2012年考研数学基础班高等数学讲义6.pdf

95 第六讲 空间解析几何与向量代数 第六讲 空间解析几何与向量代数 学习要求 1 理解空间直角坐标系 理解响亮的概念及其表示 2 掌握向量的运算 线性运算 数量积 向量积 混合积 了解两个向量 垂直 平行的条件 3 理解单位向量 方向角与方向余弦 向量的坐标表达式 掌握用坐标表 达式进行向量运算的方法 4 掌握平面方程和直线方程及其求法 5 会求平面与平面 平面与直线 直线与直线之间的夹角 并会利用平面 直线的相互关系 平行 垂直 相交等 解决有关问题 6 会求点到直线以及点到平面的距离 7 了解曲面方程和空间曲线方程的概念 8 了解常用的二次曲面方程及其图形 会求简单的柱面和旋转曲面的方程 9 了解空间曲线的参数方程和一般方程 了解空间曲线在坐标平面上的投 影 并会求该投影曲线的方程 学习要求 1 理解空间直角坐标系 理解响亮的概念及其表示 2 掌握向量的运算 线性运算 数量积 向量积 混合积 了解两个向量 垂直 平行的条件 3 理解单位向量 方向角与方向余弦 向量的坐标表达式 掌握用坐标表 达式进行向量运算的方法 4 掌握平面方程和直线方程及其求法 5 会求平面与平面 平面与直线 直线与直线之间的夹角 并会利用平面 直线的相互关系 平行 垂直 相交等 解决有关问题 6 会求点到直线以及点到平面的距离 7 了解曲面方程和空间曲线方程的概念 8 了解常用的二次曲面方程及其图形 会求简单的柱面和旋转曲面的方程 9 了解空间曲线的参数方程和一般方程 了解空间曲线在坐标平面上的投 影 并会求该投影曲线的方程 6 1 内容概述 6 1 内容概述 1 向量的概念 1 向量 既有大小又有方向的量 2 向量的模 向量的大小 记为 1 向量的概念 1 向量 既有大小又有方向的量 2 向量的模 向量的大小 记为 a 3 向量的坐标表示 3 向量的坐标表示 zyxkzj yi xa 此时 此时 222 zyxa 4 单位向量 模为 1 的向量 4 单位向量 模为 1 的向量 a 的单位向量记为的单位向量记为 0 a cos cos cos 0 a cos cos cos称为称为a 的 方向余弦 且 的 方向余弦 且1coscoscos 222 5 设 5 设 22221111 zyxMzyxM是空间直角坐标系中的两点 则是空间直角坐标系中的两点 则 12121221 zzyyxxMM 2 向量的运算及其性质 设 2 向量的运算及其性质 设 333222111 zyxczyxbzyxa 1 加减运算 1 加减运算 212121 zzyyxxba 2 数乘运算 2 数乘运算 111 kzkykxak 3 向量的数量积 3 向量的数量积 212121 cos zzyyxxbababa 4 向量的向量积 4 向量的向量积 bac 满足右手法则 垂直于 满足右手法则 垂直于a 与与b 所确定的平面 所确定的平面 ba 222 111 zyx zyx kji sin bababac 5 向量的混合积 5 向量的混合积 96 cbacba 333 222 111 zyx zyx zyx 各种运算具有如下性质 1 各种运算具有如下性质 1 abba 交换律 2 交换律 2 cabacba 分配律 3 分配律 3 bababa 与数乘运算的结合律 4 与数乘运算的结合律 4 abba 反交换律 5 反交换律 5 cabacba 分配律 6 分配律 6 bababa 与数乘运算的结合律 7 与数乘运算的结合律 7 bacacbcba 轮换对称性 8 轮换对称性 8 cababcbcacba 两向量互换 混合积变号 3 向量之间的关系 设 两向量互换 混合积变号 3 向量之间的关系 设 333222111 zyxczyxbzyxa 则 1 则 1 00 212121 zzyyxxbaba 2 2 2 1 2 1 2 1 0 z z y y x x baba 3 3 ba 共线共线 不全为零的数不全为零的数 使 使0 ba 4 4 cba 共线共线 不全为零的数不全为零的数 使 使0 cba 或者或者 0 cba 5 5 ba 的夹角 的夹角 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 212121 cos zyxzyx zzyyxx ba ba ba 4 平面 1 一般式方程 4 平面 1 一般式方程 0 DCzByAx 2 点法式方程 过点 2 点法式方程 过点 000 zyxM 且法向量为 且法向量为 CBAn 的平面方 程为 的平面方 程为 0 000 zzCyyBxxA 3 三点式方程 3 三点式方程 0 131313 121212 111 zzyyxx zzyyxx zzyyxx 4 截距式方程 4 截距式方程 1 c z b y a x 5 直线 1 一般式方程 两平面的交线 5 直线 1 一般式方程 两平面的交线 0 0 2222 1111 DzCyBxA DzCyBxA 22221111 CBAnCBAn 直线的方向向量为 直线的方向向量为 21 nns 2 标准式方程 过点 2 标准式方程 过点 000 zyxM 且方向向量为 且方向向量为 nmls 的直线方 程为 的直线方 程为 97 n zz m yy l xx 000 3 两点式方程 过点 3 两点式方程 过点 0000 zyxM 1111 zyxM的直线方程为 的直线方程为 01 0 01 0 01 0 zz zz yy yy xx xx 4 参数方程 过点 4 参数方程 过点 000 zyxM 且方向向量为 且方向向量为 nmls 的直线方程 为 的直线方程 为 ntzz mtyy ltxx 0 0 0 6 空间曲面 1 球面 球心 6 空间曲面 1 球面 球心 0000 zyxP 半径为 半径为R的球面方程 的球面方程 22 0 2 0 2 0 Rzzyyxx 2 柱面 母线平行于 2 柱面 母线平行于z轴的柱面方程为轴的柱面方程为0 yxf 3 旋转曲面方程 设有平面曲线 3 旋转曲面方程 设有平面曲线 0 0 z yxf L L绕绕x轴旋转所成的旋转曲面方程为轴旋转所成的旋转曲面方程为0 22 zyxf L绕绕y轴旋转所成的旋转曲面方程为轴旋转所成的旋转曲面方程为0 22 yzxf 4 常用的二次曲面 椭球面 4 常用的二次曲面 椭球面 1 2 2 2 2 2 2 c z b y a x 椭圆抛物面 椭圆抛物面 2 2 2 2 b y a x z 二次锥面 二次锥面 2 2 2 2 2 b y a x z 7 空间曲线 1 一般方程 7 空间曲线 1 一般方程 0 0 zyxG zyxF 2 参数方程 2 参数方程 tzz tyy txx 学习建议 本章内容只在硕士研究生入学考试数学试题中数学 一 要求 单独出题 的较少 即使出题也多为选择题或填空题 1999 到 2008 年之间 只有 2006 年 考了一题 此部分考题较少 不是说该内容不重要 而是由于重积分 曲线积 分和曲面积分的题目有许多涉及到空间解析几何 多元函数微分学在几何中应 用的题目也涉及到向量代数和平面 直线方程 在复习考试中也要重视这方面 的内容 本章主要要掌握向量的概念 运算及运算性质 会求各种形式的直线及平 面方程 要记住常见的几种曲面方程以及它们在各坐标面上的投影 学习建议 本章内容只在硕士研究生入学考试数学试题中数学 一 要求 单独出题 的较少 即使出题也多为选择题或填空题 1999 到 2008 年之间 只有 2006 年 考了一题 此部分考题较少 不是说该内容不重要 而是由于重积分 曲线积 分和曲面积分的题目有许多涉及到空间解析几何 多元函数微分学在几何中应 用的题目也涉及到向量代数和平面 直线方程 在复习考试中也要重视这方面 的内容 本章主要要掌握向量的概念 运算及运算性质 会求各种形式的直线及平 面方程 要记住常见的几种曲面方程以及它们在各坐标面上的投影 6 2 难点 疑点解析及重要公式与结论 6 2 难点 疑点解析及重要公式与结论 1 若 1 若cba 中有两个向量是成正比例的 则 中有两个向量是成正比例的 则 98 0 cbacba 2 以 2 以ba 为边的平行四边形的面积为为边的平行四边形的面积为 ba 3 以 3 以cba 为棱的平行六面体的体积为为棱的平行六面体的体积为 cba 4 设有两个不重合平面 4 设有两个不重合平面 0 111111111 CBAnDzCyBxA 0 222222222 CBAnDzCyBxA 1 1 0 212121 nnnn 2 2 0 212121 nnnn 3 3 21 的夹角 即为的夹角 即为 1 n 与与 2 n 的夹角 不大于 90 度 5 设有两条不重合的直线 的夹角 不大于 90 度 5 设有两条不重合的直线 1111 1 1 1 1 1 1 1 nmls n zz m yy l xx L 2222 2 2 2 2 2 2 2 nmls n zz m yy l xx L 1 1 0 212121 ssssLL 2 2 0 212121 ssssLL 3 3 21 L L的夹角 即为的夹角 即为 1 s 与与 2 s 的夹角 不大于 90 度 6 设直线 的夹角 不大于 90 度 6 设直线 n zz m yy l xx L 000 不在平面不在平面0 DCzByAx 上 上 nmls CBAn 1 1 0 nsnsL 2 2 0 nsnsL 3 3 L的夹角的夹角 为为 2 s 与与n 的夹角 且 的夹角 且 222222 sin nmlCBA CnBmAl 7 点 7 点 0000 zyxP 直线 直线 n zz m yy l xx L 111 平面 平面0 DCzByAx 1 点到直线的距离为 1 点到直线的距离为 222 101010 nml nmlzzyyxx d 2 点到平面的距离为 2 点到平面的距离为 222 000 CBA DCzByAx d 8 直线 8 直线 1111 1 1 1 1 1 1 1 nmls n zz m yy l xx L 与直线 与直线 2222 2 2 2 2 2 2 2 nmls n zz m yy l xx L 为异面直线 两异面直线之 间的距离为 为异面直线 两异面直线之 间的距离为 21 2121 ss ssPP d 12121221 zzyyxxPP 9 关于投影 1 向 量 9 关于投影 1 向 量b 在 向 量在 向 量a 上 的 投 影上 的 投 影 cos jPrbabb a 投 影 向 量 为 投 影 向 量 为 j Pr a a b a 99 2 曲线 2 曲线 0 0 zyxg zyxf 消去 消去z得到得到 yx 则 则 在在xOy面上的投影 曲线为 面上的投影 曲线为 0 0 z yx 3 若 3 若 thz tgy tfx 则 则 在在xOy面上的投影曲线为面上的投影曲线为 0 z tgy tfx 6 3 典型例题 6 3 典型例题 一 基础过关题 题型 向量的运算 例 6 1 设 一 基础过关题 题型 向量的运算 例 6 1 设 6 3 4 baba 求 求 baba 分析 利用向量的运算性质化简表达式 然后代值 注意 分析 利用向量的运算性质化简表达式 然后代值 注意0 bbaa 例 6 2 已知 例 6 2 已知 1 1 1 1 2 1 ba 求 求 babababa 评注 1 此题也可直接求 评注 1 此题也可直接求ba 及及ba 2 以下五个公式一定要灵活掌握 1 2 以下五个公式一定要灵活掌握 1 2 aaa 2 2 0 aa 3 3 abba 4 4 cos bababa 5 5 sin bababa 题型 向量的几何意义 例 6 3 已知三点 题型 向量的几何意义 例 6 3 已知三点 5 2 7 1 2 3 3 2 2 CBA 1 设 1 设D是是BC的中点 求的中点 求D的坐标 2 设 的坐标 2 设G是是ABC 的重心 求的重心 求G的坐标 3 求 的坐标 3 求OD的方向余弦 4 求 的方向余弦 4 求ABC 的面积 5 求四面体 的面积 5 求四面体OABC的体积 6 求 的体积 6 求AB与与AC的夹角 分析 此题主要考查向量的几何意义 实质上是一个几何问题 题型 求平面的方程 解题思路 1 用点法式方程 2 求出一点及与平面平行的两不共线向量 3 用平面束方程 4 用一般方程 应熟练掌握如下基本题目中平面方程的解法 1 过定点与一直线垂直的平面 2 过定点与一直线平行的平面 3 过定 点与给定两直线平行的平面 4 过一定直线且垂直于一定平面的平面 5 过两 定点且平行于一条给定直线的平面 6 过两定点且垂直于一已知平面的平面 7 平行于一定直线且通过另一已知直线的平面 例6 4 已 知 两 条 直 线 的 方 程 是 的夹角 分析 此题主要考查向量的几何意义 实质上是一个几何问题 题型 求平面的方程 解题思路 1 用点法式方程 2 求出一点及与平面平行的两不共线向量 3 用平面束方程 4 用一般方程 应熟练掌握如下基本题目中平面方程的解法 1 过定点与一直线垂直的平面 2 过定点与一直线平行的平面 3 过定 点与给定两直线平行的平面 4 过一定直线且垂直于一定平面的平面 5 过两 定点且平行于一条给定直线的平面 6 过两定点且垂直于一已知平面的平面 7 平行于一定直线且通过另一已知直线的平面 例6 4 已 知 两 条 直 线 的 方 程 是 1 3 0 2 1 1 1 z y x L 11 1 2 2 2 z y x L 求过 求过 1 L且平行于且平行于 2 L的平面方程 分析 平面的法向量为两直线方向向量的向量积 且过点 的平面方程 分析 平面的法向量为两直线方向向量的向量积 且过点 3 2 1 用平 用平 100 面的点法式方程可求出平面的方程 评注 主要考查直线与平面的基本形式 例 6 5 求与两直线 面的点法式方程可求出平面的方程 评注 主要考查直线与平面的基本形式 例 6 5 求与两直线 tz ty x L 2 1 1 1 及及 1 1 2 2 1 1 2 z y x L都平行且 经过点 都平行且 经过点 0 0 0 的平面方程 分析 平面的法向量为两直线方向向量的向量积 且过点 的平面方程 分析 平面的法向量为两直线方向向量的向量积 且过点 0 0 0 用平 面的点法式方程 或在平面上任取一点 用平 面的点法式方程 或在平面上任取一点 zyxP 两直线方向向量与向量 两直线方向向量与向量OP共 面 因而混合积为 0 例 6 6 求过直线 共 面 因而混合积为 0 例 6 6 求过直线 022 034 zyx zyx L且垂直于平面且垂直于平面04924 zyx 的平面方程 分析 用过直线 的平面方程 分析 用过直线L的平面束方程 此平面与平面的平面束方程 此平面与平面 垂直 由两平面法向 量的内积等于零可求出 垂直 由两平面法向 量的内积等于零可求出 进而得到所求平面的方程 评注 此题也可用点法式方程求解 题型 求空间直线的方程 解题思路 1 一条直线可看作两个不平行平面的交线 2 直线经过一点 进而得到所求平面的方程 评注 此题也可用点法式方程求解 题型 求空间直线的方程 解题思路 1 一条直线可看作两个不平行平面的交线 2 直线经过一点P 它的分析向量为 它的分析向量为s 可求出直线的标准式方程或参数式 方程 例6 7 求 过 点 可求出直线的标准式方程或参数式 方程 例6 7 求 过 点 2 5 3 0 P且 与 平 面且 与 平 面032 1 zyx 0142 2 zyx 的交线平行的直线方程 分析 平面 的交线平行的直线方程 分析 平面 21 法向量的向量积为交线的方向向量 也是所求直线的方 向向量 又此直线经过点 法向量的向量积为交线的方向向量 也是所求直线的方 向向量 又此直线经过点 2 5 3 0 P 可写出其标准式方程或参数式方程 评注 实质上两种解法是一致的 第二种解法求出了方向向量的一般形 式 例 6 8 已知直线 可写出其标准式方程或参数式方程 评注 实质上两种解法是一致的 第二种解法求出了方向向量的一般形 式 例 6 8 已知直线 1 3 7 1 8 2 1 z y x L 13 5 2 3 2 z y x L 14 7 5 10 3 z y x L 求与 求与 1 L平行与平行与 2 L 3 L都相交的直线方程 分析 从几何上看 过 都相交的直线方程 分析 从几何上看 过 2 L平行于平行于 1 L的平面与过的平面与过 3 L平行于平行于 1 L的平面的交 线即为所求 过 的平面的交 线即为所求 过 2 L平行于平行于 1 L的平面经过点的平面经过点 0 5 3 法向量为 法向量为 1 L与与 2 L方向向 量的向量积 用点法式方程可求出此平面的方程 另一个同理可求 例 6 9 求 经 过 点 方向向 量的向量积 用点法式方程可求出此平面的方程 另一个同理可求 例 6 9 求 经 过 点 3 2 1 垂 直 于 直 线 垂 直 于 直 线 654 z y x L 且 与 平 面且 与 平 面 010987 zyx 平行的直线方程 分析 直线过点 平行的直线方程 分析 直线过点 3 2 1 其方向向量为直线 其方向向量为直线L的方向向量与平面的方向向量与平面 的法 向量的向量积 进而可写出直线方程 评注 解法二比解法一简洁 但解法一更自然一些 题型 直线 平面间的关系 线线 线面 面面之间主要有三种位置关系 平行 垂直 斜交 直线与直 线之间还有异面关系 它们都可转化为直线的方向向量 平面的法向量间的关 系来判断 的法 向量的向量积 进而可写出直线方程 评注 解法二比解法一简洁 但解法一更自然一些 题型 直线 平面间的关系 线线 线面 面面之间主要有三种位置关系 平行 垂直 斜交 直线与直 线之间还有异面关系 它们都可转化为直线的方向向量 平面的法向量间的关 系来判断 101 例 6 10 判断直线 例 6 10 判断直线 321 1 z y x L 1 2 1 1 1 1 2 z y x L的位置关系 分析 直线与直线可能是异面直线的关系 判断它们是否为异面直线 可在两条直线上分别取点 的位置关系 分析 直线与直线可能是异面直线的关系 判断它们是否为异面直线 可在两条直线上分别取点 1 P 2 P 两条直线的方向向量为 两条直线的方向向量为 1 s 2 s 用混合积 用混合积 2121 ssPP 是否为零来判断 若是否为零来判断 若0 2121 ssPP 两直线为异面直线 题型 有关距离的问题 要掌握点到直线 点到平面距离的计算 了解两条异面直线公垂线段长度 的计算 其他诸如两条平行直线间的距离 两个平行平面间的距离 直线与平 面间 直线与平面平行 的距离的计算可转化为如前的情形 例6 11 已 知 点 两直线为异面直线 题型 有关距离的问题 要掌握点到直线 点到平面距离的计算 了解两条异面直线公垂线段长度 的计算 其他诸如两条平行直线间的距离 两个平行平面间的距离 直线与平 面间 直线与平面平行 的距离的计算可转化为如前的情形 例6 11 已 知 点 1 0 1 A 直 线 直 线 11 1 1 z y x L 平 面 平 面 01 zyx 求点 求点A到直线到直线L及平面及平面 的距离 分析 可直接利用公式计算 对点到直线的距离也可先求此点在直线上 的投影 再用两点间距离公式 评注 1 一般地 点 的距离 分析 可直接利用公式计算 对点到直线的距离也可先求此点在直线上 的投影 再用两点间距离公式 评注 1 一般地 点 0000 zyxP到平面到平面0 DCzByAx的距离为 的距离为 222 000 CBA DCzByAx d 而点 而点 0 P到过点到过点P且以且以s 为方向向量的直线的距离为 为方向向量的直线的距离为 0 s sPP d 2 求两平行直线 两平行平面间的距离 转化为点到直线或平面的距离 例 6 12 已知直线 2 求两平行直线 两平行平面间的距离 转化为点到直线或平面的距离 例 6 12 已知直线 321 1 z y x L 1 2 1 1 1 1 2 z y x L是异面直线 求其公垂线的方程及公垂线段的长 分析 过直线 是异面直线 求其公垂线的方程及公垂线段的长 分析 过直线 1 L作垂直于直线作垂直于直线 2 L的平面的平面 1 过直线 过直线 2 L作垂直于直线作垂直于直线 1 L 的平面的平面 2 则 则 1 与与 2 的交线即为所求的公垂线方程 公垂线段的长可用两条异 面直线间距离公式或用两点间距离公式去求 评注 若直接用两条异面直线间的距离公式要简单得多 题型 投影问题 主要涉及到如下几方面的投影问题 1 点在平面上的投影 过此点作直线与平面垂直 垂足即为所求 2 点在直线上的投影 过此点作直线与已知直线垂直相交 垂足即为所求 3 直线在平面上的投影 过此直线作平面的垂平面 交线即为所求 4 空间曲线在坐标面上的投影 曲线 的交线即为所求的公垂线方程 公垂线段的长可用两条异 面直线间距离公式或用两点间距离公式去求 评注 若直接用两条异面直线间的距离公式要简单得多 题型 投影问题 主要涉及到如下几方面的投影问题 1 点在平面上的投影 过此点作直线与平面垂直 垂足即为所求 2 点在直线上的投影 过此点作直线与已知直线垂直相交 垂足即为所求 3 直线在平面上的投影 过此直线作平面的垂平面 交线即为所求 4 空间曲线在坐标面上的投影 曲线 0 0 zyxg zyxf C 消去 消去z得到得到 yx 则 则C在在xOy面上的投影曲 线为 面上的投影曲 线为 0 0 z yx 5 向量在向量上的投影及投影向量 向量 5 向量在向量上的投影及投影向量 向量b 在向量在向量a 上的投影上的投影 cos jPrbabb a 投影向量为 投影向量为 j Pr a a b a 例 6 13 已知 例 6 13 已知 3 2 1 a 1 1 1 b 求 求a 在在b 上的投影及投影向量 上的投影及投影向量 102 分析 直接利用 分析 直接利用 cos jPr b ba baaa b 评注 注意区别与点在直线及平面上的投影的差异 例 6 14 已知曲线 评注 注意区别与点在直线及平面上的投影的差异 例 6 14 已知曲线 2 222 222 zyx yxz C 求其在 求其在xOy平面上的投影曲线 分析 在 平面上的投影曲线 分析 在C中消去中消去z 可求得 可求得C在在xOy平面上的投影曲线方程 评注 曲线 平面上的投影曲线方程 评注 曲线C的一般方程为 的一般方程为 0 0 zyxg zyxf 消去 消去z得到得到0 yx 则 则C在在xOy面上的投影曲线为面上的投影曲线为 0 0 z yx 题型 求旋转面方程 求旋转面方程的关键是 曲面上任一点 题型 求旋转面方程 求旋转面方程的关键是 曲面上任一点 zyx都可看作是某点都可看作是某点 000 zyx 绕旋转轴旋转的圆上的一点 因而这两点到轴的距离相等 例 6 15 求直线 绕旋转轴旋转的圆上的一点 因而这两点到轴的距离相等 例 6 15 求直线 zy x L 2 4 绕绕z轴旋转一周所得曲面轴旋转一周所得曲面S的方程 并说明的方程 并说明S 为何种曲面 分析 曲面上任意一点 为何种曲面 分析 曲面上任意一点 zyxM与曲线与曲线L上对应点上对应点 0000 zyxM到到z 轴的距离相等 例 6 16 圆柱面的轴线是 轴的距离相等 例 6 16 圆柱面的轴线是 2 2 2 1 1 z y x L 点 点 0 1 1 0 P是圆柱面 上一点 求圆柱面方程 分析 圆柱面上任一点 是圆柱面 上一点 求圆柱面方程 分析 圆柱面上任一点P到轴线到轴线L的距离与的距离与 0 P到轴线到轴线L的距离相等 二 历年真题精选精解 例 6 17 1 87 3 分 与两直线 的距离相等 二 历年真题精选精解 例 6 17 1 87 3 分 与两直线 tz ty x L 2 1 1 1 及及 1 1 2 2 1 1 2 z y x L 都平行且经过点都平行且经过点 0 0 0 的平面方程为 的平面方程为 分析 平面与所给的两条直线平行 其法向量可取为两直线方向向量的 向量积 然后用点法式可求出平面的方程 例 6 18 1 90 3 分 过点 分析 平面与所给的两条直线平行 其法向量可取为两直线方向向量的 向量积 然后用点法式可求出平面的方程 例 6 18 1 90 3 分 过点 1 2 1 M且与直线且与直线 1 43 2 tz ty tx 垂直的平 面方程是 垂直的平 面方程是 分析 直线的方向向量即为所求平面的法向量 用平面的点法式方程可 解 例 6 19 1 95 3 分 设 分析 直线的方向向量即为所求平面的法向量 用平面的点法式方程可 解 例 6 19 1 95 3 分 设2 cba 则 则 accbba 分析 用向量的运算性质 例 6 20 1 96 3 分 设一平面经过原点及点 分析 用向量的运算性质 例 6 20 1 96 3 分 设一平面经过原点及点 2 3 6 M 且与平面 且与平面 824 zyx垂直 则此平面方程为 垂直 则此平面方程为 分析 平面的法向量为过原点和点 分析 平面的法向量为过原点和点 2 3 6 M的向量与已知平面法向量的向量与已知平面法向量 103 的向量积 用点法式可求解 例6 21 1 06 4分 点 的向量积 用点法式可求解 例6 21 1 06 4分 点 0 1 2 到平面到平面0543 zyx的距离的距离 d 例6 22 1 93 3分 设 有 直 线 例6 22 1 93 3分 设 有 直 线 1 8 2 5 1 1 1 z y x L与与 32 6 2 zy yx L 则 则 1 L和和 2 L的夹角为 A 的夹角为 A 6 B B 4 C C 3 D D 2 分析 先求出直线 分析 先求出直线 2 L的方向向量 两直线方向向量的夹角 不超过 90 度 即为所求 例 6 23 1 95 3 分 设有直线 的方向向量 两直线方向向量的夹角 不超过 90 度 即为所求 例 6 23 1 95 3 分 设有直线 03102 0123 zyx zyx L及平面及平面 0224 zyx 则直线 则直线L A 平行于 A 平行于 B 在 B 在 上 C 垂直于上 C 垂直于 D 与 D 与 斜交 分析 先求出直线的方向向量 再考察其与平面法向量的关系 例 6 24 1 94 6 分 已知点 斜交 分析 先求出直线的方向向量 再考察其与平面法向量的关系 例 6 24 1 94 6 分 已知点A与与B的直角坐标分别为的直角坐标分别为 0 0 1 与与 1 1 0 线段 线段AB绕绕z轴旋转一周所成的旋转曲面为轴旋转一周所成的旋转曲面为S 求由 求由S及两平面及两平面0 z 1 z所围成的立体体积 分析 先求直线 所围成的立体体积 分析 先求直线AB的方程 再求旋转面的方程 利用平行截面面积已知 立体体积公式计算体积 例6 25 1 98 5分 求 直 线 的方程 再求旋转面的方程 利用平行截面面积已知 立体体积公式计算体积 例6 25 1 98 5分 求 直 线 1 1 11 1 z y x L在 平 面在 平 面 012 zyx 上的投影直线上的投影直线 L 的方程 并求的方程 并求 L 绕绕y轴旋转一周所成曲面 的方程 分析 先求过 轴旋转一周所成曲面 的方程 分析 先求过L与平面与平面 垂直的平面方程 可写出所求投影直线的一般 式方程 由此再求旋转面的方程 三 拓展提高题 例 6 26 已知 垂直的平面方程 可写出所求投影直线的一般 式方程 由此再求旋转面的方程 三 拓展提高题 例 6 26 已知ba 都是单位向量 夹角为都是单位向量 夹角为 3 求向量 求向量ba 2与与ba 23 的夹角 分析 由已知 的夹角 分析 由