电力系统谐波测量算法.doc

Abstract摘 要随着电力电子装置在电力系统中的大量应用，电能质量问题也日益突出。大量精密自动化装置对电能质量问题非常敏感，它们因电能质量问题而出现严重事故，造成巨大损失，如何提高电能质量，确保用电设备安全稳定运行也逐渐受到国内外广泛关注。本文首先对电力系统谐波测量算法快速傅里叶变换(FFT)进行分析研究，提出了基于三次样条函数的加Blackman-harris窗插值FFT修正算法。由于Blackman-harris窗函数的频谱泄漏影响小，使用加Blackman-harris窗插值FFT算法计算电力系统谐波时，计算精度要高于加汉宁窗插值FFT算法，但其频率修正系数公式和复振幅的插值修正函数过于复杂，直接计算运算量很大，影响了它的应用。为了减小加Blackman-harris窗插值FFT算法的运算量，提出了利用三次样条函数逼近其频率修正系数的七次多项式和复振幅的修正函数，采用三次样条插值函数的有效形式计算频率修正系数和复振幅的修正系数，给出了快速计算公式。这些公式简单，计算量小，程序实现方便，实时性好，可以大幅度提高加Blackman-harris窗插值FFT算法的计算速度，且在分段处连续，分段处的计算值为精确值。并对算法进行了仿真验证。在研究算法的基础上开发了一种基于浮点DSP(数字信号处理器)TMS320C32为处理芯片的电力谐波在线监测装置，利用DSP芯片强大的计算功能进行谐波在线监测，为改善电能质量提供准确的依据。为了满足实时性的要求，在软件上采用了高效的复序列FFT算法来分析谐波，为了降低非同步采样带来的误差，研究了基于Blackman-harris窗的加窗插值修正算法，并通过三次样条函数多项式逼近函数，求出了简洁的修正多项式。实现了谐波的精确测量。以TMS320C32 32位浮点DSP为核心，设计了本装置的硬件系统结构，对C语言进行了深入学习，并在算法研究的基础上，设计了系统的计算分析软件部分，给出了详细的程序流程图。关键词 谐波测量，三次样条函数，Blackman-harris窗，插值FFT算法，浮点DSP57AbstractThe problem of power quality gets prominent as lots of electric and electronic devices have got widely application. Many advanced equipments are sensitive to power quality. Great losses attributing to low-grade power quality happen at times. How to improve power quality and insure these sensitive electronic equipments reliable operation has attracted great attentions of specialist from home and abroad. In this paper, the measurement algorithms of power system harmonics are analyzed and studied first. And the Blackman-harris window interpolated FFT algorithm based on cubic spline function are proposed. As Blackman-harris window has small influence of frequency spectrum leakage, when the use of Blackman - harris window interpolated FFT algorithm calculating power system harmonics, the computation precision is higher than the Hanning window interpolated FFT algorithm , But the correction formula for frequency and complex amplitude is too complicated , and it has large amount of computation . Therefore it has very limited application. In order to reduce the computational complexity for the Blackman - harris window interpolated FFT algorithm , cubic spline function is adopted to approach the seventh multinomial for frequency correction and the function for complex amplitude correction . The effective form of cubic spline function is used to calculate correction factor for frequency and complex amplitude and the fast calculation formula is presented . It is simple and realizes program conveniently, and has good real-time , furthermore it has less amount of calculation and is precise continuous values at the interpolation points, so that it can improve the speed of calculation interpolated FFT algorithm based on Blackman-harris window strongly. The simulation calculation results show that presented approach can provide much better computational precision .In research algorithm foundation, a set of online power harmonics monitor based on TMS320C32-a floating-point DSP is developed, which realizes the online monitoring of power harmonics by introducing the powerful computation ability of DSP chip and provides the accurate data to power harmonics evaluation and improvement. This device can be applied to medium and low voltage distribution input side of large consumer. This device introduces the high-speed AD converter chip AD676 to realize the analog-to-digital conversion, so as to realize the acquisition of analog data, the calculation and storage of power system harmonics.In order to satisfy the real-time requirements, the FFT operation means with good performance based on complex sequence is introduced into the harmonic analysis; In order to reduce the error because of asynchronous sampling, this paper uses polynomial approximation method of the effective form of cubic spline function to obtain the polynomial approximation formulas for frequency and amplitude correction based on the Blackman-harris window. The system hardware structure with floating-point DSP TMS320C32 as the core is designed. The C language is deeply studied, and in the base of algorithm study, the software of the system are designed and the detailed program flow charts are presented. Key Word harmonic measure, cubic spline , Blackman-harris window , interpolation FFT algorithm, floating-point DSP目录目 录摘 要IAbstractII1绪论11.1研究课题的重要意义11.2国内外研究现状21.3 DSP技术的发展31.4本课题研究的内容62算法的研究72.1加窗插值FFT算法72.2三次样条函数202.3基于三次样条函数的加汉宁窗插值FFT算法222.4基于三次样条函数的加Blackman-harris窗插值FFT算法242.5仿真计算及分析272.6函数解的唯一性判断303基于DSP的电力谐波在线监测装置的硬件设计313.1DSP的基础知识313.2DSP的应用323.3TMS320C32的介绍323.4谐波测量装置系统总体设计413.5数据采集系统硬件结构434系统的软件设计464.1开发环境464.2系统软件设计464.3软件调试495结论515.1本文总结515.2后续工作52致谢53参考文献54附录 攻读硕士学位期间发表的论文58ContentsAbstract (in Chinese)IAbstract (in English)II1Introduction11.1Research Significance11.2Domestic and Foreign Research Present Situation21.3DSP Technical Development31.4Main Research Work in This Thesis62Algorithm research72.1Interpolation FFT Algorithm72.2Cubic Spline212.3the Hanning Window Interpolated FFT Algorithm Based on Cubic Spline Function232.4the Blackman-harris Window Interpolated FFT Algorithm Based on Cubic Spline Function252.5Simulation Computation and Analysis282.6Judgement for the Single Function Root303Based on DSP Electric Power Harmonic Online Monitoring Plant Hardware Design313.1DSP Basic Knowledge313.2DSP Application323.3TMS320C32 Introduction323.4Hardware System System Design413.5Data Acquisition System Hardware Architecture434Systems Software Design464.1Development Environment464.2System Software Design464.3Software Debugging495Conclusions515.1Main Achievements515.2Prospects of Subsequent Reasearch52Acknowledgements53References54Appendix Publications581 绪论1绪论1.1研究课题的重要意义电能是人类社会不可或缺的重要能源，它广泛的应用在社会的各个领域里。近年来，随着电力电子技术的广泛应用，半导体器件等其他非线性负荷在电力系统中的使用也越来越多，这就不可避免的使相关的电流和电压波形产生较大程度的畸变，即谐波污染，从而影响了电能的质量，导致了电气设备寿命缩短，网损加大，增加了电网发生谐波谐振的可能性，继电保护和自动装置不能正常动作或操作，仪表指示和电度计量不准，以及计算机和通信受干扰等一系列重要问题。这对电力系统的安全，经济运行造成了极大的影响。近40年来全球范围内因电能质量而引起的重大电力事故己达多起，每年电能质量扰动和电力环境污染引起的国民经济损失高达300亿美元1。其实，供电质量问题不仅对大型企业的正常生活影响较大，同时对重大活动，政治活动安全供电影响也较大。我们需要监测分析电力系统电能质量问题，为预防和减少电能质量引起的故障，从统计数据方面提供采取措施的依据。为了保证电网安全稳定运行，为用户提供优质电能，必须对影响电能质量的诸多因素进行综合治理，改善电能质量的各项指标，这就依赖于对电能质量的实时准确的监测分析。所以，对电网中的谐波含量进行准确的测量，确切掌握电网中谐波的实际状况，对于防止谐波危害，维护电网的安全运行是十分必要的。电力系统的谐波分析, 通常都是通过快速傅里叶变换(FFT)实现的。用FFT进行电力系统的谐波计算时，必须将周期电压和电流信号截断，截取一个或多个整周期，这必然产生截断效应，即频谱泄漏和谱间干扰，使得测量的谐波幅值、相位和频率有误差, 尤其是相位误差很大, 无法满足准确的谐波测量要求。对于频率快速变化的信号和需要测量信号中的非整数次谐波时，采用硬件锁相环电路和测频调整定时采样时间常数实现同步采样并不能实现真正意义上的同步采样。采用插值FFT算法和其他改进算法是解决此问题的一种有效方法。常见的加窗插值FFT算法有：加矩形窗插值FFT算法，加汉宁窗插值FFT算法，加Blackman-harris窗插值FFT算法等。Blackman-harris窗的旁瓣只有-92dB,截断引起的谱间干扰最小，具有很高的计算精度，需采样4个周期点数。但由于Blackman-harris窗插值FFT算法的计算量较大，不利于直接计算，不便用汇编语言实现，这些缺点影响了它的应用。利用三次样条函数的有效形式计算频率修正系数和复振幅的修正系数，计算量小，实时性好，在分段处连续，且为精确值，大大提高了加Blackman-harris窗插值FFT算法的计算速度，较好地解决了计算精度高与计算速度慢的矛盾，便于它的广泛应用。1.2国内外研究现状数字信号分析方法是当前电能质量监测中重要的技术基础之一, 分析结果的精确程度是诊断成功与否的关键因素。研究频谱分析的校正方法和误差分析、提高频谱分析方法的精度是其主要发展方向之一。1965年库利-图基在计算数学杂志上首次提出快速傅里叶变换以来, 随着微机的推广和普及、运算速度的提高, FFT成为数字信号分析的基础, 广泛应用于工程技术领域。FFT和谱分析运算速度迅速发展, 已从80年代末期1024点复数FFT 最快约需600ms发展至今仅需不到3ms,而且还会随着微机运算速度的提高而进一步加快,已经能够满足大部分工程界的需求。但由于计算机只能对有限多个样本进行运算, FFT和谱分析也只能在有限区间内进行,这就不可避免地存在由于时域截断产生的能量泄漏,使谱峰值变小、精度降低,即经FFT得到的离散频谱其幅值、相位和频率都可能产生较大的误差。从理论上分析加矩形窗时单谐波频率的最大误差可达36.4% ,即使加其它窗时,也不能完全消除此影响，如加Hanning窗时, 只进行幅值恢复时的最大误差仍高达15.3%,相位误差高达90。 从70 年代中期, 有关学者开始致力于频谱校正理论的研究以期解决离散频谱误差较大的问题。1975年, John C. Burges等从事电学领域研究工作的学者采用插值法10对加矩形窗的离散化频谱进行了校正,解决了电学中的离散高次谐波参数的精确测量问题；1983年Thomas Grandke提出了加Hanning窗的内插法11, 进一步提高了离散高次谐波参数的分析精度；1993年,丁康和谢明提出了三点卷积法幅值校正法12,提高了频率间隔较大的信号离散频谱幅值精度, 解决了工程实际中的一些问题；1994 年, 谢明、丁康和黄迪山等提出和发展了比例频谱校正方法10，13，14，15, 使内差法系统地发展成为一种通用的频谱校正方法,解决了频率间隔较大的离散化频谱幅值、相位和频率的精确求解问题,并开始对离散频谱的校正方法和误差分析进行深入系统的分析和研究；1996年,余佳兵、史铁林和杨叔子等提出了采用复调制细化谱分析将已产生频谱干涉的密集频率成分分离开,消除干涉,再用比例法进行校正以解决密集频率成分的离散频谱的校正问题16；1997年,谢明、丁康等分析了离散频谱中的负频率成分和多频谱成分的干涉现象17, 提出了离散频谱中用相位判据和幅值判据综合判定和识别单频率成分的方法,实现了单频率成分和频率间隔较大的多频率成分的自动识别和自动校正,并提出了在不采长样的基础上利用轴系旋转识别和校正两个已发生干涉的密集频率成分的自动判定和校正的方法18。1998年,丁康、谢明等提出了对连续时域信号分前后两段作傅里叶变换,利用其对应离散谱线的相位差校正出谱峰处的准确频率和相位的校正方法,称相位差校正法19,该方法可在不知道窗谱函数表达式的情况下, 直接用其相位差进行频率和相位校正。从目前国内外学者所进行的大量研究来看, 基本上仍停留在对单频率信号和频率间隔较大的多频信号的离散频谱校正方法进行探讨, 尚未深入到密集频率和连续频率成分信号离散频谱的误差分析和校正方法的研究。工程实际中的很多信号是包含着密集频率成分的,对此类信号进行离散频谱误差分析与对频率间隔较大的信号误差分析存在较大的差异, 校正方法也完全不相同, 校正的难度极大。因此, 对这类信号的识别及其校正方法的研究和误差分析, 仍是工程界急需解决的难题之一, 只有解决这个问题, 才能使离散傅里叶变换和频谱分析技术在工程实际中得到更广泛的应用。目前, 国内外有四种对幅值谱或功率谱进行校正的方法: 第一种是离散频谱三点卷积幅值校正法12,它是在已求出的加能量恢复系数的多段平均功率的基础上, 采用系数为1的三点序列与功率谱进行卷积得到校正幅值的功率谱, 并从理论上进行误差分析, 这种方法的优点是简单易行、运算速度快、精度高(误差最大只有1% )、不受频率(转速) 有小波动的影响。第二种方法是对幅值谱进行校正的比值法13-15，20，21, 这种方法利用归一化后差值为1的两点窗谱函数比值,建立一个以校正频率为变量的方程,解出频率,再进行幅值和相位的校正,校正的频率、幅值和相位精度可达细化100倍以上效果。第三种方法是FFT+FT谱连续细化分析傅里叶变换15, 用FFT作全景谱,针对要细化的局部再用DFT进行运算,以得到局部细化精度极高的频谱。这种方法的优点是适应性好、精度较高, 缺点是计算速度下降太多。第四种方法是通过对同一信号进行不同长度或连续两段的FFT或DFT傅里叶变换,首先校正得到准确的相位,然后再校正频率和幅值19，22。1.3DSP技术的发展6789计算机技术和微电子技术的发展进一步促进了电能质量问题的研究及其监测装置的研制。20世纪50年代，数字电子技术和微电子技术的引入也促进了电测量理论及其仪表技术的发展，模拟式电测仪表逐渐在越来越多的场合被数字式仪表所代替。1974年出现的电压、电流波形等间隔采样技术，使数字电子技术在测量领域中的作用日益突出。20世纪80年代中期以来，是电测和仪表技术得到了迅猛发展的近期阶段，大规模集成电路的发展也使得芯片体积缩小到可以置入传统仪器内部，使仪器可以具有控制、存储、运算、逻辑判断及自动操作等多种功能，为仪器仪表的智能化打下基础，并在测量的精确度、灵敏度、可靠性、自动化程度及解决测量问题的广度和深度方面取得了明显的进步。 34国外对电能质量研究起步较早，目前有关电能质量控制的研究正掀起高潮，从所使用的理论到电能质量评价指标体系的建立从全国性的电能质量普查、监测到用户终端电气环境的定义各种电能质量问题分析方法的提出，以及“用户电力技术”，等电能质量控制技术的研究和装置的开发正深入进行2。虽然我国的电力工业取得了迅猛的发展，但是我国自行研制开发的高质量电力系统自动化测量装置还很少。目前，电力部门用的谐波测量和分析装置大多数是进口的国外产品，价格昂贵。近些年，我国也开发了一些电力测控装置和电能质量监测装置，但在功能上，实用化方面均未达到理想效果。 5在过去的几十年里，单片机的广泛使用实现了简单的智能控制功能。但是随着计算机科学与技术、信号处理理论与方法的迅速发展，需要处理的数据量越来越大，对电测仪表的实时性和精度的要求也越来越高。而电能质量监测装置不同于一般的电力基本参数测量仪器，要进行电能质量指标的计算、分析和监视，并且要运用复杂的数学算法。如果采用常规的16位单片机Intel80CI96kC进行32点的FFT运算来分析谐波，在12M主频下采用快速算法仍然需要0.25秒左右，如采用更加先进复杂的算法则需要的时间更长。显然，传统的单片机技术已不能满足电力系统实时监控的需要。近年来，集成电路技术和制造工艺的突飞猛进，大大推动了数字信号处理方法和应用的研究。高速数字信号处理归(DSP)技术的发展及其制造成本的降低，使数字信号处理技术在电力系统的各个研究领域得到了广泛的应用，人们已经开始将DSP技术应用于某些电力产品的开发研制中。数字信号处理就是用数字或符号的序列来表示信号，通过计算机去处理这些序列，提取其中有用的信息。凡是用数字方式对信号进行滤波、变换、增强、压缩、估计和识别等都是数字信号处理的研究对象。DSP芯片是专门完成实时数字信息处理用的，它首先是建立在数字信号处理(Digital Signal Processing)的各种理论和方法的基础上。60年代和70年代是数字信号处理技术的理论研究阶段，具有代表性的著作是美国两位著名教授A.V.Oppenheim和R.W,Schafer合写的“Digital Signal Processing”。70年代数字信号处理技术的出现成为分析实际现象的有力工具。当时的DSP系统由分离元件组成，主要应用于医疗电子、生物电子和应用地球物理等领域。进入80年代，随着数字信号处理技术的应用范围的扩大和成本的进一步降低，推动了DSP的发展。这种DSP是一种专用的综合性微处理器，专门处理以运算为主的信号处理应用系统。美国TI公司在1982年推出的首枚低成本高性能的DSP数字信号处理器，使DSP应用系统向前跨出了一大步，数字信号处理技术也开始逐渐普及。到了90年代，DSP技术有了惊人的发展，以DSP作为主要元件，加上外围设备和特定功能单元组成合成的单一芯片，加速了DSP技术的发展。同时产品的价格降低，运算速度和集成度得到了提高。90年代DSP揭开了PC、通信及消费电子市场的新纪元。DSP是高速数字信号的处理器，是与此时代同步成长起来的半导体器件。1997年2月TI公司宣布具有1600MIPS速度的新一代数字信号处理器TMS320C6X进入市场。C6X的时钟为200MHz，每个指令周期仅为5ns。近年来，TI公司提出一种新的概念“DSPS”(DSP System)，受到广泛的重视。DSPS即DSP芯片制造商随DSP芯片提供应用系统的解决方案。以DSP为核心，配合先进的混合信号电路、ASIC电路、软件及开发工具等集成为一喜完整的参考方案。DSP的兴起，DSPS概念的提出，大大促进了仪器智能化的进程。23数字信号处理器与普通微处理器相比有以下特点:1.采用哈佛总线结构，程序处理器与数据处理器分开，有各自的总线结构，减小了总线对系统的压力，并可在执行指令时采用流水线操作，读取指令、译码等操作均可并行进行。2.具有高速阵列乘法器等专用硬件，增强的多级流水线，使DSP器件具有高速的数据运算处理能力。3.具有高速的片内程序存储器和数据存储器，对于一些简单操作，可以在片内完成，避免与外部的低速存储器打交道。4.具有高速I/O口。包括并行口，串行口及DMA控制器，片内I/O口可以提高数据交换的速度，减少系统复杂性。5.具有满足信号处理要求的一些特殊指令集，提高了FFT快速傅里叶变换和滤波器的运算速度。6.DSP器件提供JTAG标准测试接口，不但能控制和观察处理器的运行，测试芯片，还能利用该接口装入程序。开发手段更先进，批量生产测试更方便，开发工具可实现全空间仿真，不占用用户资源。数字信号处理采用数字系统完成信号处理的任务，具有数字系统的一些共同优点，如抗干扰性强，便于大规模集成等。与传统的模拟信号方法相比较，还有一些明显的优点，如精度高、灵活性强。可以实现模拟系统很难达到的指标或特性。数字信号处理方法与模拟信号处理方法相比具有明显的优越性，表现在:1.精度高:模拟电路受元器件精度的影响，系统的精度很难作得很高。数字系统则可以通过提高A/D变换器的位数及CPU的字长，选择适当的算法来达到较高的要求。2.灵活性好：在模拟处理系统中，当信号处理的方法发生改变时，模拟处理系统往往需要更改硬件设计或调整硬件参数，而数字处理系统则可以通过软件设置来实现。另外数字系统本身也具有一些共同的优点。1.可靠性好：模拟系统与数字系统相比更容易受环境温度、湿度、噪声、电磁场等于扰。2.集成度高：与模拟电路相比，数字电路的集成度高得多，数字信号处理器就是基于超大规模集成电路发展起来的。1.4本课题研究的内容本文对加窗插值FFT算法进行分析研究，提出了一种快速、准确、适应性强的算法，并且在此算法的基础上研制了一种以高速浮点DSP为核心的电能质量在线监测系统，实现电能质量在线实时监测和自动分析。本课题的主要研究内容：(1) 对加窗插值算法进行分析研究。由于直接利用FFT进行分析存在较大误差，采用加窗插值修正算法可以提高测量的准确性。鉴于Blackman-harris窗的旁瓣只有-92dB,截断引起的谱间干扰最小，具有很高的计算精度，在抑制频谱分析长范围泄漏方面具有较好的性能。但由于Blackman-harris窗插值FFT算法的计算量较大，不利于直接计算，不便用汇编语言实现，这些缺点影响了它的应用。 (2) 研究利用三次样条函数的有效形式计算频率修正系数和复振幅的修正系数，这样可以大大减少计算量，实时性好，在分段处连续，且为精确值，可以提高加Blackman-harris窗插值FFT算法的计算速度，较好地解决计算精度高与计算速度慢的矛盾，便于它的广泛应用。进一步利用matlab对该算法进行仿真，结果可以表明该修正算法容易实现，计算量大大降低，而且精度高。(3) 设计一个基于DSP的实现电力谐波测量的实时系统，选用DSP芯片构建多通道数据采集，DSP数据处理等关键模块的软硬件系统。为满足在线监测的实时性要求，选用公司的浮点DSP TM320C32作为本系统的CPU，该芯片功耗低、性能高，32位浮点，速度为40MIPS，能快速完成各种计算，实现对电力谐波的实时监测。(4)在算法研究的基础上，设计系统的软件部分，编写相关算法程序并对程序进行调试。2 算法的研究2算法的研究2.1加窗插值FFT算法数字信号处理是一门理论和技术发展十分迅速、应用非常广泛的前沿交叉性学科,而快速傅里叶变换(FFT)是信号处理中最为广泛使用的方法,但这种方法对测量信号的周期性要求很高。当信号的测量时间不等于信号周期的整数倍或信号含有非整数次谐波时,由传统FFT算法得到的各次谐波的频率和真实的谐波频率之间有很大的误差；此外,由于测量信号的长度有限,窗的扇形损失会造成谐波幅值和相位误差24。为解决这一问题,国内外很多学者都作了研究:如V K Jain、T Gandke和G Andria分别提出的基于矩形窗、汉宁窗和Rife-Vincent窗的插值FFT理论(IFFT),使频谱的计算精度较传统的FFT方法有了较大的提高,但计算的复杂性增大25-29。由于FFT存在栅栏效应和泄漏现象，使算出的信号参数即频率、幅值和相位不准，尤其是相位，误差很大，无法满足谐波测量要求。为了提高FFT算法的精度，提出了加窗插值算法，消除了频谱泄漏与栅栏效应的影响，该算法极大的提高了FFT计算的精度，从而满足电力系统谐波测量中对电压的幅值和相位精度的要求。2.1.1离散傅里叶变换（DFT）离散时间傅里叶变换DTFT可以反映离散信号的全部频谱，理论上有重要意义。但在它的变换对中，时间n是离散的，频率是连续的，从数字处理的角度来说，为了能够用计算机（数字设备）对它进行计算，频率也应该是离散的，故在计算机上实现离散时间傅里叶变换有困难。离散傅里叶级数（DFS）是按傅里叶分析严格定义的，它的变换对虽是离散时间n和离散频率的周期函数，但是无限长序列。因此为了能在计算机上实现频谱分析，一种时间和频率都是离散的有限长序列离散傅里叶变换应运而生，这就是离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transformation），简称DFT。由于DFT具有快速计算方法，即快速傅里叶变换（FFT），使其更具有实际意义。 DFT可以由多种方法导出，根据离散傅里叶级数DFS导出，物理意义明确，现重写出DFS变换对，即 （2.1） （2.2） 由于对k和n都是以N为周期的，所以当是以N为周期时，则也一定是以N为周期的，与连续周期函数的傅里叶级数不同，DFS只有N项，也就是说，最多可以分解成N个独立的值。虽然，是无限长的，但在计算序列的频谱和其本身时，可以利用DFS的周期性，只需要在时域和频域各取一个周期，计算一个周期，将所得结果进行周期延拓，即可以得到它们。由于在DFS中，只用到，一个周期的N个值，取它们的主值序列：x(n) (0 n N-1)和X(k) (0 k N-1)，等式依然成立，这就是离散傅里叶变换，即 k=0,1, N-1 （2.3）和 n=0,1, N-1（2.4）上两式中，。对于有限长序列x(n)(0 n N-1)，可以将其以N为周期进行延拓，得到周期序列，同样可以展开成离散傅里叶级数DFS，也可以按上式进行离散傅里叶变换。可以看出，DFT并不是一个新的傅里叶变换形式，只不过是将DFS变换对中的序列取主值，就得到了DFT，将DFT进行周期延拓就得到DFS，因此DFT隐含周期性。有限长序列x(n)是非周期的，其频谱应该是连续的，但用DFT得到的x(n)的频谱是离散频谱，这是由于将有限长序列x(n)延拓成周期序列而造成的。2.1.2快速傅里叶变换（FFT）若直接用离散傅里叶变换（DFT）进行计算，当采样点很多时，计算量是很大的。FFT是DFT的一种快速算法，它利用的对称性和周期性，将长序列的DFT分解为若干短序列的DFT进行计算。FFT算法基本可以分为两大类，即按时间抽取（DIT）法和按频率抽取（DIF）法。这里以8点的输入序列为例简单介绍一下基2-DIT算法，其流程图见图2.1。图2.1 DIT FFT流程图Fig.2.1 Flow Chart of DIT FFT由流程图可见，DIT法是按序列在时间上的次序是属于偶数还是属于奇数来分解为两个更短的子序列，直到分解为2点的DFT为止。两点的DFT称为蝶行运算，每个蝶行运算需要一次复数乘法和两次复数加法。直接DFT算法复数乘法次数为N2，而FFT算法须复数乘法次数，可见FFT算法运算量要小很多，尤其是点数N越大时FFT优点越突出。由于DFT或FFT运算都是以复数信号进行处理是很不经济的。在实际处理序列时可将两个同长度的实序列分别作为复序列的实部和虚部来进行处理，这就叫做基于复序列的FFT算法。设两个实序列，令，可以得出： （2.5）的傅里叶变换为： （2.6）其中，分别为，的实部和虚部。的傅里叶变换为： （2.7）由式（2.6）得： （2.8）根据傅里叶变换的周期性和奇偶虚实性，可知实序列的傅里叶变换的实部为偶数，虚部为奇数。可得： （2.9）对式（2.5）进行傅里叶变换，并考虑其复共扼性质，可得到，的频谱为： （2.10）式中，为的共扼复数。这就是复序列FFT原理。2.1.3窗函数设计窗函数对于原始信号的作用，可以理解为将窗函数与原函数相乘的结果。根据傅里叶变换的卷积特性，两个时域函数相乘的频谱等于这两个函数频谱的卷积。窗函数有许多种，如矩形窗函数、三角窗函数、Hamming窗函数、Hanning窗函数、Blackman窗函数等。选择合理的窗函数可减小频谱“泄漏”及由“泄漏”引起的混频现象。要使被测信号通过窗函数后引起的频谱泄漏减少,当然不能无限制地加大窗函数的宽度，因此就希望在适合数值计算的有限宽度内，通过改变窗函数的形状来达到减少泄漏的目的。余弦窗的一般表达式如下： n=0,1, N-1 (2.11)式中K是余弦窗的项数。K=0时，就是矩形窗。为了满足插值计算的需要，对系数有如下限制： （2.12）不同K值和系数决定了不同的窗，K=0时，就是矩形窗；K=1时，为哈明窗，时为汉宁窗；K=2时，时，为Blackman窗。图2.2、2.3、2.4、2.5分别为矩形窗、哈明窗、汉宁窗和Blackman窗的频谱幅度曲线。图2.2矩形窗频谱幅度函数Fig2.2 Rectangular window of the spectrum range function图2.3汉宁窗频谱幅度函数Fig2.3 Hanning window spectrum range function图2.4哈明窗频谱幅度函数Fig2.4 Haming window spectrum range function图2.5 Blackman窗频谱幅度函数Fig2.5 Blackman window spectrum range function由上图可以看出，当K增大时，旁瓣衰减增大，因而能够更好地抑制泄漏，同时也可看到主瓣宽度随值而增加，因而K值也不宜选得太大。所以在选窗函数时，K值要适中，使能量尽量集中在主瓣上，同时兼顾旁瓣衰减要快。矩形窗设计的过渡带最窄，但阻带最小衰减也最差，仅-21dB；布莱克曼窗设计的阻带最小衰减最好，达-74dB,但过渡带最宽，约为矩形窗设计的三倍。几种窗口函数的具体性能比较见下表。窗函数主瓣宽度旁瓣峰值衰减（dB）阻带最小衰减（dB）矩形4/N-13-21汉宁8/N-31-44哈明8/N-41-53Blackman12/N-57-742.1.4加窗插值FFT算法用FFT进行电力系统谐波计算时，必须将周期电压和电流信号截断，截取一个或多个整周期，这必然产生截断效应，即频谱泄漏和谱间干扰3031。由于电网频率不断波动和FFT存在栅栏效应，当采样频率不等于电网频率的整倍数时，截取的信号长度不是整周期的，计算得到的是泄漏的频谱值，使得测量的谐波幅值、相位和频率有误差, 尤其是相位误差很大, 无法满足准确的谐波测量要求。采用硬件锁相环电路和测频调整定时器时间常数实现同步采样是常用的方法，但由于硬件锁相环电路内有低通滤波环节和对基波实现了同步采样而对间谐波不一定能实现同步采样，因此对于频率快速变化的信号和需要测量信号中的分数次谐波时，并不能实现真正意义上的同步采样。采用插值FFT算法3225 26和其他改进算法33 3435是解决此问题的一种有效方法。加窗插值FFT算法36-41，是一种异步采样方法，它是以固定不变的采样频率对信号进行采样，利用窗函数的频谱特性修正泄漏的频谱来得到信号的实际频谱值，可以减小异步采样引起的误差。但是，截断信号时使用的窗函数不同，其频谱泄漏和谱间干扰对计算结果的影响也不同。频谱泄漏的主瓣可能淹没主谱附近的谐波分量，影响是短范围的42。旁瓣的影响是长范围的42，它相邻的基波和高次谐波分量影响较大。选择频谱主瓣窄的窗函数可以减小短范围的影响，选择频谱旁瓣小的窗函数，可以减小频谱旁瓣的影响。但是，减小了频谱旁瓣的窗函数，其频谱主瓣较宽，实际应用中常靠增加测量时间来减小泄漏频谱主瓣的影响，同时也可以减小旁瓣的影响。但这又影响了测量的实时性。常见的加窗插值FFT算法有：加矩形窗插值FFT算法，加汉宁窗插值FFT算法，加Blackman-harris窗插值FFT算法等。1.减小频谱泄漏的方法用矩形窗函数截断无限长信号，必然产生频谱泄漏，增大采样点数虽然可以减小主瓣的宽度4/N，但不能减小旁瓣的影响，因为N较大时，在主瓣附近，较小，例如2/N，矩形窗函数的幅度谱RN ()近似为 （2.13）可以看出，改变N不能改变主瓣与旁瓣的比例关系，N增大虽然减小了主瓣的宽度，但也增大了旁瓣的能量，这可能湮没信号中较弱的频率成分。为减小频谱泄露，常选择能量集中在主瓣的窗函数，例如汉宁窗，其旁瓣幅度很小，信号相互泄漏很小，它能将多频率信号中的各频率成分完全分开。汉宁窗的时域表达式为 （2.14）汉宁窗旁瓣幅度较小的代价是主瓣宽度增加为8/N，比矩形窗增加一倍，主谱线的泄漏频谱为主瓣宽度的一半4/N，也比矩形窗增加一倍。因此，加汉宁窗后，基波的泄漏频谱将影响2次谐波（高次谐波的泄漏影响也一样），为了能完全分开基波和高次谐波，加汉宁窗的截取长度至少应为基波的2个周期。为了更进一步抑制旁瓣，采用加Blackman-harris窗。在常用的窗函数中Blackman窗有着最大的旁瓣泄漏-58dB和最快的下降速度-18dB。虽然这种窗的主瓣宽度为矩形窗的3倍，增大了一、二次谐波的泄漏，但可以通过调节采样长度来减少泄漏。在此基础进一步提出采用加Blackman-harris窗， Blackman-harris窗作为四项余弦窗，旁瓣衰减为-92dB33,截断引起的谱间干扰小，具有很高的计算精度，通过增加测量时间来减小泄漏频谱主瓣的影响，一般需4个周期的采样点。Blackman-harris窗时域表达式为（2.15）Blackman-