最大无关组的定义.pdf

上页下页结束返回首页 复习复习 最大无关组的定义最大无关组的定义 012 012 0 0 1 2 r r AA A AA AA 设向量组是向量组的一个部分组 且满足 向量组线性无关 向量组的任一向量都能由向量组线性表示 那么向量组是向量组的一个最大无关组 设向量组是向量组的一个部分组 且满足 向量组线性无关 向量组的任一向量都能由向量组线性表示 那么向量组是向量组的一个最大无关组 关 个向量的话 都线性相 中有个向量 如果中任意 向量组 关 个向量的话 都线性相 中有个向量 如果中任意 向量组 1 12 r ArA 上页下页结束返回首页 问题 齐次方程组的解向量集中的最大无关组是什么 问题 齐次方程组的解向量集中的最大无关组是什么 解集 设齐次线性方程组 解集 设齐次线性方程组 075 032 022 4321 421 4321 xxxx xxx xxxx 2211 cc 1 0 3 4 0 1 2 3 21 4 3 2 1 cc x x x x 1 12212 R Sxccc c 易知 易知 的最大无关组 是 线性无关 故 而的最大无关组 是 线性无关 故 而S 2121 上页下页结束返回首页 4 4 线性方程组解的结构 一 齐次线性方程组解的性质 解向量的概念 设有齐次线性方程组设有齐次线性方程组 0 0 0 2211 2222121 1212111 nmnmm nn nn xaxaxa xaxaxa xaxaxa 1 若记若记 上页下页结束返回首页 aaa aaa aaa A mnmm n n 21 22221 11211 n x x x x 2 1 则上述方程组 则上述方程组 1 可写成向量方程 可写成向量方程 Ax0 1212111nn x x x 若为方程的若为方程的 0 Ax 解 则解 则 上页下页结束返回首页 1 21 11 1 n x 称为方程组称为方程组 1 的的解向量解向量 它也就是向量方程 它也就是向量方程 2 的解 的解 上页下页结束返回首页 齐次线性方程组解的性质 1 1 若为的解 则若为的解 则 21 x x0 Ax 21 x 0 Ax也是的解 也是的解 0 2121 AAA00 21 A A 证明证明 Axx的解也是故的解也是故0 21 2 2 若为的解 为实数 则 也是的解 若为的解 为实数 则 也是的解 1 x0 Ax k 1 kx 0 Ax kkAkA00 11 证明证明 上页下页结束返回首页 二 基础解系及其求法 基础解系的定义 12 0 t Ax 称为齐称为齐基础基础次线性方程组次线性方程组 解系解系 的 如果 的 如果 丅丅Ax t 的解集的最大无关组是的解集的最大无关组是0 1 21 的通解可表示为那么的一组基础解系 为齐次线性方程组如果 的通解可表示为那么的一组基础解系 为齐次线性方程组如果 0 Ax Ax t 0 21 tt kkkx 2211 说明 21 是任意常数其中是任意常数其中 rn kkk 上页下页结束返回首页 线性方程组基础解系的求法 设齐次线性方程组的系数矩阵为 并不妨 设 的前个列向量线性无关 设齐次线性方程组的系数矩阵为 并不妨 设 的前个列向量线性无关 r 于是可化为于是可化为 A AA 00 00 10 01 1 111 rnrr rn bb bb A 上页下页结束返回首页 0 00 00 10 01 2 1 1 111 n rnrr rn x x x bb bb 0 Ax nrn rrrr nrn r xbxbx xbxbx 11 11111 上页下页结束返回首页 现对取下列组数 现对取下列组数 nr x x 1 rn n r r x x x 2 1 0 1 0 0 0 1 1 0 0 nrn rrrr nrn r xbxbx xbxbx 11 11111 分别代入分别代入 上页下页结束返回首页 依次得依次得 r x x 1 b b r 0 0 1 1 11 1 0 1 0 2 12 2 r b b b b rn r rn rn 1 0 0 1 从而求得原方程组的个解 从而求得原方程组的个解 rn b b rn r rn 1 b b r 2 12 b b r 1 11 是齐次线性方程组的基础解系 是齐次线性方程组的基础解系 rn 21 上页下页结束返回首页 下面证明是齐次线性方程组的基础解系 下面证明是齐次线性方程组的基础解系 rn 21 1 21 线性无关证明线性无关证明 n 02 21 线性表示的任一解都可由证明线性表示的任一解都可由证明 rn Ax 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 rn E r丆丆n乯乯R丆丆 乮乮 rn 21 所以所以 中有子式矩阵中有子式矩阵 21rn 即亦线性无关即亦线性无关 rn 21 上页下页结束返回首页 下面证明是齐次线性方程组的基础解系 下面证明是齐次线性方程组的基础解系 rn 21 1 21 线性无关证明线性无关证明 n 02 21 线性表示的任一解都可由证明线性表示的任一解都可由证明 rn Ax 0 2211rnrn cccxAx 的解因为的解因为 所以是齐次线性方程组解集的一个最大无关组所以是齐次线性方程组解集的一个最大无关组 rn 1 所以是齐次线性方程组的一个基础解系所以是齐次线性方程组的一个基础解系 rn 1 上页下页结束返回首页 0 rnRSr A R x A n s nm nm 的秩解集时 的系数矩阵的秩元齐次线性方程组 定理7定理7 说明说明 R An 当时 方程组只有零解 故没有基础解系当时 方程组只有零解 故没有基础解系 12 12 12 1 n r n r n r n r R Arnnr x R kkk kk 当时 方程组必有含个向量的 基础解系此时 方程组的解可表示为 其中 当时 方程组必有含个向量的 基础解系此时 方程组的解可表示为 其中 上页下页结束返回首页 P98 12 定理7是解方程组的理论基础 例1求齐次线性方程组 例1求齐次线性方程组 0377 02352 0 4321 4321 4321 xxxx xxxx xxxx 的基础解系与通解的基础解系与通解 解解对系数矩阵 作初等行变换 变为行最简矩 阵 有 对系数矩阵 作初等行变换 变为行最简矩 阵 有 A 0000 747510 737201 1377 2352 1111 A 上页下页结束返回首页 7 4 7 5 7 3 7 2 432 431 xxx xxx 便得便得 1 0 0 1 4 3 及令 及令 x x 74 73 75 72 2 1 及对应有 及对应有 x x 1 0 74 73 0 1 75 72 21 即得基础解系即得基础解系 上页下页结束返回首页 1 0 74 73 0 1 75 72 2121 4 3 2 1 R cccc x x x x 并由此得到通解并由此得到通解 注意 通解不唯一 注意 通解不唯一 上页下页结束返回首页 例2解线性方程组例2解线性方程组 07653 023 05532 034 54321 54321 54321 54321 xxxxx xxxxx xxxxx xxxxx 76513 12311 55312 34111 A 解解 对系数矩阵施对系数矩阵施 行初等行变换行初等行变换 上页下页结束返回首页 00000 00000 13110 34111 rn n rAR352 即方程组有无穷多解 即方程组有无穷多解 26220 26220 13110 34111 其基础解系中有三个线性无关的解向量其基础解系中有三个线性无关的解向量 5 4 3 x x x 令令 0 1 0 0 0 1 1 0 0 5432 54321 3 34 xxxx xxxxx 代入代入 上页下页结束返回首页 x x 1 2 2 1 依次得依次得 3 1 1 2 所以原方程组的一个基础解系为所以原方程组的一个基础解系为 0 0 1 1 2 1 故原方程组的通解为故原方程组的通解为 kkkx 332211 k k k为任意常数其中为任意常数其中 321 0 1 0 3 1 2 1 0 0 1 2 3 上页下页结束返回首页 P98 13 矩阵秩的性质8 定理7在向量组线性相关性中的应用 例3 设例3 设Am nBn l O 证明 证明 R A R B n 证明 则设证明 则设 21l bbbB Am nBn l O 0 0 0 21 l bbbA 1 0liAbi 0的解个列向量都是的的解个列向量都是的 AxlB 0 i AxSbS 设的解集则 设的解集则 21sl RbbbRBR 7 s R ARn 而由定理 知 而由定理 知 nBRAR 上页下页结束返回首页 P98 14 矩阵秩的性质8 定理7在向量组线性相关性中的应用 例4 证明 例4 证明 Am n与与Bl n的行向量组等价的充要条件是的行向量组等价的充要条件是 Ax 0与与Bx 0同解 同解 证明 证明 Am n与与Bl n行向量组等价行向量组等价 表示的行向量可心相互线性与表示的行向量可心相互线性与BA 00同解与 同解与 BxAx 上页下页结束返回首页 P98 14 矩阵秩的性质8 定理7在向量组线性相关性中的应用 例4 证明 例4 证明 Am n与与Bl n的行向量组等价的充要条件是的行向量组等价的充要条件是 Ax 0与与Bx 0同解 同解 00同解与同解与 BxAx 证明 证明 0 0 0 x B A Bx Ax 同解 同解 tn B A RBRAR tS的秩为设相同解集 的秩为设相同解集 TTTT BARBRAR 行向量组等价与列向量组等价与行向量组等价与列向量组等价与BABA TT 上页下页结束返回首页 P99 15 例5例5 ARAAR T 证明证明 维列向量为矩阵为设维列向量为矩阵为设nxnmA 证证 0 0 0 xAAAxAAxx TT 满足若 满足若 0 0 xAAxxAAx TT 满足若 满足若 00 AxAxAx T 见P51例16 0 0同解与综上可知方程组同解与综上可知方程组 xA A Ax T ARA A R T 因此因此 上页下页结束返回首页 三 非齐次线性方程组解的性质 非齐次线性方程组解的性质 0 1 2 121 的解为对应的齐次方程 则的解都是及设 的解为对应的齐次方程 则的解都是及设 Ax xbAxxx bAbA 21 证明证明 0 21 bbA 0 21 Axx满足方程即满足方程即 上页下页结束返回首页 0 2 的解仍是方程则的解 是方程的解是方程设 的解仍是方程则的解 是方程的解是方程设 bAxxAx xbAxx AAA 0bb 证明证明 的解是方程所以的解是方程所以bAxx 证毕 证毕 上页下页结束返回首页 非齐次线性方程组的通解 非齐次线性方程组非齐次线性方程组Ax b的通解为的通解为 11 rnrn kkx 其中为对应齐次线性方程 组的通解 为非齐次线性方程组的任意一个特 解 其中为对应齐次线性方程 组的通解 为非齐次线性方程组的任意一个特 解 rnrn kk 11 上页下页结束返回首页 与方程组有解等价的命题bAx 线性方程组有解线性方程组有解bAx 21 线性表示能由向量组向量线性表示能由向量组向量 n b 2121 等价与向量组向量组等价与向量组向量组b nn 2121 的秩相等 与矩阵矩阵 的秩相等 与矩阵矩阵bBA nn 上页下页结束返回首页 线性方程组的解法 1 应用克莱姆法则 1 应用克莱姆法则 特点 只适用于系数行列式不等于零的情形 特点 只适用于系数行列式不等于零的情形 计算量大 容易出错 但有重要的理论价值 可计算量大 容易出错 但有重要的理论价值 可 用来证明很多命题 用来证明很多命题 2 利用初等变换 2 利用初等变换 特点 适用于方程组有唯一解 无解以及有特点 适用于方程组有唯一解 无解以及有 无穷多解的各种情形 全部运算在一个矩阵 数无穷多解的各种情形 全部运算在一个矩阵 数 表 中进行 计算简单 易于编程实现 是有效表 中进行 计算简单 易于编程实现 是有效 的计算方法 的计算方法 上页下页结束返回首页 例4 求解方程组例4 求解方程组 2132 13 0 4321 4321 4321 xxxx xxxx xxxx 施行初等行变换对增广矩阵 施行初等行变换对增广矩阵B 213211 13111 01111 B 00000 212100 211011 解解 上页下页结束返回首页 并有故方程组有解可见并有故方程组有解可见 2 BRAR 212 21 43 421 xx xxx 0 42 xx 取取 2 1 31 xx 则 即得方程组的一个解 则 即得方程组的一个解 0 21 0 21 求特解求特解 上页下页结束返回首页 取中组在对应的齐次线性方程取中组在对应的齐次线性方程 2 43 421 xx xxx 求基础解系求基础解系 2 1 0 1 3 1 及则 及则 x x 1 0 0 1 4 2 及 及 x x 程组的基础解系即得对应的齐次线性方程组的基础解系即得对应的齐次线性方 1 2 0 1 0 0 1 1 21 上页下页结束返回首页 于是所求通解为于是所求通解为 0 21 0 21 1 2 0 1 0 0 1 1 2121 4 3 2 1 R cccc x x x x 上页下页结束返回首页 作业 P110 25 27 28 1 30 33 上页下页结束返回首页 四 小结 齐次线性方程组基础解系的求法 00 00 10 01 1 111 rn rr rn bb bb A 1 对系数矩阵 进行初等变换 将其化为 最简形 对系数矩阵 进行初等变换 将其化为 最简形 A 上页下页结束返回首页 2 得出 同时也可知方程组的一 个基础解系含有个线性无关的解向量 得出 同时也可知方程组的一 个基础解系含有个线性无关的解向量 rAR rn nrn rrrr nrn r xbxbx xbxbx Ax 11 11111 0由于由于 x x x n r r 1 0 0 0 1 0 0 0 1 2 1 令令 上页下页结束返回首页 b b r 0 0 1 1 11 1 b b r 0 1 0 2 12 2 b b rn r rn rn 1 0 0 1 b b b b b b x x rn r rn rrr 1 2 12 1 111 得得 故故 为齐次线性方程组的一个基础解系为齐次线性方程组的一个基础解系 上页下页结束返回首页 线性方程组解的情况 有解有解0 Ax nAR 个解向量此时基础解系中含有个解向量此时基础解系中含有ARn nBRAR nBRAR 有唯一解有唯一解bAx 有无穷多解有无穷多解bAx BRAR 无解无解bAx 上页下页结束返回首页 思考题 满足的三个解向量方程组 如果非齐次线性且矩阵是设 满足的三个解向量方程组 如果非齐次线性且矩阵是设 321 1 3 bAx ARmA 3 2 1 21 1 1 0 32 1 0 1 13 的通解求的通解求bAx 上页下页结束返回首页 思考题解答 1 3 ARmA矩阵是解矩阵是解 2130 无关的解向量 个线性的基础解系中含有 无关的解向量 个线性的基础解系中含有 Ax 则令则令 133221 cba 21 23 1 2 1 1 bca 23 23 0 2 1 3 acb 25 21 0 2 1 2 cba 上页下页结束返回首页 2 1 1 21 2 3 1 31 0的基础解系中的解向量为 的基础解系中的解向量为 Ax 的通解为故的通解为故bAx 21 23 1 2 3 1 2 1 1 21 3 2 1 kk x x x 21 为任意实数其中为任意实数其中 kk 上页下页结束返回首页 例5 求下述方程组的解例5 求下述方程组的解 123438 23622 2323 7 54321 5432 54321 54321 xxxxx xxxx xxxxx xxxxx 1213438 2362120 231213 711111 B解解 上页下页结束返回首页 000000 000000 2362120 711111 知方程组有解由知方程组有解由BRAR 3 2