素材：高中数学备课参考数学通报数学问题解答0708.doc

数学问题解答 2007年 7月号问题解答 与已知条件 x+y+z 1相矛盾 .因而 ( 3 )式不能(解答由问题提供人给出 ) 1681设 x+y+z 1 ,求证 :(x + y) 4 + (y + z) 4 + (z + x) 4 +(x-y) 4 +(y-z) 4 +(z-x) 4 4 .= 4 (x 2 x 2 ) 22 2 2 )= 4 (x + 2 yz + 2 zx + 4 (x 2 y 2 +yz +zx 2 2 22 2222 ) 22 )= 4 (x+y+z+ 4 (xy +yz +zx 2 ) 24 (x 2 +y2 +z(x,y,z中至少有 2个值均为零时取 “= ”号).因为 (x +y+z) 2 =x 2 +y2 +z2 + 2 (xy +yz + zx)又 xy +yz +zx x 2 +y2 +z2 (这是众所周知的不等式 ,可由 x 2 +y2 2 xy , y 2 +z2 2 yz ,z 2 +x2 2 zx相加得证 )所以 (x+ y + z) 2 3 (x 2 +y2 +z2 )(当且仅当 x=y=z时取 “= ”号).因为 x+y+z 1 ,所以 3 (x 2 +y2 +z2 ) 1 ,即 x 2 +y2 +z2 1 3所以 (x + y) 4 + (y + z) 4 +(z+ x) 4 +(x-y) 4 2 ) 2+(y-z) 4 +(z-x) 4 4 (x 2 +y2 +z4 12 3 4 =.9 即 (x + y) 4 + (y + z) 4 +(z+ x) 4 +(x-y) 4 + (y-z) 4 +(z-x) 4 49 ( 3 )当且仅当 x,y,z中至少有 2个值为零且 x=y=z时取 “= ”号 ,即当且仅当 x=y=z= 0时取 “= ”号 ,这时 x+y+z = 0 ,(宁波市甬江职高邵剑波 315000)证明设 t = f(n) ,由平均值不等式得 n+1 n+1 n+1 n+1 n+1 na +t=a+ +a+tn+1 n+1 )nn+1(n+ 1)(a t = (n+ 1) ant ,同理 nbn+1 + tn+1 (n + 1) bnt , n+1 n+1 nnc +t(n + 1)ct,相加得 n( an+1 + bn+1 + cn+1 )+ 3 tn+1 (n+ 1) ( an + bn + cn) t, n+1 n+1 ) nn)n(a + bn+1 +ct (n + 1)( a +bn+c-3 tn = nt (an+bn+cn), n+1 n+1 n a + bn+1 +ct(a +bn+cn), n+1 n+1 n n nn a + bn+1 +ca +bn+ctn 3 3 n nn+1 a +bn+c= ,3 n+1 n n+1 n+1 nn+ bn+1 +ca +bn+c33 ,即 f(n + 1) f (n) . 1683在 o AB CD中 ,过 A、B、C三点作圆交 BD于 E,过 B、C、D三点作圆交 CA延长线于 F.求证 :BD BE = 1994-2008 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. AC CF. (重庆市合川太和中学袁安全401555)证明连接 AE、CE.则1 = 3 , 2 = ABD = 4.于是 ACE BDC所以 AC =AE = CE (设 = k)BD BC DC 则 AC = k BD,AE = k BC,CE = k DC.而 A、B、C、E四点共圆 ,由“Ptolemy”定理可得 AB CE + BC AE = AC BE(2)由(1)、 BD BE = AC CF. 将上各式代入可得 ( AB =CD) 长 ta , tb , tc ,外接圆半径为 R,内切圆半径 r.ca ab RAB k DC + BC k BC = k BD BE+ 2 =+ 2.tbtc r 所以 AB 2 + BC2 = BD 证明设 ABC的半周长为 S,则由三角形内 BC2 1684若 , 0 ,且+ = 2 .求证 :sin+ sin+ sin cos2+ cos2+ cos2 2 ( sinsin+ sinsin+ sinsin) (湖北省谷城县第三高级中学贺斌441700)证明因为 , 0 ,+ = ,2 所以 cos2+ cos2 = 2cos(+) cos (-) = 2sincos(-) 2sin,同理 cos2+ cos2 2sin, cos2+ cos2 2sin.将以上三式相加可得 : sin cos2.1 又 3 (+)= 6 ,所以 ,中必有两个 (不妨设为 ,)同时不大于或不小于 .6 11sinsin所以 0 ,22 即 4sinsin 2 ( sin+ sin)-1 ,所以 1 + 4sinsinsin2sin( sin+ sin) +(1 -sin).而 1 -sin = 1 -cos (+) cos (-)-cos (+) = 2sinsin,所以 cos2 = 1 + 4sinsinsin 2 sinsin.证毕 . 1685若 ABC的三边长 a ,b,c,三条内角平分线角平分线长的公式知 : A2 bccos 2 ta = b+c22 A4 b2 c cos 22所以 ta = (b+c) 2 2 b2 c 2 (1 + cos A)= (b+ c) 2 2 b22 b22 2+c-ac 1 += 2 bc bc (b+c+a)( b+c-a) (b+ c) 2 = (b+ c) 2 4 bcS (S -a)= (2 S-a) 2所以 bc 2 = 4 (2 S (SS-a)a) 2 = 41 S -S a+ 21 +S 4 -Sa ta ca 1 S 1 S-b同理 :t2 b= 4 S-b+ 2 + 4 S ab 1 S 1 S-c 2 = + tc 4 S-c 24 S所以 bc 2 + ca 2 + ab 2ta tb tc 111S 3+= +S-a S-b S-c 2 3 S-(a+b+c) 4 S S 4 111 7+= + S-a S-b S-c 4 因为 (S-a)( S-b)( S-c) = r 2 S 4 1994-2008 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. S2 ab+ bc +ca = + 4 Rr + r2所以 S 1 -a+S 1 -b+S 1 -c S2 ab+ bc +ca = (S-a)( S-b)( S-c) S2 S2+ 4 Rr + r2 = r 2 S 4 R+r = rS 由 、得 : bc ca ab R 2 + 2 + 2 =+ 2 tatbtc r 2007年 8月号问题 (来稿请注明出处 编者) 1686ABC中 , A 90,AB AC,高线 BE, CF交于 H ,O为ABC的外心 ,AO = AH. BA C的平分线 AD交 B E,CF的延长线于 M,N,求证 : HM = HN. (福建厦门九中陈四川361004) 1687已知 AB C的两条角平分线 B E,CD和延长线交 ABC的外接圆于 G, F. BE,CD交于 M,且 DF = EG.求证 :AB = AC. (山东青岛市即墨市南泉镇庆余屯中学孙孝国266200) 1688已知 an是等比数列 ,n N+ ,n为奇数 ,求证 :( a1 +a3 + + an) 2 -(a2 +a4 + + an-1 ) 2 = a 21+a22+ +a2 n. (云南省曲靖市民族中学李洪655000) 求证 : 2 -1 (1)求函数 u( x)的最小值; (2)求不等式 u( x) 0的解. (江苏省江都市大桥高级中学党庆寿225211) (上接 54页) 2 bc (b-c) 2 (1 + cos A)=-0 ,4 (b+ c) 2 所以 ia ma(当且仅当 b=c时 ia = ma),同理 ib mb(当且仅当 a=c时 ib mb) ,ic mc(当且仅当 a=b时 ic = mc);也可这样证明 ia ma : 1 221 2 ma = 2 b2 + 2c-a= b2 +c+ 2 bccosA2 2 1 2 bc (1 + cos A)2 12 A A 2 bc A = 4 bccos = bccos = cos22 2 22 bc 2 bc A cos = ia.b+c2 再由中线长定理 ,得 2221 2 22 ma+mb+mc = (2 b2 + 2c-a 2 ) +(2 a+ 2 c4 b2 ) +(2 a 2 + 2 b2 -c 2 ) 32 2 )= (a +b2 +c= 3 R2 ( sin2 A+4 sin2 B+ sin2 C) 27 R2,4 222 所以 ma +m3 b +mc 32 R.本文记录了笔者利用几何画板探究一个数学问题的全过程.我想 ,教师对初等数学问题的研究 ,更应着眼于居高临下地为学生设计探究性问题 ,使他们经历提出、分析、解决问题的全过程 ,使学生在数学学习中体会到再发现、再创造