习题解答-19、20、21.pdf

第十九章 狭义相对论 19 1 一质点在惯性系S中作匀速圆周运动 轨迹为 1 试证明对另一惯性系S S以速度u沿 0 222 zryx x方向相对于 S 运动 中的观察者来说 这一质点的运动轨迹为一椭圆 椭圆中心以速度运动 2 若不考虑相对论效 应 又将如何 u 分析 质点在惯性系S中作匀速圆周运动 可看成是一系列连续事件 的集合 在S系中 这些事件记为 其中空时坐标满足洛 伦兹变换 tzyxP tzyxP 解 1 两惯性系中空时坐标的洛伦兹变换关系为 22 11 xut tzzyy utx x 其中 c u 将上述关系代入 S 中的圆周运动轨道方程 222 ryx 得 1 1 2 2 22 2 r y r utx 结果表明 对于S系中的观察者 质点的运动轨迹为椭圆 其中心为 即 以速度u沿x轴运动 0 ut 2 如不计相对论效应 取0 有 222 ryutx 表明质点在S系中的轨迹为半径r的圆 圆心以速度u沿 x 轴运动 19 2 在宇宙飞船上的人从飞船的后面向前面的靶子发射一颗高速子弹 此 人测得飞船长60m 子弹的速度是 求当飞船对地球以的速度运动时 地球上的观察者测得子弹飞行的时间是多少 c8 0c6 0 分析 本题涉及到两件事 发射子弹A和子弹打中靶B 解 设飞船为S系 地球为S系 取船尾与靶的连线为两坐标系的 x轴和x 轴 在两坐标系中 发射子弹A和子弹打中靶B两件事的坐标分别为 和 由洛伦兹变换 有 BBAA txtx BBAA txtx s 1063 4 1 7 2 AB 2 AB AB xx c u tt ttt 19 3 一根棒的固有长度为1m 当它以 1 2 3 的速率沿棒长方向运动时 棒的长度各为多少 m s30m s105 1 8 m s1099 2 8 分析 运动的棒沿运动方向缩短 解 固有长度为1m的棒沿长度方向运动 其长度为 2 2 0 1 c u ll 当时 m s30 um0 1m 103 30 1 28 2 l 当时 m s105 1 8 um866 0m 103 105 1 1 28 28 l 当时 m s1099 2 8 um0816 0m 103 1099 2 1 28 28 l 19 4 在S系中 有一个静止的正方形 其面积为 S系相对于S系 以的速度沿正方形的对角线运动 求S 2 cm 81 c8 0 中观测者测得的该图形的面积 分析 运动的物体运动方向上的尺度缩短 解 如图19 4所示 在S系中的观察者看 正方形平行于轴的对角线 不变 等于 yy cm7 12cm45cos0 92 0 l 而沿 轴的对角线长度为 xx y y u S S l O x 图 19 4 cm 62 7cm 8 017 12 2 1 2 2 0 c u ll 因此在S系中该正方形变为菱形 面积为 22 cm4 48cm 62 77 0 12 2 1 2 1 l lS 19 5 静止时体积为125的正方体 当它沿着与一条棱边平行的方向相对 于地面以匀速度0运动时 地上的观察者测得它的体积是多少 3 cm c8 分析 运动的物体运动方向上的尺度缩短 解 正方体棱边固有长度为cm0 5125 3 0 l 当它以速度0 8c沿一条边运 动时 变为长方体 与运动方向平行的边长度为 cm 0 3cm 8 010 51 2 2 2 0 c u ll 运动方向垂直的边长度不变 则它的体积为 33 00 cm 75cm0 30 50 5 lllV 19 6 设S系相对于S以速度u c沿x轴正向运动 在S系中测得两个 8 0 事件的空间间隔为 时间跨度间隔为 求S系中测得 两个事件的空间间隔和时间间隔 m300 x s100 1 6 t 解 由洛伦兹变换 在S系中这两件事的空时间隔分别为 m900 1 2 2 1212 c u ttuxx x s100 3 1 6 2 2 12 2 12 c u xx c u tt x 19 7 介子是不稳定的 它在衰变之前存活的平均寿命 相对于它所在的 参考系 约为 1 如果介子相对于实验室参考系运动速度为 那么 在实验室中测得它的平均寿命是多少 2 衰变之前在实验室中测得它 飞行的距离是多少 3 如果不考虑相对论效应 结果又是多少 s106 2 8 c8 0 分析 粒子的 生 和 死 可看成两件事 在粒子所在的参考系看这两件 事发生在同一地点 解 1 在实验室参照系中的平均寿命为 s103 4s 8 01 106 2 1 8 2 8 2 2 0 c u 2 在实验室参照系中运动的距离为 m10m103 41038 0 88 ud 3 如不计相对论效应 在任何参照系中的平均寿命相同 因此它运 动的距离为 m2 6m106 21038 0 88 0 ud 19 8 从地球上测得地球到最近的恒星半人马座 星的距离是 设 一宇宙飞船以速率从地球飞向该星 1 飞船中的观察者测得地球和该星 间的距离为多少 2 按地球上的钟计算 飞船往返一次需多少时间 如以飞 船上的钟计算 往返一次的时间又为多少 m103 4 16 c999 0 解 1 取地球为S系 飞船为 S 系 由地球上测得地球与恒星半人马座 星的连线长度为 由飞船中测得地球与恒星半人马座 星的距离m103 4 16 0 l 为 m109 1m999 01103 41 15216 2 0 c u ll 2 由地球上测得飞船往返一次的时间为 y1 9s109 2 2 80 0 u l T 飞船上的观测者测得飞船往返一次的时间为 y 41 0s103 1 2 7 u l T 19 9 根据现代天体物理学的推算和观测 宇宙正在膨胀 太空中的天体离 我们远去 假定在地球上观测到一颗脉冲星 看起来发出周期性脉冲无线电波的 星 的脉冲周期为 且这颗星正以速度离我们而去 这颗星的固有脉 冲周期是多少 s50 0c80 0 分析 脉冲星上发射脉冲无线电波的周期 可看成为一个脉冲的发射与结 束两件事的时间间隔 0 T 解 取地球为S系 离我们而去的脉冲星为 S 系 在 S 系 脉冲星 上发射 脉冲周期为 在地球上测得一个脉冲发射与结束两件事的时间间隔为 根据洛伦兹变换 有 0 T s50 0 T 2 2 0 1 c u T T 则 s 0 3s 80 0150 01 2 2 2 0 c u TT 19 10 今有一匀质矩形薄板 固有长度为l 宽为 静止质量为 则静 止时其面密度为 设该薄板沿长度方向以接近光速的速度作匀速直线运 动 计算时矩形薄板的面密度 b 0 m lbm 0 v c6 0 v 分析 薄板质量和面积随其运动状态而变化 解 运动薄板的质量为 2 2 0 1 c m m v 薄板沿长度方向运动 其长度和面积为 2 2 2 2 1 1 c lbblS c ll vv 面密度为 lb m lb m c lb m S m 0 2 0 2 2 0 56 1 6 01 1 1 1 v 19 11 在惯性S系中的观察者测得两事件的空间间隔m600 12 xx 时间 间隔是 如果此两事件对另一惯性系Ss100 8 7 中的观察者来说是同时发生的 惯性系S以多大速度相对于S系沿 x方向运动 解 因为两件事对S的观察者是同时发生的 即 0 12 ttt 根据洛伦 兹变换 有 0 1 1 12 2 12 2 2 12 xx c u tt c u ttt 所以 m s102 1m s 600 109100 8 8 167 2 12 12 c xx tt u 19 12 在实验室中 有一个以速度飞行的原子核 此核沿着它的运动方 向以相对于核为速度射出一电子 同时还向反方向发射一光子 实验室中的 观察者测得电子和光子的速度为多少 c5 0 c8 0 分析 选实验室为静止坐标系S 原子核为运动坐标S x轴正向取为原子核 运动方向 S 相对于S的速度cu5 0 电子和光子相对于运动坐标系 原子核 的速度分别为c8 0 e v c p v 需求它们相对于实验室的运动速度 利用相 对论速度合成公式即可求得答案 解 电子相对于S系的速度是 c cc c u u 93 0 5 08 01 5 08 0 1 2 e e e v v v 根据光速不变原理 光子相对于S系的速度也是c 19 13 在高能粒子对撞实验中 设两对撞粒子相对于实验室参考系的速度大 小为 求两粒子的相对速率 m s102 8 分析 在实验坐标系S中 两对撞粒子A和B相向运动 选A粒子为S 系 其 运动方向为x x 轴的正向 S 系相对于S系的速度为 粒子B相 对于S的速度为 求粒子B相对于S m s102 8 u m s102 8 B v 粒子A 的速度 即A和B 的相对速度 B v 解 利用相对论速度合成公式有 m s1077 2m s 9 4 1 104 1 8 8 2 B B B c u u v v v 因此 A和B的相对速度大小为 m s1077 2 8 19 14 试计算粒子速率为时它的质量与静止质量的 比 若粒子为电子 试计算电子在各种速率下所具有的动能是多少 设电子的 静止质量为 ccc999 0 8 0 2 0m 0 m kg1011 9 31 分析 利用质速关系和可完成该题 2 0 2 k cmmcE 解 相对论质速关系为 2 2 0 1 1 c m m v 当时 分别为1 02 1 67 22 4 ccc999 0 8 0 2 0 vvv 0 mm 相对论质速关系为 2 0 2 k cmmcE 如果粒子为电子 则 将速度和质量代入上式得动能分别为 kg1011 9 31 0 m J1075 1 J 1049 5 J 1064 1 121415 19 15 设某微观粒子的总能量是它的静止能量的5倍 求的运动速率 分析 利用质能公式和质速公式可完成本题 解 设粒子的速度v 由题意有 cm c m mcmmc98 05 1 5 0 2 2 02 0 2 v v 19 16 在惯性系S中 有两个静止质量都是的粒子A和B 分别以速度 v沿同一直线相向运动 碰撞后结合成一个粒子C 求粒子C的静止质量 0 m 分析 两粒子相向运动碰撞后结合成为质量为m 的C粒子 由动量守恒知 C 粒子静止 利用碰撞过程质量守恒可求出m 解 根据质量守恒 有 2 2 0 1 2 2 c m mmmm v 19 17 已知静止质量为 计算下列核聚变释放的能量 4 00260uHe 7 01601uLi 1 00783uH 4 2 7 3 1 1 kg101 66u1 27 HeHeLiH 4 2 4 2 7 3 1 1 分析 反应前后能量守恒 解 设反应释放的能量为E 根据能量守恒定律 有 eV1074 1 2 624 2 22 1 21 1 cHemcLmcHmE i 第二十章 光的量子理论 20 1 试求波长为下列数值的光子的能量 动量及质量 1 波长为1500nm 的红外线 2 波长为20nm的紫外光 3 波长为0 001nm的 射线 分析 光子的能量 动量和质量与波长的关系为 c h c E m h c E p hc E 2 解 利用上面的公式 当nm001 0 nm 20 nm 1500 时 分别有 J1099 1 J 1097 9 J 1033 1 131919 E m skg1063 6 m s kg1031 3 m s kg1043 4 222628 p kg1021 2kg 1010 1kg 1048 1 303436 m 20 2 设光子的能量等于静止的电子能量 求其波长和频率 分析 已知电子的能量为 是电子的静止质量 利用上题的关系式 能求得光子的波长和频率 2 0c m 0 m 解 电子的静止质量 光子的波长和频率为 kg1011 9 31 0 m m1043 2 12 2 0 cm hc E hc Hz1024 1 20 2 0 h cm h E 20 3 已知钾的逸出功为2 0eV 如果用波长为360nm的光照射钾做成的阴 极K 求光电效应的遏止电压和光电子的最大速率 解 由光电效应方程可得 V45 1 e Wh Ua m s1014 7 2 5 max m eUa v 20 4 锂的逸出功为2 13eV 分别用频率为和的光照射 锂的表面 能不能产生光电效应 Hz107 13 Hz107 14 解 锂的红限为 Hz1014 5 14 0 h W 对所给频率容易作出判断 20 5 当某一光电材料表面用不同波长的光子照射时 观察到的遏止电压如 表所示 波长 nm 366 0 405 0 436 0 492 0 546 0 579 0 遏 止 电 压 V 1 48 1 15 0 93 0 62 0 36 0 24 试画出遏止电压 作纵坐标 与光的频率 作横坐标 的关系曲线 另求 1 红限频率 2 红限波长 3 普朗克常数 4 这种材料的逸出功 分析 由波长可转换为光的频率 画出 a U曲线 从曲线能定出截止频率 即红限 0 红限波长 0 及逸出功W 理论上 a U直线的斜率等于 e h k 因此 从 a U实验曲线上定出 或用逐差法 斜率 则 实 k 实 ekh 解 红限频率 红限波长 普朗克常数和这种材料的逸出功分别为 eV9 1 sJ1061 6 m1052 6Hz106 4 347 0 14 0 Wh 20 6 用波长nm410 的单色光照射某一金属 产生的光电子的最大动能 试求该金属的红限频率 eV0 1 E 解 根据爱因斯坦光电方程有 max EhW 则 Hz1090 4 14max 0 h E h W 20 7 在康普顿效应实验中 入射光的波长为0 005nm 求当光的散射角分 别为30 90 180 时散射光的波长 解 康普顿散射公式得散射光的波长为 2 sin 2 sin 2 2 C0 2 0 0 cm h 其中 则当m 1043 2 12 C 90 60 30 时 代入上式得波长分别为 nm0074 0nm 0062 0nm 0053 0 20 8 在与波长为0 01nm的入射X射线束成某个角度 的方向 康普顿效应 引起的波长改变为0 0024nm 试求 角及这时传递给反冲电子的能量值 分 析 知 道 散 射 光 波 长 的 改 变 由 康 普 顿 散 射 公 式 cos1 0 0 cm h 可求出散射角 光子与电子散射满足能量守恒 由此 可求得反冲电子的能量 k E 解 1 散射角为 9001cos 0 h cm 2 散射满足能量守恒 得 22 00 mchcmh 则 eV104 2 4 00 0 0 0 0 2 0 2 k hc hc hhcmmcE 20 9 如果光子与自由的质子发生碰撞 试计算相应的康普顿波长和 的 最大值 并对结果进行讨论 分析 将光子电子的康普顿散射公式 cos1 0 0 cm h 中电子的 质量换成质子的质量即得光子质子康普顿散射公式 解 光子质子康普顿散射公式为 cos1 0 cm h 质 波长变化的最大值为 m1064 2 15 max cm h 质 结果太小 可忽略不计 表明没有发生康普顿效应 第二十一章 原子的量子理论 21 1 计算氢原子五个谱线系中各线系中的最小波长 并指出这些谱线是由 氢原子哪些能级间跃迁产生的 分析 氢原子各谱线系的波长满足方程 22 22 1 fi fi nn nn R 末态 一定 越小 波长越小 f n i n 解 莱曼系的最小波长为 1 2 nm5 121 12 121 22 22 minfi nn R 于对应 巴耳末系的最小波长为 2 3 nm3 656 23 231 22 22 minfi nn R 对应于 帕邢系的最小波长为 3 4 nm1875 34 341 22 22 minfi nn R 对应于 布拉开系的最小波长为 4 5 nm4051 45 451 22 22 minfi nn R 对应于 普丰德系的最小波长为 5 6 nm7458 56 561 22 22 minfi nn R 对应于 21 2 当氢原子处于量子数为n的激发态时 假设电子作圆轨道运动 试求 电子的角速度 势能和动能 分析 量子数为n的激发态的轨道半径和速度分别为 nh e me hn r nn 0 2 2 22 0 2 v 利用上面结果 可求出电子的角速度 势能和动能 解 处于量子数为n的激发态的电子角速度 动能和势能分别为 222 0 4 p 222 0 4 k 332 0 4 482hn me E hn me E hn me 21 3 分别求氢原子从2 10 nn的激发态跃迁到基态时 所发射的光的波 长 分析 氢原子谱线的波长满足 22 22 1 fi fi nn nn R 对于基态 1 f n 解 氢原子从和10 i n2 i n跃迁到基态所发射的光的波长分别为 nm07 92 110 fi nn nm5 121 12 fi nn 21 4 处于基态的氢原子应获得多少能量才能激发到3 n的能级 氢原子 从能级跃迁回到低能级可产生几条谱线 相应光子的频率和能量等于多 少 3 n 分析 氢原子从的激发态跃迁到基态3 i n1 f n有如下两种方式 13123 fifi nnnnn和 因此可能发射三条谱线 解 氢原子从基态激发到1 f n3 i n的能级需要的能量为 eV1 12 13 EEE 对应于从的激发态跃迁到基态3 i n1 f n的三条谱线的光子能量和频率分别为 Hz1092 2eV1 12 13 15 Enn fi Hz1046 2eV2 10 Hz1056 4eV89 1 123 15 22 14 11 E Ennn fi 21 5 氢原子的玻尔模型认为电子在一定的轨道上作圆周运动 如果电子在 的轨道上运动 轨道半径等于多少 电子的速率 角动能 动能和势能等 于多少 4 n 分析 与21 2相似 计算出4 n轨道上电子的轨道半径 速率 角动量 动能和势能 解 氢原子4 n轨道上电子的轨道半径 速率 角动量 动能和势能为 eV69 1eV84 0 smkg1023 4 m s1045 5m1048 8 Pk 234 5 4 10 4 EEL rv 21 6 当氢原子中电子沿第3玻尔轨道运动 求相应的德布罗意波长 并证 明轨道周长为波长的整数倍 分析 电子在第三玻尔轨道上运动 可忽略相对论效应 德布罗意波长为 3 vm h 解 电子在第三玻尔轨道上运动的速度为 h e 0 2 3 6 v 则 nm0 100 6 2 2 0 3 me h m h v 第三玻尔轨道的周长为 2 2 0 3 18 2 me h rl 因此 3 l 21 7 电子初速率为零 经电势差U 10kV的电场加速获得动能 试计算加 速后电子的德布罗意波长 分析 电子在电场中加速 获得动量p 满足关系 eU m p 2 2 不计相对论效应 可求出德布罗意波长 解 经电场加速后 电子的动量为 meUp2 根据德布罗意关系 有 m1023 1 11 P h 21 8 质量为0 04kg的子弹以m s1000 v的速度飞行 求其德布罗意波波 长 如果用单缝衍射显示子弹的波动性 缝宽为多