2014年考研数学强化阶段《2012年数学试题(数一)》.pdf

考研考研数学数学备考指南备考指南 高学网教学研发中心出品高学网教学研发中心出品 2012012 2 年全国硕士研究生入学统一考试数学年全国硕士研究生入学统一考试数学一一试题试题 一 选择题 一 选择题 1 8 小题小题 每小题每小题 4 分分 共共 32 分分 下列每小题给出的四个选项中下列每小题给出的四个选项中 只有一项符合只有一项符合 题目要求题目要求 把所选项前的字母填在题后的括号内把所选项前的字母填在题后的括号内 1 曲线 2 2 1 xx y x 渐近线的条数为 A 0 B 1 C 2 D 2 2 设函数 2 1 2 xxnx f xeeen 其中n为正整数 则 0 f A 1 1 1 n n B 1 1 n n C 1 1 n n D 1 nn 3 如果 f x y在 0 0处连续 那么下列命题正确的是 A 若极限 0 0 lim x y f x y xy 存在 则 f x y在 0 0 处可微 B 若极限 22 0 0 lim x y f x y xy 存在 则 f x y在 0 0 处可微 C 若 f x y在 0 0 处可微 则极限 0 0 lim x y f x y xy 存在 D 若 f x y在 0 0 处可微 则极限 22 0 0 lim x y f x y xy 存在 4 设 2 0 sin 1 2 3 kx x k Iexdx k 则有 A 123 III B 321 III C 231 III D 213 III 5 设 1234 1234 0011 0 1 1 1 cccc 其中 1234 c c c c为任意常数 则下列向 量组线性相关的是 A 123 B 124 C 134 D 234 高学网教研中心出品 版权所有 未经许可使用将追究法律责任1 6 设A为 3 阶矩阵 P为 3 阶可逆矩阵 且 1 1 1 2 P AP 123 P 1223 Q 则 1 Q AQ A 1 2 1 B 1 1 2 C 2 1 2 D 2 2 1 7 设随机变量x与y相互独立 且分别服从参数为1与参数为4的指数分布 则 yxp 1124 5355 ABCD 8 将长度为 1m 的木棒随机地截成两段 则两段长度的相关系数为 11 1 1 22 ABCD 二 填空题 二 填空题 9 14 小题 每小题小题 每小题 4 分 共分 共 24 分分 请将答案写在答题纸指定位置上请将答案写在答题纸指定位置上 9 若函数 xf满足方程 2 0fxfxf x 及 2 x fxf xe 则 xf 10 2 2 0 2xxx dx 11 2 1 1 grad z xy y 12 设 0 0 0 1 zyxzyxzyx则 dsy2 13 设x为三维单位向量 E为三阶单位矩阵 则矩阵 T xxE 的秩为 14 设 A B C是随机事件 A C互不相容 1 2 P AB 1 3 P C 则 P AB C 三 解答题 三 解答题 15 23 小题 共小题 共 94 分分 请将解答写在答题纸指定的位置上请将解答写在答题纸指定的位置上 解答应写出文字解答应写出文字 说明 证明过程或演算步骤说明 证明过程或演算步骤 15 本题满分本题满分 10 分分 证明 2 1 lncos1 11 12 xx xxx x 高学网教研中心出品 版权所有 未经许可使用将追究法律责任2 16 本题满分本题满分 10 分分 求 22 2 xy f x yxe 的极值 17 本题满分本题满分 10 分分 求幂级数 0n 2 2 443 21 n nn x n 的收敛域及和函数 18 本题满分本题满分 10 分分 已知曲线 设ZXY 求z的概率密度 2 f z 设 12 n z zz 为来自总体Z的简单随机样本 求 2 的最大似然估计量 2 证明 2 为 2 的无偏估计量 高学网教研中心出品 版权所有 未经许可使用将追究法律责任4 2012012 2 年全国硕士研究生入学统一考试数学年全国硕士研究生入学统一考试数学一一试题试题答案及解析答案及解析 一 选择题 一 选择题 1 8 小题小题 每小题每小题 4 分分 共共 32 分分 下列每小题给出的四个选项中下列每小题给出的四个选项中 只有一项符合只有一项符合 题目要求题目要求 把所选项前的字母填在题后的括号内把所选项前的字母填在题后的括号内 1 曲线 2 2 1 xx y x 渐近线的条数为 A 0 B 1 C 2 D 3 答案答案 C 解析解析 因为 2 2 1 lim 1 x xx x 所以1x 是垂直渐近线 又由 2 2 lim1 1 x xx x 故1y 为 水平渐近线 由 2 2 lim 1 x xx x x 故斜渐近线不存在 故曲线 2 2 1 xx y x 渐近线的条数为2 条 故选 C 2 设函数 2 1 2 xxnx f xeeen 其中n为正整数 则 0 f A 1 1 1 n n B 1 1 n n C 1 1 n n D 1 nn 答案答案 A 解析解析 设 2 2 xnx g xeen 则 1 x f xeg x 所以 1 xx fxeg xeg x 故 1 0 0 1 2 1 1 1 n fgnn 故选 A 3 如果 f x y在 0 0处连续 那么下列命题正确的是 A 若极限 0 0 lim x y f x y xy 存在 则 f x y在 0 0 处可微 B 若极限 22 0 0 lim x y f x y xy 存在 则 f x y在 0 0 处可微 C 若 f x y在 0 0 处可微 则极限 0 0 lim x y f x y xy 存在 D 若 f x y在 0 0 处可微 则极限 22 0 0 lim x y f x y xy 存在 答案答案 B 高学网教研中心出品 版权所有 未经许可使用将追究法律责任5 解析解析 如果 22 0 0 lim x y f x y xy 存在 f x y在 0 0 处连续 则 0 0 0f 且 2 0 0 0 0 0 lim x y f xf x 存在 于是 2 0 0 0 lim0 x y f x x 故 0 0 0 x f 同理 0 0 0 y f 于 是由可微定义 222200 00 0 0 0 0 0 0 limlim0 xy xx yy f x yffxfy f x y xyxy 于是 f x y在 0 0 处可微 故选 B 4 设 2 0 sin 1 2 3 k x k Iexdx k 则有 A 123 III B 321 III C 231 III D 213 III 答案答案 D 解析解析 由 22223 123 000 sin sin sin xxx Iexdx Iexdx Iexdx 先比较 12 I I 易知 22 2112 sin0 x IIexdxII 比较 32 II 易知 23 3232 2 sin0 x IIexdxII 再比较 31 II 易知 23 31 sin x IIexdx 令2xy 则 222 22 0 2 2 2 31 0 2 2 00 sinsinsin sinsin0 yyy yy IIeydyeydyeydy eydyeydy 所以 31 II 综上 213 III 故答案选 D 5 设 1234 1234 0011 0 1 1 1 cccc 其中 1234 c c c c为任意常数 则下列向 量组线性相关的是 A 123 B 124 C 134 D 234 答案答案 C 高学网教研中心出品 版权所有 未经许可使用将追究法律责任6 解析解析 由于 1341 123 011 11 0110 11 c ccc 可知线性相关 故选 C 6 设A为 3 阶矩阵 P为 3 阶可逆矩阵 且 1 1 1 2 P AP 123 P 1223 Q 则 1 Q AQ A 1 2 1 B 1 1 2 C 2 1 2 D 2 2 1 答案答案 B 解析解析 100 110 001 QP 则 11 100 110 001 QP 故 11 100100100100100100 110110110010110010 001001001002001002 Q AQP AP 故选 B 7 设随机变量X与Y相互独立 且分别服从参数为 1 与参数为 4 的指数分布 则 其他其他 又X与Y相互独立 则 X Y的联合概率密度为 4 4 0 0 0 xy XY exy f x yfx fy 其他 高学网教研中心出品 版权所有 未经许可使用将追究法律责任7 故 44 00 1 44 5 y xyyx x yx y P XYf x y dxdyedxdyedye dx 故选 A 8 将长度为 1m 的木棒随机地截成两段 则两段长度的相关系数为 11 1 1 22 ABCD 答案答案 D 解析解析 设 X Y分别为所截成两段木棒的长度 则由题得 1 1P XY 即 1 1P YX 从而X与Y处处线性负相关 故它们的相关系数为1 故选 D 二 填空题 二 填空题 9 14 小题 每小题小题 每小题 4 分 共分 共 24 分分 请将答案写在答题纸指定位置上请将答案写在答题纸指定位置上 9 若函数 xf满足方程 2 0fxfxf x 及 2 x fxf xe 则 xf 答案答案 x e 解析解析 由特征方程为 2 12 20 1 2 得 故其通解为 2 12 xx yC eC e 求 得 22 1212 2 4 xxxx yC eC eyC eC e 代入原方程得 2 12 252 xxx yyC eC ee 因此 12 1 0CC 所以 x ye 10 2 2 0 2xxx dx 答案答案 2 解析解析 由 1 sin 22 22 2 00 2 21 1 1 sin cos 1 sin x Ixxx dxxxdxd 令 222 222 0 22 1 sin coscos2cosddd 2 2 0 0 1 cos21 sin2 22 d 11 2 1 1 grad z xy y 答案答案 1 1 1 高学网教研中心出品 版权所有 未经许可使用将追究法律责任8 解析解析 令 z uxy y 则 21 2 1 12 1 1 2 1 11 2 1 1 1 1 1 1 y y uuzu yx xyyzy 故 2 1 1 grad1 1 1 z xy y 12 设 0 0 0 1 zyxzyxzyx则 dsy2 答案答案 3 12 解析解析 由1 1 1 xy zxy zz 曲面在xoy面上投影为 01 01Dx yxyx 则 12 3 33 1 1 0 2 1 0 22222 dyydxdydzzydsyI x D yx D 13 设x为三维单位向量 E为三阶单位矩阵 则矩阵 T xxE 的秩为 答案 2 解析 矩阵 T xx的特征值为0 0 1 故 T xxE 的特征值为1 1 0 又由于 T xxE 为实对 称矩阵 即可相似对角化 也即 T 2r Exx 14 设 A B C是随机事件 A C互不相容 1 2 P AB 1 3 P C 则 P AB C 答案答案 3 4 解析解析 由条件概率定义得 P ABC P AB C P C 而 12 1 1 33 P CP C 1 2 P ABCP ABP ABCP ABC 又由 A C互不相容 即 AC 0P AC 且ABCAC 得 0P ABC 高学网教研中心出品 版权所有 未经许可使用将追究法律责任9 于是 1 2 P ABC 故 3 4 P AB C 三 解答题 三 解答题 15 23 小题 共小题 共 94 分分 请将解答写在答题纸指定的位置上请将解答写在答题纸指定的位置上 解答应写出文字解答应写出文字 说明 证明过程或演算步骤说明 证明过程或演算步骤 15 本题满分本题满分 10 分分 证明 2 1 lncos1 11 12 xx xxx x 解析解析 令 2 1cos 1 1 ln 2 x x x x xxf 得 xx xx x x x x xf sin 1 2 1 1 1 1 ln 2 xx x x x x sin 1 2 1 1 ln 2 x x xx x x sin 1 1 1 1 ln 2 2 1 当10 x x x x 所以0sin 1 1 2 2 xx x x 故0 x f 而0 0 f 即得0 2 1cos 1 1 ln 2 x x x x x 所以 10 2 1cos 1 1 ln 2 x x x x x x 2 当01 x x x x 所以0sin 1 1 2 2 xx x x 故0 x f 即得0 2 1cos 1 1 ln 2 x x x x x 所以 2 1 lncos1 11 12 xx xxx x 又 0 0 1 又0 0 1 xx f 所以 原函数在 0 1 点取得极小值 2 1 0 1 ef 17 本题满分本题满分 10 分分 求幂级数 0n 2 2 443 21 n nn x n 的收敛域及和函数 解析解析 令1 344 12 1 1 2 3 1 4 1 4 limlim 22 2 1 2 2 1 2 1 xx nn n n ann xa xa n x n n n n x 得 11 x 当1 x时 原级数 0 2 12 344 n n nn 由0 12 344 lim 2 n nn n 所以当1 x时 原级数不收敛 所以收敛域为 1 1 和函数 n n n n x n n x n nn xS 2 0 2 2 0 2 12 2 12 12 344 n n n n x n xn 2 0 2 0 12 2 12 令 22 2 2 0 122 0 1 1 1 1 12 x x x x xxnxS n nn n 0 122 0 2 12 21 12 2 n nn n x nx x n xS 12 0 3 12 2 n n x n xS 则 2 2 0 3 1 2 2 x xxS n n 那么 x x dt t SxS x 1 1 ln 1 2 0 0 2 33 其中0 0 3 S 高学网教研中心出品 版权所有 未经许可使用将追究法律责任11 那么 x x xS 1 1 ln 3 x x x xS x xS 1 1 ln 1 1 32 所以和函数 x x xx x xSxSxS 1 1 ln 1 1 1 22 2 21 11 x 18 本题满分本题满分 10 分分 已知曲线 若曲线L的切线与x轴的交点到切点的距离恒为 1 求函数 tf的 表达式 并求此曲线L与x轴与y轴无边界的区域的面积 解析解析 曲线L在任一点 yx处的切线斜率为 sin tf t dx dy 过点 yx处的切线为 sin costfX tf t tY 令0 Y得 cos tfttfX 由于曲线L与x轴和y 轴的交点到切点的距离恒为 1 故有1cos cot 22 ttftfttf 又因为 2 0 0 ttf 所以 t t tf cot sin 两边同时取不定积分得 ln sectan sinf ttttC 又因为0 0 f 所以0 C 故函数 ln sectan sinf tttt 此曲线L与x轴和y轴所围成的无边界的区域的面积为 4 cos 2 0 dttftS 19 本题满分本题满分 10 分分 已知L是第一象限中从点 0 0沿圆周 22 2xyx 到点 2 0 再沿圆周 22 4xy 到点 0 2的曲线段 计算曲线积分 23 32 L Jx ydxxxy dy 解析解析 利用格林公式 设所补直线 1 L为 20 0 yx 得 11 2 3 2 3 3232 LLL dyyxxydxxdyyxxydxxJ 0 2 22 2 313 ydydxdyxx D 高学网教研中心出品 版权所有 未经许可使用将追究法律责任12 4 2 4 2 1 4 1 12 CC SS 其中 21 C C分别为圆 22 2xyx 与 22 4xy 20 本题满分本题满分 11 分分 设 1001 0101 0010 0010 a a a a A b 求A 已知线性方程组x Ab有无穷多解 求a 并求的x Ab通解 解析解析 4 14 100 1000 010 101 1 101 001 00101 001 a aa a aaaa a a a 232 100110011001 010101010101 001000100010 0010001001 aaa aaa b aaa aaaaaa A 42 1001 0101 0010 0001 a a a aaa 由线性方程组解的性质 可知当原线性方程组有无穷解时 即0 A且 rr AA b 则有 4 10a 2 0aa 所以1a 此时 原线性方程组增广矩阵为 11001 01101 00110 00000 并进一步化为行最简形得 10010 01011 00110 00000 可知导出组的基础解系为 1 1 1 1 非齐次方程的特解为 0 1 0 0 故其通解 高学网教研中心出品 版权所有 未经许可使用将追究法律责任13 为 10 11 10 10 k 21 本题满分本题满分 11 已知 101 011 10 01 a a A 二次型 TT 123 f x xxxx A A的秩为 2 求实数a 求正交变换 xQy 将f化为标准形 写出正交变换过程 解析解析 由 T 2rr A AA可得 101 011101 10 aa a A 1 TT 1231232 3 202 022 224 x f x x xxxx x xx x A A 222 1231323 22444xxxx xx x 令 T 202 022 224 B A A 202 022 2 6 0 224 E B 矩阵的特征值为 123 0 2 6 对于 1 0 解 1 0 E B x得对应的特征向量为 1 1 1 1 高学网教研中心出品 版权所有 未经许可使用将追究法律责任14 对于 2 2 解 2 0 E B x得对应的特征向量为 2 1 1 0 对于 3 6 解 3 0 E B x得对应的特征向量为 3 1 1 2 将 1 2 3 单位化可得 1 1 1 1 3 1 2 1 1 1 2 0 3 1 1 1 6 2 所以正交矩阵 123 111 326 111 326 12 0 36 Q 22 本题满分本题满分 11 分分 已知随机变量 X Y以及XY的分布律如下表所示 X 0 1 2 Y 1 2 1 3 1 6 Y 0 1 2 P 1 3 1 3 1 3 XY 0 1 2 4 P 7 12 1 3 0 1 12