高等数学概念教学的一些思考.pdf

第 12 卷第 2 期 数 学 教 育 学 报 Vol 12 No 2 2003 年5 月 JOURNAL OF MATHEMATICS EDUCATION May 2003 收稿日期 2003 01 25 作者简介 毛京中 1955 女 北京人 北京理工大学应用数学系副教授 主要从事高等数学课程体系及教材的建设与教学内容的改革 数 学教学中的素质教育研究 高等数学概念教学的一些思考 毛京中 北京理工大学 应用数学系 北京 100089 摘要 高等数学概念教学是一个创造性过程 在教学中要注意 1 重视感性材料的概括与提炼 2 充分利用概念 的实际背景和学生的经验 3 合理借助概念的直观性 4 注意揭示概念的本质 5 注重概念体系的建立 教师应根据 高等数学概念的特点和学生的认知结构 结合概念的实际背景 采用多种教学方法 培养学生的发现能力以及创造精神 促 使学生主动建构概念体系 关键词 数学概念 教学活动 思维模式 建构过程 中图分类号 G642 文献标识码 A 文章编号 1004 9894 2003 02 0083 04 概念的形成在数学学习中占有十分重要的位 置 数学是一门抽象的科学 对其抽象过程 徐利 治教授指出 一般说来 数学抽象共有 4 个步骤 即 1 观察实例 2 抓住共性 3 提出概念 4 构筑系统或框架 理论 数学概念是数学的 基石 没有它 便无法去构筑理论体系 1 庞加莱 认为 就其本质而言 发明创造即是概念的适当 组合 这种说法未必全面 但确有一定的道理 因 此 数学教学的认识过程也往往表现为从基本概念 和原理出发 逐渐地呈现理论体系 成功的概念学 习是成功的定理 证明 计算等一系列学习的前提 或必要条件 1 高等数学概念的特点 数学概念是抽象思维的产物 它具有辩证性 客观性 合理性等特点 就其抽象的基础来说 有 些数学学科的概念根植于客观的现实世界 有着深 刻的现实背景 但有些数学学科的概念的产生则源 于数学自身的需要 2 同样作为数学理论体系的根 前者就像我们通常所见到的树根 而后者就像榕树 上 的 气 生 根 又称支柱 由上往下长并扎入土 壤 现代数学的概念多为后者 而高等数学的概 念基本上都是前者 即是比较直接抽象的产物 对 刚入学的大学生来说 高等数学与初等数学的主要 不同之处在于 出现在他们面前的是全新的概念与 方法 高等数学的概念基本上都是以运动的面貌出 现的 是动态的产物 正如恩格斯所描述的 运 动进入了数学 辩证法进入了数学 了解高等数 学概念的特点为我们引导学生由初等数学的思维 模式进入高等数学的思维模式 并为其中部分学生 日后学习现代数学做好准备是有指导意义的 高等数学概念与初等数学概念在含义与思维 模式上的变化必然会在数学教学中有所反映 它使 学生在开始接触微积分概念时很容易出现困惑 极 限 无穷小等概念令他们难以理解 而这种困惑在 一定意义上正是历史上的思想困惑的逻辑重演 因 为在历史上 就微积分概念的逻辑基础曾引起过多 方论战 并导致了数学史上的 第二次数学危机 严格的极限理论是牛顿 莱布尼兹之后的多位数学 家历经一百多年的时间通过不懈的努力才得以建 立起来的 由此才为微积分奠定了严密的 牢固的 逻辑基础 所以 学生今天的困惑不解也就不足为 奇了 因而 我们在教学中要研究高等数学概念的 认识过程的特点和规律性 根据学生的认识能力发 展的规律来选择适当的教学形式 2 教学中要注意的几个问题 数学概念学习活动的本质在于学生应被看成 学习活动的主体 学习并非是学生对于教师所授予 的知识的被动接受 而是学生 认识主体 与客体 相互作用的过程 是一个以其已有的知识和经验为 基础的主动建构过程 建构的结果表现为学生对数 学概念的理解 掌握和应用 学习活动的本质也就 决定了教学活动的本质 高等数学概念是一系列探 索活动的产物 我们应该让学生亲历知识发现过 程 在暴露数学概念生成的思维方式上多下功夫 84 数 学 教 育 学 报 第 12 卷 并注意揭示出概念的本质 完成由较为直观的表述 向严格的形式化表述的转化 把生动活泼的理性思 辨通过数学概念的生成传导给学生 实施能动的心 理和智能的导引 2 1 重视感性材料的概括与提炼 部分高等数学概念的形成主要依赖对感性材 料的概括与提炼 因此 感性材料是影响概念学习 的重要因素 如对数列极限概念的教学 我们通常 是先给出具体例子 使学生首先从感性上认识极限 的特征 由于感性认识反映的是对象的表面的 外 部的特征 这些特征不能作为数学定义 因为我们 不能由此出发去进行证明或计算等一系列数学活 动 所以 必须将感性的认识上升为理性的认识 而理性的认识反映的是对象的本质特征 对数列极 限的感性认识 可以通过画图使学生在直观的基础 上自发地进行 而理性认识是通过对感性认识的加 工 改造 提炼而完成的 它往往不能自发地完 成 在这里 教师要做好点拨工作 引导学生对具 体例子进行分析 找出数列极限所具有的量性特 征 从而得出数列极限的严格定义 在这一过程中 如果感性材料太少 或感性材料不典型 学生的感 知就不充分 表象就不丰富 难以辨析数列极限的 本质属性 从而受到非本质属性的干扰 如学生可 能会产生下列错觉 数列必单调地趋于极限 数列 只能从一侧趋于极限 数列的项不能等于极限 等 等 因此 教学时所选择的感性材料要尽可能丰富 学生的表象 可同时给出多种形式的具体例子 以 排除非本质属性的干扰 使学生一开始就感知到数 列可以不同的方式趋于极限 从而将注意力集中到 对极限本质的认识上 2 2 充分利用概念的实际背景和学生的经验 根据荷兰数学家与数学教育家弗赖登塔尔的 数学教育思想 数学教育应该从学生的数学现实出 发 从生活的现实出发 提出问题 解决问题 然 后通过概括提高 升华为数学概念和法则以及数学 思想 高等数学中很多概念都有着良好的物理背景 或几何背景 教学中应该充分利用这些资源以及学 生已有的数学现实和生活经验 引导和启发学生进 行概念的发现和创造工作 这其中包含着由特殊上 升到一般 由具体过渡到抽象 以及揭示矛盾 缓 和矛盾 解决矛盾等一系列辩证过程 从而使学生 看到数学概念的来龙去脉 体验到数学概念的形成 过程 了解其中蕴含的哲学思想 例如 进行导数 概念的教学时 我们首先引导学生在已知变速直线 运动的路程函数的条件下 设法求出某时刻的瞬时 速度 这里 学生的现实与经验是 会求匀速直线 运动的速度 故所面对的是匀速与变速的矛盾 在 此 我们可以首先引导学生缓和矛盾 缓和矛盾的 方法是取一较小的时间段 求出在一个较小时间段 内的平均速度 用平均速度作为瞬时速度的近似 值 然后分析当时间段越变越小会有什么样的效 果 使学生自己意识到通过对平均速度取极限可以 得到瞬时速度 即矛盾得到了解决 用同样的思维 模式 我们可以引导学生求出交流电的瞬时电流强 度和细杆在一点处的线密度 结果 几个不同的物 理问题得出了相同的数学模式 到此 再进行抽象 给出导数定义便会水到渠成了 学生会体验到与中 学完全不同的新奇的思维方式 同时 是学生自己 走向了导数概念 而不是教师强加给他们的 波利亚在 数学的发现 一书中写到 对于 一个特例所以要进行这样周密的描述 其目的就是 为了从中提出一般的方法或模式 这种模式 在以 后类似的情况下 对读者求解问题 可以起指引作 用 能否认为学生已经较好地掌握了相应的数学 概念 其关键就在于学生是否由经验的认识总结出 相应的模式 从而能够有效地去应用已有的知识解 决新的类似问题 就思维模式来讲 导数概念生成 的辩证过程并不是个案 如果我们成功地引导学生 走向了导数概念 对他们成功地走向定积分 重积 分 曲线积分与曲面积分概念都是一个很好的启 迪 因为学生在学习新的数学概念时 往往是从原 有的认知结构出发 其学习效果与学生原有的认知 结构有很大关系 学生的生活经验越丰富 原有的 认知结构越完善 获得新概念的效果就越好 2 3 合理借助概念的直观性 尽管抽象性是数学概念的突出特点 但是直观 性在高等数学的教学中也是占有重要地位的 直观 性是以物体的表象为主体进入思维活动的 徐利治 先生说过 在数学中 我宁愿把 直观 一词解 释为借助于经验 观察 测试或类比联想 所产生 的对事物直接的感知或认识 例如 借助于见到的 或想到的几何图形的形象关系产生对数量关系的 直接感知 即可称为 几何直观 有作为的数学 工作者与教师都应重视数学直观力的培养与训 练 欧拉认为 数学这门科学 需要观察 也需 要实验 模型和图形的广泛应用就是这样的例子 第 2 期 毛京中 高等数学概念教学的一些思考 85 高等数学是在代数法与几何法密切结合的基础上 发展起来的 它具有几何直观的优势 另外 它也 具有更广义的直观性 直观有助于概念的引入 形 成 如极限的严格定义的给出 便是借助了几何直 观性 直观也有助于将某些概念的 假懂 转化为 真懂 就一个新的数学概念的学习而言 仅停留 于对有关定义的机械记忆上显然是不够的 与此相 反 任何真正的认识 事实上必然包含有一个由形 式到非形式 由抽象到具体的转化 由于数学概念 并非现实世界中的真实存在 而只是抽象思维的产 物 因此 对于概念 量化模式 的认识是以在思 想中实际地建构出其模式为必要前提的 这里所说 的建构活动并不是指在头脑中机械地去重复有关 对象的逻辑定义 而主要是一个同化的过程 即如 何把新的知识纳入到已有的知识体系上 从而使其 成为整个知识体系的一个有机组织成分 同化的直 接标志则在于具体地实现了由外在形式向内在本 质 由抽象向具体的转化 使得原先被认为十分抽 象的概念 现在转化成了非常直观浅显的东西 成 了某种具体的对象 正如波利亚所说 抽象的道 理是重要的 但是要用一切办法使它们能看得见摸 得着 对于一个新的数学概念来说 这就是指如 何通过特例的考察 去弄清这一概念的直观背景 也就是说如何把这一概念与已经掌握了的概念联 系起来 例如高等数学中的散度概念 由于它的引 入并不是那么直观 学生常常只是记住了公式 然 而对于散度究竟意味着什么 往往不甚清楚 这时 散度的概念在学生的头脑中只是一个 虚像 如 果我们能对散度做一些直观的描述并做出一些分 析 如让学生了解流速场中的散度 刻画的是一个 点是否为源 以及源的正负与大小 在电场中 电 位移向量的散度表示在一个点处是否存在电荷 电 荷的正负以及电量的大小 与通量相比较 通量反 映的是全局性态 而散度表示的是一点处的性 态 好比在一个公司里 通量相当于整个公司的经 营结果 而散度相当于每个员工的工作结果 这样 散度概念在学生那里就变得很清晰 很实在 同时 也为学生更好地理解高斯公式的物理涵义铺平了 道路 2 4 注意揭示概念的本质 由上所述我们看到 借助于直观 有助于高等 数学概念的引入 也能促进概念由抽象到具体的转 化 然而 就正确的认识而言 更为重要的是透过 概念的形式表述揭示出其内在的本质 从而使其成 为非常透明的东西 正如波利亚所说 这里应当 有一种洞察事物 内在境界 的尝试 应当让所学 习的材料经过消化 吸收到学生的知识体系中去 到学生的整个精神世界中去 例如就导数概念而 言 我们在教学中必须适时引导学生跳出狭义的圈 子 使学生认识到 导数与真实现象间有着一般和 特殊的关系 它作为抽象思维的产物具有更为普遍 的意义 它所反映的已不是某一特定事物或现象的 量性特征 而是一类事物或现象在量的方面的共同 特征 除瞬时速度 电流强度 线密度外 它还可 以表示瞬时加速度 角速度 切线斜率等 而它的 本质是变化率 既使学生了解导数的实际意义 又 阻断学生对具体意义的过度依赖 2 5 注重概念体系的建立 R 斯根普指出 个别的概念一定要融入与其 它概念合成的概念结构中才有效用 数学中的概 念往往不是孤立的 理清概念间的联系 既能促进 新概念的自然进入 也有助于接近已学过概念的本 质及整个概念体系的建立 多元函数微分学中有一 组概念 即极限 连续 偏导数 全微分 方向导 数 对它们之间的联系以及它们与一元函数微分学 中的极限 连续 导数 微分概念之间的异同的分 析比较是我们在教学中要予以重视的 积分学中的 定积分 重积分 2 类曲线积分 2 类曲面积分的 概念之间的关系 异同也是在教学中应该加以注意 的 建立概念间的联系 异同可以用多种方法 类 比与联想是常用的方法之一 依靠类比与联想 可 以从 2 维空间进入 3 维空间直至更高维空间 从有 形进入无形 从现实世界进入虚拟世界 教师应努 力渗透现代数学的观念 尽可能引用现代数学的术 语和符号 在高等数学中如引出映射概念 再用映 射来定义函数概念 那么 一元函数 多元函数 向量函数便都是一些特殊的映射 它们之间的联系 也就昭然若揭了 对概念的涵义 我们应该尽量给 出其深度与广度 如揭示垂直与正交的关系 在讲 三角函数系的正交性时顺便提及广义的乘法概念 为以后部分学生学习其它数学课埋下伏笔 3 概念教学要体现出创造性活动 从现代认识心理学的角度看 数学概念的学习 是数学概念认知结构的建立 扩大或重新组合 学 生的认知结构又是从所接受的知识结构转化而 86 数 学 教 育 学 报 第 12 卷 来 因此 数学概念的教学就应该是一个动态过程 是一种创造性活动 教师应该在以学生为主体 以 启发式为原则 以简易性为目标的前提下以多种不 同的方式从事高等数学概念的教学活动 通过介绍 概念建立的有关史实赋予概念以诱人的魅力 通过 展示概念的应用赋予概念以鲜活的生命力 通过揭 示概念的哲学内涵赋予概念以深刻的理性精神 教 师自己要有一种批判精神 不要总是死抠教材 事 实上 教材中确有一些概念存在着在叙述上不够简 便 不够直接 不够明确等毛病 容易使学生在学 习时产生困惑 偏差或空隙 教师不应人云亦云 书云亦云 要敢于做出一些积极的改变 在教学中 教师的创造性劳动和个性化精神 必然会影响学生 的创造性与个性化的发展 3 5 苏霍姆林斯基说过 假如学生离开你时是无个性的 那么就意味着作 为教师的你没在他身上留下任何东西 这样的结局 对学生是惩罚 对教师是遗憾 教育的一切 即在 人身上实现伟大的创造 教师在数学教学中所做 的一切 其目的应在于既教会学生有用的知识 又 教会学生有益的思考方式及有益的思维习惯 参考文献 1 徐利治 王前 数学哲学 数学史与数学教育的结合 数学教育改革的一个重要方向 J 数学教育学报 1994 3 1 3 2 吕林海 数学抽象的思辨 J 数学教育学报 2001 10 4 60 62 3 李善良 数学概念学习研究综述 J 数学教育学报 2001 10 3 18 4 汤炳兴 在概念教学中 学数学 做数学 用数学 J 数 学教育学报 2002 11 4 38 5 谭奕