（2）若点e在a1d上，且=2，求二面角eacd考点：用空间向量求平面间的夹角 专题：空间向量及应用；立体几何分析：（1）由即可得到aa1ab，再根据四边形abcd为菱形同样可得到aa1ad，从而便证出aa1面abcd；（2）取bc边的中点f，连接af，容易说明afad，从而可以边af，ad，aa1所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，根据条件求出点e的坐标可根据平面ace和平面acd的法向量的夹角来求这两平面形成二面角的大小：可设平面ace的法向量，根据即可求出，而平面acd的法向量为，从而根据向量夹角余弦的坐标公式求cos，从而求得该夹角解答：解：（1）证明：a1a=ab=2，a1b=2，a1aab；又四边形abcd是菱形ad=ab=2；又a1d=2，a1aad；ab面abcd，ad面abcd，abad=a；a1a面abcd；（2）abcd为菱形且abc=60，abc为正三角形；取bc中点f，afbc，adbc，afad；如下图，以a为原点，直线af、ad、aa1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系；a（0，0，0），b（，1，0），c（，1，0），d（0，2，0），a1（0，0，2）；=2，e（0，）；设平面ace的法向量为=（x，y，z）；，；，令x=1得=（1，2）；又平面abcd的法向量=（0，0，2）；cos1，2=；二面角eacd的大小为30点评：考查直角三角形边的关系，线面垂直的判定定理，建立空间直角坐标系，利用平面法向量求二面角平面角大小的方法，能求空间点的坐标，掌握平面法向量的概念，以及向量夹角余弦的坐标公式20（12分）椭圆+=1（ab0）的左、右焦点为f1、f2，离心率为，过点f1的直线l交椭圆于a、b两点，af2b的周长为8（1）求椭圆方程（2）若椭圆的左、右顶点为c、d，四边形abcd的面积为，求直线l的方程考点：直线与圆锥曲线的综合问题 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：（1）由题意结合椭圆定义求得a，再由椭圆离心率求得c，结合隐含条件求得b，则椭圆方程可求；（2）设出直线l的方程，联立直线方程和椭圆方程，化为关于y的一元二次方程，利用根与系数的关系求得a，b两点纵坐标差的绝对值，由四边形abcd的面积列式求得直线的斜率，则直线l的方程可求解答：解：（1）|af1|+|af2|=2a，|bf1|+|bf2|=2a，|af2|+|bf2|+|ab|=4a，即4a=8，则a=2又e=，c=1，则b2=a2c2=3椭圆方程为+=1；（2）设直线l的方程为x=ky1，代入椭圆方程并化简得（3k2+4）y26ky9=0，设a（x1，y1）、b（x2，y2），则，|y1y2|=sacbd=|cd|y1y2|=2|y1y2|=，=，解得k=1直线l的方程为xy+1=0点评：本题考查了椭圆方程的求法，考查了直线与圆锥曲线位置关系的应用，灵活运用韦达定理解题是解决该题的关键，是中档题21（12分）已知函数f（x）=alnxax3（ar）（1）求f（x）的单调区间（2）设a=1，求证：当x（1，+）时，f（x）+20（3）求证：（nn+且n2）考点：导数在最大值、最小值问题中的应用 专题：导数的综合应用分析：（1）求出原函数的导函数，然后分a=0，a0和a0分析导函数在不同区间段内的符号，由导函数的符号判断原函数的单调性；（2）把a=1代入函数解析式，由（1）知f（x）在（1，+）递增，结合f（x）f（1）=2得答案；（3）由（2）知当x（1，+）时，lnx+x10，即x1lnx，则lnnn1，进一步得到0，然后利用累积法证得解答：（1）解：由f（x）=alnxax3，得f（x）=，1若a=0，则f（x）=3，函数不是单调函数，无单调区间；2若a0，则当x（0，1）时，f（x）0，当x（1，+）时f（x）0，f（x）在（0，1）递增，在（1，+）上递减；3若a0，f（x）在（0，1）递减，在（1，+）递增（2）证明：a=1，f（x）=lnx+x3，由（1）知f（x）在（1，+）递增，f（x）f（1）=2，f（x）+20（3）证明：由（2）知当x（1，+）时，lnx+x10，x1lnx，n2，lnnn1，0=（nn+且n2）点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性，训练了利用函数的单调性证明数列不等式，考查了学生的逻辑思维能力和灵活应变能力，属难题请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一个题目计分【几何证明选讲】22（10分） 如图，ab是o的直径，c、f是o上的点，ac是baf的平分线，过点c作cdaf，交af的延长线于点d（1）求证：cd是o的切线（2）过c点作cmab，垂足为m，求证：ammb=dfda考点：与圆有关的比例线段 专题：推理和证明分析：（1）连oc证明occd，即可说明cd是圆o的切线（2）利用切割线定理，以