【数学】2010高考二轮复习数学学案(3)立体几何.pdf

淘宝网最牛皇冠店铺集张三制作QQ 651895189E mail 651895189 欢迎各位老师踊跃投稿 稿酬丰厚 邮箱 zxjkw 第 1 页 共 19 页 立体几何初步立体几何初步立体几何初步立体几何初步 学法导航学法导航 稳定中有所创新 由知识立意转为能力立意 1 考查重点及难点稳定 高考始终把空间直线与直线 直线与平面 平面与平面的 平行与垂直的性质与判定 以及求线面角 二面角等知识都是重点考查的内容 其中线线角 线面角 二面角的求解更是重中之重在难度上平稳过渡 始终以中等偏难为主 实行新课程 的高考 命题者在求稳的同时注重创新高考创新 主要体现在命题的立意和思路上注重对学 生能力的考查 2 空间几何体中的三视图仍是高考的一个重要知识点解答题的考查形式仍要注重在一 个具体立体几何模型中考查线面的关系 3 使用 向量 仍将会成为高考命题的热点 一般选择题 填空题重在考查向量的概 念 数量积及其运算律在有些立体几何的解答题中 建立空间直角坐标系 以向量为工具 利用空间向量的坐标和数量积解决直线 平面问题的位置关系 角度 长度等问题 比用传 统立体几何的方法简便快捷 空间向量的数量积及坐标运算仍是 2010 年高考命题的重点 4 支持新课改 在重叠部分做文章 在知识交汇点处命题 典例精析典例精析 1 1 空间几何体及三视图空间几何体及三视图 例例 1 1 用一些棱长为用一些棱长为 1cm1cm 的小正方体码放成一个几何体的小正方体码放成一个几何体 图图 1 1 为其俯视图为其俯视图 图图 2 2 为其主视图为其主视图 则这个几何体的体积最大是则这个几何体的体积最大是7 7cmcm 3 3 图图 1 1 俯视图 俯视图 图图 2 2 主视图 主视图 例例 2 2 一个多面体的直观图及三视图如图所示 则多面体一个多面体的直观图及三视图如图所示 则多面体ACDEF 的体积为的体积为 3 8 例例 4 4 右图是由一些相同的小正方体构成的几何体的三视图 这些相同的小正方体共有右图是由一些相同的小正方体构成的几何体的三视图 这些相同的小正方体共有 个个 5 5 淘宝网最牛皇冠店铺集张三制作QQ 651895189E mail 651895189 欢迎各位老师踊跃投稿 稿酬丰厚 邮箱 zxjkw 第 2 页 共 19 页 例例 5 5 如果一个几何体的三视图如图所示如果一个几何体的三视图如图所示 单位长度单位长度 cm cm 则此几何体的表面积是则此几何体的表面积是2420 2 cm 例例 6 6 矩形矩形 ABCDABCD 中 中 AB 4AB 4 BC 3BC 3 沿 沿 ACAC 将矩形将矩形 ABCDABCD 折成一个直二面角折成一个直二面角 B B ACAC D D 则四面 则四面 体体 ABCDABCD 的外接球的体积为的外接球的体积为 6 125 例例 7 7 一个几何体的三视图中 正视图和侧视图都是矩形 一个几何体的三视图中 正视图和侧视图都是矩形 俯视图是等腰直角三角形俯视图是等腰直角三角形 如图如图 根据图中标注的长度根据图中标注的长度 可以计算出该几何体的表面积是可以计算出该几何体的表面积是12 412 42 2 2 平行与垂直平行与垂直 例例 8 8 已知已知 正方体正方体 1111 ABCD A B C D 1 AA 2 E E 为棱为棱 1 CC 的中点 的中点 求证 求证 11 B DAE 求证 求证 AC平面平面 1 B DE 求三棱锥求三棱锥 1 BADE 的体积的体积 证明 连结证明 连结BD 则 则BD 11 B D ABCD是正方形是正方形 ACBD CE 面面ABCD CEBD 又又C ACCE BD 面面ACE AE 面面ACE BDAE 11 B DAE 证明 作证明 作 1 BB的中点的中点 F F 连结 连结AFCFEF EF 是是 1 BB 1 CC 的中点 的中点 CE 1 B F 四边形四边形 1 B FCE是平行四边形 是平行四边形 1 CF B E E F是是 1 BB 1 CC 的中点 的中点 EF BC 又又 BC AD EF AD 四边形四边形ADEF是平行四边形 是平行四边形 AF ED 主视图 俯视图 左视图 2 俯视图 主视图左视图 2 1 2 淘宝网最牛皇冠店铺集张三制作QQ 651895189E mail 651895189 欢迎各位老师踊跃投稿 稿酬丰厚 邮箱 zxjkw 第 3 页 共 19 页 AFCFC 1 B EEDE 平面平面 ACF面面 1 B DE 又又AC 平面平面ACF AC面面 1 B DE 例例 9 9 多 面 体多 面 体ABCDE中 中 1 AEACBCAB 2 CD ABCAE面 CDAE 1 1 求证 求证 BCDAE面 2 2 求证 求证 BCDBED面面 证明证明 1 1 CDAE BCDAE面 BCDAE面 2 2 令 令BC中点为中点为N BD中点为中点为M 连结 连结MN EN MN是是BCD 的中位线的中位线 CDMN 又又 CDAE MNAE ABCMN面 ANMN ABC 为正为正 BCAN BCDAN面 又又 1 MNAE MNAE 四边形四边形ANME为平行四边形为平行四边形 BCDEN面 BCDBED面面 例例 1010 如图四边形 如图四边形ABCD是菱形 是菱形 PA 平面平面ABCD Q为为PA的中点的中点 求证 求证 PC 平面平面QBD 平面平面QBD 平面平面PAC 解解 证 设证 设 ACBD 0 连连OQ ABCD为菱形 为菱形 O为为AC中点 又中点 又Q为为PA中点 中点 OQ PC A B C D E M N A B C D E B A C D P Q O 淘宝网最牛皇冠店铺集张三制作QQ 651895189E mail 651895189 欢迎各位老师踊跃投稿 稿酬丰厚 邮箱 zxjkw 第 4 页 共 19 页 B CD P 又又 PC平面QBD OQ平面QBD PC 平面QBD ABCD为菱形 为菱形 BDAC 又又 PA平面ABCD BD平面ABCD PABD 又又 PAACD BDP 平面 AC又又 BD平面QBD P 平面QBD平面 AC 3 3 距离与角距离与角 例 11 已知DBC 和ABC所在的平面互相垂直 且 0 120 DBCCBA 求 直线 AD 与平面 BCD 所成角的大小 直线 AD 与直线 BC 所成角的大小 二面角 A BD C 的余弦值 如图 在平面ABC内 过A作AH BC 垂足为H 则AH 平面DBC ADH即为直线AD与平面BCD所成的角 由题设知 AHB AHD 则DH BH AH DH ADH 45 BC DH 且DH为AD在平面BCD上的射影 BC AD 故AD与BC所成的角为 90 过H作HR BD 垂足为R 连结AR 则由三垂线定理知 AR BD 故 ARH 为二面角A BD C的平面角的补角设BC a 则由题设知 AH DH 2 2 3a BHa 在 HDB中 HR 4 3 a tanARH HR AH 2 故二面角A BD C的余弦值的大小为 5 5 点评 本题着眼于让学生掌握通性通法 几何法在书写上体现 作出来 证 出来 指出来 算出来 答出来 五步 斜线和平面所成的角是一个直角三角形 所成的锐角 它的三条边分别是平面的垂线段 斜线段及斜线段在平面内的射影 因此求直线和平面所成的角 几何法一般先定斜足 再作垂线找射影 通过解直 角三角形求解 向量法则利用斜线和射影的夹角或考虑法向量 设 为直线l l l l与 平面 所成的角 为直线l l l l的方向向量v v v v与平面 的法向量n n n n之间的夹角 则 有 2 2 2 2 或 2 2 2 2 如图 特别地0 0 0 0 时 2 2 2 2 l l l l 2 2 2 2 时 0 0 0 0 l l l l或 l l l l 用两面垂直的性质作垂线 找垂足的位置作出线面角 利用三垂线定理证 利用对称性定义法作二面角 变式与拓展 如图 BCD 是等腰直角三角形 斜边 CD 的长等于点 P 到 BC 的距 离 D 是 P 在平面 BCD 上的射影 求 PB 与平面 BCD 所成角 R H A B C D l l l l v v v v n n n n v v v v l l l l n n n n 淘宝网最牛皇冠店铺集张三制作QQ 651895189E mail 651895189 欢迎各位老师踊跃投稿 稿酬丰厚 邮箱 zxjkw 第 5 页 共 19 页 求 BP 与平面 PCD 所成的角 解法解法解法解法 PD 平面 BCD BD 是 PB 在平面 BCD 内的射影 PBD 为 PB 与平面 BCD 所成角 BD BC 由三垂线定理得 BC BD BP CD 设 BC a 则 BD a BP CD 2 a 在 Rt BPD 中 cos DBP 2 2 DBP 45 即 PB 与平面 BCD 所成角为 45 过 B 作 BE CD 于 E 连结 PE PD 平面 BCD 得 PD BE BE 平面 PCD BPE 为 BP 与平面 PCD 所成的角 在 Rt BEP 中 BE 2 2 a BP 2 a BPE 30 即 BP 与平面 PCD 所成角为 30 例 12 在四棱锥 P ABCD 中 已知 ABCD 为矩形 PA 平面 ABCD 设 PA AB a BC 2a 求二面角 B PC D 的大小 解析 1 定义法过 D 作 DE PC 于 E 过 E 作 EF PC 于 F 连接 FD 由二面 角的平面角的定义可知DEF 是所求二面角 B PC D 的平面角 求解二面角 B PC D 的大小只需解 DEF 即可 解法一解法一解法一解法一 过 D 作 DE PC 于 E 过 E 作 EF PC 于 F 连接 FD 由二面角的平 面角的定义可知DEF 是所求二面角 B PC D 的平面角 在四棱锥 P ABCD 中 PA 平面 ABCD 且 ABCD 为矩形 AD DC PD DC PA a AD BC 2a PD a5 PC a6 DE 6 30a PC DCPD CE 6 6 2 a CP CD 同理在 Rt PBC 中 a BC PBEC EF EC EF BC PB 6 3 B D P C A B D P C A 解析一 B D P C A 解析三 E F G B D P C A 解析二 淘宝网最牛皇冠店铺集张三制作QQ 651895189E mail 651895189 欢迎各位老师踊跃投稿 稿酬丰厚 邮箱 zxjkw 第 6 页 共 19 页 在 Rt EFC 中 FC a 2 1 在 Rt DFC 中 DF a 2 5 在 DEF 中由余弦定理 cosDEF 5 10 2 222 EDEF DFEDEF 所求二面角 B PC D 的余弦值为 5 10 解析 2 垂面法易证面 PAB 面 PBC 过 A 作 AM BP 于 M 显然 AM 面 PBC 从而有 AM PC 同法可得 AN PC 再由 AM 与 AN 相交与 A 得 PC 面 AMN 设 面 AMN 交 PC 于 Q 则MQN 为二面角 B PC D 的平面角 再利用三面角公式可解 解法二解法二解法二解法二 略 解析 3 利用三垂线求解把四棱锥 P ABCD 补成如图的直三棱柱 PAB EDC 显 然二面角 E PC D 与二面角 D PC B 互补 转化为求二面角 E PC D 易证面 PEDA PDC 过 E 作 EF PD 于 F 显然 PF 面 PDC 在面 PCE 内 过 E 作 EG PC 于 G 连接 GF 由三垂线得 GF PC 即EGF 为二面角 E PC D 的 平面角 只需解 EFG 即可 解析 4 在面 PDC 内 分别过 D B 作 DE PC 于 E BF PC 于 F 连接 EF 即可 利用平面知识求 BF EF DE 的长度 再利用空间余弦定理求出 即可 点评 用几何法求二面角的方法比较多 常见的有 1 定义法 在棱上的点分别作棱的垂线 如解析 2 三垂线求解 在棱上的点分别作棱的垂线 如解析 3 垂面法 在棱上的点分别作棱的垂线 如解析 用几何法将二面角转化为其平面角 要掌握以下三种基本做法 直接利用定义 图 1 利用三垂线定理及其逆定理 图 2 最常用 作棱的垂面 图 3 4 4 空间几何中的向量方法空间几何中的向量方法 例 13 如下图 直棱柱ABC A1B1C1的底面 ABC中 CA CB 1 BCA 90 棱 AA1 2 M N分别是A1B1 A1A的中点 1 求 BN 的长 2 求异面直线 BA 与1CB1的余弦值 3 求证 A1B C1M 解法解法解法解法 AC BC CC1 面 ABC 可以建立如图所示的坐标系 B D P C A 解析四 A O B M N A O P A B O P 1 2 3 C1A1 B1 B C A 淘宝网最牛皇冠店铺集张三制作QQ 651895189E mail 651895189 欢迎各位老师踊跃投稿 稿酬丰厚 邮箱 zxjkw 第 7 页 共 19 页 1 依题意得B 0 1 0 N 1 0 1 BN 222 01 10 01 3 2 A1 1 0 2 B 0 1 0 C 0 0 0 B1 0 1 2 1 BA 1 1 2 1 CB 0 1 2 1 BA 1 CB 3 1 BA 6 1 CB 5 cos 1 BA 1 CB 11 11 CBBA CBBA 10 30 所以 异面直线 BA 与1CB1的余弦值为 10 30 3 证明 C1 0 0 2 M 2 1 2 1 2 BA1 1 1 2 MC1 2 1 2 1 0 BA1 MC1 0 A1B C1M 点评 底面有直角的直棱柱适合建立坐标系的条件 可以用两点间的距离公式 数量积的夹角公式 用坐标法求点点距 向量夹角 特别注意异面直线角的范围 0 2 而向量角的范围为 0 变式与拓展 在三棱锥S ABC中 SAB SAC ACB 90 AC 2 BC 13 SB 29 1 求证 SC BC 2 求SC与AB所成角的余弦值 解法一 如下图 取A为原点 AB AS分别为y z轴建立空间直角坐标系 则有AC 2 BC 13 SB 29 得B 0 17 0 S 0 0 23 C 2 17 13 S B C A A A B B C C 1 1 1 x y z M N 淘宝网最牛皇冠店铺集张三制作QQ 651895189E mail 651895189 欢迎各位老师踊跃投稿 稿酬丰厚 邮箱 zxjkw 第 8 页 共 19 页 17 4 0 SC 2 17 13 17 4 23 CB 2 17 13 17 13 0 x y z A B C S 1 SC CB 0 SC BC 2 设SC与AB所成的角为 AB 0 17 0 SC AB 4 SC AB 417 cos 17 17 即为所求 解法二 1 SA 面ABC AC BC AC是斜线SC在平面ABC内的射影 SC BC 2 如下图 过点C作CD AB 过点A作AD BC交CD于点D 连结SD SC 则 SCD 为异面直线SC与AB所成的角 四边形ABCD是平行四边形 CD 17 SA 23 SD 22 ADSA 1312 5 在 SDC中 由余弦定理得 cos SCD 17 17 即为所求 例 14 如图 在四棱锥ABCDP 中 底面 ABCD 是正方形 侧棱 PD底面 ABCD DCPD E 是 PC 的中点 作PBEF 交 PB 于点 F 1 证明 PA平面EDB 2 证明 PB平面 EFD 3 求二面角D PB C的大小 解法解法解法解法 如图所示建立空间直角坐标系 D 为坐标原点 设 DCa 证明 连结 AC AC 交 BD 于 G 连结 EG G A B C D P y x z E F 淘宝网最牛皇冠店铺集张三制作QQ 651895189E mail 651895189 欢迎各位老师踊跃投稿 稿酬丰厚 邮箱 zxjkw 第 9 页 共 19 页 依题意得 0 0 0 0 0 2 2 a a A aPa E 底面 ABCD 是正方形 G 是此正方形的中心 故点 G 的坐标为 0 2 2 a a 且 0 0 22 aa PAaa EG 2PAEG 这表明EGPA 而EG 平面 EDB 且PA 平面 EDB PA 平面 EDB 证明 依题意得 0 B a aPBa aa 又 0 2 2 a a DE 故0 22 0 22 aa DEPB PBDE 由已知EFPB 且 EFDEE 所以PB 平面 EFD 3 解 设点 F 的坐标为 000 xyzPFPB 则 000 xyzaa aa 从而 000 1 xa ya za 所以 000 11 2222 aa FExyzaaa 由条件EFPB 知 0 PBPE即 222 11 0 22 aaa 解得 1 3 点 F 的坐标为 2 3 33 a aa 且 2 3 66333 a aaaaa FEFD 0 3 2 33 222 aaa FDPB 即PBFD 故EFD 是二面角CPBD 的平面角 69189 2222 aaaa FDPE 且 a aaa FDa aaa PE 3 6 9 4 99 6 6 36369 222222 2 1 6 cos 2 66 63 a FE FD EFD FEFD aa 3 EFD 所以 二面角 C PC D 的大小为 3 点评 考查空间向量数量积及其坐标表示 运用向量数量积判断向量的共线与 垂直 用向量证明线线 线面 面面的垂直与平行关系 变式与拓展 如图 已知矩形ABCD所在平面外一点P PA 平面ABCD E F分别是AB PC的中点 1 求证 EF 平面PAD 2 求证 EF CD 3 若 PDA 45 求EF与平面ABCD所成的角 证明 如图 建立空间直角坐标系A xyz 设AB 2a BC 2b PA 2c 则 A 0 0 0 B 2a 0 0 C 2a 2b 0 D 0 2b 0 P 0 0 2c E为AB的中点 F为PC的中点 E a 0 0 F a b c 淘宝网最牛皇冠店铺集张三制作QQ 651895189E mail 651895189 欢迎各位老师踊跃投稿 稿酬丰厚 邮箱 zxjkw 第 10 页 共 19 页 x y z A B C D P F E 1 EF 0 b c AP 0 0 2c AD 0 2b 0 EF 1 2 AP AD EF与AP AD共面 又 E 平面PAD EF 平面PAD 2 CD 2a 0 0 CD EF 2a 0 0 0 b c 0 CD EF 3 若 PDA 45 则有 2b 2c 即b c EF 0 b b AP 0 0 2b cos EF AP 2b 2 2b 2b 2 2 EF AP 45 AP 平面AC AP是平面AC的法向量 EF与平面AC所成的角为 90 EF AP 45 例 15 如图 在正四棱柱 1111 DCBAABCD 中 已知2 AB 5 1 AAE F分 别为DD1 BB1上的点 且 1 1 FBDE 求证 BE平面ACF 求点E到平面ACF的距离 解 以D为原点 以DA DC DD1的正向分别为x 轴 y轴 z轴建立空间直角坐标系 则 4 2 2 1 0 0 5 0 0 0 2 0 0 2 2 0 0 2 0 0 0 1 FEDCBAD 于是 1 2 2 4 2 0 0 2 2 BEAFAC 0 0AFBEACBEAFBEACBE 且 AAFAC BE平面ACF 由 知 BE为平面ACF的一个法向量 向量AE在BE上的射影长即为E到平面ACF的距离 设为d 于是 3 5 1 2 2 1 2 2 1 0 2 cos 222 则 D A mn B mn C mn D mn 专题突破专题突破 一 选择题一 选择题 1 设有两条直线a b和两个平面 则下列命题中错误的是 A 若 a 且 ab 则b 或 b B 若 ab 且 ab 则 C 若 且 ab 则 abD 若ab 且 a 则b 2 如图所示的直观图 其平面图形的面积为 A3B6C 23D 2 23 3 在下列命题中 若a b共线 则a b所在的直线平行 若a b所在的直线是异 面直线 则a b一定不共面 若a b c三向量两两共面 则a b c三向量一定也共面 已知三向量a b c 则空间任意一个向量p总可以唯一表示czbyaxp 其中正确命题的个数为 A 0B 1C 2D 3 AB C D M N P A1 B1 C1 D1y x A O y x B O y x C O y x D O 45 3 2 A Ba b l 淘宝网最牛皇冠店铺集张三制作QQ 651895189E mail 651895189 欢迎各位老师踊跃投稿 稿酬丰厚 邮箱 zxjkw 第 14 页 共 19 页 4 已知某个几何体的三视图如下 根据图中标出的尺寸 单位 cm 可得这个几何体的体 积是 3 4000 cm 3 3 8000 cm 3 3 2000cm 3 4000cm 5 如图 9 正四棱锥P ABCD的侧面PAB为正三角形 E为PC中点 则异面直线BE和PA 所成角的余弦值为 A B C D 6 已知二面角 AB 为 30 P 是平面 内的一点 P 到 的距离为 1 则 P 在 内的 射影到 AB 的距离为 A 2 3 B 3C 4 3 D 2 1 二 填空题填空题 体积为的等边圆柱内有一内切球 球内接正方体的棱长为 8 8 如图 在正三棱柱 111 CBAABC 中 1 AB 若二面角 1 CABC 的 大小为 60 则点C到平面 1 ABC的距离为 9 9 如图 已知正三棱柱ABC A1B1C1的所有棱长都相等 D是A1C1的 中点 则直线AD与平面 B1DC所成角的正弦值为 淘宝网最牛皇冠店铺集张三制作QQ 651895189E mail 651895189 欢迎各位老师踊跃投稿 稿酬丰厚 邮箱 zxjkw 第 15 页 共 19 页 A B C D P 10 10 已知点O在二面角AB 的棱上 点P在 内 且45POB 若对于 内异 于O的任意一点Q 都有45POQ 则二面角AB 的大小是 三 解答题三 解答题 1111 已知 正方形ABCD与正方形ABEF不共面 N M分别在AE和BD上 AN DM 求证 MN 平面BCE 变式 变式 如图 在直三棱柱 ABC A1B1C1中 AC 3 BC 4 AA1 4 AB 5 点 D 是 AB 的中点 I 求证 AC BC1 II 求证 AC1 平面 CDB1 12 12 如图 三棱锥 P ABC 中 PC 平面 ABC PC AC 2 AB BC D 是 PB 上一点 且 CD 平面 PAB I 求证 AB 平面 PCB II 求异面直线 AP 与 BC 所成角的大小 III 求二面角 C PA B 的大小的余弦值 13 13 一个几何体的三视图如右图所示 其中正视图和侧视 图是腰长为 6 的两个全等的等腰直角三角形 请画出该几何体的直观图 并求出它的体积 用多少个这样的几何体可以拼成一个棱长为 6 的正方体 ABCD A1B1C1D1 如何组拼 试证明你的结论 在 的情形下 设正方体 ABCD A1B1C1D1 的棱 CC1的中点为 E 求平面 AB1E 与平面 ABC 所成二面 角的余弦值 参考答案 一 选择题一 选择题 A B C D E F M N G 正视图 侧视图 俯视图 淘宝网最牛皇冠店铺集张三制作QQ 651895189E mail 651895189 欢迎各位老师踊跃投稿 稿酬丰厚 邮箱 zxjkw 第 16 页 共 19 页 A B C D P E F 1 D1 D 2 B2 B 3 A3 A 4 B4 B 5 A5 A 6 B6 B 二 填空题二 填空题 7 7 1 18 8 4 3 9 9 5 4 10 10 0 90 三 解答题三 解答题 11 11 证明 方法一 连结AM并延长交BC于G