第13课用导数研究三次函数的质.doc

1 第第 1313 课课 用导数研究三次函数的性质用导数研究三次函数的性质 课前自主探究 考纲链接考纲链接 1 掌握三次函数的定义和解析式 2 掌握用导数求三次函数的切线方程 单调区间 极值和最值 3 能利用三次函数的图象和性质解决与三次函数有关的问题 教材回归教材回归 基础重现 基础重现 1 三次函数的定义 形如 的函数叫做三次函数 2 三次函数的几种表达式 1 一般形式 2 已知函数的对称中心为 则 nm f x 3 已知函数图象与轴三个交点的横坐标 则 x f x 4 已知函数图象与轴的一个交点的横坐标 则 x 0 x f x 3 三次函数的性质 0 23 adcxbxaxxf 则的判别式 2 32 0 f xaxbxc a 2 320f xaxbx c 22 2124 4 bacbac 1 函数的定义域为 值域为 2 单调性 若 此时函数在上 是增函数 若 2 2120bac f x 令两根为且 则在上 2 2120bac 2 320fxaxbxc 12 x x 12 xx f x 单调递增 在 上单调递减 3 极值 若 此时函数无极值 若 且0 两根为且 此时函数在 处取极大值 2 320fxaxbxc 12 x x 12 xx f x 在 处取极小值 基础重现答案 基础重现答案 2 1 0 23 adcxbxaxy 2 3 32 0 f xaxbxcxd a 3 0 A xmB xmn a 4 0 a xxxa 2 0 0 xxaxmxn a 3 1 R R 2 R 3 12 xx 12 x x0 1 xx 1 xf 2 xx 2 xf 思维升华 思维升华 1 三次函数当且仅当 时是奇函数 dcxbxaxxf 23 2 三次函数的图象是对称图形吗 如果是 那么对称中dcxbxaxxf 23 心或对称轴是什么 2 思维升华答案 思维升华答案 1 2 图象关于点中心对称 0 db 3 3 a b f a b 证明如下 三次函数关于点 m n 对称的充要条件是dcxbxaxxf 23 即 nxmfxmf2 23 dxmcxmbxma 32 a mxb mx 整理得 2c mxdn ndmcbmamxbma2 2222 26 232 据多项式恒等对应系数相等 可得且 a b m 3 dmcbmamn 23 从而三次函数是中心对称曲线 且对称中心是 3 a b fmf 3 3 a b f a b 基础自测基础自测 1 函数 f x x 1 x2 x 1 的导数是 答案 答案 3x2 2 2009 江苏 在平面直角坐标系中 点 P 在曲线上 且在xoy 3 103C yxx 第二象限内 已知曲线 C 在点 P 处的切线的斜率为 2 则点 P 的坐标为 科网 答案 答案 2 15 解析解析 又点 P 在第二象限内 2 31022yxx 点 P 的坐标为 2 15 2x 3 过曲线 y x3 x 2 上的点 P0的切线平行于直线 y 4x 1 则切点 P0的坐标为 答案 答案 1 0 或 1 4 解析 解析 y 3x2 1 令 y 4 即 3x2 3 x 1 P0为 1 0 或 1 4 4 函数 f x x3 x2 x 在区间 2 1 上的最大值和最小值分别是 答案 答案 1 2 解析 解析 f x x3 x2 x f x 3x2 2x 1 令 3x2 2x 1 0 得x1 1 x2 f 2 2 3 2 2 2 2 f 1 1 f f 1 3 1 3 1 27 5 1 f x max 1 f x min 2 5 2010 山东文数 山东文数 已知某生产厂家的年利润y 单位 万元 与年产量x 单位 万件 的函数关系式为 3 1 81234 3 yxx 则使该生产厂家获得最大年利润的年产量 为 答案 答案 9 万件 解析 解析 令导数 解得 令导数 2 810yx 09x 解得 所以函数在区间上是增函数 2 810yx 9x 3 1 81234 3 yxx 0 9 在区间上是减函数 所以在处取得极大值 也是最大值 9 9x 课堂师生共探课堂师生共探 经典例题经典例题 题型一题型一 三次函数的图象和性质三次函数的图象和性质 例例 1 2010 全国卷全国卷 2 文 文 21 已知函数 f x x 3 3ax 2 3x 1 3 设 a 2 求 f x 的单调期间 设 f x 在区间 2 3 中至少有一个极值点 求的取值范围 分析 分析 1 求出函数的导数 由导数大于 0 可求得增区间 由导数小于 0 可求得 减区间 2 求出函数的导数 在 2 3 内有极值 即为在 2 3 内有一个 fx fx 零点 即可根据 即可求 a 出的取值范围 2 3 0ff 解 解 当时 2a 32 631f xxxx 3 23 23 fxxx 当时 在单调增加 23 x 0fx f x 23 当时 在单调减少 23 23 x 0fx f x 23 23 当时 在单调增加 23 x 0fx f x 23 综上所述 的单调增区间是 的单调减区间 f x 23 23 两 f x 是 23 23 II 22 3 1 fxxaa 当时 为增函数 故无极值点 2 10a 0fx f x f x 当时 有两个根 2 10a 0fx 22 12 1 1xaaxaa 由题意知 2 213aa 或 2 213aa 式无解 式的解为 因此的取值范围是 55 43 a a 5 5 4 3 点评 点评 三次函数的单调性判定与一般函数一样 利用函数的导数来求解 求极值时 要注意函数取得极值时的充要条件 变式训练 变式训练 已知函数 f x x3 3x2 9x a I 求 f x 的单调递减区间 II 若 f x 在区间 2 2 上的最大值为 20 求它在该区间上的最小值 4 解析 解析 I 解得 x30 963 2 xfxxxf两 所以函数 f x 的单调递减区间为 1 3 II 2 2 max 5 1 3212 maxmin ffxfafxf 于是有 22 a 20 解得 a 2 2 2 2 22 2 2 fa faff 故 f x x3 3x2 9x 2 因此 f 1 7 即函数 f x 在区间 2 2 上的最小值为 7 题型二题型二 三次函数的切线与恒成立问题三次函数的切线与恒成立问题 例例 2 2 2010 2010 天津卷文 天津卷文 已知函数 f x 32 3 1 2 axxxR 其中 a 0 若 a 1 求曲线 y f x 在点 2 f 2 处的切线方程 若在区间 1 1 2 2 上 f x 0 恒成立 求 a 的取值范围 分析 分析 先求切点坐标 再利用导数求出切线斜率 可得切线方程 再利用三次函数的 图象求解函数的极值来解不等式 解 解 当 a 1 时 f x 32 3 xx1 2 f 2 3 2 33xx fx 6 所以曲线 y f x 在点 2 f 2 处的切线方程为 y 3 6 x 2 即 y 6x 2 f 9 2 333 1 axxx ax 令 0 解得 x 0 或 x 1 a fx fx 以下分两种情况讨论 1 若 11 0a2 a2 则 当 x 变化时 f x 的变化情况如下表 fx X 1 0 2 0 1 2 0 fx 0 f x A 极大值A 当 1 1 xfx 2 2 时 0等价于 5a1 0 0 82 15a 0 0 28 f f 即 解不等式组得 Ox y 4 3 5 5 a2 则 11 0 a2 当 x 变化时 f x 的变化情况如下表 fx X 1 0 2 0 1 a 0 1 a 1 1 a 2 fx 0 0 f x A 极大值A极小值A 当 1 1 x 2 2 时 f x 0 等价于 1 f 2 1 f 0 a 0 即 2 5 8 1 1 0 2 a a 0 解不等式组得 2 5 2 a 或 2 2 a 因此 2 a 5 综合 1 和 2 可知 a 的取值范围为 0 a 5 点评 点评 三次函数的切线问题 要看清问题是在某点处的切线 还是过某点的切线 确 定切线的切点是关键点 利用函数的图象来求解不等式也是常用之法 变式训练 变式训练 已知函数 的图象为曲线 xxxxf32 3 1 23 Rx C 1 求过曲线上任意一点的切线的倾斜角的取值范围 C 2 若在曲线上存在两条相互垂直的切线 求其中一条切线与曲线的切点的横CC 坐标的取值范围 解析 解析 1 则 即过曲线上任意34 2 xxxf11 2 2 xxfC 一点的切线斜率的取值范围是 故倾斜角取值范围为 1 3 0 24 2 由 1 可知 解得或 由或 1 1 1 k k 01 k1 k0341 2 xx 134 2 xx 得 22 3 1 22 x 题型三题型三 三次函数与方程的综合运用三次函数与方程的综合运用 例例 3 3 设 讨论关于的方程的相异实根的个数 Ra x03 23 axx 分析 分析 讨论三次方程的根的问题 可化为讨论三次函数的极值点与 x 轴之间的关系问 题 解 解 0 2063 21 2 xxxxxfxf两两两两两两两两两 6 O x y O 1 xx 2 xx x y 如图所示 fxffxf0 0 4 2 两两两两两两两两两两两两 1 当或时 函数与只有一个交点 0 a4 a xf xg 即方程只有一个根 2 当或时 函数与只有两个交点 0 a4 a xf xg 即方程只有两个根 3 当时 函数与有三个交点 方程有40 a xf xg 三个根 点评 点评 讨论三次函数的极值的大小与 0 的关系 可以解决三次方程根的个数问题 可 以总结如下的经验 从数形结合的视角看三次三次方程的实数根 32 0 0 axbxcxda 1 若 方程有且只有一个实数解 2 2120bac 2 若 令两根为且 2 2120bac 2 320fxaxbxc 12 x x 12 xx 若 则方程有三个不同的实数解 且有0 21 xfxf 21 xx 若 则方程有两个不同的实数解 0 0 21 xfxf两 若 则方程有且只有一个实数解 且 0 21 xfxf 21 xx 两 变式训练 变式训练 若函数有 3 个不同的零点 则实数的取值范围是 3 3f xxxa a 答案 答案 解析 解析 则可得 则有 2 2 2 33fxx 0fx 1x 1 0 1 0 f f 可解得 22x 高考新题零距离高考新题零距离 2010 重庆卷文 已知函数 32 f xaxxbx 其中常数 a b R g xf xfx 是奇函数 求 f x的表达式 讨论 g x的单调性 并求 g x在区间 1 2 上的最大值和最小值 Ox y 4 3 1 xx 2 xx O x y 1 xx 2 xx O x y 7 解析 解析 I 由题意得 2 32fxaxxb 因此 则是奇函数 所以 32 31 2 g xf xfxaxaxbxb g x 即对任意实数 有 gxg x x 从而 3232 31 2 31 2 axaxbxbaxaxbxb 解得 因此 310 0ab 1 3 a 0b 22 1 3 f xxx II 由 I 知 所以 令 解得 3 1 2 3 g xxx 2 2g xx 0g x 则当时 则在区间 12 2 2xx 22xx 两 0g x g x 2 上是减函数 当时 从而在区间上 2 22x 0g x g x 2 2 是增函数 由前可知 在区间上的最大值与最小值只能在时取得 g x 1 2 1 2 2x 而 因此在区间上的最大值为 54 24 1 2 2 333 ggg g x 1 2 最小值为 4 2 2 3 g 4 2 3 g 典型错误警示典型错误警示 1 容易忽视三次函数的切线的特殊性而出错 例如经过有 3 2f xxx 1 2 P 几条切线 常见的错解有 把 P 点当做切点 判定经过 P 点只有一条 而实际上要分是否 为切点两种情况来看 2 容易忽视三次函数的图象的特殊性而出错 例如在讨论三次方程有三个根的问题时 不知道函数的极大值大于 0 且函数的极小值小于 0 典型错题集典型错题集 反思是自觉地对数学认知活动进行分析 总结 评价和调控的过程 是一种自我挑 战 自我完善和自我超越 是优化解法 深化思维的有效手段 是高效的学习方法 最 佳的纠错手段 是走出 题海 的最有效途径 请整理出本课时的典型错误 找出错因 并从审题 知识 方法和策略的层面进行反 思 我的错题 我的错题 错因 错因 反思 反思 学以致用学以致用 8 第第 1414 课课 用导数研究三次函数的性质用导数研究三次函数的性质 基础级基础级 1 曲线在点处的切线方程是 3 3yxx 2 14 P 答案 答案 解析 解析 由 得 所以所求的切线方1516yx 2 33fxx 2 15f 程为 即 1415 2 yx 1516yx 2 已知 f x x3的切线的斜率等于 1 则这样的切线有 条 答案 答案 2 解析 解析 f x 3x2 由f x 3x2 1 得x 所以符合条件的切线有 3 3 2 条 3 曲线 3x2 y 6 0 在 x 处的切线的倾斜角是 6 1 答案 答案 解析 解析 曲线方程化为 y 3x2 6 y 6x y 6 1 在 4 3 6 1 x 6 1 x 处的切线的倾斜角是 6 1 4 3 4 如果函数 y f x 2x3 3x2 a 的极大值为 6 那么 a 等于 答案 答案 6 解析解析 y f x 6x2 6x 由于求极值 所以y 0 即x2 x 0 解得 x 0 或 1 列表如下 x 0 0 0 1 1 1 y 0 0 y 增函数极大值减函数极小值增函数 所以y极大 f 0 a 6 5 已知函数 f x x3 px2 qx 的图象与 x 轴切于 1 0 点 则 f x 的极大值为 答案 答案 解析解析 f x 3x2 2px q 由 1 0 点在曲线上 1 p q 0 27 4 又当x 1 时 f x 0 3 2p q 0 由 解得p 2 q 1 f x x3 2x2 x f x 3x2 4x 1 令f x 0 解得x1 或x2 1 列表如下 3 1 x 3 1 3 1 1 3 1 1 1 f x 0 0 f x 极大值 极小值 所以极大值为f 3 1 27 4 6 在区间上的最大值是 32 32f xxx 1 1 答案 答案 2 解析 解析 9 令可得 x 0 或 2 2 舍去 当 1 x 0 时 2 363 2 fxxxx x 0fx 0 当 0 x 1 时 0 所以当 x 0 时 f x 取得最大值为 2 fx fx 7 若函数 f x a x3 x 的递减区间为 则 a 的范围是 3 3 3 3 答案 答案 a 0 解析 解析 f x 3ax2 a 3a x2 3a x x 函数 f x 在 3 1 3 3 3 3 上为减函数 f x 0 x x 0 a 0 3 3 3 3 3 3 3 3 升华级升华级 8 已知曲线C y 2x2 x3 点P 0 4 直线l过点P且与曲线C相切于点Q 则点Q的横 坐标为 答案 答案 1 解析 解析 设则l的方程为 2 43 yxx 23 000 2 Q xxx 232 00000 2 43 yxxxxxx 0 4 lP 过点 23232 0000000 42 43 0 20 xxxxxxx 322 00000 1 1 0 1 22 0 xxxxx 0 1 x 9 已知曲线 S y 3x x3及点 P 2 2 1 求过点 P 的切线方程 2 求证 曲线 S 与点 x0 y0 x0 0 的切线至少还有一个交点 解析 解析 1 设切点为 M x1 y1 于是 y 3 3x2 在点 M 处的切线斜率为 k 3 3x12 即 即 x13 3x12 2 0 x1 1 x12 2x1 2 0 2 1 1 1 33 2 2 x x y 2 1 1 3 11 33 2 23 x x xx x1 1 或 斜率分别为 0 和 31 1 x369 369 切线方程分别为 y 2 y 2 x 2 和 y 2 x 2 369 369 2 证明 y 3 3x2 在 x0 y0 处的切线斜率为 3 3x02 切线方程为 y y0 3 3x02 x x0 代入曲线 y 3x x3 得 3x x3 3x0 x03 3 3x02 x x0 x3 3x02x 2x03 0 x x0 2 x 2x0 0 x x0或 x 2x0 x0 0 切线与 S 至少还有一个交点 其横坐标为 2x0 10 已知 a 为常数 求函数的最小值 3 f x x 3ax 0 x1 解析 解析 若 则此时函数单调 22 333 fxxaxa 0 a 2 3 0 fxxa xf 递增 故当时 的最小值若0 x xf min 0 0f xf 2 0 3 0 afxxa 令 解得则考虑的情况 如表所示 xa 0 1 x xa 10 1 若即时 则有 10 a10 a x0 0 a a 1a1 fx 0 1 3a xf0单调递减 aa2 单调递增1 3a