微观至介观尺度的模拟方法概述.ppt

微观至介观尺度的模拟 微观至介观尺度的模拟 主要研究内容 微结构演化 动力学控制 微结构与其性质之间关系结构演化的方向 热力学控制微结构变化路径 动力学控制结构演化的这种非平衡特性导致了各种各样的晶格缺陷结构及其相互作用机制 微结构的实物空间和时间尺度 微观至介观尺度的模拟 非平衡因素 材料性质的多样性 应用 性质 材料 微结构机制 微观至介观尺度的模拟 介观尺度模拟的特点 处理的原子数目巨大 1023个 cm3 排除了 1 严格求解薛定谔方程 2 由唯象原子论方法 如与经验势相联系的分子动力学 来完成 必须建立能覆盖较宽尺度范围的恰当的介观尺度模拟方法 以便给出远远超过原子尺度的预测 微观至介观尺度的模拟 连续体模型原子运动方程的严格解或近似解 薛定谔方程或分子动力学 替换为 平均本征结构关系式介观尺度机理和本构定律的复杂性和多样性 导致建立介观尺度模型的方法的不唯一性 空间及时间离散化介观尺度模拟方法 空间及时间离散化位错动力学 晶体塑性 复原 织构 断裂 相场动力学或广义Ginzburg Landau模型 超导电性 扩散 相变 晶粒生长 确定性或概率性元胞自动机 扩散 热传递 相变 再结晶 晶粒生长 多态动力学波茨 Potts 模型 相变 再结晶 晶粒生长 几何拓扑和组分模型 相变 再结晶 晶粒生长 拓扑网格和顶点模型 晶界动力学 网格动力学 成核 复原 晶粒生长 典型应用领域中的主要介观尺度模拟方法 微观至介观尺度的模拟 介观模拟方法的共同特点 不明显地包含原子尺度动力学 而是理想化地把材料作为连续体 由均匀性基体将晶格缺陷之间的相互作用耦合在一起 控制方程中通常不显含内秉空间或时间标度 含有单个晶格缺陷的连续体介观尺度模型通常由一系列唯象的偏微分速率和本征结构方程组表述 采用有限差分法 有限元法或蒙特卡罗方法可以对这些微分方程近行求解 微观至介观尺度的模拟 时空标度参数和离散度的确定由微分方程及其系数 变量所拥有的特点和性质决定 作为态变量 例如原子浓度 位锗密度 结构参数 位移或品格取向 通常被并进空间格栅坐标 控制微分方程被用于局域或整体情况 这取决于相互作用的性质 短程或长程 能够利用连续体近似方法对介观尺度的结构演化进行预测 意义重大 因为唯象态方程和结构演化定律已在介观尺度进行很好地研究 其实验数据的获得比在微观尺度更容易 而且数据信息比在宏观尺度更详细 第6章元胞自动机 6 1基本原理元胞自动机是描述和处理复杂系统在离散空间 时间上演化规律的算法 通常采用对晶格格座的局域或整体的确定性和概率性变换规则进行具体操作 空间变量可以代表实空间 动量空间或波矢空间 其晶格定义为具有固定数目的点 一般是规则晶格 但其维数及大小可以是任意的 它表述了系统由基础实体形成的构象 这些 基础实体 可以是任意大小的连续体型体积单元 原子颗粒 晶格缺陷或生物界中的动物等等 元胞自动机的原理应用于城市规划 6 1基本原理 基本实体 由广义态变量 诸如无量纲数 粒子密度 晶格缺陷密度 粒子速度 颜色 血压或动物种类等 进行量化表述 在每一个独立的格座 这些态变量的实际取值都是确定的 并且认为 每一个结点代表有限个可能的离散状态中的一个态 通过将某些变换规则应用于每个结点状态 就会发生自动机的演化 这些规则决定着晶格格座的状态 对于局域规则 格座状态是其前一状态及近邻格点 座 状态的函数 而在整体变换规则下 则为所有格座状态的函数 传统元胞自动机大多采用局域变换规则 6 1基本原理 对于在规则晶格结构方面的应用是比较容易 对于非均匀介质 在讨论的晶格区域采用较小的晶格间距比较妥当 而且 还必须考虑对变换速率进行合理修正和重正化 元胞自动机以离散时间步发展演化 经过一个时间间隔 要对所有结点的态变量值同时更新 广义微结构元胞自动机可以采用元胞或格座的离散空间格栅 在空间上通常被认为是均匀的 所有格座都是等价的 并被排布在规则晶格上 其中的变换规则在各处都是一样的 假定它们是有限个可能状态中的一个 并对所有元胞状态同步更新 此外 它们与常规自动机不同的是 格座变换既可以按照确定性定律 也可以按照概率性定律 6 1基本原理 元胞自动机方法为模拟动力学系统的演化提供了一种直接的手段 这些动力学系统包含有大量基于短程相互作用或长程相互作用的相似组元 对于简单的物理系统 时间是其惟一个独立变量 自变量 这种直接方法 就相当于利用有限差分近似法给出偏微分方程组的离散解 元胞自动机方法对 基础实体 类型和选用的变换规则没有任何限制 它们可以描述 简单有限差分模拟中态变量值的分布 混合算法的色问题 教室里的儿童健康情况 在任何变换条件下的模糊集合元素 以及元胞的初级生长与衰减过程等 6 1基本原理 例如 用于计算高次多项式系数或裴波那契数的帕斯卡三角形 可以作为一维元胞自动机 其中规则三角晶格各个格座对应的值 可通过在其上方的两个数之和给出 在这种情况下 自动机的 基础实体 是一些无量纲的整数 其变换定律是求和法则 一维元胞自动机模型帕斯卡三角形示意图 6 1基本原理 另一种自动机是由立方晶格组成的 这时每个点具有一种颜色 并能按照下述简单的变换规则进行转换 如果某点有超过50 的近邻格点 座 是蓝色 则该点就由原色变成红色 或者 当有超过75 的近邻格点是红色时 那么所考察格点的颜色也转换为红色 若要描述学校里孩子们之间的相互传染问题 我们可以通过一个规则 亦即 如果一个教室里有50 的孩子得病 则该教室里其他所有孩子就被感染 定义一个元胞自动机 为了使上述简单唯象模型变得更加合理 真实 可信 应该增加更多的变换规则 上面的例子可补充这样的规则 经过一定数目的时间步之后 受感染的孩子已康复 或 每个孩子只能被感染一次 等等 6 1基本原理 元胞自动机并不简单地等同于普通模拟方法 例如各种有限差分法 有限元法 伊辛 Ising 法 波茨 Potts 方法等 元胞自动机具有广泛的适用性和多功能的特点 是离散计算方法的普遍化推广 这种灵活适用性是基于这样一个事实 除了采用简明的数学表达式作为变量和变换规则之外 如果需要的话 自动机能够包括任何元素或规则 6 1基本原理 在材料科学中 有时对常规有限差分计算方法补充一些 如果 就 规则可以为处理 数学上的奇点 即非光滑函数表述中的临界或自发效应 问题提供了一种简单有效的途径 事实上 这些规则经常出现在微结构模拟中 例如 在离散位错动力学模拟中 如果两个反平行螺位错相互靠近到其间距小于5个伯格斯矢量时 它们就会自发湮没 在断裂力学或弹簧模型中 会经常包含这样的规则 如果裂纹速度达到某一个值 试验样品将自发损坏 在重结晶模拟中 会经常遇到这样的规则 如果晶体局城取向误差达到某一个值 格座将满足成核的动力学非稳定性临界条件 或 局域储存的弹性能达到某个临界值 格座将满足成核的热力学非稳定性条件 6 1基本原理 如果对主微分方程补充上述所说的 如果 就 的变换规则 我们就可以对复杂系统的动力学行为特性进行模拟 通常而言 所考察粒子之间的局域相互作用是这一问题的根本基础 尽管元胞自动机模拟一般是在基本尺度层次 例如原子 原子团簇 位错段 亚晶粒 上完成的 但是作为对连续体空间进行离散化和映射处理的派生方法 本身不存在物理特征线度或时间刻度的内秉标定问题 对连续体系统的元胞自动机模拟 需要定义相应的基本单元和对应的变换规则 以便恰当地展现系统在给定层次上的行为特性 6 1基本原理 从物理角度看 分子动力学表示的是真正的微观模型 而在使用元胞自动机方法时 并不局限任何特定体系 可适用于任何系统 与蒙特卡罗方法相比 由元胞自动机方法得到的平衡系综的热力学量 在物理上更缺少依据和基础 由于这个原因 在进行元胞自动机计算机实验之前 一个重要工作就是 检验基本模拟单元是否切实体现了 基础物理实体 的特性 由于元胞自动机的应用并不局限于微观体系 所以它为在微结构模拟中实现不同空间及时间尺度的方法之间的跨越 提供了一个非常方便的数值工具 6 2CA在材料中的多面性 由于在考虑大量可能的空间态变量及变换规则时所展现的广泛适用性和灵活性 元胞自动机方法在对由再结晶 晶粒生长及相变现象等形成的微结构进行模拟时 表现出特有的多面性 例如 对于再结晶和晶粒生长 元胞自动机可以离散化方式同时描述局域结晶结构及其形成过程 为了实现对这些特性的描述 一般是将局域晶体取向g 储存的弹性能 即某种近似可测量 诸如位错密度 或局域泰勒因子M 以及温度T作为态变量 这些变量都是因变量 也就是它们依赖于自变量 诸如空间坐标 x1 x2 x3 和时间t等 6 2CA在材料中的多面性 就特定的研究对象 状态参量应包含在所使用的各种局域结构演化定律之中 根据局域的信息 数据及变换规律 可以对诸如复原 成核及其生长等现象的机理结出相应合理的唯象解释 通过确定二维或三维空间格栅所对应的态变量 元胞自动机模拟可以应用于对微结构的非均匀性质的研究 其中包括诸如第二相 微带 剪切带 过渡带 异相界面 晶界和孪晶等 这些局域性缺陷结构 可以借助其态变量的相应值或梯度值进行表述 用高位错密度和大的局域晶格曲率表征剪切带的特性 对于一个给定杂质含量的晶界迁移率m 可以采用相邻晶粒之间的取向偏差 g和晶界法线的空间取向n来表征 6 3元胞自动机的一般表述 在元胞自动机中 邻接格座的局域相互作用 是通过一套确定性或概率件变换规则具体确定的 在时间 t t 时 对应于某特定格座的态变量值 将由目前状态 t0 或最接近的几个态t0 t0 t等 及其邻近格点的状态决定 若只考虑最邻近的两个时间步 则对于一维元胞自动机的演化来说 可以用公式写成下式形式 表示在时间t0时对应于结点j的态变量值 j 1和j 1表示格点j的两个最近邻结点 f具体指定了描述变换规则的函数 6 1 6 3元胞自动机的一般表述 几种邻接状态冯 诺伊曼邻接结点状态仅取决于最邻近结点摩尔邻接结点状态取决于最邻近结点和次邻近结点扩展摩尔邻接考虑两层邻近的元胞马哥勒斯邻接每次考虑一个2 2的元胞块邻接类型影响系统的转换速率和演化形态 图6 1冯诺依曼邻接和摩尔邻接 6 3元胞自动机的一般表述 对于扩展配置 一维情况下 考虑两个邻近时间步时的转换规则可以写为 其中n表示单位晶格元胞变换规则的作用范围 6 2 6 3元胞自动机的一般表述 元胞自动机存在众多可行的变换规则 冯 诺伊曼邻接的一维二进制元胞自动机 每一个时间步 即 j 0或 j 1 转换规则采取的形式 其转换规则有28个 其中之一 该转换规则可以以 01011010 2的编码形式表示 在元胞自动机方法中 一般采用数字编码方式简化表述相关变换规则 6 3元胞自动机的一般表述 变换规则的数目可以由k kn 计算得到 其中k为元胞的状态数 n为包含芯元胞在内的邻近元胞的数目 对于具有摩尔邻接的二维元胞自动机 n 9 假设每个元胞具有两个可能的状态 则该系统将具有22 9 262144个不同的转变规则 6 4元胞自动机的分类 沃尔弗拉姆 Wolfram 基于动力学行为的差异将元胞自动机分为四类 1 平稳型 自任何初始状态开始 经过一定时间运行后 元胞空间趋于一个空间平稳的独一无二的构形 这里空间平稳即指每一个元胞处于固定状态 不随时间变化而变化 2 周期型 产生周期性重复的短周期结构 或者产生稳定结构 在这种元胞自动机中同时呈现出局部和整体的排列次序 这种自动机可以看作是一个滤波器 Filter 这来自于给定转换规则的离散数据的本质 在向空间中这种系统形成闭环 6 4元胞自动机的分类 3 混沌型 自任何初始状态开始 经过一定时间运行后 元胞自动机形成非周期的混沌结构 至少在经过一定的时间后 这种结构的统计特征与初始结构的统计特征大致相同 由第三种元胞自动机生成的结构通常为自相似的分形排列 对于任意的初始配置 经过大量的时间步后 这些结构具有相同的统计特征 人们对这类自动机在几何方面的应用具有很大的兴趣 这种自动机是最常用的一种元胞自动机 6 4元胞自动机的分类 4 复杂型 第四类元胞自动机产生稳定的 周期性的 可以维持任意长时间的传播结构 一些元胞自动机在经历一定时间步以后衰退 即所有元胞的状态变为零 一些第四类元胞自动机可以形成稳定的周期性结构 通过对这些恰当的传播结构进行设置 可以得到具有任意循环长度的最终状态 在演化过程中 第四类元胞自动机表现出高度的不可逆性 这种元胞自动机可以呈现出重要的局域排列 6 5概率性元胞自动机方法 将确定性元胞自动机变为非确定性的基本方法有两种 第一种方法就是随机地选择所研究的晶格格点 而不是系统化地按顺序选择 但是要使用确定性变换规则 第二种方法就是用概率性变换代替确定性变换 但要系统地研究所有格点 主要讨论第二种方法 并将之归为概率性或随机性元胞自动机 6 5概率性元胞自动机方法 概率性元胞自动机 就其基本过程和要素方面而言 非常相似于普通的元胞自动机 只不过转变规则由确定性的换成了随机性的 设有N个格点组成一个一维链 其中每个格点有k个可能的状态Sv 0 1 2 k 1 从而整个链共有kN个不同的排列方式 由 S1 S2 SN 描述的某给定晶格状态用下式整数标记 6 3 6 5概率性元胞自动机方法 假设每个状态i的存在概率为Pi 作为时间的函数的Pi t 按照其转变概率以离散时间步t 0 1 2 的方式变换发展 如果只考虑邻近的时间步 t 1 这一规则可用下式给出 转移概率Tij就表示由前一时刻的j状态转变到i状态的概率 对于离散型元胞自动机方法 转移矩阵Tij是由局部规则决定 6 4 6 5 6 5概率性元胞自动机方法 和分别表示状态j和i的格点变量 因而 变量的转换只有其最近邻及其自己的状态有关 虽然概率性元胞自动机与Metropolis蒙特卡洛算法之间具有一定的相似性 但二者之间还是有差别的 这种差别主要表现在两个方面 第一 蒙特卡洛方法每个时间步只更新一个格点 而概率元胞自动机像大多数自动机一样 每次要全部一起更新 第二 元胞自动机没有本征的长度或时间标度 元胞自动机的标定参数主要是由构成物理模型的基础来决定 而不是由所采用的元胞自动机算法来决定 6 5概率性元胞自动机方法 元胞自动机与波茨蒙特卡罗自旋模型的区别 1 元胞自动机对微观体系不存在内禀标度 如果选择合适的基础单元 并且建立与场变量相匹配的代数 微分或积分方程 那么元胞自动机可以用于任意空间和时间尺度上的问题处理 蒙特卡罗方法对于微观体系是有内禀标度的 2 在蒙特卡罗方法中 广义自旋格座是随机抽样顺序考察的 而元胞自动机则是同步一起更新 3 元胞自动机比多态波茨模型使用了更多的确定性或概率性变换规则 6 6非平衡现象的模拟 6 6 1热力学模拟在金属的热变形过程中 会发生诸如再结晶 连续与非连续型晶粒生长和不连续沉淀等非平衡转变现象和微结构瞬态问题 按照微结构的观点 这些转变现象都是由于高角晶界的运动引起的 由于吉布斯自由焓存在梯度 原子或原子团将从一个晶粒越迁转移到其邻近晶粒 对同相界面 其净驱动压强 6 6 6 6 1热力学模拟 在实际材料中 各种贡献都将影响到局域自由焓的值 1 在冷加工金属中 位错密度 的增加对所储存的弹性能的贡献 在对驱动压强中占最大的份额 是界面两边的位错密度差 为各向同性极限下的体剪切模量 b表示伯格矢量的大小 如果将存在于元胞壁的位错 w 和元胞内的位错 i 的贡献分别表述 6 7 6 8 w只能用亚晶粒尺寸D和亚晶粒壁的界面能 sub表述 6 6 1热力学模拟 2 作用于各晶粒上的拉普拉斯压强或毛细压强的贡献 对于常见的晶粒粒度分布和球形晶粒 为2 3的常数 为界面能 1 R为曲率 对于薄膜 还有来自表面能梯度的贡献 式中 B表示薄膜宽度 h为膜厚 代表表面能变化量 6 9 6 10 6 6 1热力学模拟 3 在过饱和态 对驱动压强还有一项化学贡献 其对应的转变称为非连续沉淀 kB为波耳兹曼常数 为原子体积 T1为 数值 实验中的实际温度 T0为相应于T1时过饱和浓度的平衡温度 c0为浓度 6 11 6 6 1热力学模拟 4 其他因素对总压强的贡献在总的驱动压强中 还要考虑冷加工或硬化金属间化合物中由于损失长程有序而产生的贡献 更进一步还应当考虑来自于磁性 弹性及温度场等梯度的贡献 但是这类贡献在实际应用中意义不大 5 可能的反驱动力杂质阻力以及在有序化合金中高角晶界运动在远处产生畴的结构 6 6 2动力学模拟 为使原级再结晶能够启动 要在热力学 力学和动力学方面有一定的不稳性 第一类不稳定性就是成核 第二类就是有净驱力 第三类就是高角晶界的运动 在再结晶过程中 主要是非均匀成核 可能成核的格点所处的区域应该具有非常高的位错密度和较小的子晶粒尺寸 以及具有较大的局域晶格取向偏差 例如 剪切带 微带 迁移带 存在高角晶界 在沉淀周围的形变区等 6 6 2动力学模拟 采用垂直通过均匀晶界的各向同性单原子扩散过程 则用于描述界面运动的对称速率方程可以写为 表示界面速度 vD是德拜频率 gb表示通过界面时的跳变宽度 c表示平面内自扩散截体缺陷的固有浓度 如晶界空位或源的重组 n表示晶界片的法向矢量 Gt是与转变有关的吉布斯焓 kB为波耳兹曼常数 T为绝对温度 6 12 6 6 2动力学模拟 将焓 熵及驱动压强带入式 6 12 则有 p为驱动力 如储存的弹性能或界面曲率 为原子体积 Sf表示形成熵 Hf表示形成焓 Sm表示运动熵 Hm表示运动焓 6 13 6 6 2动力学模拟 Sf主要是振动熵 而 Sm包含有组态和振动两者的贡献 则式 6 13 变为 考虑到双曲函数中的是个小量 6 14 6 15 6 6 2动力学模拟 晶界迁移率实验数据阿伦乌斯分析的著名唯象表达式 式中 m表示迁移率 Qgb表示晶界运动的激活能 比较式 6 15 和式 6 16 两式中的系数 则有 晶界运动的经典动力学图像 6 16 6 17 6 6 2动力学模拟 在原级再结晶的初级阶段 局域复原过程促进了晶核的形成 在其最后阶段 位错湮灭及重新排列将引起所储存能量的不断降低 从而使局域驱动力明显减小 最终导致再结晶速度减慢 t 是作为时间t的函数的位错密度 0表示形变后的位错密度 为弛豫时间 6 18 6 6 3确定性元胞自动机解法 冷加工金属中原级再结晶模拟的确定性元胞自动机方法 假定成核和新结晶晶粒长大所需驱动力均来源于局域位错密度的梯度 并且当有碰撞时生长终止 起始数据应包括格栅几何参数和态变量取值等信息 例如 温度 成核概率 晶界迁移率 位错密度和晶体取向 这些数据必须能够描述作为空间函数的初始微结构的主要特征 原级再结晶的物理过程 复原 成核和晶核生长 6 6 3确定性元胞自动机解法 1 复原阶段位错密度与驱动力相联系并对成核速度有潜在的影响 在简单的有限差分公式中 因子f与弛豫时间 温度T和时间ti有关 2 在成核阶段各元胞或元胞团簇由变形态转变为再结晶状态 6 19 6 6 3确定性元胞自动机解法 根据所构造模型的物理基础 相对周围的形变基体 其晶核取向可有三种情况 即相同取向相似取向 g 15o 不同取向 g 15o 相同或相似取向的晶核只能存在于高角晶界 而当取向偏差明显不同时晶粒会生长进入近邻晶粒 把这些反映晶粒取向特性的临界条件 以及产生的晶核应与基体有相似取向的规则结合起来 就相当于给出一个取向成核的假说 6 6 3确定性元胞自动机解法 3 生长阶段在生长阶段 对于每个晶粒可执行一个循环 这个循环遍及所有属于目标晶粒表面的元胞 可以确定表面元胞与其非再结晶近邻元胞两者结晶取向偏差 g和温度T的函数 在原级晶界的情况下 局域驱动力取决于非再结晶元胞的实际位错密度 驱动力和迁移率决定着晶界运动的速度 晶界速度即是指在单个时间增量内的生长量 6 6 4概率性元胞自动机解法 在概率性元胞自动机方法中 通过采用权重随机抽样方案把确定性积分用统计积分代替 为此 必须把式 6 15 或式 6 16 分解成确定性部分和概率性部分w 即有 其中为晶界速度 并且 6 20 6 21 6 6 4概率性元胞自动机解法 模拟应是在空间网格上进行 其给定标度 m大于原子尺度 如果有转变现象发生 则晶粒将按生长 或收缩 而不是b3 为了校正标定尺度根据 m及时间标度 1 v 可知 对统计积分施加这样一个频率是不合适的 利用冲击频率v0把上述方程归一化 6 22 6 23 6 6 4概率性元胞自动机解法 其中由网格大小及选取的冲击频率决定 由温度及实验输入数据决定 例如 晶界特征性质依赖于取向偏差和平面倾角 驱动力取决于所存储的弹性能和局域曲率 6 24 6 7CA方法在材料科学中的应用 6 7 1再结晶的模拟 1 动态再结晶过程HY 100钢的显微组织转变MQian等采用动态再结晶 DRX 的原理和元胞自动机 CA 的方法建立的模型 对HY 100钢的显微组织转变和塑性流变特征进行了模拟 动态再结晶的理论模型为只有当位错密度或应变达到临界值时 再结晶才能发生 其中临界值是与温度和应变速率有关的 初始显微组织按正常的晶粒长大的算法构建的 初始的晶粒