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检测题检测题 1 6 人站一排 甲不站在排头 乙不站在排尾 共有 种不同的排法 2 5 名男生和 4 名女生排成一队 其中女生必须排在一起 一共有 种不同 的排法 3 a b c d 排成一行 其中 a 不排第一 b 不排第二 c 不排第三 d 不排第四的不 同排法有 种 4 0 1 2 3 4 5 这六个数组成没有重复数字的四位偶数 将这些四位数从小 到大排列起来 第 71 个数是 5 下列各式中与排列数相等的是 A B C D 6 且 则等于 A B C D 7 若 则的个位数字是 A 8B 5C 3D 0 8 7 名同学排成一排 其中甲 乙两人必须排在一起的不同的排法有 A 720 种B 360 种C 1440 种D 120 种 9 求和 10 5 名男生 2 名女生站成一排照像 1 两名女生要在两端 有多少种不同的站法 2 两名女生都不站在两端 有多少不同的站法 3 两名女生要相邻 有多少种不同的站法 4 两名女生不相邻 有多少种不同的站法 5 女生甲要在女生乙的右方 有多少种不同的站法 6 女生甲不在左端 女生乙不在右端 有多少种不同的站法 参考答案 参考答案 1 5042 172803 94 31405 D6 D 7 C8 C 9 10 1 两端的两个位置 女生任意排 中间的五个位置男生任意排 种 2 中间的五个位置任选两个排女生 其余五个位置任意排男生 种 3 把两名女生当作一个元素 于是对六个元素任意排 然后解决两个女生的任意 排列 种 4 把男生任意全排列 然后在六个空中 包括两端 有顺序地插入两名女生 种 5 七个位置中任选五个排男生问题就已解决 因为留下两个位置女生排法是既定 的 种 6 采用排除法 在七个人的全排列中 去掉女生甲在左端的个 再去掉女生 乙在右端的个 但女生甲在左端同时女生乙在右端的种排除了两次 要找回来一 次 种 检测题 选择题 检测题 选择题 1 掷下 4 枚编了号的硬币 至少有 2 枚正面朝上的情况有 A 种B 种 C 种D 不同于 A B C 的结论 2 从 A B C D E 五名学生中选出四名分别参加数学 物理 化学 英语竞赛 其中 A 不参加物理 化学竞赛 则不同的参赛方案种数为 A 24B 48C 121D 72 3 数字不重复 且个位数字与千位数字之差的绝对值等于 2 的四位数的个数为 A 672B 784C 840D 896 4 为 100 条共面且不同的直线 若其中编号为的直线 互相平行 编号为 4k 3 的直线都过某定点 A 则这 100 条直线的交点个数最多为 A 4350B 4351C 4900D 4901 填空题填空题 1 在数字 0 1 2 3 4 5 6 中 任取 3 个不同的数字为系数 a b c 组成二 次函数 y ax 2 bx c 则一共可以组成 个不同的解析式 2 甲 乙 丙 丁四个公司承包 8 项工程 甲公司承包 3 项 乙公司承包一项 丙 丁公司各承包 2 项 则共有 种承包方式 3 四个不同的小球放入编号为 1 2 3 4 的四个盒子中 则恰好有一个空盒的放 法共有 种 4 某校乒乓球队有男运动员 10 人和女运动员 9 人 选出男 女运动员各 3 名参加 三场混合双打比赛 每名运动员只限参加一场比赛 共有 种不同的选赛方法 解答题解答题 1 有 7 本不同的书 1 全部分给 6 个人 每人至少一本 2 全部分给 5 个人 每人至少一本 求各有多少种不同的分法 2 九张卡片分别写着数字 0 l 2 8 从中取出三张排成一排组成一个三位 数 如果写着 6 的卡片还能当 9 用 问共可以组成多少个三位数 参考答案 参考答案 选择题 选择题 1 A2 D3 C4 B 填空题 填空题 1 1802 16803 1444 3628800 解答题 解答题 1 l 先取两本书作为一份 其余每本书为一份 将这六份书分给 6 个人 有 种分法 2 有两类办法 一人得 3 本 其余 4 人各得一本 方法数为 两人各得 2 本 其余 3 人各得一本 方法数为 所以所求方法种数为 2 以是否取卡片 6 分成两类 每类中再注意三位数中 0 不能在首位 l 不取卡片 6 组成三位数的个数为 2 取卡片 6 又分成两类 i 当 6 用时组成的三位数的个数为 ii 当 9 用时同样有个 根据加法原理得所求三位数的个数为 排列与组合 一 教材分析 排列与组合 一 教材分析 1 基本概念 排列与排列数 组合与组合数 从 n 个不同元素中 任取 m m n 个元素按照一定的顺序排成一列 叫做从 n 个不同元 素中取出 m 个元素的一个排列 从 n 个不同元素中取出 m m n 个元素的所有排列的个数 叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数 用符号表示 从 n 个不同元素中 任取 m m n 个元素并成一组 叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元 素的一个组合 从 n 个不同元素中取出 m m n 个元素的所有组合的个数 叫做从 n 个不同 元素中取出 m 个元素的组合数 用符号表示 2 基本公式 n n 1 n 2 n m 1 规定 0 1 规定 1 3 排列组合的解题原则 1 深入弄清问题的情景 要深入弄清问题的情景 切实把握各因素之间的相互关系 不可分析不透 就用或 乱套一气 具体地说 首先要弄清有无 顺序 的要求 如果有 顺序 的要求 用 如果无 顺序 要求 就用 其次 要弄清目标的实现 是分步达到的 还是分类完 成的 前者用分步计数原理 后者用分类计数原理 事实上 一个复杂的问题 往往是分类 和分步交织在一起的 这就要准确分清 哪一步用分步计数原理 哪一步用分类计数原理 2 两个方向的解题途径 对于较复杂的问题 一般都有两个方向的列式途径 一个是正面直接解 一个是反面排 除法 前者是指按要求 一点一点选出符合要求的方案 后者是指先按照全局性的要求 选 出方案 再把不符合其他要求的方案排除掉 这两个途径的优劣因题而异 一般地 一道题目 正面解 很繁琐时 反面排除 往 往简单 反之亦然 3 分析问题的两个方向 分析问题时 我们往往从元素和位置两个方向插手 一般情况 从算理上说 从特殊元 素和特殊位置两个方向都能解决问题 但具体问题从特元与特位上作对比 则可能大相径庭 差距很大 因此平常做题时 这两种训练都要进行 4 特别强调一题多解 一题多解 可以从不同角度分析同一问题 加深对分类计数原理 分步计数原理及排列 组合的深刻认识与体会 同时 一题多解也是解排列组合问题最有效 最主要的检验方法 4 对常见问题分类总结 关于数字问题 要注意 0 这个特元 关于人或物的排列问题 要注意元素相邻 往 往采取 捆绑法 看成一个整体 元素不相邻 则往往采取 插空 的方法 二 例题分析 例 1 二 例题分析 例 1 1 用 0 1 2 3 4 组合多少无重复数字的四位数 2 这四位数中能被 3 整除的数有多少个 解解 1 直接分类法 特元法 特位法 先考虑首位 可以从 1 2 3 4 四个数字中任取一个 共种方法 再 考虑其它三个位置 可以从剩下的四个数字中任取 3 个 即种方法 则共有 96 种方法 即 96 个无重复数字的四位数 间接排除法 先从五个数字中任取四个排成四位数 再排除不符合要求的四位数即 0 在首位的四位数 则共有 96 个 2 能被 3 整除的四位数应该是四位数字之和为 3 的倍数 分析 因为不含 0 时 1 2 3 4 10 10 不是 3 的倍数 所以组成的四位数必须有 0 即 0 1 2 3 或 0 2 3 4 共有 2 36 个 例 2 例 2 用 0 1 2 3 4 五个数字组成无重复数字的五位数从小到大依次排列 1 第 49 个数是多少 2 23140 是第几个数 解 解 1 首位是 1 2 3 4 组成的五位数各 24 个 所以第 49 个数是首位为 3 的最小的一 个自然数 即 30124 2 首位为 1 组成 24 个数 首位为 2 第二位为 0 1 共组成 12 个数 首位为 2 第二位为 3 第三位为 0 的数共 2 个 首位为 2 第二位为 3 第三位为 1 第四位为 0 的数有 1 个 为 23104 由分类计数原理 1 39 按照从小到大的顺序排列 23104 后面的五位数就是 23140 所以 23140 是第 40 个数 例 3 例 3 5 男 6 女排成一列 问 1 5 男排在一起有多少种不同排法 2 5 男都不排在一起有多少种排法 3 5 男每两个不排在一起有多少种排法 4 男女相互间隔有多少种不同的排法 解 解 1 先把 5 男看成一个整体 得 5 男之间排列有顺序问题 得 共 种 2 全排列除去 5 男排在一起即为所求 得 3 因为男生人数少于女生人数 利用男生插女生空的方法解决问题 得 4 分析利用男生插女生空的方法 但要保证两女生不能挨在一起 得 例 4 例 4 3 名医生和 6 名护士被分配到 3 个单位为职工体检 每单位分配 1 名医生和 2 名 护士 不同的分配方案有多少种 解解 3名医生分到3个单位有种方案 6名护士分到3个单位 每个单位2名有 种 根据分步计数原理 共有 540 种方案 例 5 例 5 四面体的顶点和各棱中点共 10 个点 在其中取 4 个点 可以组成多少个不同的 三棱锥 解 解 组成三棱锥 只需 4 个点不共面 考虑到直接法有困难 故采用间接排除法 从 10 个点中任取 4 个点有中 其中 4 个点共面有三类情况 4 个点位于四面体的 同一面中 有 4种 取任一条棱上的 3 个点 及该棱对棱的中点 这四点共面共有 6 种 由中位线构成的平行四边形 其两组对边分别平行于四面体相对的两条棱 它的 4 个顶点共面有 3 种 所以不同的取法共有 4 6 3 141 种 例 6 例 6 求证 1 2 证明 证明 1 另一种解释 对于含某元素 a 的 n 1 个元素中取 m 个元素的排列可分为两类 一类是不 含元素 a 的 有个 另一类是含元素 a 的 有 m个 因此共有 m 个 即 m 2 另一种解释 对于含有某元素 a 的 n 1 个元素中取 m 个元素的组合可分为两类 一类是 不含元素 a 的 有个 另一类是含元素 a 的有个 因此共有 个 即 三 课外练习 三 课外练习 1 用 1 2 3 4 5 这五个数字组成没有重复数字的三位数 其中偶数共有 A 24 个B 30 个C 40 个D 60 个 2 5 男 2 女排成一排 若女生不能排在两端 且又要相邻 不同的排法有 A 480 种B 960 种C 720 种D 1440 种 3 某天课表中 6 节课需从 4 门文科 4 门理科中选出 6 门课程排出 其中文科交叉排 且一 二节必须排语文 数学 则不同的排法共有 种 4 在 50 件产品中有 4 件是次品 其余均合格 从中任意取出 5 种 至少 3 件是次品的 取法共有 种 5 正方体的 8 个顶点可确定不同的平面个数为 以这些顶点为顶点的四面体 共有 个 参考答案 参考答案 1 A2 B 3 72 先选出另两门文科 理科有种 又因为文科交叉且一 二节必须排语文 数学有种 所以有 72 种 4 4186 5 12 20 2 6 58 测试 选择题 测试 选择题 1 不等式 3的解集是 A x x 3 B x x 4 x N C x 3 x3 x N 2 数 A 一定是奇数B 一定是偶数 C 奇偶性由 n 的奇偶性来决定D 以上结论都不对 3 用 0 1 2 3 这四个数字组成个位数不是 1 的没有重复数字的四位数共有 个 A 16B 14C 12D 10 4 要排一个有 5 个独唱节目和 3 个舞蹈节目的节目单 如果舞蹈节目不排头 并且任 何 2 个舞蹈节目不连排 则不同的排法种数是 A B C D 5 若直线方程 Ax By 0 的系数 A B 可以从 0 1 2 3 6 7 等六个数字中取不同的 数值 则这些方程所表示的直线条数是 A 2B C 2D 6 不同的 5 种商品在货架上排成一排 其中 a b 两种必须排在一起 而 c d 两种不 能排在一起 则不同的排法共有 A 12 种B 20 种C 24 种D 48 种 7 有 5 列火车停在某车站并行的 5 条轨道上 若快车 A 不能停在第 3 道上 货车 B 不 能停在第 1 道上 则 5 列火车的停车方法共有 A 78 种B 72 种C 120 种D 96 种 8 用 0 1 2 3 4 5 六个数字组成没有重复数字的六位奇数的个数是 A B C D 9 由数字 0 1 2 3 4 5 组成没有重复数字的六位数 其中个位数字小于十位数字 的共有 A 210 个B 300 个C 464 个D 600 个 10 从全班 50 名学生中 选出 6 名三好学生 其中地区级 1 名 县级 2 名 校级 3 名 求不同选法的种数 对于这道题 甲列式子 乙列式子 丙列式子 其中所列式子 A 全正确B 仅甲 乙正确C 仅乙 丙正确D 仅甲 丙正确 答案与解析 答案 答案与解析 答案 1 D2 B3 B4 C5 B6 C7 A8 A9 B10 A 解析 解析 1 选 D 2 选 B 3 选 B 14 个 4 选 C 5 个独唱节目的排法是 舞蹈不需排在头一个节目 又需任何两个舞蹈节 目不连排 只要把舞蹈节目插入独唱节目构成的 5 个空隙中即可 即舞蹈的排法是 故 选择 C 5 选 B 先考虑非零的 5 个数字 它们可以组成不同的直线是 2 条 再加入 A B 中恰有一个不为零时所表示的两条直线 故选 B 6 2 4 2 3 24 故本题应选 C 7 不考虑不能停靠的车道 5 辆车共有 5 120 种停法 A 停在 3 道上的停法 4 24 种 B 停在 1 道上的停法 4 24 种 AB 分别停在 3 道 1 道上的停法 3 6 种 故符合题意的停法 120 24 24 6 78 种 故本题应选 A 8 末位只能取 1 3 5 只有 3 种可能 首位又不能取 0 只有 4 种可能 共有 3 4 种可能 故本题应选 A 9 由 0 1 2 3 4 5 组成的没有重复数字的六位数共有个 其中个位数 字小于十位数字与十位数字小于个位数字的个数是一样的 因此满足条件的六位数共有 300 个 故本题应选 B 10 解法 1 种 解法 2 种 解法 3 种 故本题 应选 A 课外拓展课外拓展 排列 排列数公式 疑难问题解析排列 排列数公式 疑难问题解析 1 1 理解排列的概念 必须注意以下几点 理解排列的概念 必须注意以下几点 1 定义中规定给出的 n 个元素各不相同 并且只研究被取出的元素也各不相同的情 况 也就是说 如果某个元素已被取出 则这个元素就不能再取了 否则就变成了取出两个 相同的元素 2 在定义中 包含两方面的内容 第一是选元素 从 n 个不同元素中任取 m 个不同元素 要注意被取的元素是什么 取出的元素又是什么 即明确问题中的 n 和 m 各是什么 第二是排顺序 将取出的 m 个元素按照一定的顺序排成一列 有排顺序的要求是排 列问题中的本质属性 3 由于是从 n 个不同元素中取出 m 个不同元素 因此必有 m n 当 m n 时 即所有元 素都取出的排列 这种特殊的排列叫做全排列 4 定义中的 一定顺序 是与位置有关的问题 对有些具体情况 如取出数字 1 2 3 组成三位数 就与位置有关 因 123 和 132 是不同的三位数 但如取出数字 1 2 3 考虑 它们的和 则与位置无关 2 2 写出所有排列的方法 写出所有排列的方法 排列是指具体的排法 如一个排列 ABC 是指 A 排在左端 B 排在中间 C 排在右端这 一具体排法 在写具体的排列时 必须按一定规律写 否则容易造成重复或遗漏 我们常用 画树形图的方法逐一写出所有排列 如 写出 A B C D 四个元素中任取两个元素的所有排列 所有排列为 AB AC AD BA BC BD CA CB CD DA DB DC 共有 12 种不同的排 列 3 3 相同排列 相同排列 从排列定义知道 如果两个排列相同 不仅这两个排列的元素必须完全相同 而且排列 的顺序也必须完全相同 例如 AB 和 BA 虽然元素相同 但由于顺序不同 所以就不是两 个相同的排列 而是两个不同的排列 4 4 排列问题的判断 排列问题的判断 如何判断一个具体问题是不是排列问题 就看从 n 个不同元素中取出的 m 个元素是有序 还是无序 有序是排列 无序就不是排列 例如 从 2 3 7 21 四个数中任取两个数相加 可得到多少个不同的和 这四个数中任取两个数出来以后做加法 因为加法满足交换律 2 3 3 2 它们的和与顺序无关 因此就不是排列问题 如果从上面这四个数中任取两个相减 一共有多少个不同的差 因为 3 2 2 3 这里 有被减数和减数的区别 取出的两个数 2 与 3 就与顺序有关了 这就属排列问题 5 5 排列与排列数 排列与排列数 要分清 排列 和 排列数 这两个不同的概念 一个排列是指从 n 个不同元素中 任 取 m 个元素 按照一定顺序排成一列的一种具体排法 它不是数 而排列数是指从 n 个不同 元素中取 m 个不同元素的所有排列的个数 它是一个数 如从 a b c 中任取两个元素的排 列可以有以下 6 种 ab ac ba bc ca cb 每一种都是一个排列 而数字 6 就是排列数 6 6 关于排列数公式 关于排列数公式 1 排列数公式 An m n n 1 n m 1 其特点是 从自然数 n 开始 后一个因数比前一 个因数小 1 最后一个因数是 n m 1 共 m 个因数相乘 2 当 m n 时 排列数公式为 An n n 相应地从 n 个不同元素中将元素全部取出的一个 排列是全排列 7 7 关于排列的应用题 关于排列的应用题 在解关于排列的应用题时 要特别注意如下几点 1 弄清题意 要明确题目中的事件是什么 可以通过怎样的程序来完成这个事件 进 而是采用相应的计算方法 不能乱套公式 盲目地计算 2 弄清问题的限制条件 注意特殊元素和特殊的位置 必要时可画出图形帮助思考 3 合理的分类 分类计数原理 和分步 分步计数原理 即通过讨论来解决问题 在排列问题中 常分如下两类基本的方法 1 直接法 从条件出发 直接考虑符合条件的排列数 2 间接法 先不考虑限制条件 求出所有排列数 然后再从中减去不符合条件的排列 数 排除法 组合 组合数公式 疑难问题解析组合 组合数公式 疑难问题解析 1 1 组合与排列的联系和区别 组合与排列的联系和区别 相同点 排列和组合都是从 n 个不同元素中取出 m m n 个元素 不同点 排列与组合的区别在于元素取出以后 是 排成一排 还是 组成一组 其实质就是取出的元素是不是存在顺序上的差异 因此 区分排列问题和组合问题的主要标 志是 是否与元素的排列顺序有关 有顺序的是排列问题 无顺序的则是组合问题 例如 123 和 321 132 是不同的排列 但它们都是相同的组合 再如两人互通一次信是排列问题 互握一次手则是组合问题 2 2 组合与组合数 组合与组合数 和排列与排列数之间的区别一样 组合 和 组合数 是两个不同的概念 一个组合 是指 从 n 不同元素中 任取 m m n 个元素 并成一组 它不是一个数 而是具体的一 件事 组合数是指 从 n 个不同元素中取出 m 个元素的所有组合的个数 它是一个数 例 如 从 3 个元素 a b c 每次取出 2 个元素的组合为 ab ac bc 其中每一种都叫一个组 合 共 3 种 而数字 3 就是组合数 3 3 组合应用题 组合应用题 1 众所周知 有顺序要求的是排列问题 无顺序要求的是组合问题 重要的是对 顺 序 的理解 什么叫做有顺序 这需要通过解题来加深理解 2 设计好完成事件的程序 并灵活应用分类处理的方法来处理复杂的问题 在分类时 要注意做到不重复 不遗漏 组合数的两个性质 疑难问题解析组合数的两个性质 疑难问题解析 1 1 对组合数的两个性质的理解 对组合数的两个性质的理解 1 要能利用组合数的意义来理解上述两项性质 因为从 n 个不同的元素中取出 m 元素后 就剩下 n m 个 因此从 n 个不同元素中取出 m 个元素的方法 与从 n 个元素中取出 n m 个元素的方法是一一对应的 因此是一样多的 这 就是性质 1 揭示的意义 在确定从 n 1 个元素中取 m 个元素的方法时 对于某一个元素 只存在取与不取的两种 可能 如果取这一个元素 则需从剩下的 n 个元素中取出 m 1 个元素 所以共有种 如果不取这一个元素 则需从剩下的 n 个元素中取出 m 个元素 所以共有种 由分类计数原理 得 上述推理过程中可以看成是对组合数两个性质的构造性证明 这种方法不仅可以加深我 们对公式的理解 而且也是证明组合恒等式等问题的一种重要思路 2 利用组合数及组合数的性质可推出如下两个常用结论 3 组合数的两个性质 n m 在有关组合数的计算 化简 证明等方面有着广泛的应用 2 2 排列 组合的应用问题 排列 组合的应用问题 1 排列应用题 无限制条件的简单排列应用题解法步骤 一转化二求值 三作答 有附加条件的排列应用题解法 2 组合应用题 无限制条件的组合应用题 解法步骤 一判断二转化三求值四作答 有限条件的组合应用题 a 类型 含 与 不含 的问题 b 解法 直接法 间接法 可将条件视为特殊元素与特殊位置 一般来讲 特殊者优 先满足 其余则 一视同仁 c 分类的依据 至多 至少 3 排列 组合综合题 一般解法 先选元素后排列 同时注意按元素的性质分类或按事件的发生过程分步 类 型 分组 分配 群排列等 3 3 解排列组合问题的基本思路 解排列组合问题的基本思路 1 对带有限制条件的排列问题 要掌握基本的解题思想方法 有特殊元素或特殊位置的排列 通常是先排特殊的元素或特殊位置 元素必须相邻的排列 可以先将相邻的元素看作一个整体 元素不相邻的排列 可以制造空档插进去 元素有顺序限制的排列 可以先不考虑顺序 排列后再利用规定顺序的实情求结果 2 处理几何中的计算问题 注意 对应关系 如不共线三点对一个三角形 不共面 四点可以确定一个四面体等等 可借助图形来帮助思考 并善于利用几何性质于解题中 3 对于有多个约束条件的问题 可以通过分析每个约束条件 然后再综合考虑是分类 或分步 或交替使用两个原理 也可以先不考虑约束条件 然后扣除不符合条件的情况获得 结果 4 要注意正确理解 有且仅有 至多 至少 全是 都不是 不 都是 等词语的确切含意 专题辅导 解排列组合问题的策略 专题辅导 解排列组合问题的策略 要正确解答排列组合问题 第一要认真审题 弄清楚是排列问题还是组合问题 还是排 列与组合混合问题 第二要抓住问题的本质特征 采用合理恰当的方法来处理 做到不重不 漏 第三要计算正确 下面将通过对若干例题的分析 探讨解答排列组合问题的一些常见策 略 供大家参考 一 解含有特殊元素 特殊位置的题 采用特殊优先安排的策略一 解含有特殊元素 特殊位置的题 采用特殊优先安排的策略 对于带有特殊元素的排列问题 一般应先考虑特殊元素 特殊位置 再考虑其他元素与 其他位置 也就是解题过程中的一种主元思想 例 1例 1 用 0 2 3 4 5 这五个数字 组成没有重复数字的三位数 其中偶数共有 A 24 个B 30 个C 40 个D 60 个 解 解 因组成的三位数为偶数 末尾的数字必须是偶数 又 0 不能排在首位 故 0 是其中 的 特殊 元素 应优先安排 按 0 排在末尾和 0 不排在末尾分为两类 当 0 排在末尾时 有个 当 0 不排在末尾时 三位偶数有个 据加法原理 其中偶数共有 30 个 选 B 若含有两个或两个以上的特殊位置或特殊元素 则应使用集合的思想来考虑 这里仅举 以下几例 1 1 无关型无关型 两个特殊位置上分别可取的元素所组成的集合的交是空集两个特殊位置上分别可取的元素所组成的集合的交是空集 例例 2 2 用 0 1 2 3 4 5 六个数字可组成多少个被 10 整除且数字不同的六位数 解 解 由题意可知 两个特殊位置在首位和末位 特殊元素是 0 首位可取元素的集合 A 1 2 3 4 5 末位可取元素的集合 B 0 A B 如图 1 所示 末位上有种排法 首位上有种不同排法 其余位置有种不同排法 所以 组成的符合题意的六位数是 120 个 说明 说明 这个类型的题目 两个特殊位置上所取的元素是无关的 先分别求出两个特殊位 置上的排列数 不需考虑顺序 再求出其余位置上的排列数 最后利用乘法原理 问题即可 得到解决 2 2 包合型包合型 两个特殊位置上分别可取的元素所组成集合具有包合关系两个特殊位置上分别可取的元素所组成集合具有包合关系 例例 3 3 用 0 1 2 3 4 5 六个数字可组成多少个被 5 整除且数字不同的六位奇数 解 解 由题意可知 首位 末位是两个特殊位置 0 是特殊元素 首位可取元素的集 合 A 1 2 3 4 5 末位可取元素的集合 B 5 BA 用图 2 表示 末位上只能取 5 有种取法 首位上虽然有五个元素可取但元素 5 已经排在末位了 故只有种不同取法 其余四个位置上有种不同排法 所以组成的符合题意的六位 数有 96 个 说明 说明 这个类型的题目 两个特殊位置上所取的元素组成的集合具有包含关系 先求被 包合的集合中的元素在特殊位置上的排列数 再求另一个位置上的排列数 次求其它位置上 排列数 最后利用乘法原理 问题就可解决 3 3 影响型影响型 两个特殊位置上可取的元素既有相同的 又有不同的 这类题型在高考中 比较常见 两个特殊位置上可取的元素既有相同的 又有不同的 这类题型在高考中 比较常见 例例 4 4 用 1 2 3 4 5 这五个数字 可以组成比 20000 大并且百位数字不是 3 的没有 重复数字的五位数有多少个 解 解 由题意可知 首位和百位是两个特殊位置 3 是特殊元素 首位上可取元素的 集合 A 2 3 4 5 百位上可取元素的集合 B 1 2 4 5 用图 3 表示 从图中可以看出 影响型可分成无关型和包含型 首先考虑首位是 3 的五位数共有 个 再考虑首位上不是 3 的五位数 由于要比 20000 大 首位上应该是 2 4 5 中 的任一个 种选择 其次 3 应排在千位 十位与个位三个位置中的某一个上 种 选择 最后还有三个数 三个位置 有种排法 于是首位上不是 3 的大于 20000 的五 位数共有个 综上 知满足题设条件的五位数共有 78 个 二 解含有约束条件的排列组合问题一 采用合理分类与准确分步的策略二 解含有约束条件的排列组合问题一 采用合理分类与准确分步的策略 解含有约束条件的排列组合问题 应按元素的性质进行分类 按事件发生的连贯过程分 步 做到分类标准明确 分步层次清楚 不重不漏 例 5例 5 平面上 4 条平行直线与另外 5 条平行直线互相垂直 则它们构成的矩形共有 个 简析 简析 按构成矩形的过程可分为如下两步 第一步 先在 4 条平行线中任取两条 有 种取法 第二步再在 5 条平行线中任取两条 有种取法 这样取出的四条直线构成一 个矩形 据乘法原理 构成的矩形共有 60 个 例 6例 6 在正方体的 8 个顶点 12 条棱的中点 6 个面的中心及正方体的中心共 27 个点 中 共线的三点组的个数是多少 解 解 依题意 共线的三点组可分为三类 两端点皆为顶点的共线三点组共有 28 个 两端点皆为面的中心的共线三点组共有 3 个 两端点皆为各棱中点的共 线三点组共有 18 个 所以总共有 28 3 18 49 个 例 7例 7 某种产品有 4 只次品和 6 只正品 每只产品均可区分 每次取一只测试 直到 4 只次品全部测出为止 求第 4 只次品在第五次被发现的不同情形有多少种 解 解 先考虑第五次测试的产品有 4 种情况 在前四次测试中包含其余的 3 只次品和 1 只正品 它们排列的方法数是 6 依据乘法原理得所求的不同情形有 4 6 576 种 有些排列组合问题元素多 取出的情况也有多种 对于这类问题常用的处理方法是 可 按结果要求 分成不相容的几类情况分别计算 最后计算总和 例 8例 8 由数字 0 1 2 3 4 5 组成没有重复的 6 位数 其中个位数字小于十位数字 的共有 A 210 个B 300 个C 464 个D 600 个 分析 分析 按题意个位数字只可能是 0 1 2 3 4 共 5 种情况 符合题的分别有 个 合并总计 共有 300 个 故选 B 说明 说明 此题也可用定序问题缩位法求解 先考虑所有 6 位数 个 因个位数字 须小于个位数字 故所求 6 位数有 300 个 处理此类问题应做到不重不漏 即每两类的交集为空集 所有类的并集为合集 因此要 求合理分类 例 9例 9 已知集合 A 和集合 B 各含 12 个元素 A B 含有 4 个元素 试求同时满足下面的 两个条件的集合 C 的个数 1 CA B 且 C 中含有 3 个元素 2 C A 表示空集 分析 分析 由题意知 属于集合 B 而不属于集合 A 元素个数为 12 4 8 因此满足条件 1 2 的集合 C 可分为三类 第一类 含 A 中一个元素的集 C 有个 第二类 含 A 中二 个元素的集 C 有个 第三类 含 A 中三个元素的集 C 有个 故所求集 C 的个数 是 1084 有序分配问题是指把元素按要求分成若干组 分别分配到不同的位置上 对于这类问题 的常用解法 是先将元素逐一分组 然后再进行全排列 但在分组时要注意是否为均匀分组 例 10例 10 3 名医生和 6 名护士被分配到 3 所学校为学生体检 每校分配 1 名医生和 2 名护 土 不同的分配方法共有 A 90 种B 180 种C 270 种D 540 种 分析 分析 一 先分组 后分配 第一步 将 3 名医生分成 3 组 每组一人只有一种分法 第二步 将 6 名护士分成 3 组 每组 2 人有 种分法 第三步 将医生 3 组及护士 3 组进行搭配 使 每组有一名医生 2 名护士 有种搭配方法 第四步 将所得的 3 组分配到 3 所不同的 学校有种分配法 故共有不同的分配方法 540 种 故选 D 分析 分析 二 第一步 先将6名护士分配到3所不同学校 每所学校2名 则有 种 分法 第二步 再将 3 名医生分配到 3 所不同的学校 每所学校 1 人 有种分法 故共有 540 种 故选 D 说明 说明 处理此类问题应注意准确分步 三 解排列组台混合问题 采用先选后排策略三 解排列组台混合问题 采用先选后排策略 对于排列与组合的混合问题 可采取先选出元素 后进行排列的策略 例 11例 11 4 个不同小球放入编号为 1 2 3 4 的四个盒子 则恰有一个空盒的放法有 种 简析 简析 这是一个排列与组合的混合问题 因恰有一个空盒 所以必有一个盒子要放 2 个球 故可分两步进行 第一步选 从 4 个球中任选 2 个球 有种选法 从 4 个盒子中 选出 3 个 有种选法 第二步排列 把选出的 2 个球视为一个元素 与其余的 2 个球共 3 个元素对选出的 3 个盒子作全排列 有种排法 所以满足条件的放法共有 144 种 四 正难则反 等价转化策略四 正难则反 等价转化策略 对某些排列组合问题 当从正面入手情况复杂 不易解决时 可考虑从反面入手 将其 等价转化为一个较简单的问题来处理 即采用先求总的排列数 或组合数 再减去不符合要 求的排列数 或组合数 从而使问题获得解决的方法 其实它就是补集思想 例 12例 12 马路上有编号为 1 2 3 9 的 9 只路灯 为节约用电 现要求把其中的三 只灯关掉 但不能同时关掉相邻的两只或三只 也不能关掉两端的路灯 则满足条件的关灯 方法共有 种 简析 简析 关掉一只灯的方法有 7 种 关第二只 第三只灯时要分类讨论 情况较为复杂 换一个角度 从反面入手考虑 因每一种关灯的方法唯一对应着一种满足题设条件的亮灯与 暗灯的排列 于是问题转化为在 6 只亮灯中插入 3 只暗灯 且任何两只暗灯不相邻 且暗灯 不在两端 即从 6 只亮灯所形成的 5 个间隙中选 3 个插入 3 只暗灯 其方法有 10 种 故满足条件的关灯的方法共有 10 种 例 13例 13 甲 乙两队各出 7 名队员按事先排好的顺序出场参加围棋擂台赛 双方先由 1 号队员比赛 负者被淘汰 胜者再与负方 2 号队员比赛 直到有一方队员全被淘汰为止 另一方获胜 形成 种比赛过程 那么所有可能出现的比赛过程共有多少种 解 解 设甲队队员为 al a2 a7 乙队队员为 b1 b2 b7 下标表示事先安排好的出 场顺序 若以依次被淘汰的队员为顺序 比赛过程可类比为这 14 个字母互相穿插的一个排 列 最后是胜队中获胜队员和可能未参赛的队员 如 a1a2b1b2a3b3b4b5a4b6b7a5a6a7 所表示为 14 个位置中取 7 个位置安排甲队队员 其余位置安排乙队队员 故比赛过程的总数为 3432 例例 1414 有 2 个 a 3 个 b 4 个 c 共九个字母排成一排 有多少种排法 分析 分析 若将字母作为元素 1 9 号位置作为位子 那么这是一个 不尽相异元素的全 排列 问题 若转换角色 将 1 9 号位置作为元素 字母作为位子 那么问题便转化成一 个相异元素不许重复的组合问题 即共有 1260 种 不同的排法 有些问题反面的情况为数不多 容易讨论 则可用剔除法 对有限制条件的问题 先以总体考虑 再把不符合条件的所有情况剔除 这是解决排列 组合应用题时一种常用的解题策略 例 15例 15 四面体的顶点和各棱中点共有 10 个点 在其中取 4 个不共面的点 不同的取法 共有 A 150 种B 147 种C 14 种D 141 种 分析 分析 在这 10 个点中 不共面的不易寻找 而共面的容易找 因此 采用剔除法 由 10 个点中取出 4 个点的组合数 减去 4 个点共面的个数即为所求 4 点共面情形可分 三类 第一类 四面体每个面中的四个点共面 共有 4 60 种 第二类 四面体的每 2 组对棱的中点构成平行四边形 则这四点共面 共有 3 种 第三类 四面体的一条棱上三 点共线 这三点与对棱中点共面 共有 6 种 故 4 点不共面的取法有 4 6 3 141 种 例 16例 16 从 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 这 10 个数中取出 3 个数 使和为不小于 10 的偶数 不同的取法有多少种 解 解 从这 10 个数中取出 3 个不同的偶数的取法有种 取 1 个偶数和 2 个奇数的取法 有种 另外 从这 10 个数中取出 3 个数 使其和为小于 10 的偶数 有 9 种不同取 法 因此 符合题设条件的不同取法有 9 51 种 五 解相邻问题 采用 捆绑 策略五 解相邻问题 采用 捆绑 策略 对于某几个元素要求相邻的排列问题 可先将相邻的元素 捆绑 起来看作一个元素与 其他元素排列 然后再在相邻元素之间排列 事实上 这种方法就是将相邻的某几个元素 优先考虑 让这些特殊元素合成一个元素 与普通元素排列后 再松绑 例 17例 17 A B C D E 五人并排站成一排 如 A B 必相邻 且 B 在 A 右边 那么不同 排法有 A 24 种B 60 种C 90 种D 120 种 分析 分析 将特殊元素 A B 按 B 在 A 的右边 捆绑 看成一个大元素 与另外三个元素全 排列 由 A B 不能交换 故不再 松绑 选 A 例 18例 18 5 人成一排 要求甲 乙相邻 有几种排法 解 解 将甲 乙 捆绑 成一个元素 加上其他 3 元素 共 4 元素 全排列有种 甲 乙内部的排列有种 故共有 48 种 也可以这样理解 先让甲 丙 丁 戊 排成一列有种 再将乙插入甲的左边或右 边 有种 共 48 种 例 19例 19 计划展出 10 幅不同的画 其中一幅水彩画 4 幅油画 5 幅国画 排成一行陈 列 要求同一品种的画必须连在一起 并且水彩画不放在两端 那么不同的陈列方式有多少 种 A B C D 分析 分析 先把 3 种品种的画各看成整体 而水彩画不能放在头尾 故只能放在中间 又油 画与国画有种放法 再考虑油画与国画本身又可以全排列 故排列的方法为 故选 D 例例 2020 5 名学生和 3 名老师站成一排照相 3 名老师必须站在一起的不同排法共有 种 简析 简析 将 3 名老师捆绑起来看作一个元素 与 5 名学生排列 有种排法 而 3 名老 师之间又有种排法 故满足条件的排法共有 4320 种 用 捆绑 法解题比较简单 实质是通过 捆绑 减少了元素 它与下面要提到的 插 孔 法结合起来 威力便更大了 六 解不相邻问题 采用 插孔 策略六 解不相邻问题 采用 插孔 策略 对于某几个元素不相邻的排列问题 可先将其他元素排列好 然后再将不相邻的元素在 这些排好的元素之间及两端的空隙中插入 例 21例 21 7 人站成一行 如果甲 乙两人不相邻 则不同的排法种数是 A 1440 种B 3600 种C 4320 种D 4800 种 简析 简析 先让甲 乙之外的 5 人排成一行 有种排法 再让甲 乙两人在每两人之 间及两端的六个间隙中插入 有种方法 故共有 3600 种排法 选 B 例 22例 22 要排一个有 6 个歌唱节目和 4 个舞蹈节目的演出节目单 任何两个舞蹈不相邻 问有多少种不同排法 分析 分析 先将 6 个歌唱节目排成一排有种排法 6 个歌唱节目排好后包括两端共有 7 个 间隔 可以插入 4 个舞蹈节目有种 故共 6 604800 种不同排法 例 23例 23 从 1 2 3 2000 这 2000 个自然数中 取出 10 个互不相邻的自然数 有 多少种方法 解 解 将问题转化成把 10 名女学生不相邻地插入站成一列横列的 1990 名男生之间 包括 首尾两侧 有多少种方法 因为任意相邻 2 名男学生之间最多站 1 名女学生 队伍中的男学生首尾两侧最多也可各 站 1 名女学生 于是 这就是 1991 个位置中任选 10 个位置的组合问题 故共有种方 法 利用 插孔 法 也可以减少元素 从而简化问题 例 24例 24 一排 6 张椅子上坐 3 人 每 2 人之间至少有一张空椅子 求共有多少种不同的 坐法 解 解 将问题转化成把 3 个人坐 5 张椅子 然后插一把空椅子问题 3 个人若坐 5 张椅子 每 2 人之间一张空椅子 坐法是固定的有种不同的坐法 然 后 将余下的那张椅子插入 3 个坐位的 4 个空隙 有 4 种插法 所以共有 4 24 种不同 的坐法 七 解定序问题 采用除法策略七 解定序问题 采用除法策略 对于某几个元素顺序一定的排列问题 可先把这几个元素与其它元素一同进行排列 然 后用总排列数除以这几个元素的全排列数 这其实就是局部有序问题 利用除法来 消序 例 25例 25 由数字 0 1 2 3 4 5 组成没有重复数字的六位数 其中个位数小于十位数 字的共有 A 210 个B 300 个C 464 个D 600 个 简析 简析 若不考虑附加条件 组成的六位数共有个 而其中个位数字与十位数字 的种排法中只有一种符合条件 故符合条件的六位数共 300 个 故选 B 例 26例 26 信号兵把红旗与白旗从上到下挂在旗杆上表示信号 现有 3 面红旗 2 面白旗 把这 5 面旗都挂上去 可表示不同信号的种数是 用数字作答 分析 分析 5 面旗全排列有种挂法 由于 3 面红旗与 2 面白旗的分别全排列均只能作一 次的挂法 故共有不同的信号种数是 10 种 说明 说明 此题也可以用组合来解 只需 5 个位置中确定 3 个 即 10 例 27例 27 有 4 个男生 3 个女生 高矮互不相等 现将他们排成一行 要求从左到右 女 生从矮到高排列 有多少种排法 分析 分析 先在 7 个位置上任取 4 个位置排男生 有种排法 剩余的 3 个位置排女生 因要求 从矮到高 只有一种排法 故共有 840 种 在处理分堆问题时 有时几堆中元素个数相等 这时也要用除法 例 28例 28 不同的钢笔 12 支 分 3 堆 一堆 6 支 另外两堆各 3 支 有多少种分法 解 解 若 3 堆有序号 则有 但考虑有两堆都是 3 支 无须区别 故共 有 9240 种 例 29例 29 把 12 支不同的钢笔分给 3 人 一人得 6 支 二人各得 3 有几种分法 解 解 先分堆 有 种 再将这三堆分配给三人 有种 共有 3 种 本题亦可用 选位 选项法 即 3 八 解分排问题 采用直排处理的策略八 解分排问题 采用直排处理的策略 把 n 个元素排成前后若干排的排列问题 若没有其他特殊要求 可采取统一排成一排的 方法来处理 例 30例 30 两排座位 第一排 3 个座位 第二排 5 个座位 若 8 位学生坐 每人一个座位 则不同的坐法种数是 A B C D 简析 简析 因 8 名学生可在前后两排的 8 个座位中随意入坐 再无其他条件 所以两排座位 可看作一排来处理 其不同的坐法种数是 故应选 D 九 解 小团体 排列问题 采用先整体后局部策略九 解 小团体 排列问题 采用先整体后局部策略 对于 小团体 排列问题 可先将 小团体 看作一个元素与其余元素排列 最后再进 行 小团体 内部的排列 例 31例 31 三名男歌唱家和两名女歌唱家联合举行一场音乐会 演出的出场顺序要求两名 女歌唱家之间恰有一名男歌唱家 其出场方案共有 A 36 种B 18 种C 12 种D 6 种 简析 简析 按要求出场顺序必须有一个小团体 女男女 因此先在三名男歌唱家中选一名 有种选法 与两名女歌唱家组成一个团体 将这个小团体视为一个元素 与其余 2 名男 歌唱家排列有种排法 最后小团体内 2 名女歌唱家排列有种排法 所以共有 36 种出场方案 选 A 十 简化计算繁琐类问题 采用递归策略十 简化计算繁琐类问题 采用递归策略 所谓递归策略 就是先建立所求题目结果的一个递推关系式 再经简化题目条件得出初 始值 进而递推得到所求答案 例 32例 32 有五位老师在同一年级的 6 个班级中 分教一个班的数学 在数学会考中 要 求每位老师均不在本班监考 共有安排监考的方法总数是多少 解 解 记 n 元安排即 al a2 an个元素的排列 且满足 ai不在第 i 位上的方法总数 为 an 固定 n 1 个元素不动的排法是 1 固定 n 2 个元素不动的排法是 固定 n 3 个元素不动的排法是 固定 1 个元素不动的排法是 an 1 an n 1 an 1 n 3 n N 容易计算得 a2 1 由上式递推可得 a3 2 a4 9 a5 44 因此 共有安排监考的方案总数为 44 种 十一 解较复杂的排列问题 采用构造型策略十一 解较复杂的排列问题 采用构造型策略 对较复杂的排列问题 可通过构造一个相应的模型来处理 例 33例 33 某校准备组建一个 18 人的足球队 这 18 人由高一年级 10 个班的学生组成 每 个班级至少 1 人 名额分配方案共有 种 简析 简析 构造一个隔板模型 如图 取 18 枚棋子排成一列 在相邻的每两枚棋子形成的 17 个间隙中选取 9 个插入隔板 将 18 枚棋子分隔成