概率论与数理统计期末总复习小结.pdf

第 1 页 共 4 页 第二 三 四章随机变量的分布及数字特征第二 三 四章随机变量的分布及数字特征第二 三 四章随机变量的分布及数字特征第二 三 四章随机变量的分布及数字特征 习题课习题课习题课习题课 一 小结一 小结一 小结一 小结 1 1 1 1 一维随机变量的概率分布一维随机变量的概率分布 随机变量随机变量X的分布函数的分布函数 F xP Xxx 的的 概念与性质概念与性质 离散型随机变量的概率分布与性质离散型随机变量的概率分布与性质 连续型随机变量的概率密度与性质连续型随机变量的概率密度与性质 重要分布重要分布 0 1 分布分布 二项分布二项分布 超几何分布超几何分布 几何分布几何分布 泊松分布 均匀分布 指数分布 正态分布 泊松分布 均匀分布 指数分布 正态分布 2 2 2 2 二维随机变量的概率分布二维随机变量的概率分布 分布函数的概念与性质 边缘分布函数分布函数的概念与性质 边缘分布函数 二维离散型随机变量的联合分布 边缘分布 条件分布二维离散型随机变量的联合分布 边缘分布 条件分布 二维连续型随机变量的概率密度 边缘密度 条件密度二维连续型随机变量的概率密度 边缘密度 条件密度 重要分布重要分布 二维均匀分布 二维正态分布 二维均匀分布 二维正态分布 随机变量的独立性随机变量的独立性 3 3 3 3 随机变量的函数的概率分布随机变量的函数的概率分布 离散型随机变量函数的概率分布离散型随机变量函数的概率分布 连续型随机变量函数的概率分布连续型随机变量函数的概率分布 4 4 4 4 随机变量的数字特征随机变量的数字特征 数学期望定义 公式与性质数学期望定义 公式与性质 方差的定义与性质方差的定义与性质 原点矩与中心矩原点矩与中心矩 第 2 页 共 4 页 协方差定义与性质协方差定义与性质 相相关系数的定义与关系数的定义与性质性质 不相关的充要条件不相关的充要条件 5 5 5 5 极限定理极限定理 切比雪夫不等式切比雪夫不等式 大数定律大数定律 中心极限定理中心极限定理 二 习题二 习题二 习题二 习题 1 1 1 1 每次试验成功的概率为每次试验成功的概率为p 01p 重复进行试验直到重复进行试验直到 第第n次才取得次才取得r 1rn 次成功的概率是 次成功的概率是 B B A A 1 rrn r n C pp B B 1 1 1 rrn r n Cpp C C 1 rn r pp D D 11 1 1 rrn r n Cpp 2 2 2 2 设随机变量设随机变量 2 XN 则随着 则随着 2 的增大 概率的增大 概率 P X 有有 B B B B A A 2 1 11P S B B 2 9 91P S C C 2 1 91P S D D 2 11 11 9 PS 5 5 5 5 某事件的概率为某事件的概率为 1 4 1 4 1 4 1 4 如果试验如果试验 8 8 8 8 次次 则该事件就 则该事件就 D D D D A A A A 一定出现两次一定出现两次 B B B B 一定出现一定出现 6 6 6 6 次次 C C C C 至少出现至少出现 1 1 1 1 次次 D D D D 出现次数不能确定出现次数不能确定 6 6 6 6 设 两 个相 互设 两 个相 互 独 立独 立 的 随 机变 量的 随 机变 量X与与Y的 方 差分 别 是的 方 差分 别 是 4DX 2DY 则随机变量 则随机变量34XY 的的方差是方差是 68686868 7 7 7 7 设有设有 5 5 5 5 枚枚 1 1 1 1 分硬币 分硬币 3 3 3 3 枚枚 2 2 2 2 分硬币和分硬币和 2 2 2 2 枚枚 5 5 5 5 分的硬币 从分的硬币 从 中任取中任取 5 5 5 5 枚枚 求取出金额超过求取出金额超过 1 1 1 1 角的概率为角的概率为 0 5 8 8 8 8 设设X与与Y相 互 独 立 且 都 服 从相 互 独 立 且 都 服 从 1 0 5 B 则 则 P XY 0 5 9 9 9 9 设随机变量设随机变量X的概率密度为的概率密度为 1 0 1 3 2 3 6 9 0 x x f x 其他 若若 2 3 P Xk 则 则k的取值范围是的取值范围是 1 3 10 10 10 10 设设随机变量随机变量X与与Y的相关系数为的相关系数为0 5 0EXEY 22 2EXEY 则 则 2 E XY 6 6 6 6 11 11 11 11 盒盒中放有中放有 6 6 6 6 个乒乓球 其中个乒乓球 其中 4 4 4 4 个是新的 第一次比赛时个是新的 第一次比赛时 从中任取从中任取 2 2 2 2 个来用 比赛后放回盒中 第二次比赛时再从盒中任个来用 比赛后放回盒中 第二次比赛时再从盒中任 第 4 页 共 4 页 取取 2 2 2 2 个个 1 1 求第二次取出的两球都是新球的概率 求第二次取出的两球都是新球的概率 2 2 若已知第二次取出的两球都是新球若已知第二次取出的两球都是新球 则第一次取出的两则第一次取出的两 球是一新一旧的概率球是一新一旧的概率 0 160 160 160 16 0 670 670 670 67 12 12 12 12 设设X X X X服从区间服从区间 0 1 上的均匀分布 求上的均匀分布 求 e X Y 的分布密度 的分布密度 2lnYX 的分布密度的分布密度 2 1 0 2 0 y Y ey fy 其它 13 13 13 13 假设某种型号的螺丝钉的重量是随机变量 期望值为假设某种型号的螺丝钉的重量是随机变量 期望值为 50505050 克 标准差为克 标准差为 5 5 5 5 克 克 设每设每 100100100100 个螺丝钉为一袋个螺丝钉为一袋 求每袋螺丝钉的重量超过求每袋螺丝钉的重量超过 5105105105100 0 0 0 克的概率 克的概率 若这样的螺丝钉装有若这样的螺丝钉装有 500500500500 袋 求袋 求 500500500500 袋中最多有袋中最多有 4 4 4 4 的重的重 量超过量超过 5100510051005100 克的概率克的概率 已知已知 2 0 9772 2 59 0 995 0 02275 0 995 14 14 14 14 假定到某服务单位办事的等待时间假定到某服务单位办事的等待时间X X X X 单位单位 分钟分钟 服从服从 以以 10 1 为参数的指数分布 而某人等待时间超过为参数的指数分布 而某人等待时间超过 15151515 分钟就会离去分钟就会离去 设此人一个月要去该处设此人一个月要去该处 10101010 次 试求 次 试求 此人离去的概率 此人离去的概率 一个月里至少有两次离去的概率一个月里至少有两次离去的概率 第 5 页 共 4 页 0 2231 0 6899 15 15 15 15 设设 X X X X Y Y Y Y 在区域在区域D D D D内服从均匀分布 内服从均匀分布 D D D D为为 0 0 y y y y 1 1 1 1 y y y y x x x x 1 1 1 1 求关于求关于X X X X和和Y Y Y Y的边缘分布密度 的边缘分布密度 X X X X与与Y Y Y Y是否相互独立 为什么 是否相互独立 为什么 求求X X X X与与Y Y Y Y的协方差的协方差CovCovCovCov X X X X Y Y Y Y 2 01 0 X xx fx 其它 22 01 0 Y yy fy 称称x 为为 X的的 上侧分位数上侧分位数 它们的关系是 它们的关系是 x 上 上 1 x 下 下 会画会画 2 0 1 NtF 分布的密度曲线 会查它们的分位数表 其中分布的密度曲线 会查它们的分位数表 其中 112 21 1 Fn n F n n 颠倒自由度 查表取倒数 颠倒自由度 查表取倒数 二 参数估计 二 参数估计 1 1 1 1 点估计方法点估计方法 第 3 页 矩估计法 用样本原点 中心 矩及其函数估计总体相应原点 中心矩估计法 用样本原点 中心 矩及其函数估计总体相应原点 中心 矩矩 及其函数及其函数 例如例如估计一个参数估计一个参数 令 令XEX 解出 解出 估计两个参数估计两个参数 12 令 令 22 1 1 n i i XEXXEX n 解出 解出 12 最大似然估计法最大似然估计法 选取参数选取参数 使样本使样本 12 n XXX 取值取值 12 n x xx 的概率的概率 密度 最大 密度 最大 其步骤如下 其步骤如下 写出似然函数写出似然函数 1122 nn LP XxP XxP Xx 离散型 离散型 12 n Lf xf xf x 连续型 连续型 取对数取对数ln L 求出求出ln L 即 即 L 的最大值点 的最大值点 的最大似然估计为的最大似然估计为 2 2 2 2 点估计的评价标准点估计的评价标准 无偏性 无偏性 E 有效性 有效性 12 EE 且且 12 DD 则称 则称 1 比比 2 有效 有效 一致性 相合性一致性 相合性 若 若 lim1 n n P 则称 则称 n 是是 的一致估计量的一致估计量 3 3 3 3 区 区间估计间估计 概念概念若若 12 1P 则称则称 12 为参数为参数 的置信概率为的置信概率为1 的的 置信区间置信区间 概率意义概率意义等式等式 12 1P 第 5 页 检验假设检验假设 00 H 统计量统计量 0 X U n 拒绝域拒绝域 1 Uu 检验假设检验假设 00 H 2 未知 关于未知 关于 的检验 的检验 t检验 检验 检验假设检验假设 00 H 统计量统计量 0 X t Sn 拒绝域拒绝域 1 2 1 ttn 检验假设检验假设 00 H 统计量统计量 0 X t Sn 拒绝域拒绝域 1 1 ttn 检验假设检验假设 00 H 未知 关于未知 关于 2 的检验 的检验 2 检验 检验 检验假设检验假设 22 00 H 统计量统计量 2 2 2 0 1 nS 拒绝域拒绝域 22 1 2 1 n 或者或者 22 2 1 n 统计量统计量 2 2 2 0 1 nS 拒绝域拒绝域 22 1 n 检验假设检验假设 22 00 H 5 5 5 5 两个两个正态总体正态总体 2 1 N 2 2 N 均值的假设检验均值的假设检验 t检验检验 拒绝域均采拒绝域均采 用下侧分位数 用下侧分位数 检验假设检验假设 012 H 统计量统计量 12 11 w XY t S nn 拒绝域拒绝域 12 1 2 2 ttnn 检验假设检验假设 012 H 统计量统计量 12 11 w XY t S nn 拒绝域拒绝域 112 2 ttnn 检验假设检验假设 012 H 第 6 页 6 6 6 6 两个两个正态总体正态总体 2 11 N 2 22 N 方差的假设检验 方差的假设检验 F检验 拒绝域均检验 拒绝域均 采用下侧分位数 采用下侧分位数 检验假设检验假设 22 012 H 统计量统计量 2 1 2 2 S F S 拒绝域拒绝域 12 1 2 1 1 FFnn 或者或者 12 2 1 1 FFnn 统计量统计量 2 1 2 2 S F S 拒绝域拒绝域 12 1 1 FF nn 检验假设检验假设 22 012 H 注注检验两个正态总体均值相等时 应先检验它们的方差相等检验两个正态总体均值相等时 应先检验它们的方差相等 二 习题 1 10 部机床独立工作 因检修等原因 每部机床停机的概率为 0 2 则同时有 3 部机床 停机的概率为 733 10 8 02 0 C或 0 201 2 设 总 体X服 从 1 N 分 布 12 XX是 一 个 样 本 则 两 个 无 偏 估 计 量 112 11 22 XX 212 13 44 XX 中有效的是 1 3 若总体X服从 1 N 由来自X的容量为 100 的简单随机样本 测得样本均值为 5 则 的双侧 0 95 置信区间 0 975 1 96u 为 4 804 5 196 4 设随机变量X的方差为 2 则根据切比雪夫不等式有 2 P XEX 1 2 5 在假设检验问题中 显著性水平 的意义是 A 原假设 0 H成立 经检验被拒绝的概率 B 原假设 0 H成立 经检验不能拒绝的概率 C 原假设 0 H不成立 经检验被拒绝的概率 D 原假设 0 H不成立 经检验不能拒绝的概率 A 6 设总体 2 XN 其中 已知 2 未知 123 XXX是取自X的一个样本 第 7 页 则下列表达式中不是统计量的是 A 123 XXX B 123 max XXX C 2 3 2 1 i i X D 1 2X C 7 设随机变量X与Y都服从标准正态分布 0 1 N 则下列各式中正确的是 A 22 XY服从F分布 B 22 XY 服从 2 分布 C 2 X和 2 Y都服从 2 分布 D XY 服从正态分布 C 8 设 12 n XXX 是 来自总 体X的 一个 样本 2 DX 记 1 1 n i i XX n 22 1 1 1 n i i SXX n 下列命题中正确的是 A S是 的无偏估计量 B S是 的极大似然估计量 C S与X相互独立 D 2 S是 2 的无偏估计量 D 9 设4DX 2DY 且X与Y不相关 则 32 DXY A 6 B 16 C 28 D 44 D 10 袋中装有N只球 但其中白球数为随机变量 只知道其数学期望为n 试求从该袋中 任取一球为白球的概率 解用X表示袋中的白球数 则 1 N k EXnkP Xk 设A 取出白球 由全概率公式 第 8 页 00 NN kk k P AP Xk P A XkP Xk N 1 1 N k n k P Xk NN 11 设总体X的分布密度为 1 01 0 xx p x 其它 其中0 是未知参数 1 n XX 是来自X的样本 求 1 似然函数 2 极大似然估计量 解 1 似然函数 n n n i i