高中数学 第二章 概率 2 超几何分布素材 北师大版选修2-3.doc

2 超几何分布自主整理 一般地，设有n件产品，其中有m(mn)件次品.从中任取n(nn)件产品，用x表示取出的n件产品中次品的个数，那么p(x=k)=_(其中k为非负整数). 如果一个随机变量的分布列由上式确定，则称x服从参数为_的超几何分布.高手笔记1.超几何分布，实质上就是有总数为n件的两类物品，其中一类有m(mn)件，从所有物品中任取n件，这n件中所含这类物品的件数x是一个离散型随机变量，它取值为k时的概率为p(x=k)=(kl，l是n和m中较小的一个).2.在超几何分布中，只要知道n、m和n，就可以根据公式求出x取不同值时的概率p，从而列出x的分布列.名师解惑1.如何判断随机变量x是否服从超几何分布？剖析：判断超几何分布时必须满足以下两条：(1)总数为n件的物品只分为两类：m(mn)件甲类(或次品)，其余的n-m件为乙类(或正品).(2)随机变量x表示从n件物品中任取n(nn)件物品，其中所含甲类物品的件数.2.当随机变量x服从参数为n、m、n(mn，nn)的超几何分布时，x的所有可能取值有哪些？剖析：当n-mn时，x的所有可能取值为：0,1,2，l(l为m与n中较小的一个)，例如(1)从10件产品(含有4件次品)中取3件，其中含有的次品数x的所有可能取值为0，1,2，3.(2)从10件产品(含有2件次品)中取3件，其中含有的次品数x的所有可能取值为0，1,2.当n-m1”的概率.解：(1)x可能取的值为0，1,2，3，p(x=k)=，k=0,1，2,3.所以x的分布列为：x0123p(2)由(1)，“所选3人中女生人数x1”的概率为p(x1)=p(x=2)+p(x=3)=.【例2】在某年级的联欢会上设计了一个摸奖游戏，在一个口袋中装有10个红球和20个白球，这些球除颜色外完全相同，一次从中摸出5个球，至少摸到3个红球就中奖，求中奖的概率.分析：由题意知，摸到红球个数x为离散型随机变量，且x服从参数为n=30，m=10，n=5的超几何分布.解：x服从超几何分布，且x的可能取值为0，1,2，3,4，5，则至少摸到3个红球的概率为：p(x3)=p(x=3)+p(x=4)+p(x=5)=0.191 2.故中奖的概率约为0.191 2.绿色通道:由超几何分布的概念、公式以及上述两例我们知道：第一，当研究的事物涉及二维离散型随机变量(比如：次品、两类颜色等问题)时的概率分布可视为一个超几何分布；第二，在超几何分布中，只要知道参数n、m、n就可以根据公式求出x取不同值时的概率，进而列出x的分布列.变式训练2.从一批有13个正品和2个次品的产品中任意取3个，求抽得次品数x的分布列，并求p(x).分析：先弄清楚随机变量x的取值，符合超几何分布，运用超几何分布的概率计算.解：x的可能取值为0，1,2.p(x=0)=，p(x=1)=，p(x=2)=所以x的分布列为：x012p p(x)=p(x=1)+p(x=2)=.【例3】某商场庆“五一”举行促销活动，活动期间凡在商场购物满88元的顾客，凭发票都有一次摸奖机会，摸奖规则如下：准备了10个相同的球，其中有5个球上印有“奖”字，另外5个球上无任何标志，摸奖前在盒子里摇匀，然后由摸奖者随机地从中摸出5个球，奖品按摸出的球中含有带“奖”字球个数规定如下表：摸出的5个球中带“奖”字球的个数奖品0无1无2肥皂一块3洗衣粉一袋4雨伞一把5自行车一辆(1)若某人凭发票摸奖一次，求中奖的概率；(2)若某人凭发票摸奖一次，求奖品为自行车的概率.分析：可以将10个球看作10件“产品”，5个印有“奖”字的球可以看作5件“次品”，任意取5个球中印有“奖”字的球数可以看作是任取5件“产品”中所含“次品”数.解：(1)设x为摸取5个球中印有“奖”字的球的个数，则x服从参数为n=10，m=5，n=5的超几何分布.x的可能取值为0，1,2，3,4，5，则x的分布列为：p(x=k)=(k=0,1，2,3，4,5)，若要获得奖品，只需x2，则p(x2)=1-p(x2)=1-p(x=0)-p(x=1)=1-(2)若要获得自行车，必须x=5，则p(x=5)=.绿色通道:由上面的计算可以看出，顾客获得奖品的概率为0.896 8，希望很大.但获得自行车的概率为0.004 0，希望不大.变式训练3已知某社区的10位选民代表中有5位支持候选人a，现随机采访他们中间的4位，求其中至少有2名支持候选人a的概率.解：p(x2)=1-p(x=0)-p(x=1)=1-教材链接p40思考交流下列随机变量x是否服从超几何分布，如果服从，那么各分布的参数分别是多少？(1)一个班级共有45名同学，其中女生20人，现从中任选7人，其中女生的人数为x；(2