全国高中数学联赛试题及详细解析.doc

2004年全国高中数学联赛试题及详细解析一选择题(本题满分36分，每小题6分)1设锐角q使关于x的方程x2+4xcosq+cosq=0有重根，则q的弧度数为 ( ) A B或 C或 D2已知M=(x，y)|x2+2y2=3，N=(x，y)|y=mx+b若对于所有的mR，均有MN，则b的取值范围是 ( ) A， B(，) C(， D， 3不等式+logx3+20的解集为 A2，3) B(2，3 C2，4) D(2，4 4设点O在DABC的内部，且有+2+3=，则DABC的面积与DAOC的面积的比为( ) A2 B C3 D 8设函数f：RR，满足f(0)=1，且对任意x，yR，都有f(xy+1)=f(x)f(y)f(y)x+2，则f(x)= ；9如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，二面角ABD1A1的度数是 ；10设p是给定的奇质数，正整数k使得也是一个正整数，则k= ；11已知数列a0，a1，a2，an，满足关系式(3an+1)(6+an)=18，且a0=3，则的值是 ；12在平面直角坐标系xOy中，给定两点M(1，2)和N(1，4)，点P在x轴上移动，当MPN取最大值时，点P的横坐标为 ；二试题一(本题满分50分)在锐角三角形ABC中，AB上的高CE与AC上的高BD相交于点H，以DE为直径的圆分别交AB、AC于F、G两点，FG与AH相交于点K，已知BC=25，BD=20，BE=7，求AK的长二(本题满分50分)在平面直角坐标系XOY中，y轴正半轴上的点列An与曲线y=(x0)上的点列Bn满足|OAn|=|OBn|=，直线AnBn在x轴上的截距为an，点Bn的横坐标为bn，nN* 证明anan+14，nN*； 证明有n0N*，使得对nn0，都有+n2004三(本题满分50分)对于整数n4，求出最小的整数f(n)，使得对于任何正整数m，集合m，m+1，m+n1的任一个f(n)元子集中，均至少有3个两两互素的元素2004年全国高中数学联赛试卷第一试一选择题(本题满分36分，每小题6分)1设锐角q使关于x的方程x2+4xcosq+cotq=0有重根，则q的弧度数为 ( ) A B或 C或 D【答案】B【解析】由方程有重根，故D=4cos2qcotq=0， 0q0的解集为 A2，3) B(2，3 C2，4) D(2，4 【答案】C【解析】令log2x=t1时，t2t1，2)，x2，4)，选C4设点O在DABC的内部，且有+2+3=，则DABC的面积与DAOC的面积的比为( ) A2 B C3 D 【答案】C【解析】如图，设DAOC=S，则DOC1D=3S，DOB1D=DOB1C1=3S，DAOB=DOBD=1.5SDOBC=0.5S，DABC=3S选C5设三位数n=，若以a，b，c为三条边长可以构成一个等腰(含等边)三角形，则这样的三位数n有( ) A45个 B81个 C165个 D216个6顶点为P的圆锥的轴截面是等腰直角三角形，A是底面圆周上的点，B是底面圆内的点，O为底面圆圆心，ABOB，垂足为B，OHPB，垂足为H，且PA=4，C为PA的中点，则当三棱锥OHPC的体积最大时，OB的长为 ( ) A B C D 二填空题(本题满分54分，每小题9分)7在平面直角坐标系xOy中，函数f(x)=asinax+cosax(a0)在一个最小正周期长的区间上的图像与函数g(x)= 的图像所围成的封闭图形的面积是 ；【答案】【解析】f(x)= sin(ax+j)，周期=，取长为，宽为2的矩形，由对称性知，面积之半即为所求故填又解：1sin(ax+j)dx=(1sint)dt=8设函数f：RR，满足f(0)=1，且对任意x，yR，都有f(xy+1)=f(x)f(y)f(y)x+2，则f(x)= ；【答案】x+1【解析】令x=y=0，得，f(1)=110+2，f(1)=2令y=1，得f(x+1)=2f(x)2x+2，即f(x+1)=2f(x)x又，f(yx+1)=f(y)f(x)f(x)y+2，令y=1代入，得f(x+1)=2f(x)f(x)1+2，即f(x+1)=f(x)+1比较、得，f(x)=x+110设p是给定的奇质数，正整数k使得也是一个正整数，则k= ；【答案】(p+1)2【解析】设=n，则(k)2n2=，(2kp+2n)(2kp2n)=p2，k=(p+1)211已知数列a0，a1，a2，an，满足关系式(3an+1)(6+an)=18，且a0=3，则的值是 ；【答案】(2n+2n3)【解析】=+，令bn=+，得b0=，bn=2bn1，bn=2n即=，=(2n+2n3)12在平面直角坐标系xOy中，给定两点M(1，2)和N(1，4)，点P在x轴上移动，当MPN取最大值时，点P的横坐标为 ；【答案】1【解析】当MPN最大时，MNP与x轴相切于点P(否则MNP与x轴交于PQ，则线段PQ上的点P使MPN更大)于是，延长NM交x轴于K(3，0)，有KMKN=KP2，KP=4P(1，0)，(7，0)，但(1，0)处MNP的半径小，从而点P的横坐标=1三解答题(本题满分60分，每小题20分)13一项“过关游戏”规则规定：在第n关要抛掷一颗骰子n次，如果这n次抛掷所出现的点数的和大于2n，则算过关问： 某人在这项游戏中最多能过几关？ 他连过前三关的概率是多少？14在平面直角坐标系xOy中，给定三点A(0，)，B(1，0)，C(1，0)，点P到直线BC的距离是该点到直线AB、AC距离的等比中项 求点P的轨迹方程； 若直线L经过DABC的内心(设为D)，且与P点轨迹恰好有3个公共点，求L的斜率k的取值范围【解析】 设点P的坐标为(x，y)， (b) k=0时，直线y=与圆切于点(0，)，与双曲线交于(，)，即k=0满足要求(c) k=时，直线与圆只有1个公共点，与双曲线也至多有1个公共点，故舍去(c) k0时，k时，直线与圆有2个公共点，以代入得：(817k2)x25kx=0当817k2=0或(5k)225(817k2)=0，即得k=与k= 所求k值的取值范围为0，15已知a，b是方程4x24tx1=0(tR)的两个不等实根，函数f(x)= 的定义域为a，b 求g(t)=maxf(x)minf(x)； 证明：对于ui(0，)(i=1，2，3)，若sinu1+sinu2+sinu3=1，则+【解析】 a+b=t，ab=故a0当x1，x2a，b时， f (x)= =而当xa，b时，x2xt0，即f(x)在a，b上单调增 g(t)= =二试题一(本题满分50分)在锐角三角形ABC中，AB上的高CE与AC上的高BD相交于点H，以DE为直径的圆分别交AB、AC于F、G两点，FG与AH相交于点K，已知BC=25，BD=20，BE=7，求AK的长二(本题满分50分)在平面直角坐标系XOY中，y轴正半轴上的点列An与曲线y=(x0)上的点列Bn满足|OAn|=|OBn|=，直线AnBn在x轴上的截距为an，点Bn的横坐标为bn，nN* 证明anan+14，nN*； 证明有n0N*，使得对nn0，都有+0) 0bn且bn递减，n2bn=n(n)= =单调增 0n且tn单调减由截距式方程知，+=1，(12n2bn=n2bn2) an=()2+()=tn2+tn=(tn+)2(+)2=4且由于tn单调减，知an单调减，即anan+14成立亦可由=bn+2=，得 an=bn+2+， 由bn递减知an递减，且an0+2+=4三(本题满分50分)对于整数n4，求出最小的整数f(n)，使得对于任何正整数m，集合m，m+1，m+n1的任一个f(n)元子集中，均至少有3个两两互素的元素【解析】 当n4时，对集合M(m，n)=m，m+1，m+n1，当m为奇数时，m，m+1，m+2互质，当m为偶数时，m+1，m+2，m+3互质即M的子集M中存在3个两两互质的元素，故f(n)存在且f(n)n 取集合Tn=t|2|t或3|t，tn+1，则T为M(2，n)=2，3，n+1的一个子集，且其中任3个数无不能两两互质故f(n)card(T)+1但card(T)=+故f(