高等数学上_复旦大学出版_习题四答案.pdf

高等数学上 复大版 习题四 64 习题四习题四 1 利用定义计算下列定积分 1 d b a xxab 解 由几何意义可知 该定积分的值等于以原点为圆心 半径为R的圆在第一象限内的面积 故原式 高等数学上 复大版 习题四 65 2 1 4 R 3 证明下列不等式 2 e 22 e 1 eeln d2 ee x x 证明 当时 即 2 eex 2 lnelnlne x 1lne x 由积分的保序性知 222 eee eee dln d2dxx xx 即 2 e 22 e eeln d2 ee x x 2 2 1 0 1e de x x 证明 当时 01 x 2 1ee x 由积分的保序性知 2 111 000 de ded x xxx 即 2 1 0 1e de x x 4 证明 1 1 2 0 limd0 1 n n x x x 证明 当时 1 0 2 x 0 1 n n x x x 于是 11 1 22 00 11 0d 121 nn xn xx nx 而 1 11 lim 0 12 n n n 由夹逼准则知 1 2 0 limd0 1 n n x x x 2 4 0 limsind0 n n x x 证明 由中值定理得 其中 4 4 0 sindsin 0 sin 44 nn x x 0 4 故 4 0 limsindlimsin0 0sin1 4 nn nn x x 5 计算下列定积分 高等数学上 复大版 习题四 66 4 3 1 d x x 解 原式 4 3 2 3 8 2 2 3 3 3 x 2 2 1 2 dx xx 解 原式 012 222 101 d d dxxxxxxxxx 012 322332 101 111111 322332 51511 6666 xxxxxx 其中 0 3 df xx 0 2 sin 2 xx f x xx 1 且为正整数 10 sind n x x 高等数学上 复大版 习题四 80 解 1 sindsindcos nn n Ix xxx 122 12 1 2 cos sin 1 cossind cos sin 1 sind 1 sind cos sin 1 1 nn nnn n nn xxnxx x xxnx xnx x xxnInI 故 1 2 11 cos sin n nn n IxxI nn 验证 12 11 cos sinsind nn n xxx x nn 22 222 111 sincos 1 sincossin 111 sin 1 sin sinsin sin nnn nnn n n xxnxxx nnn nn xxxx nnn x 故结论成立 19 求不定积分 max 1 dx x 解 1 max 1 1 11 1 xx x x xx 故原式 2 1 2 2 3 1 1 2 11 1 1 2 xcx xcx xcx 又由函数的连续性 可知 21311 1 1 2 cc cc cc 所以 2 2 1 1 2 1 max 1 d 11 2 1 1 1 2 xcx xxcx x xcx 20 计算下列积分 4 0 2 1 d 21 x x x 高等数学上 复大版 习题四 81 解 原式 3 3 21 32 1 1 221313 d 36222 tx tttt 2 e 1 d 2 1ln x xx 解 原式 2 2 e 1 e 2 1 1 2 31 1ln d 1ln 2 1lnxxx 3 221 d 3 1 x xx 解 原式 3 2 3 2 1 1 2 1 d 1 112 123 231 1 x x x 4 0 sin 4 d 1sin x x x 解 原式 2 444 22 000 sin 1 sin sin ddtand coscos xx xxx x xx 4 0 1 22 tan 4cos xx x ln3 ln2 d 5 ee xx x 解 原式 ln3 ln3 2 ln2 ln2 de113 e1 lnln e 1222 e1 x x x x 0 6 1 cos2 dx x 解 原式 2 2 000 2 2cosd2d2cos d2cos d cos x xxx xx x x 2 0 2 2sin2sin2 2 xx 35 0 7 sinsindxx x 解 原式 33 3 222 00 2 sindsindsinsindsin cos xxxxxx x 高等数学上 复大版 习题四 82 55 2 22 0 2 4 22 sinsin 5 55 xx 2 3 1 8 ln dxx x 解 原式 2 22 43 4 11 1 11151 ln dd4ln2 ln 44164 x xxxxx 2 2 0 9 ecos d x x x 解 2 2222 222 000 0 ecos de dsinesin2esin d xxxx x xxxx x 2 2 22 22 00 0 e2e dcose2ecos4ecos d xxx xxx x 所以 原式 1 e2 5 1 2 0 ln 1 10 d 2 x x x 解 原式 1 11 00 0 111ln 1 ln 1 dd 2212 x xx xxxx 1 0 11 00 111 ln2d 321 111 ln2ln2ln 2 ln 1 333 x xx xx 3 2 2 d 11 2 x xx 解 原式 3 3 2 2 111111 dlnln2ln5 333122 x x xxx 3 2 3 1 12 d x x xxx 解 原式 66 622 11 611 d6d 1 t1 tx tt t tt 令 62 6 1 67ln26lnlnln 1 21 tt 3 13 sind 3 xx 高等数学上 复大版 习题四 83 解 原式 3 cos0 3 x 2 1 2 0 14 ed t tt 解 原式 22 1 2 1 22 0 0 ede1e 2 tt t 2 2 6 15 cosdu u 解 原式 2 2 6 6 1 311 1cos2 d sin2 26824 uuuu 21 计算下列积分 n为正整数 1 1 20 d 1 n x x x 解 令 sinxt dcos dxt t 当x 0 时t 0 当x 1 时 t 2 1 22 2000 sin dcos dsin d cos 1 nn n xt xtttt t x 由第四章第五节例 8 知 1 20 133 1 24 2 2 d 134 2 1 25 3 n nn n x nn x nn x n nn 为偶数 为奇数 2 2 4 0 tan d n xx 解 2 1 22 1 22 1 444 000 2 1 4 11 0 tantandtansecdtand 1 tandtan 21 nnn n n nn Ixx xxx xx x xxII n 由递推公式 1 1 21 nn II n 可得 1 11 1 1 1 43521 n n n I n 22 证明下列等式 高等数学上 复大版 习题四 84 a为正常数 2 32 00 1 1 d d 2 aa x f xxxf xx 证明 左右 22 2 222 000 111 d d d 222 aaa xt x f xxtf ttxf xx 令 所以 等式成立 2 若 则 f xc a b 22 00 sin d cos dfxxfxx 证明 左 0 2 22 00 2 cos d cos d cos d xt fttfttfx x 令 所以 等式成立 23 利用被积函数奇偶性计算下列积分值 其中a为正常数 1 sin d a a x x x 解 因为 a a 上的奇函数 sin x x 故 sin d0 a a x x x 2 2 ln 1 d a a xxx 解 因为即被积函数为奇函数 所以原式 0 22 ln 1 ln 1 xxxx 1 2 2 1 2 sintan 3 d ln 1 3cos3 xx x x x 解 因为为奇函数 故 2 sintan 3cos3 xx x 原式 1 11 2 22 11 1 22 2 d0ln 1 dln 1 1 x xx xxx x 1 2 1 2 31 ln3ln2 1 ln3ln2ln 1 22 xx 2 4 2 2 3 4 sindsinln 3 x xxx x 解 因为是奇函数 故 3 ln 3 x x 原式 66 22 0 2 5 3 1 5 sind2sind2 6 4 2 216 x xx x 高等数学上 复大版 习题四 85 24 利用习题 22 2 证明 22 00 sincos dd sincossincos4 xx xx xxxx 并由此计算 a为正常数 220 d a x xax 证明 由习题 22 2 可知 22 00 sincos dd sincossincos xx xx xxxx 又 222 000 sincos ddd sincossincos2 xx xxx xxxx 故等式成立 220 d a x xax sin 2 0 cos d sincos4 x atx t tt 令 25 已知 求 2 0 1 2 2 0 d1 2 fff xx 1 2 0 2 dx fxx 解 原式 1 11 2 2 00 0 111 d 2 2 2 d 2 222 xfxxfxxx fx 1 11 00 0 12 00 1111 2 d 2 0 2 d 2 2222 1111 2 2 d 2 1 d140 2444 fx fxfx xxfx ffxxf tt 26 用定义判断下列广义积分的敛散性 若收敛 则求其值 2 2 11 1 sindx xx 解 原式 2 2 1111 limsindlim coslim cos1 b b bbb xbxx 2 d 2 22 x xx 解 原式 0 0 22 0 0 d 1 d 1 arctan 1 arctan 1 1 1 1 1 xx xx xx 4242 n为正整数 0 3 e d nx xx 高等数学上 复大版 习题四 86 解 原式 1 0 0 0 e ddee nx nxnx nxxxx 1 00 0e d e d nxx nxxnxn 220 d 4 0 a a x a x 解 原式 220 000 0 d limlim arcsinlim arcsin 1 2 a a xx aa ax e 21 d 5 1 ln x xx 解 原式 e e 0 211 00 d ln lim arcsin ln limlim arcsin ln e 2 1 ln x x x 1 0 d 6 1 x xx 解 原式 1 1 2 1 0 2 dd 1 1 xx xxxx 2 12 1 2 21 1 1 1 2 1 022 0 2 1 1 2 1 00 2 dd 2 lim2lim 1 1 lim arcsinlim arcsin 2222 424 xx xx xx 27 讨论下列广义积分的敛散性 2 d 1 ln k x xx 解 原式 2 1 2 2 1 1 2 1ln ln 1 d ln 1 ln 1 ln 1 ln2 1 ln 11 k k k k kx x kx k x kx kk 故该广义积分当时收敛 时发散 1k 1k d 2 b k a x ba bx 高等数学上 复大版 习题四 87 解 原式 1 1 0 0 0 1 1 lim 1 1 lim d 1 lim1ln b k k b a k a b a k bx ba k k bxbx k kbx 发散 发散 综上所述 当k 1 时 该广义积分收敛 否则发散 28 已知 求 0 sin d 2 x x x 0 sincos 1 d xx x x 解 1 原式 00 1sin 2 1sin d 2 d 2224 xt xt xt 2 2 0 sin 2 d x x x 解 2 22 00 22 00 2 00 0 2 00 0 0 sin1cos2 dd 2 1cos2 dd 22 111 dcos2 d 22 11111 dcos2dcos2 222 111sin2 cos2d2 222 0 22 xx xx xx x xx xx xx xx xxx xxx x xx xxx 29 已知 其中求c d1p xx 2 1 1 0 1 c x p x x x 0 xx 高等数学上 复大版 习题四 88 0 f x g x 即 g xf xg x 成立 显然与同进收敛或发散 d a g xx d a f xx 如果 则有 显然收敛 则亦收敛 0 f xg x d a g xx d a f xx 31 计算下列广义积分的柯西主值 2 1 V P d 1 x x x 解 原式 0 220 ddlim 11 A A A xx xx xx 0 22 0 22 lim 11 lim0 11 11 A AA A xx AA 2 1 2 d 2 V P ln x xx 解 原式 1 2 12 1 1 001 2 1 2 dd limlim lnlnlnln lnln xx xx xxxx 0 1 lim lnln 1 lnlnln2lnln 1 0 ln 2 2