（江苏专用）高考数学大一轮复习 第十章 解析几何初步 第55课 两条直线的位置关系 文.doc

第55课 两条直线的位置关系(本课时对应学生用书第页)自主学习回归教材1.(必修2p79例2改编)经过点p(1，2)，且与直线3x+4y-100=0平行的直线的方程是.【答案】3x+4y-11=02.(必修2p77习题6改编)经过点m(3，-4)，且与直线2x+3y-21=0垂直的直线的方程是.【答案】3x-2y-17=03.(必修2p87习题7改编)直线x+ay+3=0与直线ax+4y+6=0平行的充要条件是实数a=.【答案】-2【解析】由两条直线平行可知所以a=-2.4.(必修2p94习题18改编)已知直线l：y=3x+3，那么：(1)直线l关于点m(3，2)对称的直线的方程为 ；(2)l关于直线x+y+2=0对称的直线的方程为 .【答案】(1)y=3x-17(2)x-3y-1=01.两条直线的位置关系斜截式一般式方程y1=k1x+b1，y2=k2x+b2a1x+b1y+c1=0(+0)，a2x+b2y+c2=0(+0)相交k1k2a1b2-a2b10垂直k1=-或k1k2=-1a1a2+b1b2=0平行k1=k2且b1b2或重合k1=k2且b1=b2a1=a2，b1=b2，c1=c2(0)2.两条直线公共点的个数设两条直线的方程分别是l1：a1x+b1y+c1=0，l2：a2x+b2y+c2=0，联立方程，得(1)若方程组有一组解，则l1与l2的位置关系为相交.(2)若方程组有无穷多组解，则l1与l2的位置关系为重合；(3)若方程组无解，则l1与l2的位置关系为平行.3.距离(1)平面上两点p(x1，y1)与q(x2，y2)间的距离pq=；(2)点p(x0，y0)到直线l：ax+by+c=0的距离d=；(3)两平行直线ax+by+m=0与ax+by+n=0间的距离d=.【要点导学】要点导学各个击破两直线位置关系的判断例1已知直线l1：mx+8y+n=0和直线l2：2x+my-1=0，试确定m，n的值，使：(1)l1和l2相交于点p(m，-1)；(2)l1l2；(3)l1l2，且l1在y轴上的截距为-1.【思维引导】考查两直线的位置关系，掌握运用直线的方程来刻画不同的位置关系.【解答】(1)联立解得所以当m=1，n=7时，l1与l2相交于点p(m，-1).(2)由题意得=，即m2-16=0，得m=4.又，即n-，所以m=4，n-2或m=-4，n2时，l1l2.(3)当且仅当m2+8m=0，即m=0时，l1l2.又-=-1，所以n=8，即m=0，n=8时，l1l2，且l1在y轴上的截距为-1.【精要点评】运用直线的一般式方程判断位置关系时，需准确掌握两直线位置关系的判断方法，本题也可将方程化为斜截式.变式若直线l1经过不同的两点a(2a+2，0)，b(2，2)，l2经过不同的两点c(0，1+a)，d(1，1).(1)若l1l2，求实数a的值；(2)若l1l2，求实数a的值.【思维引导】利用斜率公式求出斜率，判断求解.【解答】当a=0时，a(2，0)，b(2，2)，c(0，1)，d(1，1).此时kab不存在，而kcd=0，所以l1l2.当a=-1时，a(0，0)，b(2，2)，c(0，0)，d(1，1)，kab=kcd=1，又均过原点(0，0)，所以l1与l2重合.当a0且a-1时，kab=-，kcd=-a.若l1l2，则kab=kcd，即-=-a，得a=1或a=-1(舍去)；若l1l2，则kabkcd=-1，即(-a)=-1，a不存在.综上， 当a=1时，l1l2；当a=0时，l1l2.对称问题例2已知直线l：x+2y-2=0.(1)求直线l1：y=x-2关于直线l对称的直线l2的方程；(2)求直线l关于点(1，1)对称的直线方程.【思维引导】求对称点或直线，都可以通过构造方程(组)来求解相应量.比如解决点与点关于直线对称的问题时，常利用中点公式和垂直关系列方程组来解决.特别地，当对称轴的斜率为1时，可用替换法.而关于点成中心对称问题，则可利用中点公式.【解答】(1)因为直线l1：y=x-2关于直线l对称的直线为l2，所以l2上任一点p(x，y)关于l的对称点p(x，y)一定在直线l1上，反之也成立.由得 把(x，y)代入方程y=x-2并整理，得7x-y-14=0.即直线l2的方程为7x-y-14=0.(2)设直线l关于点a(1，1)的对称直线为l，则直线l上任一点p(x1，y1)关于点a的对称点p(x，y)一定在直线l上，反之也成立.由得将(x1，y1)代入直线l的方程，得x+2y-4=0，所以直线l的方程为x+2y-4=0.【精要点评】关于点与直线之间的对称问题有若干种，但每一个对称问题都有相应且具体的解决方案.比如解决点关于直线对称的问题时就要把握两点：若点m与点n关于直线l对称，则线段mn的中点在直线l上，且直线l与直线mn垂直.若是直线或点关于点成中心对称的问题，那么只需运用中点公式就可解决.若直线l1，l2关于直线l对称，则可结合如下性质：若直线l1与l2相交，则交点在直线l上；若点b在直线l1上，则其关于直线l的对称点b在直线l2上.变式(1)点p(4，0)关于直线5x+4y+21=0的对称点的坐标是.(2)直线l：2x-3y+1=0关于点a(-1，-2)对称的直线l的方程是.(3)直线l1：2x+y-4=0关于直线l：3x+4y-1=0对称的直线l2的方程是.【答案】(1)(-6，-8)(2)2x-3y-9=0(3)2x+11y+16=0【解析】(1)设点p(4，0)关于直线5x+4y+21=0的对称点为p1(x1，y1)，由题意知pp1的中点m在对称轴5x+4y+21=0上，且pp1与对称轴垂直，则有解得x1=-6，y1=-8，所以p1(-6，-8).(2)设点q(a，b)是直线l上任意一点，点q(a，b)关于点a(-1，-2)的对称点为q(x，y)，则解得因为点q(a，b)在直线l上，所以2(-2-x)-3(-4-y)+1=0，即2x-3y-9=0.(3)在直线l1上取一点a(2，0)，又设点a关于直线l的对称点为b(x0，y0)，则解得b.又l1与l的交点为m(3，-2)，故由两点式可求得直线l2的方程为2x+11y+16=0.距离问题例3已知点p(2，-1).(1)求过点p且与原点距离为2的直线l的方程；(2)求过点p且与原点距离最大的直线l的方程，并求此最大距离.【思维引导】已知直线过定点求方程，首先想到的是求斜率或设方程的斜截式，但不要忘记斜率不存在的直线是否满足题意.若满足，可先把它求出，然后再考虑斜率存在的一般情况.图形中量的最值问题往往可由几何原理作依据解决.【解答】(1)当直线l的斜率不存在时，其方程为x=2，满足条件.当直线l的斜率存在时，设方程为y+1=k(x-2)，即kx-y-2k-1=0，由已知，得=2，解得k=，此时l的方程为3x-4y-10=0.综上，直线l的方程为x=2或3x-4y-10=0.(2)由题可知过点p与原点o距离最大的直线与po垂直，即lop，klkop=-1，所以kl=-=2.所以直线l的方程为y+1=2(x-2)，即2x-y-5=0，此时最大距离为=.【精要点评】若动直线l过定点a，直线外一点b到直线l的距离满足bhba，即最大值为ab(当且仅当l与直线ab垂直时成立).变式1到直线l：3x-4y+3=0距离为1的直线的方程为.【答案】3x-4y+8=0或3x-4y-2=0【解析】设所求直线l的方程为3x-4y+m=0，由两直线间距离为1，知=1，得m=8或-2，所以所求直线方程为3x-4y+8=0或3x-4y-2=0.变式2已知点p(-1，3)，那么过点p与原点距离最大的直线l的方程是.【答案】x-3y+10=0【解析】过点p且与原点距离最大的直线l垂直于直线op，所以直线l的斜率为，所以直线l的方程为y-3=(x+1)，即x-3y+10=0.1.经过直线2x+3y+1=0和x-3y+4=0的交点，且垂直于直线3x+4y-7=0的直线方程为.【答案】4x-3y+9=0【解析】联立直线2x+3y+1=0和x-3y+4=0，解得交点为，由已知垂直关系可求得所求直线的斜率为，进而得所求直线方程为4x-3y+9=0.2.点p(-1，3)到直线l：y=k(x-2)的距离的最大值等于.【答案】3【解析】方法一：将直线l：y=k(x-2)的方程化为kx-y-2k=0，所以点p(-1，3)到直线l的距离d=3，由于1，所以d3.方法二：直线l：y=k(x-2)过定点q(2，0)，所以所求距离的最大值即为pq=3.3.已知直线l经过点p(3，1)，且被两平行直线l1：x+y+1=0和l2：x+y+6=0截得的线段之长为5，则直线l的方程为.【答案】x=3或y=1【解析】由题意得，直线l1，l2之间的距离为d=，且直线l被平行直线l1，l2所截得的线段ab的长为5(如图).(第3题)设直线l与直线l1的夹角为，则sin =，故=45.由直线l1：x+y+1=0的倾斜角为135，知直线l的倾斜角为0或90.又直线l过点p(3，1)，故直线l的方程为x=3或y=1.4.(2015宿迁一模)已知光线通过点m(-3，4)，被直线l：x-y+3=0反射，反射光线通过点n(2，6)，则反射光线所在直线的方程是.【答案】y=6x-6【解析】由题意得反射光线经过点m(-3，4)关于直线l的对称点q(x，y)与点n(2，6).由解得所以q(1，0)，所以反射光线所在直线的方程为=，即y=6x-6.趁热打铁，事半功倍.请老师布置同学们完成配套检测与评估中的练习第109110页.【检测与评估】第55课两条直线的位置关系一、 填空题1.两平行直线x+3y-4=0与2x+6y-9=0的距离为.2.若直线l过点(-1，2)且与直线2x-3y+4=0垂直，则直线l的方程为.3.若直线x+ay=2a+2与直线ax+y=a+1平行，则实数a的值为.4.若直线l经过直线2x-y+3=0和3x-y+2=0的交点，且与直线y=2x-1垂直，则直线l的方程为.5.已知直线l：x+2y-2=0，那么点p(-2，-1)关于直线l的对称点的坐标为.6.已知直线l到直线l1：2x-y+3=0和l2：2x-y-1=0的距离相等，那么直线l的方程为.7.已知直线l：y=3x+3，那么直线x-y-2=0关于直线l对称的直线方程为.8.已知点p(-2，-2)，q(0，-1)，取一点r(2，m)，使pr+rq最小，那么实数m的值为.二、 解答题 9.已知直线l1：(m+3)x+2y=5-3m，l2：4x+(5+m)y=16，求分别满足下列条件的m的值.(1)l1与l2相交；(2)l1与l2平行；(3)l1与l2重合；(4)l1与l2垂直.10.已知直线l1：ax-by+4=0，直线l2：(a-1)x+y+b=0，求分别满足下列条件的a，b的值：(1)直线l1过点(-3，-1)，且直线l1与l2垂直；(2)直线l1与直线l2平行，且坐标原点到l1，l2的距离相等.11.若直线y=2x是abc中角c的平分线所在的直线，且a，b的坐标分别为a(-4，2)，b(3，1)，求顶点c的坐标，并判断abc的形状.三、 选做题(不要求解题过程，直接给出最终结果)12.若动点a，b分别在直线l1：x+y-7=0和l2：x+y-5=0上移动，则ab的中点m到原点的距离的最小值为.13.若abc的顶点为a(3，-1)，ab边上的中线所在的直线方程为6x+10y-59=0，角b的平分线所在的直线方程为x-4y+10=0，则bc边所在的直线方程为.【检测与评估答案】第55课两条直线的位置关系1.2. 3x+2y-1=0【解析】由题意知直线l的斜率为-，因此直线l的方程为y-2=-(x+1)，即3x+2y-1=0.3.1【解析】由平行直线斜率相等得=a，解得a=1，由于当a=-1时两直线重合，所以a=1. 4.x+2y-11=0【解析】由得即交点(1，5)，直线y=2x-1的斜率k=2，与其垂直的直线斜率为-=-，所以所求直线方程为y-5=-(x-1)，即x+2y-11=0.5.【解析】设点p关于直线l的对称点为p(x0，y0)，则线段pp的中点m在对称轴l上，且ppl，所以解得即点p的坐标为.6.2x-y+1=0【解析】因为直线l到两直线的距离相等，所以直线l一定与两直线平行.设直线l为2x-y+m=0，则由两条平行线之间的距离公式有=，解得m=1，所以直线l的方程为2x-y+1=0.7.7x+y+22=0【解析】由 得交点坐标p.又直线x-y-2=0上的点q(2，0)关于直线l的对称点为q，故所求直线(即pq)的方程为=，即7x+y+22=0.8. -【解析】因为r(2，m)在直线x=2上，又p(-2，-2)，q(0，-1)在直线x=2的同侧，所以可求得p(-2，-2)关于直线x=2的对称点p(6，-2)，所以(pr+rq)min=pq，于是所求的r(2，m)为直线pq与直线x=2的交点.由p，r，q三点共线，得=，解得m=-.9. 可先从平行的条件=(化为a1b2=a2b1)着手.由=，得m2+8m+7=0，解得m1=-1，m2=-7.由=，得m=-1.(1) 当m-1且m-7时，l1与l2相交.(2) 当m=-7时，=.l1l2.(3) 当m=-1时，=，l1与l2重合.(4) 当a1a2+b1b2=0，即(m+3)4+2(5+m)=0，m=-时，l1l2.10. (1) 因为l1l2，所以a(a-1)+(-b)1=0，即a2