福建省厦门市高考数学适应性试卷 文（含解析）.doc

2015年福建省厦门市高考数学适应性试卷（文科）一、选择题：本大题共有12小题，每小题5分，共60分在每小题所给出的四个选项中有且只有一个选项是符合题目要求的1已知集合a=x|x40，则ra=（）a（，4）b（，4c（4，+）d4，+）2如图，长方形abcd中，ab=2，bc=1，半圆的直径为ab在长方形abcd内随机取一点，则该点取自阴影部分的概率是（）ab1cd13“a=2”是“直线x+y=0与直线2xay=0互相垂直”的（）a充分不必要条件b必要不充分条件c充要条件d既不充分也不必要条件4设a=sin145，b=cos52，c=tan47，则a，b，c的大小关系是（）aabcbcbacbacdacb5执行如图所示的程序框图，则输出的s等于（）a19b42c47d896函数f（x）=xsinx的图象大致是（）abc d7若双曲线=1（a0，b0）的渐近线与圆（x2）2+y2=2相切，则此双曲线的离心率等于（）abcd28已知实数x，y满足有不等式组，且z=2x+y的最大值是最小值的2倍，则实数a的值是（）a2bcd9设函数f（x）=的最小值为1，则实数a的取值范围是（）aa2ba2cada10某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）a8+2b8+8c12+4d16+411如图，在abc中，ab=6，ac=4，a=45，o为abc的外心，则等于（）a2b1c1d212已知一组函数fn（x）=sinnx+cosnx，x0，nn*，则下列说法正确的个数是（）nn*，fn（x）恒成立若fn（x）为常数函数，则n=2f4（x）在0，上单调递减，在，上单调递增a0b1c2d3二、填空题：本大题4小题，每小题4分，共16分请将正确答案填写在横线上13设i是虚数单位，是复数z的共轭复数，若复数z=3i，则z=14已知直线l：axby1=0（a0，b0）过点（1，1），则ab的最大值是15椭圆c： +=1（ab0）的右焦点为（2，0），且点（2，3）在椭圆上，则椭圆的短轴长为16若函数f（x），g（x）满足：x（0，+），均有f（x）x，g（x）x成立，则称“f（x）与g（x）关于y=x分离”已知函数f（x）=ax与g（x）=logax（a0，且a1）关于y=x分离，则a的取值范围是三、解答题：本大题共6小题，共74分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17函数f（x）=sin（x+）（0，|）的部分图象如图所示（）求函数f（x）的解析式（）在abc中，角a，b，c所对的边分别是a，b，c，其中ac，f（a）=，且a=，b=，求abc的面积18已知数列an是各项均为正数的等比数列，满足a3=8，a3a22a1=0（）求数列an的通项公式（）记bn=log2an，求数列anbn的前n项和sn19为了培养中学生良好的课外阅读习惯，教育局拟向全市中学生建议一周课外阅读时间不少于t0小时为此，教育局组织有关专家到某“基地校”随机抽取100名学生进行调研，获得他们一周课外阅读时间的数据，整理得到如图频率分布直方图：（）求任选2人中，恰有1人一周课外阅读时间在2，4）（单位：小时）的概率（）专家调研决定：以该校80%的学生都达到的一周课外阅读时间为t0，试确定t0的取值范围20如图1，圆o的半径为2，ab，ce均为该圆的直径，弦cd垂直平分半径oa，垂足为f，沿直径ab将半圆acb所在平面折起，使两个半圆所在的平面互相垂直（如图2）（）求四棱锥cfdeo的体积（）如图2，在劣弧bc上是否存在一点p（异于b，c两点），使得pe平面cdo？若存在，请加以证明；若不存在，请说明理由21已知抛物线c：x2=2py（p0），抛物线上一点q（m，）到焦点的距离为1（）求抛物线c的方程（）设过点m（0，2）的直线l与抛物线c交于a，b两点，且a点的横坐标为n（nn*）（）记aob的面积为f（n），求f（n）的表达式（）探究是否存在不同的点a，使对应不同的aob的面积相等？若存在，求点a点的坐标；若不存在，请说明理由22已知函数f（x）=lnxaxb（a，br）（）若函数f（x）在x=1处取得极值1，求a，b的值（）讨论函数f（x）在区间（1，+）上的单调性（）对于函数f（x）图象上任意两点a（x1，y1），b（x2，y2）（x1x2），不等式f（x0）k恒成立，其中k为直线ab的斜率，x0=x1+（1）x2，01，求的取值范围2015年福建省厦门市高考数学适应性试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共有12小题，每小题5分，共60分在每小题所给出的四个选项中有且只有一个选项是符合题目要求的1已知集合a=x|x40，则ra=（）a（，4）b（，4c（4，+）d4，+）【考点】补集及其运算【专题】集合【分析】求出a中不等式的解集确定出a，根据全集r，求出a的补集即可【解答】解：由a中不等式解得：x4，即a=（，4），全集为r，ra=4，+），故选：d【点评】此题考查了补集及其运算，熟练掌握补集的定义是解本题的关键2如图，长方形abcd中，ab=2，bc=1，半圆的直径为ab在长方形abcd内随机取一点，则该点取自阴影部分的概率是（）ab1cd1【考点】几何概型【专题】概率与统计【分析】由几何概型，只要求出阴影部分的面积，利用面积比求概率【解答】解：由题意，长方形的面积为21=2，半圆面积为，所以阴影部分的面积为2，由几何概型公式可得该点取自阴影部分的概率是；故选：b【点评】本题考查了几何概型公式的运用，关键是明确几何测度，利用面积比求之3“a=2”是“直线x+y=0与直线2xay=0互相垂直”的（）a充分不必要条件b必要不充分条件c充要条件d既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【专题】简易逻辑【分析】若直线垂直，斜率之积是1，求出a的值，再结合充分必要条件的定义进行判断即可【解答】解：由直线x+y=0与直线2xay=0互相垂直，得：（1）=1，解得：a=2，“a=2”是“直线x+y=0与直线2xay=0互相垂直”的充要条件，故选：c【点评】本题考察了直线互相垂直的性质，考察充分必要条件，是一道基础题4设a=sin145，b=cos52，c=tan47，则a，b，c的大小关系是（）aabcbcbacbacdacb【考点】三角函数线【专题】三角函数的图像与性质【分析】运用诱导公式得出a=sin145=sin35，b=cos52=sin48，c=tan47tan45=1，再结合正弦单调性判断即可【解答】解：a=sin145=sin35，b=cos52=sin38，c=tan47tan45=1，y=sinx在（0，90）单调递增，sin35sin38sin90=1，abc故选：a【点评】本题考查了三角函数的诱导公式的运用，正弦函数的单调性，难度不大，属于基础题5执行如图所示的程序框图，则输出的s等于（）a19b42c47d89【考点】程序框图【专题】图表型；算法和程序框图【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的s，k的值，当k=5时不满足条件k5，退出循环，输出s的值为42【解答】解：模拟执行程序框图，可得k=1s=1满足条件k5，s=3，k=2满足条件k5，s=8，k=3满足条件k5，s=19，k=4满足条件k5，s=42，k=5不满足条件k5，退出循环，输出s的值为42故选：b【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，正确依次写出每次循环得到的s，k的值是解题的关键，属于基础题6函数f（x）=xsinx的图象大致是（）abc d【考点】函数的图象【专题】函数的性质及应用【分析】利用函数的奇偶性排除选项，然后利用特殊值判断即可【解答】解：函数f（x）=xsinx满足f（x）=xsin（x）=xsinx=f（x），函数的偶函数，排除b、c，因为x（，2）时，sinx0，此时f（x）0，所以排除d，故选：a【点评】本题考查函数的图象的判断，函数的奇偶性以及函数值的应用，考查分析问题解决问题的能力7若双曲线=1（a0，b0）的渐近线与圆（x2）2+y2=2相切，则此双曲线的离心率等于（）abcd2【考点】圆与圆锥曲线的综合；双曲线的简单性质【专题】直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】求出双曲线的渐近线方程，利用渐近线与圆相切，得到ab关系，然后求解双曲线的离心率【解答】解：由题意可知双曲线的渐近线方程之一为：bx+ay=0，圆（x2）2+y2=2的圆心（2，0），半径为，双曲线=1（a0，b0）的渐近线与圆（x2）2+y2=2相切，可得：，可得a2=b2，c=a，e=故选：b【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，双曲线的渐近线与圆的位置关系的应用，考查计算能力8已知实数x，y满足有不等式组，且z=2x+y的最大值是最小值的2倍，则实数a的值是（）a2bcd【考点】简单线性规划【专题】不等式的解法及应用【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得到z的最值，再由z=2x+y的最大值是最小值的2倍列式求得a值【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，得a（a，a），联立，得b（1，1），化目标函数z=2x+y为y=2x+z，由图可知zmax=21+1=3，zmin=2a+a=3a，由6a=3，得a=故选：b【点评】本题考查了简单的线性规划考查了数形结合的解题思想方法，是中档题9设函数f（x）=的最小值为1，则实数a的取值范围是（）aa2ba2cada【考点】函数的最值及其几何意义【专题】函数的性质及应用；不等式的解法及应用【分析】运用指数函数的单调性和二次函数的单调性，分别求出当x时，当x时，函数的值域，由题意可得a的不等式，计算即可得到【解答】解：当x时，f（x）=4x323=1，当x=时，取得最小值1；当x时，f（x）=x22x+a=（x1）2+a1，即有f（x）在（，）递减，则f（x）f（）=a，由题意可得a1，解得a故选：c【点评】本题考查分段函数的运用：求最值，主要考查指数函数的单调性和二次函数的值域的求法，属于中档题10某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）a8+2b8+8c12+4d16+4【考点】由三视图求面积、体积【专题】空间位置关系与距离【分析】根据几何体的三视图得出该几何体是一个斜四棱柱，aa1=2，ab=2，高为，画出图象，根据几何体的性质求解表面积即可【解答】解：根据三视图得出该几何体是一个斜四棱柱，aa1=2，ab=2，高为，根据三视图得出侧棱长度为=2，该几何体的表面积为2（2+22+22）=16，故选：d【点评】本题考查了空间几何体的三视图，运用求解表面积，关键是恢复几何体的直观图，属于中档题11如图，在abc中，ab=6，ac=4，a=45，o为abc的外心，则等于（）a2b1c1d2【考点】平面向量数量积的运算【专题】平面向量及应用【分析】利用向量数量积的几何意义和三角形外心的性质即可得出【解答】解：结合向量数量积的几何意义及点o在线段ab，ac上的射影为相应线段的中点，可得，则=1618=2；故选a【点评】本题考查了向量数量积的几何意义和三角形外心的性质、向量的三角形法则，属于中档题12已知一组函数fn（x）=sinnx+cosnx，x0，nn*，则下列说法正确的个数是（）nn*，fn（x）恒成立若fn（x）为常数函数，则n=2f4（x）在0，上单调递减，在，上单调递增a0b1c2d3【考点】命题的真假判断与应用【专题】三角函数的图像与性质；简易逻辑【分析】x0，可得fn（x）=sinnx+cosnxsinx+cosx=，即可判断出正误；当n=1时，f1（x）=sinx+cosx，不是常数函数；当n=2时，f2（x）=sin2x+cos2x=1为常数函数，当n2时，令sin2x=t0，1，则fn（x）=+=g（t），利用导数研究函数的单调性即可判断出正误；利用平方关系、倍角公式可得：f4（x）=+，即可判断出其单调性【解答】解：x0，fn（x）=sinnx+cosnxsinx+cosx=，因此正确；当n=1时，f1（x）=sinx+cosx，不是常数函数；当n=2时，f2（x）=sin2x+cos2x=1为常数函数，当n2时，令sin2x=t0，1，则fn（x）=+=g（t），g（t）=，当t时，g（t）0，函数g（t）单调递减；当t时，g（t）0，函数g（t）单调递增加，因此函数fn（x）不是常数函数，因此正确f4（x）=sin4x+cos4x=（sin2x+cos2x）22sin2xcos2x=1=+，当x0，4x0，因此f4（x）在0，上单调递减，当x，4x，2，因此f4（x）在，上单调递增，因此正确综上可得：都正确故选：d【点评】本题考查了三角函数的图象与性质、倍角公式、平方公式、两角和差的正弦公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题二、填空题：本大题4小题，每小题4分，共16分请将正确答案填写在横线上13设i是虚数单位，是复数z的共轭复数，若复数z=3i，则z=10【考点】复数代数形式的乘除运算【专题】数系的扩充和复数【分析】直接利用公式得答案【解答】解：由z=3i，得z=故答案为：10【点评】本题考查公式，考查了复数模的求法，是基础题14已知直线l：axby1=0（a0，b0）过点（1，1），则ab的最大值是【考点】基本不等式【专题】不等式的解法及应用【分析】由题意易得a+b=1，由基本不等式可得ab=，注意等号成立的条件即可【解答】解：直线l：axby1=0（a0，b0）过点（1，1），a+b1=0，即a+b=1，ab=当且仅当a=b=时取等号，故ab的最大值是故答案为：【点评】本题考查基本不等式求最值，属基础题15椭圆c： +=1（ab0）的右焦点为（2，0），且点（2，3）在椭圆上，则椭圆的短轴长为【考点】椭圆的简单性质【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】利用已知条件求出椭圆的方程，即可得到结果【解答】解：椭圆c： +=1（ab0）的右焦点为（2，0），且点（2，3）在椭圆上，可得c=2，2a=8，可得a=4，b2=a2c2=12，可得b=2，椭圆的短轴长为：4故答案为：4【点评】本题考查椭圆的简单性质以及椭圆的定义的应用，考查计算能力16若函数f（x），g（x）满足：x（0，+），均有f（x）x，g（x）x成立，则称“f（x）与g（x）关于y=x分离”已知函数f（x）=ax与g（x）=logax（a0，且a1）关于y=x分离，则a的取值范围是（，+）【考点】函数与方程的综合运用【专题】综合题；导数的综合应用【分析】由题意可得y=ax与y=logax互为反函数，a1，故问题等价于axx（a1）在区间（0，+）上恒成立，利用导数进行解决【解答】解：由题意，a1故问题等价于axx（a1）在区间（0，+）上恒成立构造函数f（x）=axx，则f（x）=axlna1，由f（x）=0，得x=loga（logae），xloga（logae）时，f（x）0，f（x）递增；0xloga（logae），f（x）0，f（x）递减则x=loga（logae）时，函数f（x）取到最小值，故有loga（logae）0，解得a故答案为：（，+）【点评】本题考查恒成立问题关键是将问题等价转化，从而利用导数求函数的最值求出参数的范围三、解答题：本大题共6小题，共74分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17函数f（x）=sin（x+）（0，|）的部分图象如图所示（）求函数f（x）的解析式（）在abc中，角a，b，c所对的边分别是a，b，c，其中ac，f（a）=，且a=，b=，求abc的面积【考点】余弦定理；由y=asin（x+）的部分图象确定其解析式【专题】三角函数的图像与性质；解三角形【分析】（）由图象可知t=4（）=，由周期公式可求，由2+=+2k，又|，可求得，从而可求函数f（x）的解析式（）由f（a）=，可得sin（2a）=，结合ac，a为锐角，可求a的值，由余弦定理可得c，由abc的面积公式即可得解【解答】解：（）由图象可知，t=4（）=，=2，又x=时，2+=+2k，得=2k，（kz）又|，=，f（x）=sin（2x）6分（）由f（a）=，可得sin（2a）=，ac，a为锐角，2a（，），2a=，得a=，由余弦定理可得：a2=b2+c22bccosa，可得：7=3+c22，即：c23c4=0，c0，解得c=4abc的面积s=bcsina=12分【点评】本题主要考查了余弦定理，三角形面积公式，由y=asin（x+）的部分图象确定其解析式等知识的应用，属于基本知识的考查18已知数列an是各项均为正数的等比数列，满足a3=8，a3a22a1=0（）求数列an的通项公式（）记bn=log2an，求数列anbn的前n项和sn【考点】数列的求和【专题】等差数列与等比数列；点列、递归数列与数学归纳法【分析】（）设数列an的公比为q，通过a3a22a1=0，可得q=2，利用a3=8可得a1=2，进而可得结论；（）通过bn=n，可得anbn=n2n，分别写出sn、与2sn的表达式，利用错位相减法及等比数列的求和公式即得结论【解答】解：（）设数列an的公比为q，由an0可得q0，且a3a22a1=0，化简得q2q2=0，解得q=2或q=1（舍），a3=a1q2=4a1=8，a1=2，数列an是以首项和公比均为2的等比数列，an=2n；（）由（i）知bn=log2an=n，anbn=n2n，sn=121+222+323+（n1）2n1+n2n，2sn=122+223+（n2）2n1+（n1）2n+n2n+1，两式相减，得sn=21+22+23+2n1+2nn2n+1，sn=n2n+1，sn=2+（n1）2n+1【点评】本题考查等比数列的通项公式，错位相减法求和等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想，注意解题方法的积累，属于中档题19为了培养中学生良好的课外阅读习惯，教育局拟向全市中学生建议一周课外阅读时间不少于t0小时为此，教育局组织有关专家到某“基地校”随机抽取100名学生进行调研，获得他们一周课外阅读时间的数据，整理得到如图频率分布直方图：（）求任选2人中，恰有1人一周课外阅读时间在2，4）（单位：小时）的概率（）专家调研决定：以该校80%的学生都达到的一周课外阅读时间为t0，试确定t0的取值范围【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率【专题】概率与统计【分析】（）分别求出课外阅读时间落在0，2），2，4）的人数，并用列举法求出所有的基本事件，根据概率公式计算即可；（）分别求出课外阅读时间落在0，2），2，4），4，6），6，8）的频率，根据t0的要求，求得故t06，8），继而得到答案【解答】解：（）一周课外阅读时间在0，2）的学生人数为0.0102100=2人，一周课外阅读时间在2，4）的学生人数为0.0152100=3人，记一周课外阅读时间在0，2）的学生为a，b，一周课外阅读时间在2，4）的学生为c，d，e，从5人中选取2人，得到基本事件有ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de共有10个基本事件，记“任选2人中，恰有1人一周课外阅读时间在2，4）”为事件m，其中事件m包含ac，ad，ae，bd，bc，be，共有6个基本事件，所以p（m）=，即恰有1人一周课外阅读时间在2，4）的概率为（）以该校80%的学生都达到的一周课外阅读时间为t0，即一周课外阅读时间未达到t0的学生占20%，由（）知课外阅读时间落在0，2）的频率为p1=0.02，课外阅读时间落在2，4）的频率为p2=0.03，课外阅读时间落在4，6）的频率为p3=0.05，课外阅读时间落在6，8）的频率为p1=0.2，因为p1+p2+p30.2，且p1+p2+p3+p40.2，故t06，8），所以p1+p2+p3+0.1（t06）=0.2，解得t0=7，所以教育局拟向全市中学生的一周课外阅读时间为7小时【点评】本题主要考查了用列举法计算随机事件的基本事件，古典概型概以及频率分布直方图等基本知识，考查了数据处理能力和运用概率知识解决实际问题的能力，属于中档题20如图1，圆o的半径为2，ab，ce均为该圆的直径，弦cd垂直平分半径oa，垂足为f，沿直径ab将半圆acb所在平面折起，使两个半圆所在的平面互相垂直（如图2）（）求四棱锥cfdeo的体积（）如图2，在劣弧bc上是否存在一点p（异于b，c两点），使得pe平面cdo？若存在，请加以证明；若不存在，请说明理由【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定【专题】空间位置关系与距离【分析】（）在图1中由平面几何知识求出梯形fdeo的面积，再由图2证得cf平面ade，并求出fe，然后代入棱锥的体积公式得答案；（）取劣弧bc的中点，利用三角形中的边角关系证得四边形cdep为平行四边形，再由线面平行的判定得答案【解答】解：（）如图1，弦cd垂直平分半径oa，半径为2，cf=df，of=，在rtcof中有cof=60，cf=df=，ce为直径，decd，ofde，de=2of=2，图2中，平面acb平面ade，平面acb平面ade=ab，又cfab，cf平面acb，cf平面ade，则cf是四棱锥cfdeo的高，（）在劣弧bc上是存在一点p（劣弧bc的中点），使得pe平面cdo证明：分别连接pe，cp，op，点p为劣弧bc弧的中点，cof=60，cop=60，则cop为等边三角形，cpab，且，又deab且de=，cpde且cp=de，四边形cdep为平行四边形，pecd，又pe面cdo，cd面cdo，pe平面cdo【点评】本题以空间几何体的翻折为背景，考查空间几何体的体积，考查空间点、线、面的位置关系、线面平行及线面垂直等基础知识，考查空间想象能力，求解运算能力和推理论证能力，考查数形结合，化归与数学转化等思想方法，是中档题21已知抛物线c：x2=2py（p0），抛物线上一点q（m，）到焦点的距离为1（）求抛物线c的方程（）设过点m（0，2）的直线l与抛物线c交于a，b两点，且a点的横坐标为n（nn*）（）记aob的面积为f（n），求f（n）的表达式（）探究是否存在不同的点a，使对应不同的aob的面积相等？若存在，求点a点的坐标；若不存在，请说明理由【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；抛物线的标准方程【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】（）利用q（m，）到焦点的距离为1，计算即得结论；（）（）通过a点横坐标及直线过点m可得直线l斜率的表达式，将其代入saob，计算即可；（）设存在不同的点am（m，），an（n，）（mn，m、nn*），利用f（m）=f（n），计算即可【解答】解：（）依题意得|qf|=yq+=+=1，解得p=1，抛物线c的方程为x2=2y；（）（）直线l与抛物线c交于a、b两点，直线l的斜率存在，设a（x1，y1），b（x2，y2），直线l的方程为：y=kx+2，联立方程组，化简得：x22kx4=0，此时=（2k）241（4）=4（k2+4）0，由韦达定理，得：x1+x2=2k，x1x2=4，saob=|om|x1x2|=2=2 （*）又a点横坐标为n，点a坐标为a（n，），又直线过点m（0，2），故k=，将上式代入（*）式，可得：f（n）=2=2=2=n+（nn*）；（）结论：当a点坐标为（1，）或（4，8）时，对应不同的aob的面积相等理由如下：设存在不同的点am（m，），an（n，）（mn，m、nn*），使对应不同的aob的面积相等，则f（m）=f（n），即m+=n+，化简得：mn=，又mn，即mn0，1=，即mn=4，解得m=1，n=4或m=4，n=1，此时a点坐标为（1，），（4，8）【点评】本题考查抛物线的定义及其标准方程、直线与抛物线的位置关系、函数的性质等基础知识，考查运算求解能力、抽象概括能力、推理论证能力，考查函数与方程的思想、数形结合思想