概率论习题答案(4).pdf

1 习题四习题四 1 设随机变量X的分布律为 求E X E X2 E 2X 3 解 解 1 11111 1 012 82842 E X 2 22222 11115 1 012 82844 E X 3 1 23 2 3234 2 EXE X 2 已知 100 个产品中有 10 个次品 求任意取出的 5 个产品中的次品数的数学期望 方差 解 解 设任取出的 5 个产品中的次品数为X 则X的分布律为 故 0 583 00 340 1 0 070 20 007 30 40 5E X 0 501 5 2 0 ii i D XxE XP 222 00 501 0 583 1 0 501 0 340 50 501 0 0 432 3 设随机变量X的分布律为 且已知E X 0 1 E X2 0 9 求P1 P2 P3 解 解 因 123 1PPP 又 12331 1 010 1E XPPPPP 2222 12313 1 010 9E XPPPPP 由 联立解得 123 0 4 0 1 0 5 PPP 4 袋中有N只球 其中的白球数X为一随机变量 已知E X n 问从袋中任取 1 球为白 球的概率是多少 X 1012 P1 81 21 81 4 X012345 P 5 90 5 100 C 0 583 C 14 1090 5 100 C C 0 340 C 23 1090 5 100 C C 0 070 C 32 1090 5 100 C C 0 007 C 41 1090 5 100 C C 0 C 5 10 5 100 C 0 C X 101 Pp1p2p3 2 解 记A 从袋中任取 1 球为白球 则 0 N k P AP A XkP Xk 全概率公式 00 1 1 NN kk k P XkkP Xk NN n E X NN 5 设随机变量X的概率密度为 f x 0 21 2 10 其他 xx xx 求E X D X 解 解 12 2 01 dd 2 dE Xxf xxxxxxx 2 1 3 32 0 1 1 1 33 x xx 12 2232 01 7 dd 2 d 6 E Xx f xxxxxxx 故 22 1 6 D XE XE X 6 设随机变量X Y Z相互独立 且E X 5 E Y 11 E Z 8 求下列随机变量 的数学期望 1 U 2X 3Y 1 2 V YZ 4X 解 解 1 231 2 3 1E UEXYE XE Y 2 53 11 144 2 4 4 E VE YZXE YZE X 4 Y ZE YE ZE X 因独立 11 84 568 7 设随机变量X Y相互独立 且E X E Y 3 D X 12 D Y 16 求E 3X 2Y D 2X 3Y 解 解 1 32 3 2 3 32 33 EXYE XE Y 2 22 23 2 3 4 129 16192 DXYD XDY 8 设随机变量 X Y 的概率密度为 3 f x y 0 0 10 其他 xyxk 试确定常数k 并求E XY 解 解 因故k 2 1 00 1 d ddd1 2 x f x yx yxk yk 1 00 d dd2 d0 25 x E XYxyf x yx yx xy y 9 设X Y是相互独立的随机变量 其概率密度分别为 fX x fY y 0 10 2 其他 xx 5 e 5 0 y y 其他 求E XY 解 解 方法一 先求X与Y的均值 1 0 2 2 d 3 E Xxx x 5 5 500 ed5e de d5 1 6 z y yzz E Yyyzzz 令 由X与Y的独立性 得 2 64 3 E XYE XE Y 方法二 利用随机变量函数的均值公式 因X与Y独立 故联合密度为 5 2 e 01 5 0 y XY xxy f x yfxfy 其他 于是 11 5 2 5 5005 2 2 ed d2ded64 3 yy E XYxyxx yxxyy 10 设随机变量X Y的概率密度分别为 fX x fY y 0 0 0 2 2 x x x e e e e 0 0 0 4 4 y y y e e e e 求 1 E X Y 2 E 2X 3Y2 解 解 22 2 0 00 d2ed e e d xxx X Xxfxxxxxx 2 0 1 ed 2 x x 4 0 1 d4edy 4 y Y E Yyfyyy 2224 2 0 21 d4ed 48 y Y E Yy fyyyy 从而 1 113 244 E XYE XE Y 4 2 22 115 23 2 3 23 288 EXYE XE Y 11 设随机变量X的概率密度为 f x 0 0 0 22 x xcx xk e e e e 求 1 系数c 2 E X 3 D X 解 解 1 由得 2 2 2 0 ded1 2 k x c f xxcxx k 2 2ck 2 2 2 2 0 d 2ed k x E Xxf xxxk xx 2 2 22 0 2ed 2 k x kxx k 3 2 2 2222 2 0 1 d 2e k x E Xx f xxxk x k 故 2 22 22 1 4 24 D XE XE X kkk 12 袋中有 12 个零件 其中 9 个合格品 3 个废品 安装机器时 从袋中一个一个地取出 取 出后不放回 设在取出合格品之前已取出的废品数为随机变量X 求E X 和D X 解 解 设随机变量X表示在取得合格品以前已取出的废品数 则 X 的可能取值为 0 1 2 3 为求其分布律 下面求取这些可能值的概率 易知 9 0 0 750 12 P X 39 1 0 204 1211 P X 329 2 0 041 1211 10 P X 3219 3 0 005 1211 109 P X 于是 得到X的概率分布表如下 由此可得 0 0 750 1 0 2042 0 041 3 0 0050 301 E X 22222 222 0750 10 20420 041 30 0050 413 0 413 0 301 0 322 E X D XE XE X 13 一工厂生产某种设备的寿命X 以年计 服从指数分布 概率密度为 f x 0 0 0 4 1 4 x x x e e e e 为确保消费者的利益 工厂规定出售的设备若在一年内损坏可以调换 若售出一台设备 工厂获利 100 元 而调换一台则损失 200 元 试求工厂出售一台设备赢利的数学期望 解 解 厂方出售一台设备净盈利Y只有两个值 100 元和 200 元 X0123 P0 7500 2040 0410 005 5 41 4 1 1 100 1 ede 4 x P YP Xx 1 4 200 1 1 e P YP X 故 元 1 41 41 4 100 e 200 1 e 300e20033 64E Y 14 设X1 X2 Xn是相互独立的随机变量 且有E Xi D Xi 2 i 1 2 n 记 S2 n i i SX n X 1 2 1 n i i XX n 1 2 1 1 1 验证 XE XD n 2 2 验证S2 1 1 1 2 2 n i i XnX n 3 验证E S2 2 证 证 1 111 1111 nnn iii iii E XEXEXE Xnuu nnnn 22 111 111 nnn iiii iii D XDXDXXDX nnn 之间相互独立 2 2 2 1 n nn 2 因 22 222 1111 2 2 nnnn iiiii iiii XXXXXXXnXXX 22 22 11 2 nn ii ii XnXX nXXnX 故 2 22 1 1 1 n i i SXnX n 3 因 故 2 ii E Xu D X 2222 iii E XD XEXu 同理因 故 2 E Xu D X n 2 2 2 E Xu n 从而 6 22 222 11 11 11 nn ii ii E sEXnXEXnE X nn 2 2 1 2 2222 1 1 1 1 n i i E XnE X n nunu nn 15 对随机变量X和Y 已知D X 2 D Y 3 Cov X Y 1 计算 Cov 3X 2Y 1 X 4Y 3 解 解 Cov 321 43 3 10Cov 8 XYXYD XX YD Y 3 2 10 1 8 328 因常数与任一随机变量独立 故 Cov X 3 Cov Y 3 0 其余类似 16 设二维随机变量 X Y 的概率密度为 f x y 22 1 1 0 xy 其他 试验证X和Y是不相关的 但X和Y不是相互独立的 解 解 设 22 1 Dx yxy 22 1 1 d dd d xy E Xxf x yx yx x y 2 1 00 1 cosd d0 rr r 同理E Y 0 而Cov d dX YxE xyE Yf x yx y 22 2 1 2 00 1 11 d dsincosd d0 xy xy x yrr r 由此得 故X与Y不相关 0 XY 下面讨论独立性 当 x 1 时 2 2 1 2 11 12 d1 x X x fxyx 当 y 1 时 2 2 1 2 11 12 d1 y Y y fyxy 显然 XY fxfyf x y 7 故X和Y不是相互独立的 17 设随机变量 X Y 的分布律为 验证X和Y是不相关的 但X和Y不是相互独立的 解 解 联合分布表中含有零元素 X与Y显然不独立 由联合分布律易求得X Y及XY的 分布律 其分布律如下表 101 1 0 1 1 81 81 8 1 801 8 1 81 81 8 X 101 P3 8 2 8 3 8 Y 101 P3 8 2 8 3 8 XY 101 P2 8 4 8 2 8 由期望定义易得E X E Y E XY 0 从而E XY E X E Y 再由相关系数性质知 XY 0 即X与Y的相关系数为 0 从而X和Y是不相关的 又 331 1 1 1 1 888 P XP YP XY 从而X与Y不是相互独立的 18 设二维随机变量 X Y 在以 0 0 0 1 1 0 为顶点的三角形区域上服从均 匀分布 求 Cov X Y XY 解 解 如图 SD 故 X Y 的概率密度为 1 2 题 18 图 X Y 8 2 0 x yD f x y 其他 d d D E Xxf x yx y 11 00 1