（应用数学专业论文）区间值模糊信息系统上的粗糙集理论.pdf

摘要 把经典p a w l a k z 粗糙集理论与区间值模糊集相结合，定义了区间值模 糊信息系统讨论了区间值模糊信息系统上的粗糙集的基本理论分别在经 典p a w l a k z 近似空间与广义近似空间中给出了论域u 上任意区间值模糊 集的粗糙近似，即区间值粗糙模糊集模型，并讨论了经典p a w l a k z 近似空 间与广义近似空间中区间值粗糙模糊集模型的基本性质及其相互关系同 时，定义了论域u 上二元区间值模糊关系r ( r f ( o w u ) ) ，建立了区 间值模糊信息系统( 阢r ) ，讨论了论域矿上任意分明集与区间值模糊集在 ( 以r ) 中的粗糙近似，后者即为区f 司值模糊粗糙集模型，研究了其与已有各 种粗糙集模型的关系最后，分别讨论了区间值模糊目标信息系统和区间值 模糊等价关系目标信息系统上的属性约简与知识发现，给出了区间值模糊目 标信息系统上知识约简的判定定理，并通过实例应用说明了区间值模糊等价 关系目标信息系统上知识发现的方法与步骤 关键词：模糊集，粗糙集，区间值模糊集，区间值模糊关系，区间值模糊信 息系统 a b s t r a c t t h j 8p a p e r 出a lw i t ha ni n t e r v a l - v a h i e df u z z yi n f o r m a t i o ns y s t e m s b ym e a n so fi n t e g r a t i n gt h ec l a s s i c a lp a w l a k zr o u g hs e t st h e o r yw i t h t h ei n t e r v a l - v a l u e df u z z ys e tt h e o r y , a n dd i s c u s st h eb a s i cr o u g hs e t s t h e o r yo nt h ei n t e r v a l - v a l u e df l m z yi n f o r m a t i o ns y s t e m s 。i nt h i sp a p e r w ef i r s td e f i n et h er o u g ha p p r o x i m a t i o no fa ni n t e r v a l - v a h i e df u z z ys e t o nt h eu n i v e m eui nt h ec l a s s i c a l p a w l a k za p p r o x i m a t i o ns p a c ea n d t h eg e n e r a l i z e da p p r o x i m a t i o ns p a c er e s p e c t i v e l y , i e ，t h ei n t e r v a l - v a l u e d r o u g hf u z z ys e t sm o d e li sb u i l t m e a n w h i l e ，t h eb a s i cp r o p e r t i e sa n dt h e i r i n t e r r e l a t i o n so ft h ei n t e r v a l - v a l u e dr o u g hf i l z 巧s e t sm o d e li nt h ec l a s s i c a l p a w l a k za p p r o x i m a t i o ns p a c ea n dt h eg e n e r a l i z e da p p r o x i m a t i o ns p a c e a r ei n v e s t i g a t e d a n dt h e np r o p o s ea ni n t e r v a l - v a l u e df u z z yi n f o r m a t i o n s y s t e m sb a s e do nt h ed e f i n i t i o no fab i n a r yi n t e r v a l - v a l u e df u z z yr e l a t i o n s r f ( o ( u u ) o nt h eu n i v e r s e 阢a n dt h er o u g ha p p r o x i m a t i o n o fa c r i s p s e ta n da ni n t e r v a l - v a l u e df u z z ys e to ft h eu n i v e r s eui nt h ei n t e r v a l - v a l u e d i n f o r m a t i o ns y s t e m s ( 阢r ) i sg i v e n ，i e ，t h ei n t e r v a l - v a l u e df u z z yr o u g hs e t m o d e li sm a d eu p ，f u r t h e r m o r e ，t h ei n t e r r e l a t i o n sb e t w e e nt h e s eo p e r a t o r s a n dt h eo t h e rr o u g ha p p r o x i m a t i o no p e r a t o r si sd e l i b e r a t e d s e v e r a l i n t e r e s t i n gp r o p e r t i e so ft h ea p p r o x i m a t i o no p e r a t o r s w h i c hd e f i n e di nt h i s p a p e ra r ee x a m i n e d i na d d i t i o n ，t h ep r e s e n tw o r kd i s c u s s e st h ea t t r i b u t e r e d u c t i o na n dt h ek n o w l e d g ed i s c o v e r yo ft h ei n t e r v a l - v a l u e df u z z yo b j e c - t i o ni n f o r m a t i o ns y s t e m sa n dt h ei n t e r v a l - v a l u e df u z z ye q u a l i z e d - o b j e c t i o n i n f o r m a t i o ns y s t e m sr e s p e c t i v e l y , a n dt h ek n o w l e d g er e d u c t i o nt h e o r e m s o ft h ei n t e r v a l - v a l u e df u z z yo b j e c t i o ni n f o r m a t i o ns y s t e m si sb u i l t f i n a l l y , t h em e t h o da n dt h e s t e p so ft h ek n o w l e d g ed i s c o v e r yo nt h ei n t e r v a l - v a l u e d f 眦z ye q u a l i z e d - o b j e c t i o ni n f o r m a t i o ns y s t e m si sp r e s e n t e dw i t ha np r a c t i - c a le x a m p l e k e y w o r d s ： f u z z ys e t s ，r o u g hs e t s ，i n t e r v a l - v a l u e df u z z ys e t s ， i n t e r v a l - v a l u e df u z z yr e l a t i o n ，i n t e r v a l - v a l u e df u z z yi n f o r m a t i o ns y s t e m s 独创性声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不 包括其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得西北师范大学 或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本 研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 签名 关于论文使用授权的说明 本人完全了解西北师范大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校 有权保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文 的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。( 保 密的论文在解密后应遵守此规定) 签名导师签名：2 垒选垒日期：碰年羔月日 嘲 上- 刖吾 现实世界中的现象或事件是纷繁多样而复杂的，但不外乎确定性事件和不确定事件 两个方面对确定性事件我们是比较熟悉的；而对于不确定性事件的刻划主要表现在事 件的随机性和模糊性上但是，随机性和模糊性所描述的事件性质有着本质的区别随机 性的不确定性主要表现在所描述的事件或现象本身含义是清楚而明确的，如投掷一枚硬 币，出现的结果是确定的，只髓出现正面或反面；除上述不确定的随机现象外，现实生活 中更多地存在一种其结果为”亦此亦彼”的不确定性现象，即出现结果是模糊的，如”高 个子j 等描述，这就是模糊性事件由于模糊性事件在现实生活中的大量存在，人们不 可避免地要处理大量的模糊性现象，而且在一个系统中随着指标数量的剧增，要求其结果 的高精度是不可能的甚至在很多情况下是多余的，如我们无须在汽车的方向盘上刻上刻 度正是基于这种考虑帮背茂1 9 6 5 年，美邑控制论专家l a z a d e h 教授提出了模糊集 ( f u z 巧s e t b ) 的概念 4 0 1 ，即给定论域u 上的模糊集a 是指：对任意$ 阢都对应着一 个数a 0 ) 【0 1 1 ，叫做。对a 的隶属度，丽映射a ：u + 【o ，1 1 ，霉a p ) 叫做a 的 隶属函数显然，隶属函数是经典集合a = 和：a ( 动= 1 ) 的特征函数的推广此后，模 糊数学作为一门新兴的数学分支在理论与应用方面都得到了迅速发展模糊数学理论的 研究涉及模朔代数学f 2 1 1 ，模糊拓扑学【3 硼以及以模糊数理论为基础的模糊分析学理论 【4 ，5 ，1 2 ，1 3 ，3 3 等，其应用遍及人工智能，聚类分析，控制理论，系统评价，决策优化，人文 学科和社会科学等诸多方面 由于在许多应用领域中，尤其是在决策评价过程，对于发展中的事物的认识很难把握 其本质，于是往往对所需要进行的决策属性采取区间数而非数值来进行表示，进而借以 减少决策信息的波动性，不确定性基于此，d u b o i sd 与p r a d eh 【8 】在l a z a d e h 模糊 集的基础上提出了区间值模糊集( i n t e r v a l - v a l u e di 、1 z 可s e t s ) 称a 是论域u 上的区间 值模糊集是指：对任意韶阢对应着一个【0 ，1 】内的区向数a ( z ) = a - ( 功，a 寸( z ) 】，其中 a 一( ) 以，( ，a _ ( ) ，扩( ) 【o i1 】，称a - ( 习，a + ( 分别为区问值模糊集a 的下 模糊集和上模糊集随后许多学者【1 5 ，3 1 】将区间值模糊集成功运用于近似推理，信号传 输及模糊控制等领域，之后孟广武【2 2 】，曾文艺，李浃兴 4 2 ，4 3 】等对区间值模糊集的基本 概念、性质及相关理论做了详细深入的讨论 前言 1 9 8 2 年，波兰科学院院士，华沙理工大学教授z p a w l a k 提出了粗糙集( r o u g h s e t s ) 2 5 l 概念粗糙集理论是建立在分类机制的基础上，它将分类理解为在特定空问上 的等价关系，而等价关系构成了对该空间的划分粗糙集理论将知识理解为对数据的划 分，每个被翅1 分的集合称为概念，粗糙集理论的主要思想是利用已知的知识库将不精确 或不确定的知识用已知的知识库中的知识来近似刻画，即以不完全信息或知识去处理 一些不分明现象，或依据观察，度量得到某些不精确的结果进行分类数据的能力，在经 典p a w l a k z 粗糙集模型的基础上，基于各种不同问题的需要以及实际背景的考虑，许 多学者对论域u 上的等价关系r 和集合之间的包含关系进行改进，推广得到了经典 p a w l a k z 粗糙集模型的各种推广形式【1 ，1 0 ，1 4 ，1 6 ，2 7 ，2 9 ，3 0 ，3 4 ，3 6 ，3 7 ，3 8 ，3 9 ，4 4 ，使粗糙 集理论在许多领域都获得了成功的应用然而，由于粗糙集理论未能包含处理不确定和 不精确问题的原始机制因此，粗糙集理论与概率论，模糊数学和证据理论等其他处理不 确定，不糖确问题的理论有很强的互补性1 9 8 5 年，p a w l a k z 在文( 2 6 】中定义了一个粗 糙隶属函数，讨论了模糊集与粗糙集的关系，指出粗糙集与模糊集是两个不相同的概念， 并且粗糙集是比模糊集更广泛的概念1 9 8 9 年，m a c i e jw y g r a l a k 在文 2 3 】中进一步研究 指出，粗糙集可以通过一个u 一 o ，0 5 ，1 上的特殊的三值模糊隶属函数予以表示1 9 9 0 年，d u b i a sd 与p t a d eh 把模糊集与粗糙集相结合，基于论域上的等价关系与模糊关系 讨论了论域上任意模糊集的粗糙近似问题，首次提出了粗糙模糊集( r o u g hb r a ys e t s ) 与模糊粗糙集( f u z z yr o u g hs e t s ) 的概念【9 】，并指出粗糙模糊集是模糊粗糙集的特殊情 形文献【2 ，7 】分别研究了粗糙集的模糊性与模糊集的粗糙性，使得模糊集，粗糙集这两 个彼此互不相同但又紧密联系的处理不确定性问题的数学理论充分结合本文，我们在文 献【9 】的基础上把区间值模糊集理论与经典p a w l a k z 粗糙集理论相结合，首先，基于论域 u 上任意经典的二元等价关系r 以及任意一个一般二元关系r 给出了论域u 上任意区 间值模糊集的粗糙近似，即区间值粗糙模糊集( i n t e r v a l - v a l u e dr o u g hf u z z ys e t s ) 模型， 该模型是经典普通粗糙模糊集模型【9 】的合理和本质推广，同时也包含了经典p a w l a k z 粗糙集模型【2 5 1 紧接着在经典p a w l a k z 粗糙近似空间中讨论了所给模型的基本性质， 研究了基于等价关系与一般关系的区间值粗糙模糊集的关系，并指出对论域u 上任意区 闻值模糊集a 若其在经典p a w l a k z 粗糙近似空问中不可定义则在广义近似空间中肯定 不可定义( 定理2 3 4 ) ，反之，在广义近似空间中不能被精确刻画的区问值模糊集则有可 能在经典p a w l a k z 近似空间中被精确刻画( 定理2 3 5 ) 其次，定义了论域u 上的区间 值模糊关系r ( r f ( 0 ( u u ) ) ，在此基础上给出了区间值模糊信息系统的定义，并分 2 前言 别给出了论域矿上分明集与区间值模糊集在区间值模糊信息系统上的粗糙近似，即区间 值模糊粗糙集( i n t e r v a l - v a l u e df u z z yr o u g hs e t s ) 模型最后，讨论了其基本性质以及与 其他粗糙近似算子的关系，研究表明，区间值模糊粗糙集模型是经典粗糙集理论中各种基 本粗糙集模型的合理推广( 注3 2 1 ) ，亦即其包含了已有各种经典粗糙近似算子 称( 阢a ，f ) 为一个信息系统，或者数据库系统，其中u 为对象集，即u = 如l ，2 ，) ，u 中的每个筑0 由称为一个对象，称a 为属性集，即 a = n - ，啦，) ，a 中的每个q o m ) 称为一个属性，f 为u 与a 的关 系集，即f = f j ：j m ，其中疗：u k ，0 m ) ，k 为属性凸j 的值域一个信息 系统可以用一个信息表来表示，当没有重复元组时，信息表就是一个关系数据表，这种数 据表通过数据隐含着知识的对象与属性之阅的关系，最终表达的知识模式是用属性来表 达的，它有明确的直观意义，因而是可以理解的 信息系统的知识发现是指从大量数据中提取有效的，新颖的，潜在有用的，最终可被 理解的模式的非平凡过程信息系统上的知识发现问题本质上是根据不同的属性特征将 对象进行分类的问题因此，信息系统的知识发现是概念的发现，对于不同的分类产生不 同的概念目标信息系统是研究条件属性与目标属性之间的关系问题，因而目标信息系 统的知识发现是命题的发现，从条件属性与目标属性之间的不同关系得到不同的命题把 粗糙集理论应用于数据挖掘。知识发现以及基于粗糙集理论的决策支持系统的研究是近 年来粗糙集理论最成功的应用领域利用粗糙集理论对基于p a w a k z 经典粗糙集模型的 普通信息系统( 包括完备信息系统以及不完备信息系统，协调目标信息系统和不协调目 标信息系统) 和推广的p a w l a k z 粗糙集模型的属性约简与知识发现以及基于模糊粗糙集 模型的普通模糊信息系统上的属性约简与知识发现和基于随机集的粗糙集模型的随机集 信息系统上的属性约简与知识发现的向题已有许多学者给予了详细的讨论，其主要工作 参见文献【1 7 ，1 8 ，2 0 ，2 4 ，2 7 ，2 8 ，3 5 ，4 1 ，4 5 ，删我们利用前面所讨论的区间值模糊信息系统 中的粗糙集理论，根据普通信息系统中知识发现与属性约简的思想方法分别讨论了以下 两类区间值模糊信息系统上的知识发现和属性约简问题( i ) ：论域u 上的关系五是经典 的二元关系，而目标( 决策) 属性为论域矿上的区间值模糊集的区间值模糊目标信息系 统；( i i ) ：论域u 上的关系是区间值模糊关系，而目标( 决策) 属性为论域u 上的分明集 的区间值模糊等价关系目标信息系统给出了区间值模糊目标信息系统上知识约简的判 定定理( 定理4 2 2 ，定理4 2 3 ) ，最后，通过实例应用说明了区间值模糊等价关系目标信 息系统的知识发现方法 3 前言 本文共分五部分，第一部分作为预各知识，给出了模糊集，粗糙集，区间值以及区间 值模糊集的基本定义及本文所需的相关结论第二部分讨论了经典p a w l a k z 近似空间与 广义近似空间中论域u 上的区间值模糊集的粗糙近似及其相互关系第三部分定义了论 域u 上的区闻值模糊关系丑f o ) ( uxu ) ) ，研究了论域u 上分明集与区间值模糊 集的粗糙近似及其与已有粗糙集模型的区别与联系在此基础上，第四部k ) 4 , - t - i 仓了区间值 模糊目标信息系统上的知识发现与属性约简，给出了区间值模糊目标信息系统上的知识 约简的判定定理第五部分给出了区间值模糊等价目标信息系统上的知识发现的方法与 步骤，通过实例应用说明了该方法的在实际中的有效性 4 1 预备知识 1 1 模糊集 称a 为论域u 上的模糊集是指隶属度函数m ( z ) ：u 一【0 ，1 】m ( 动表示隶属度函 数 u 上的所有模糊子集的全体构成的集簇记为f ( 定义1 1 i 1 9 ，2 1 ，3 2 ，3 3 , 4 0 设a ，b f ( u ) ，若对任何卫u 有a ) b 0 ) ，则称b 包含a ，记为a b ，当a b ，b a 同时成立时，称a ，b 相等，显然，a ，b 相等当且 仅当对任何$ u 均有a ( z ) = b 0 ) 成立 定义1 1 2 1 1 9 ，2 1 ，3 2 ，3 3 ，删设r 是指标集，钆f ( 叨恤r ) ，则k 的并集l k r a 。 和交集n 口盯也分别由下式定义： ( 垡和) - s 。u 盯p 九印) x e u q a ) 。藉如( 刁 z 矿 设a f ( u ) ，则a 的补集小定义为：小( 曲= 1 一a ( z ) ，v z u 特别地，当r 为有限集时： 垡2 m 甜a x 九如) ， 蚝盯 q 训班骝“功 蚝矿 定义1 1 3 1 1 9 ，2 1 ，3 2 ，3 3 , 4 2 ，删设a f ( 叨，r 0 ，1 】，则= 和：且( 甸r ) ， 听) = 扛：a ( 霉) r ) 分别称为模糊子集a 的r 截集和强r 截集，称印( 锄= 扛： a ( z ) o ) 为a 的支集或承集，记做m t p p a 设a f ( u ) ，a 0 1 ，规定f ( u ) 的隶属函数为：( m ) ( z ) = a a ( 茹) 显然， 对任a ，b f ( 聊 l a l ，a + ( z ) a 2 ) ， 则a 。】和a ( 。，屯) 分别称为a 的队l ，a 2 】_ 截集和强【 1 ，a 2 卜截集 显然，z a 【h ，蛔】 = = a 扛) 协1 ，a 2 】 定义1 3 4 【4 2 ，4 3 】映射日：嘲+ p ( 盯) ，b 1 ，划日( a 1 ，k ) ，如果v 【a l ，a 2 】 【沁，k 】辱日( a 3 ，h ) c 日( a 1 ，沁) ，则称h 为x 上的二元集合套，这里p ( u ) 表示x 上 所有非空子集的全体 设b n 伍) 表示x 上所有二元集合套 定理1 3 i 4 2 ，鹞】( 区问值模糊集表现定理) 映射f 满足： ，：b n ( x ) 一f ( o ( x ) 日_ + ，( 日) = u 胁。，抽】。田i 1 ， 2 】日( a l ，沁) 则 i ) i 是满射， 2 ) 对v n l ，刈田，( 上b ，) c 日( a l ，a 2 ) c ( ，( 日) ) n ， 3 ) ( ，( 奶) m j 目= n 【m ，m l n 。，日( ，7 1 ，7 2 ) 定义1 3 5 2 2 ，4 2 劁设a ，b f c 0 ( x ) ，如果a 和) = 丑( 茹) ，坳职则称4 ，b 相等， 记为a = b 设a ，b f ( 0 僻) ，则a 与b 的并交以及a 的补分别定义如下： ( a u 口) ( 甸= a ( 功u b ( 功，v 量x ( a n b ) ( 功= a ( 岳) n b 0 ) ， 妇x a f ( 曲= i a 仁) ，v z x 定义1 3 6 1 2 2 1 设a = 阿，肿l f ( o 僻) ，o 卵则下式成立 u 日a = 【u t t & - ，u 旧a + 】，n t 口且t = h 盯茸，n 时对】 8 2 区间值粗糙模糊( r o u g hf u z z ys e t s ) 集 模型 2 1基于等价关系的区间值模糊集的粗糙近似 设c ，是非空有限论域，r 为u 上的等价关系，嘲r 表示包含z 的等价类，则( 阢矗) 为p a w l a k z 近似空间，对任意区间值模勒集a ，记 g a ) = m i n a ：| 旧丑 ，比u _ ( a ) 0 ) = 眦x a ( ) ：y 【叫且) ，、b u 则区间值模糊集_ r c a ) 和- ( a ) 分别称为区间值模糊集a 关于近似空间( q 固的下近似 与上近似 显然，区间值模糊集a 关于近似空问( ur ) 的下近似与上近似分别由下式计算： 旦) ( 砷= m i n ( a _ ( p ) y 吲r ，m i n a + 国) ：y m 且) 】，v u 了- ( a ) ( ) = m a x a 一( g ) ：y i x 矗) ，m a x ( a + ( y ) ：y m - l ，v 茹u 若对v 童以亟 ) ( 动= _ ( 且) ( z ) ，则称区间值模糊集a 关于p a w l a k z 近似空间 ( 玩劭是可定义的否则称区间值模糊集a 关于p a w l a k z 近似空间( 玑动是粗糙的， 此时，称a 为区间值粗糙模糊集称 r ：f c o ( u ) - f ( 叨，再：f ( ( 叨- f c o ( u ) 分别为区间值模糊下近似算子与区间值模糊上近似算子 注2 1 1 当a 是论域u 上的普通模糊集时，此时，a - = a + ，则上面所定义的区间 值粗糙模糊集模型即为经典的粗糙模糊集模型 注2 , 1 2 当a 是论域u 上的分明集时，则a 的上模糊集与下模糊集亦是分明集台， 且a 一= 舻，从而 耳a ) ( ) = 1 旧丑a ，- ( a ) ( z ) = 1 乍争吲r n a 圣 此时有 耳a ) = 扛：r 似) ( z ) = 1 ) ，取a ) = 扛：面( a ) ( 嚣) = 1 ) 9 2 区间值粗糙模糊( r o u g hf u z z ys e t s ) 集模型 即亘q ( ) 与夏( a ) ( z ) 分别为耳a ) 与夏的特征函数 定义2 1 1 设u 是非空有限论域，a f o ) ( 叨，定义a 的陋l ，匏】h ，0 r 2 o 】l 】i o t i 锄) 水平集关于p a w l a k z 近似空间( o r , r ) 的下近似与上近似分别为 显( a 陋，】) = u i 叫r ： 叫且a h 。，啦l ，茁研= 霉u ：m r a 陋，】) ， _ ( a i 。，】) = u b 】r ：m r n a i 口。，】圣，z u = t z u ： x r f l a h 。，。目壬 寻i 理2 1 1 设u 是非空有限论域，a f 旧( 叨，旦( a 。j ) 与_ ( a h m 】) ( a l ，口2 0 1 j ，啦s 啦) 分别是区间值模糊集a 的h ，叫截集关于近似空间r ) 的下近似与 上近似分，则对任【q 1 ，啦】，臃，岛】 1 且当h ，啦】 慨，岛】时 耳a 【m 糊) 耳a b 捌) ，面( a 慨，倒) 豆( 雄。衄1 ) 证明 由互a 魄周) = 。：旧且a 魄，角一，取a k 。，。】) = 茹：渊r a h 。，。一， 则比显吼删) ，即m 且a 旌剧又陋l ，啦】 忱，岛l 的任意性知：吼，卢2 】l a ，a 。 ，故旦( a ) = g 似) 同理可证 ( a ) = 胃( a ) 】0 2 区间值粗糙模糊( r d u 曲i 、l z 巧s e t s ) 集模型 同样地，对于论域u 上的区间值模糊集a 的强【n t ，n 。】- 截集亦有类似的结论 定理2 1 2 设( 阢固为p a w l a k z 近似空间，则关于近似空间( 职置) 的区间值模糊 下近似算子与上近似算子有如下性质： ( 1 ) 耳 ) a _ ( a ) ， ( 2 域a n b ) = 斟舢n 互b ) ，取a u b ) = _ ( a ) u 一( b ) ， ( 3 ) 耳一棚= 一_ ( a ) ，- ( 一锄= 一鱼酗) ， “) 耳a u b ) 显( a ) u 旦( b ) ，- ( a n b ) 夏( q u _ ( 口) ， ( 5 ) 王( 显( a ) ) = 赢( 显( a ) ) = 耳a ) ，五( ，- ( a ) ) = 显( _ ( a ) ) = ( ) 证明与普通模糊集近似算子的证明类似 定义2 1 2 设( 玩功为p a w l a k z 近似空间，a 和口分别为论域矿上的区i 司值模糊 集合，若鱼= 耳口) ，则称区间值模糊集a 和b 是下粗相等的，记作：脚 若_ ( 棚= _ ( 研，则称区间值模糊集a 和b 是上粗相等的，记作：a = b 若a 与b 既下粗相等又上粗相等，则称a 与b 是粗相等的，记作：a “b 命题2 1 1 设_ = ，是定义2 1 2 中定义的论域盯上两个区间值模糊集之间的下粗 相等，上粗相等和粗相等关系，则其均为论域c 厂中全体区间值模糊集f c 0 ( t o 上的等价 关系 定理2 1 3 设( 巩r ) 为p a m a k z 近似空间，对u 中任意区间值模糊集a ，b 和a ， ，下列性质成立： ( 1 ) a b 甘( a n b ) 加，( a n b 脚， ( 2 ) a 2 b 甘( a u b ) ! b ，( a u b ) ! a ， ( 3 ) 若4 再4 ， 日b ，则( a a b ) ( a a b ) ，若a = ，b = b ，则( a u b ) = ( a ，u f ) ， ( 4 ) 若肛雪或口砷，则n b ) 硼，若a = u 或b 2 阢则似u b ) = 矾 ( 5 ) 若a b 且脚，则a 神，若a b 且a 竺以则b 譬矾 ( 6 ) a u 骨a = 以a ! c i , 错a = 垂 定理2 1 4 设( 阢动为p a w l a k z 近似空间，a 是矿上的区间值模糊集，则 ( 1 ) 型a ) = n ( b f ( u ) ，b - 一a ， ( 2 ) 豆( a ) = u b f ( o ( u ) ，b = a ) 2 区问值粗糙模糊( r o u g hf t m ys e t s ) 集模型 定义2 1 3 设( 阢功为p a w l a k z 近似空间，a 是矿上的区间值模糊集，对任意 陋- ，啦】，慨，剀，定义 的下近似耳a ) 与上近似页) 关于陋- ，啦】，吼，例的水平 截集分别为： 耳锄【a 。t 伽】= 伽：耳a ) ( z ) h ，毗】 = 和：豇( 由( 功a ，矿( a ) ( $ ) 勉) ， j _ ( 棚吼剧= 忙：_ ( a ) ( 霉) 慨，例) = 和：雨( a ) p ) 伍，矿) ( z ) 尾) 定理2 1 5 设( 矾r ) 为p a w l a k z 近似空间，a 是u 上的区间值模糊集，则a 的下 近似显( 锄与上近似- ( a ) 关于陋l ，啦】，吼，剐的水平截集满足如下性质： ( 1 ) 耳a ) 【吼，衄】= u 【叫且：鸯( a ) ( 。) 【o t i ，o 鬯】) 2 盆( a 【咀。啦 ) ， ( 2 ) 再( a ) 魄，岛】= u 【叫且：- ( a ) 扛) 慨，岛】 2 _ ( a 魄，岛】) ， ( 3 ) h ，啦l 魄屈】= 辛陋，。】) _ ( a 慨，剐) ， ( 4 ) 盈a b ，】) ca 【o 。，吲r ( a 【口。，。目) 定义2 1 4 设( 职r ) 为p a w l a k z 近似空间，a 是c 厂上的区间值模糊集，对任意 丘，声唧，丘卢( 其中丘= 【q l ，劬】，声= 魄，例，) 则区间值粗糙模糊集a 的丘，口粗糙 度与精度分别定义为： 脚厕= 1 一丽i r ( a ) a i ，嘶厕= 删 规定当- ( ) 口= 垂时，肌( 在，卢) = 0 特别地，若比阢旦( x ) ( $ ) = 瓦) ( 刁，则规定 d ( 画，卢) = 1 ，肌( 丘，励= 0 ，即a 是脚中的可定义集 以下除特别声明，均假设a 厅成立 定理2 1 6 对任意丘，口田( 其中厘= 陋，a 2 】，声= 慨，岛】，) 且当3 1 ，冈陋l ，勉】 时，粗黻肌( 丘，声) 与精度姒( 丘，卢) 满足以下性质 ( 1 ) 0 s p a ( 丘，圆1 ，0 so ( 而卢) 1 ， ( 2 ) m ( a ，声) 关于a 不减，关于口不增，蛳( a ，面关于丘不增，关于卢不减， ( 3 ) 若v 兰1 九。凰4 ( $ ) 丘= h 1 ，a 2 】，则以( 矗，励= l ，n ( 丘，声) = 0 ， ( 4 ) 若【c l i ，啦】- 吼，岛l a 仁) = h i ，】( 忱五，i r ) ，亦即a 是u a 中每个等价 类上的常区间值模糊集，则 p h ( 虚，口) = 0 ，c y a ( 丘，口) = 1 定理2 1 7 若【0 1 ，q z ，愉，岛】旧且慨，例s 【a - ，口2 】，a 是u 上的常区间值模糊 2 区问值粗糙模糊( r o u g hf u z z ys e t s ) 集模型 集，即a ( ) = 【r l ，r 2 | ，比阢则 纵( a ，厅) ： 1 ，魄，脚 o 捡) ， a 歹( ) 慨庙1 = 扣：i 歹( 由( 砷吼，倒) = 忙：葡( 舢( 茹) 角，矿( a ) ( 岛) ， i 矽似) 慨抽) = 扣：a 矿( a ) ( z ) 暇，岛】) = 如：硒r ( a ) ( 茁) 角，碲+ ( a ) ( z ) 废 定理2 2 1 设( 阢固为广义近似空间，a 是u 上的区问值模糊集，则对任 陋- ，啦】，刊，嗡，例，性，例 1 1 ，成立如下性质： ( 1 ) o q ，。r 2 】，0 ( 4 j = = 争! ! 堡( a ) i m ，。】! 巴( a ) 【口。，。】， ( 2 ) 盼，岛】si 角，反】= = a - - 万( a ) w ，鲥可_ ( a ) 魄，剐 定义2 2 3 设( 阢r ) 为广义近似空间，a 是u 上的区间值模糊集，对任意a ，卢嘲 ( 其中丘= q - ，啦】，卢= 吼，岛】) 则a 关于广义近似空间( 矾冗) 的粗糙度与精度分别定义 1 6 2 区间值粗糙模糊( r o u g hf 、l z 珂s e t s ) 集模型 为： 嘶厕一渊，峨历= 俐 规定当丽似) 自= 西时，f h ( a ，伪= 0 定理2 2 2 对任意丘，卢m ( 其中a = 陋l ，毗】，卢= 协，例) 且当盼，例陋l ，啦】 时，粗糙度r h 陋，声) 与精度虬忸，励满足以下性质 ( 1 ) 0 r h ( a ，卢) s l ，0 、函( 丘，卢) 1 ( 2 ) f l a ( 丘，口) 关于a 不减，关于声不增，皿 ( 丘，励关于丘不增，关于口不减 定理2 2 3 若【0 t i ，吲，魄，屈】四且魄，岛】【o i ，啦 ，a 是u 上的常区问值模糊 集，即a = r - ，r 2 1 ，比6 阢则 啡厕0 例 陋l ，a 2 】) = ，y ) ：r 一扛，y ) o t l ，r + 扛，y ) o ) ， 则r a 。，。女与置。) 均是u 上的经典的二元关系，且具有如下性质： 2 1 3 区间值模糊粗糙( 胁巧r o l l g l ls e t s ) 集模型 ( i ) 若r 是自反的，则晡。，劬】与甄。) 也是自反的 ( 2 ) 若r 是对称的，则j 沁。，。1 与鱼。，。) 也是对称的 ( 3 ) 若r 是传递的，则j 沁。，岫】与r 汹，啦) 也是传递的 特别地，当r 是区间值模糊等价关系时，则r h ，。】与r ( 。) 也是二元等价关系 证明 ( 1 ) 与( 2 ) 显然，只需证( 3 ) j 由于r 是传递的，则对任$ ，g ，z 矾有r ( g z ) r ( ，y ) a r b z ) ，因此，当 ，功r 【a ，向，( y ，z ) 冗h ，。】时，有r ( z ，f ) 陋l ，口2 1 且r ( 玑刁 o t i ，a 2 】，所以， r ( 。，力【口l ，舰】，从而0 ，z ) r a 。，船1 于是，日。，衄l 是传递的 同理可证段。，衄) 也是传递的 - 设( 珥固为区问值模糊等价关系信息系统，则由定理3 1 4 知，。1 与 j k 。) ( h 1 ，0 9 2 】闭) 均是论域，上的等价关系则由经典粗糙集理论知哦。，岫】与 r ( m ，。) 均产生u 上的一簇划分： 卅风n t 嘲= 吲譬，岫】：z 矿 ，w j k m 一) = m 拦。，。) ：茹u ) 其中 m 菡衄l = 妇矿：r ( 礼) 陋l ，口2 | ) = 妇u ：r - ( z ，y ) 0 1 1 ，j 矿扛，暑，) 啦) ， m 出，。) = 协u ：冗( f ) 【o 1 ，口2 】) = 国u ：r - ( ，y ) a l ，胪0 ，y ) 啦 定义3 1 4 设( 阢固为区间值漠糊等价关系信息系统，对论域u 上的任意分明集合 x ( x 冬矿) ，任陋1 ，o r 2 j 嘲分别称 乳，。】僻) = 伽u ：m 盘，吲x ) ，轧，。) ( x ) = 伽u ：h 篙，。) x ， - 【m ，m 】( x ) = 伽u ：吲盛，衄】n x 西) ，瓦。，。) ( x ) = 伽u ：m 饕，。) n x 町 为x 在陋l ，啦】水平的下近似( 强下近似) 与上近似( 强上近似) 若鱼。，蚰1 ( x ) = 瓦，伽j ) 则称x 关于区间值模糊等价关系信息系统( y , r ) 在 陋l ，勉】水平下可定义，否则称为陋l ，a 2 】水平下粗糙 若虽。，。) ( x ) = j k ，。) ) ，则称x 关于区问值模糊等价关系信息系统( 配r ) 在 【嘶，嘞l 水平下强可定义，否则称其为b z ，啦l 水平下强粗糙的 由于昼。，。】( x ) ，稚。，。】暖) 及沁。，。) 僻) ，_ ( 。) 僻) 都是在论域u 上的关系 r k 。，。】与r 似。，。) 下所形成的近似集合，因此，其对于经典的p a w l a k z 粗糙集所成立的 所有结论都同样成立 3 区闻值模糊粗糙( f 、1 ym m 曲s e t s ) 集模型 定理3 1 。5 设( 阢r ) 为区间值模糊等价关系信息系统，则当【口1 ，0 2 】，忱，倒嘲， 且h l ，她】 胁，侥】时有 ( 1 ) ，。1 ( x ) ：6 h ，岛i ( x ) x ：【融，出】( x ) 耳b 。，。】( j 【) ，x 矿 ( 2 ) 虽。，) ( j r ) = 黾历，角) ( x ) x r c 岛，岛) ( x ) 甄。，) ( x ) ，y 盯 证明 由于当【口l ，叫 吼，岛】时有如抽】马。l ，b 庙) 虽。) 从而有 m 援潮m 2 吲，m 法庙) 旧罐。) 则对v ! 沁，睨】( x ) 有，嘲譬，衄l 互又 矧援捌m 墨岫i ，故矧蛊剧置因此，z 歌剧( x ) 此即，鱼沁，。】( x ) 点c 帕删( x ) 同理可证其他包含关系成立 由定理3 1 5 易知：也k 衄1 c ：h ，他j 【刀 ， 蛾，尾】 i t , ，嘲，故由胁，岛】= 剐i p 陋l ，啦j ：m h ( 0 ，。】n x 垂 知，存在 。x ，使得r ( 。，) 魄，冈，于是，h ，r 2 1 = m a 岛x r ( 茁，们肼，绷 【r 1 ，r 2 】，从而， 【r l ，r 2 】懈，尾l h ，r 2 矛盾 因此，只可能有吼，例= 【r l ，r 2 】 此即可伍) = _ ( x ) 一 定理3 1 7 设( 阢劢为区间值模糊等价关系信息系统，则 掣( x ) = 耳x ) ， vx n 证明对任意f 阢记i r l ，r 2 】= 显僻) 臼) = m i 懿( i r ( 羁们) ，慨，倒= 掣( x ) ( = 肌“【o l ，a 2 1 ：m 2 衄卜n ( 一x ) = q ，v r l ，r 2 ，吼，础，陋l ，啦j ，i x 1 则 由于f r l ，r 2 】_ m i 酞( i r ，暑，) ) 知，对任意窖x ，有i - r ( $ ，) h ，r 2 ，即r ( ，们s i 一【r l ，r 2 】，从而b d 瓮。) 。n ( 一x ) = 垂，即慨，脚h ，r 2