导数及其应用复习资料.doc

第3讲导数的应用(二)【高考会这样考】1利用导数求函数的极值2利用导数求函数闭区间上的最值3利用导数解决某些实际问题【复习指导】本讲复习时，应注重导数在研究函数极值与最值中的工具性作用，会将一些实际问题抽象为数学模型，从而用导数去解决复习中要注意等价转化、分类讨论等数学思想的应用.基础梳理1函数的极值(1)判断f(x0)是极值的方法一般地，当函数f(x)在点x0处连续时，如果在x0附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，那么f(x0)是极大值；如果在x0附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，那么f(x0)是极小值(2)求可导函数极值的步骤求f(x)；求方程f(x)0的根；检查f(x)在方程f(x)0的根左右值的符号如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值，如果左右两侧符号一样，那么这个根不是极值点2函数的最值(1)在闭区间a，b上连续的函数f(x)在a，b上必有最大值与最小值(2)若函数f(x)在a，b上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在a，b上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值(3)设函数f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在a，b上的最大值和最小值的步骤如下：求f(x)在(a，b)内的极值；将f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值3利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤(1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式yf(x)；(2)求函数的导数f(x)，解方程f(x)0；(3)比较函数在区间端点和f(x)0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值；(4)回归实际问题作答两个注意(1)注意实际问题中函数定义域的确定(2)在实际问题中，如果函数在区间内只有一个极值点，那么只要根据实际意义判定最大值还是最小值即可，不必再与端点的函数值比较三个防范(1)求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过认真比较才能下结论；另外注意函数最值是个“整体”概念，而极值是个“局部”概念(2)f(x0)0是yf(x)在xx0取极值的既不充分也不必要条件如y|x|在x0处取得极小值，但在x0处不可导；f(x)x3，f(0)0，但x0不是f(x)x3的极值点(3)若yf(x)可导，则f(x0)0是f(x)在xx0处取极值的必要条件双基自测1(2011福建)若a0，b0，且函数f(x)4x3ax22bx2在x1处有极值，则ab的最大值等于()A2 B3 C6 D9解析f(x)12x22ax2b，由函数f(x)在x1处有极值，可知函数f(x)在x1处的导数值为零，122a2b0，所以ab6，由题意知a，b都是正实数，所以ab229，当且仅当ab3时取到等号答案D2已知函数f(x)x4x32x2，则f(x)()A有极大值，无极小值 B有极大值，有极小值C有极小值，无极大值 D无极小值，无极大值解析f(x)x34x24xx(x2)2f(x)，f(x)随x变化情况如下x(，0)0(0,2)2(2，)f(x)00f(x)0因此有极小值无极大值答案C3(2010山东)已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为yx381x234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为()A13万件 B11万件 C9万件 D7万件解析yx281，令y0解得x9(9舍去)当0x9时，y0；当x9时，y0，则当x9时，y取得最大值，故选C.答案C4(2011广东)函数f(x)x33x21在x_处取得极小值解析f(x)3x26x3x(x2)当x0时，f(x)0，当0x2时，f(x)0，当x2时，f(x)0，故当x2时取得极小值答案25若函数f(x)在x1处取极值，则a_.解析f(x)在x1处取极值，f(1)0，又f(x)，f(1)0，即21(11)(1a)0，故a3.答案3考向一函数的极值与导数【例1】(2011重庆)设f(x)2x3ax2bx1的导数为f(x)，若函数yf(x)的图象关于直线x对称，且f(1)0.(1)求实数a，b的值；(2)求函数f(x)的极值审题视点 由条件x为yf(x)图象的对称轴及f(1)0求得a，b的值，再由f(x)的符号求其极值解(1)因f(x)2x3ax2bx1，故f(x)6x22axb.从而f(x)62b，即yf(x)的图象关于直线x对称，从而由题设条件知，解得a3.又由于f(1)0，即62ab0，解得b12.(2)由(1)知f(x)2x33x212x1，f(x)6x26x126(x1)(x2)令f(x)0，即6(x1)(x2)0，解得x12，x21.当x(，2)时，f(x)0，故f(x)在(，2)上为增函数；当x(2,1)时，f(x)0，故f(x)在(2,1)上为减函数；当x(1，)时，f(x)0，故f(x)在(1，)上为增函数从而函数f(x)在x12处取得极大值f(2)21，在x21处取得极小值f(1)6. 运用导数求可导函数yf(x)的极值的步骤：(1)先求函数的定义域，再求函数yf(x)的导数f(x)；(2)求方程f(x)0的根；(3)检查f(x)在方程根的左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值，如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值【训练1】 (2011安徽)设f(x)，其中a为正实数(1)当a时，求f(x)的极值点；(2)若f(x)为R上的单调函数，求a的取值范围解对f(x)求导得f(x)ex.(1)当a时，若f(x)0，则4x28x30，解得x1，x2.综合，可知xf(x)00f(x)极大值极小值所以，x1是极小值点，x2是极大值点(2)若f(x)为R上的单调函数，则f(x)在R上不变号，结合与条件a0，知ax22ax10在R上恒成立因此4a24a4a(a1)0，由此并结合a0，知0a1.考向二函数的最值与导数【例2】已知a为实数，且函数f(x)(x24)(xa)(1)求导函数f(x)；(2)若f(1)0，求函数f(x)在2,2上的最大值、最小值审题视点 先化简再求导，求极值、端点值，进行比较得最值解(1)f(x)x3ax24x4a，得f(x)3x22ax4.(2)因为f(1)0，所以a，有f(x)x3x24x2，所以f(x)3x2x4.令f(x)0，所以x或x1.又f，f(1)，f(2)0，f(2)0，所以f(x)在2,2上的最大值、最小值分别为、. 一般地，在闭区间a，b上的连续函数f(x)必有最大值与最小值，在开区间(a，b)内的连续函数不一定有最大值与最小值，若函数yf(x)在闭区间a，b上单调递增，则f(a)是最小值，f(b)是最大值；反之，则f(a)是最大值，f(b)是最小值【训练2】 函数f(x)x3ax2b的图象在点P(1,0)处的切线与直线3xy0平行(1)求a，b；(2)求函数f(x)在0，t(t0)内的最大值和最小值解(1)f(x)3x22ax由已知条件即解得(2)由(1)知f(x)x33x22，f(x)3x26x3x(x2)，f(x)与f(x)随x变化情况如下：x(，0)0(0,2)2(2，)f(x)00f(x)22由f(x)f(0)解得x0，或x3因此根据f(x)的图象当0t2时，f(x)的最大值为f(0)2最小值为f(t)t33t22；当23时，f(x)的最大值为f(t)t33t22，最小值为f(2)2.考向三用导数解决生活中的优化问题【例3】(2011江苏)请你设计一个包装盒如图所示，ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒E、F在AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点设AEFBx(cm)(1)若广告商要求包装盒的侧面积S(cm2)最大，试问x应取何值？(2)某厂商要求包装盒的容积V(cm3)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值审题视点 由实际问题抽象出函数模型，利用导数求函数最优解，注意变量的实际意义解设包装盒的高为h(cm)，底面边长为a(cm)由已知得ax，h(30x)，0x30.(1)S4ah8x(30x)8(x15)21 800，所以当x15时，S取得最大值(2)Va2h2(x330x2)，V6x(20x)由V0得x0(舍去)或x20.当x(0,20)时，V0；当x(20,30)时，V0.所以当x20时，V取得极大值，也是最大值此时.即包装盒的高与底面边长的比值为. 在求实际问题中的最大值或最小值时，一般先设自变量、因变量、建立函数关系式，并确定其定义域，利用求函数最值的方法求解，注意结果应与实际情况相符合，用导数求解实际问题中的最大(小)值，如果函数在区间内只有一个极值点，那么根据实际意义该极值点就是最值点【训练3】 统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中，每小时的耗油量y(升)关于行驶速度x(千米/小时)的函数解析式可以表示为：yx3x8(0x120)已知甲、乙两地相距100千米(1)当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？(2)当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？解(1)设汽车以x千米/小时的速度行驶时，其耗油量为f(x) (0x120)f(40)17.5(升)因此从甲地到乙地要耗油17.5升(2)f(x) 又0x120，令f(x)0解得x80，当0x80时，f(x)0；当800.则当x80时，f(x)取到最小值f(80)11.25(升)因此当汽车以80千米/小时行驶时耗油最省，最小耗油量为11.25升难点突破7有关导数热点问题的求解策略导数的工具性使得导数在高考中的应用有得天独厚的优势，特别是在研究函数的性质、相切问题以及实际优化的问题方面近年，各地高考都从不同的方面对导数内容进行考查，既有考查导数的小题，又有考查导数综合应用的大题这些问题构成了高考试卷中一道亮丽的风景线一、研究曲线切线的导数问题导数的几何意义是我们解决有关直线与曲线相切的问题以及切线的斜率问题的有力武器，它使得复杂的图象关系问题转化为简单的函数问题、因而常常与导函数在切点的函数值一起作为列出方程的重要依据【示例】 (2011辽宁)设函数f(x)xax2bln x，曲线yf(x)过P(1,0)，且在P点处的切线斜率为2(1)求a、b的值；(2)证明：f(x)2x2. 二、研究函数性质的导数问题导数是研究函数问题的有力工具，常常用来解决函数的单调性、极值、最值等问题【示例】 (2011陕西)设f(x)ln x，g(x)f(x)f(x)(1)求g(x)的单调区间和最小值；(2)讨论g(x)与g的大小关系；(3)求a的取值范围，使得g(a)g(x)对任意x0成立解决实际问题的导数问题(教师备选)对于实际问题中的一些优化问题，如成本最低、利润最大、用料最省等问题，常常需要将实际问题抽象为数学问题，然后化为函数的最值来解决，而求解函数最值最有效的方法是导数法，因此，导数被广泛地应用于实际生活中的一些优化问题的求解过程，成为求解这些优化问题的首选【示例】 如图所示，一根水平放置的长方体枕木的安全负荷与它的宽度a成正比，与它的厚度d的平方成正比，与它的长度l的平方成反比(1)将此枕木翻转90(即宽度变为了厚度)，枕木的安全负荷会变大吗？为什么？(2)现有一根横截面为半圆(半圆的半径为R)的柱形木材，用它截取成横截面为长方形的枕木，其长度即为枕木规定的长度，问如何截取，可使安全负荷最大？第1讲变化率与导数、导数的运算【高考会这样考】1利用导数的几何意义求曲线在某点处的切线方程2考查导数的有关计算，尤其是简单的函数求导【复习指导】本讲复习时，应充分利用具体实际情景，理解导数的意义及几何意义，应能灵活运用导数公式及导数运算法则进行某些函数求导. 基础梳理1函数yf(x)从x1到x2的平均变化率函数yf(x)从x1到x2的平均变化率为.若xx2x1，yf(x2)f(x1)，则平均变化率可表示为.2函数yf(x)在xx0处的导数(1)定义称函数yf(x)在xx0处的瞬时变化率li li 为函数yf(x)在xx0处的导数，记作f(x0)或y|xx0，即f(x0)li .(2)几何意义函数f(x)在点x0处的导数f(x0)的几何意义是在曲线yf(x)上点(x0，f(x0)处切线的斜率相应地，切线方程为yf(x0)f(x0)(xx0)3函数f(x)的导函数称函数f(x)li 为f(x)的导函数，导函数有时也记作y.4基本初等函数的导数公式若f(x)c，则f(x)0；若f(x)x(R)，则f(x)x1；若f(x)sin x，则f(x)cos x；若f(x)cos x，则f(x)sin x；若f(x)ax(a0，且a1)，则f(x)axln_a；若f(x)ex，则f(x)ex；若f(x)logax(a0，且a1)，则f(x)；若f(x)ln x，则f(x).5导数四则运算法则(1)f(x)g(x)f(x)g(x)；(2)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)；(3)(g(x)0)6复合函数的求导法则复合函数yf(g(x)的导数和函数yf(u)，ug(x)的导数间的关系为yxyuux. 一个区别曲线yf(x)“在”点P(x0，y0)处的切线与“过”点P(x0，y0)的切线的区别：曲线yf(x)在点P(x0，y0)处的切线是指P为切点，若切线斜率存在时，切线斜率为kf(x0)，是唯一的一条切线；曲线yf(x)过点P(x0，y0)的切线，是指切线经过P点，点P可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条两种法则(1)导数的四则运算法则(2)复合函数的求导法则三个防范1利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆2要正确理解直线与曲线相切和直线与曲线只有一个交点的区别3正确分解复合函数的结构，由外向内逐层求导，做到不重不漏双基自测1下列求导过程中；()；(logax)；(ax)(eln ax)(exln a)exln aln aaxln a其中正确的个数是()A1 B2 C3 D4答案D2(人教A版教材习题改编)函数f(x)(x2a)(xa)2的导数为()A2(x2a2) B2(x2a2)C3(x2a2) D3(x2a2)解析f(x)(xa)2(x2a)2(xa)3(x2a2)答案C3(2011湖南)曲线y在点M处的切线的斜率为()A B. C D.解析本小题考查导数的运算、导数的几何意义，考查运算求解能力y，把x代入得导数值为.答案B4(2011江西)若f(x)x22x4ln x，则f(x)0的解集为()A(0，) B(1,0)(2，)C(2，) D(1,0)解析令f(x)2x20，利用数轴标根法可解得1x0或x2，又x0，所以x2.故选C.答案C5如图，函数f(x)的图象是折线段ABC，其中A，B，C的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，则f(f(0)_；li _(用数字作答)答案22考向一导数的定义【例1】利用导数的定义求函数f(x)x3在xx0处的导数，并求曲线f(x)x3在xx0处切线与曲线f(x)x3的交点审题视点 正确理解导数的定义是求解的关键解f(x0) (x2xx0x)3x.曲线f(x)x3在xx0处的切线方程为yx3x(xx0)，即y3xx2x，由得(xx0)2(x2x0)0，解得xx0，x2x0.若x00，则交点坐标为(x0，x)，(2x0，8x)；若x00，则交点坐标为(0,0) 利用定义求导数的一般过程是：(1)求函数的增量y；(2)求平均变化率；(3)求极限li .【训练1】 利用导数的定义证明奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数证明法一设yf(x)是奇函数，即对定义域内的任意x都有f(x)f(x)f(x)li 则f(x)li li f(x)因此f(x)为偶函数，同理可证偶函数的导数是奇函数法二设yf(x)是奇函数，即对定义域内的任意x都有f(x)f(x)，即f(x)f(x)因此f(x)f(x) f(x)f(x)则f(x)为偶函数同理可证偶函数的导数是奇函数考向二导数的运算【例2】求下列各函数的导数：(1)y；(2)y(x1)(x2)(x3)；(3)ysin；(4)y；审题视点 先把式子化为最简式再进行求导解(1)yxx3，y(x3)(x2sin x)x3x22x3sin xx2cos x.(2)法一y(x23x2)(x3)x36x211x6，y3x212x11.法二y(x1)(x2)(x3)(x1)(x2)(x3)(x1)(x2)(x1)(x2)(x3)(x1)(x2)(x2x1)(x3)(x1)(x2)(2x3)(x3)(x1)(x2)3x212x11.(3)ysinsin x，y(sin x)cos x.(4)y，y. (1)熟记基本初等函数的导数公式及四则运算法则是正确求导的基础(2)必要时对于某些求导问题可先化简函数解析式再求导【训练2】 求下列函数的导数：(1)yxnex；(2)y；(3)yexln x；(4)y(x1)2(x1)解(1)ynxn1exxnexxn1ex(nx)(2)y.(3)yexln xexex.(4)y(x1)2(x1)(x1)(x21)x3x2x1，y3x22x1.考向三求复合函数的导数【例3】求下列复合函数的导数(1)y(2x3)5；(2)y；(3)ysin2；(4)yln(2x5)审题视点 正确分解函数的复合层次，逐层求导解(1)设u2x3，则y(2x3)5，由yu5与u2x3复合而成，yf(u)u(x)(u5)(2x3)5u4210u410(2x3)4.(2)设u3x，则y.由yu与u3x复合而成yf(u)u(x)(u)(3x)u(1)u.(3)设yu2，usin v，v2x，则yxyuuvvx2ucos v24sincos2sin.(4)设yln u，u2x5，则yxyuuxy(2x5). 由复合函数的定义可知，中间变量的选择应是基本函数的结构，解这类问题的关键是正确分析函数的复合层次，一般是从最外层开始，由外向内，一层一层地分析，把复合函数分解成若干个常见的基本函数，逐步确定复合过程【训练3】 求下列函数的导数：(1)y；(2)ysin22x；(3)yexsin 2x; (4)yln.解(1)y2x，(2)y(2sin 2x)(cos 2x)22sin 4x(3)y(ex)sin 2xex(cos 2x)2ex(2cos 2xsin 2x)(4)y2x.规范解答6如何求曲线上某一点的切线方程【问题研究】 利用导数的几何意义求函数在某一点的坐标或某一点处的切线方程是高考常常涉及的问题.这类问题最容易出现的错误就是分不清楚所求切线所过的点是不是切点而导致错误.,【解决方案】 解这类问题的关键就是抓住切点.看准题目所求的是“在曲线上某点处的切线方程”还是“过某点的切线方程”，然后求某点处的斜率，用点斜式写出切线方程.【示例】(本题满分12分)(2010山东)已知函数f(x)ln xax1(aR)(1)当a1时，求曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程；(2)当a时，讨论f(x)的单调性 (1)求出在点(2，f(2)处的斜率及f(2)，由点斜式写出切线方程；(2)求f(x)，再对a分类讨论解答示范 (1)当a1时，f(x)ln xx1，x(0，)所以f(x)，x(0，)，(1分)因此f(2)1，即曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线斜率为1.又f(2)ln 22，所以曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程为y(ln 22)x2，即xyln 20.(3分)(2)因为f(x)ln xax1，所以f(x)a，x(0，)(4分)令g(x)ax2x1a，x(0，)当a0时，g(x)x1，x(0，)，所以当x(0,1)时，g(x)0，此时f(x)0，函数f(x)单调递减；当x(1，)时，g(x)0，此时f(x)0，函数f(x)单调递增；(6分)当a0时，由f(x)0，即ax2x1a0，解得x11，x21.a当a时，x1x2，g(x)0恒成立，此时f(x)0，函数f(x)在(0，)上单调递减；(7分)b当0a时，110.x(0,1)时，g(x)0，此时f(x)0，函数f(x)单调递减；x时，g(x)0，此时f(x)0，函数f(x)单调递增；x时，g(x)0，此时f(x)0，函数f(x)单调递减；(9分)c当a0时，由于10，x(0,1)时，g(x)0，此时f(x)0，函数f(x)单调递减；x(1，)时，g(x)0，此时f(x)0，函数f(x)单调递增(11分)综上所述：当a0时，函数f(x)在(0,1)上单调递减，函数f(x)在(1，)上单调递增；当a时，函数f(x)在(0，)上单调递减；当0a时，函数f(x)在(0,1)上单调递减，函数f(x)在上单调递增，函数f(x)在上单调递减(12分) 求解切线问题的关键是切点坐标，无论是已知切线斜率还是切线经过某一点，切点坐标都是化解难点的关键所在第2讲导数的应用(一)【高考会这样考】1利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间2由函数单调性和导数的关系，求参数的范围【复习指导】本讲复习时，应理顺导数与函数的关系，理解导数的意义，体会导数在解决函数有关问题时的工具性作用，重点解决利用导数来研究函数的单调性及求函数的单调区间基础梳理1导数的几何意义函数yf(x)在xx0处的导数f(x0)是曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处切线l的斜率，切线l的方程是yf(x0)f(x0)(xx0)2导数的物理意义若物体位移随时间变化的关系为sf(t)，则f(t0)是物体运动在tt0时刻的瞬时速度3函数的单调性在(a，b)内可导函数f(x)，f(x)在(a，b)任意子区间内都不恒等于0.f(x)0函数f(x)在(a，b)上单调递增；f(x)0函数f(x)在(a，b)上单调递减易误警示直线与曲线有且只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线；反之直线是曲线的切线，但直线不一定与曲线有且只有一个公共点两个条件(1)f(x)0在(a，b)上成立是f(x)在(a，b)上单调递增的充分条件(2)对于可导函数f(x)，f(x0)0是函数f(x)在xx0处有极值的必要不充分条件三个步骤求函数单调区间的步骤：(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求导数f(x)；(3)由f(x)0(f(x)0)解出相应的x的范围当f(x)0时，f(x)在相应的区间上是增函数；当f(x)0时，f(x)在相应的区间上是减函数，还可以列表，写出函数的单调区间双基自测1(2011山东)曲线yx311在点P(1,12)处的切线与y轴交点的纵坐标是()A9 B3C9 D15解析由已知y3x2，则y|x13切线方程为y123(x1)，即y3x9.答案C2(2012烟台模拟)函数f(x)x22ln x的递减区间是()A(0,1 B1，)C(，1)，(0,1) D1,0)，(0,1解析函数的定义域为(0，)，又f(x)2x2由f(x)0，解得0x1.答案A3(2012长沙一中月考)若点P是曲线yx2ln x上任意一点，则点P到直线yx2的最小值为()A1 B.C. D.解析由已知y2x，令2x1，解得x1.曲线yx2ln x在x1处的切线方程为y1x1，即xy0.两直线xy0，xy20之间的距离为d.答案B4(人教A版教材习题改编)在高台跳水运动中，t s时运动员相对水面的高度(单位：m)是t1(t)4.9t26.5t10，高台跳水运动员在t1 s时的瞬时速度为_答案3.3 m/s5函数f(x)x33x21的递增区间是_解析f(x)3x26x3x(x2)，由f(x)0解得x0，或x2.答案(，0)，(2，)考向一求曲线切线的方程【例1】已知函数f(x)x34x25x4.(1)求曲线f(x)在x2处的切线方程；(2)求经过点A(2，2)的曲线f(x)的切线方程审题视点 由导数几何意义先求斜率，再求方程，注意点是否在曲线上，是否为切点解(1)f(x)3x28x5f(2)1，又f(2)2曲线f(x)在x2处的切线方程为y(2)x2，即xy40.(2)设切点坐标为(x0，x4x5x04)f(x0)3x8x05则切线方程为y(2)(3x8x05)(x2)，又切线过(x0，x4x5x04)点，则x4x5x02(3x8x05)(x02)，整理得(x02)2(x01)0，解得x02，或x01，因此经过A(2，2)的曲线f(x)的切线方程为xy40，或y20. 首先要分清是求曲线yf(x)在某处的切线还是求过某点曲线的切线(1)求曲线yf(x)在xx0处的切线方程可先求f(x0)，利用点斜式写出所求切线方程；(2)求过某点的曲线的切线方程要先设切点坐标，求出切点坐标后再写切线方程【训练1】 若直线ykx与曲线yx33x22x相切，试求k的值解设ykx与yx33x22x相切于P(x0，y0)则y0kx0，y0x3x2x0，又y3x26x2，ky|xx03x6x02，由得：(3x6x02)x0x3x2x0，即(2x03)x0.x00或x0，k2或k.考向二函数的单调性与导数【例2】已知函数f(x)x3ax23x.(1)若f(x)在1，)上是增函数，求实数a的取值范围；(2)若x3是f(x)的极值点，求f(x)的单调区间审题视点 函数单调的充要条件是f(x)0或f(x)0且不恒等于0.解(1)对f(x)求导，得f(x)3x22ax3.由f(x)0，得a.记t(x)，当x1时，t(x)是增函数，t(x)min(11)0.a0.(2)由题意，得f(3)0，即276a30，a4.f(x)x34x23x，f(x)3x28x3.令f(x)0，得x1，x23.当x变化时，f(x)、f(x)的变化情况如下表：x3(3，)f(x)00f(x)极大值极小值当x，3，)时，f(x)单调递增，当x时，f(x)单调递减 函数在指定区间上单调递增(减)，函数在这个区间上的导数大于或等于0(小于或等于0)，只要不在一段连续区间上恒等于0即可，求函数的单调区间解f(x)0(或f(x)0)即可【训练2】 已知函数f(x)exax1.(1)求f(x)的单调增区间；(2)是否存在a，使f(x)在(2,3)上为减函数，若存在，求出a的取值范围，若不存在，说明理由解f(x)exa，(1)若a0，则f(x)exa0，即f(x)在R上递增，若a0，exa0，exa，xln a.因此f(x)的递增区间是ln a，)(2)由f(x)exa0在(2,3)上恒成立aex在x(2,3)上恒成立又2x3，e2exe3，只需ae3.当ae3时f(x)exe3在x(2,3)上，f(x)0，即f(x)在(2,3)上为减函数，ae3.故存在实数ae3，使f(x)在(2,3)上单调递减考向三利用导数解决不等式问题【例3】设a为实数，函数f(x)ex2x2a，xR.(1)求f(x)的单调区间与极值；(2)求证：当aln 21且x0时，exx22ax1.审题视点 第(2)问构造函数h(x)exx22ax1，利用函数的单调性解决(1)解由f(x)ex2x2a，xR知f(x)ex2，xR.令f(x)0，得xln 2，于是当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表.x(，ln 2)ln 2(ln 2，)f(x)0f(x)单调递减2(1ln 2a)单调递增故f(x)的单调递减区间是(，ln 2，单调递增区间是ln 2，)，f(x)在xln 2处取得极小值，极小值为f(ln 2)eln 22ln 22a2(1ln 2a)(2)证明设g(x)exx22ax1，xR，于是g(x)ex2x2a，xR.由(1)知当aln 21时，g(x)的最小值为g(ln 2)2(1ln 2a)0.于是对任意xR，都有g(x)0，所以g(x)在R内单调递增于是当aln 21时，对任意x(0，)，都有g(x)g(0)而g(0)0，从而对任意x(0，)，g(x)0.即exx22ax10，故exx22ax1. 利用导数证明不等式要考虑构造新的函数，利用新函数的单调性或最值解决不等式的证明问题比如要证明对xa，b都有f(x)g(x)，可设h(x)f(x)g(x)只要利用导数说明h(x)在a，b上的最小值为0即可【训练3】 已知mR，函数f(x)(x2mxm)ex(1)若函数没有零点，求实数m的取值范围；(2)当m0时，求证f(x)x2x3.(1)解由已知条件f(x)0无解，即x2mxm0无实根，则m24m0，解得0m4，实数m的取值范围是(0,4)(2)证明当m0时，f(x)x2ex设g(x)exx1，g(x)ex1，g(x)，g(x)随x变化情况如下：x(，0)0(0，)g(x)0g(x)0由此可知对于xR，g(x)g(0)即exx10，因此x2(exx1)0，整理得x2exx3x2，即f(x)x3x2.阅卷报告2书写不规范失分【问题诊断】 利用导数求解函数的单调区间是高考的热点内容，这类问题求解并不难，即只需由f(x)0或f(x)0，求其解即得.但在求解时会因书写不规范而导致失分.【防范措施】 对于含有两个或两个以上的单调增区间(或单调减区间)，中间用“，”或“和”连接，而不能用符号“”连接.【示例】设函数f(x)x(ex1)x2，求函数f(x)的单调增区间错因结论书写不正确，也就是说不能用符号“”连接，应为(，1)和(0，)实录f(x)ex1xexx(ex1)(x1)，令f(x)0得，x1或x0.所以函数f(x)的单调增区间为(，1)(0，)正解因为f(x)x(ex1)x2，所以f(x)ex1xexx(ex1)(x1)令f(x)0，即(ex1)(x1)0，得x1或x0.所以函数f(x)的单调增区间为(，1)和(0，)【试一试】 设函数f(x)ax33x2，(aR)，且x2是yf(x)的极值点，求函数g(x)exf(x)的单调区间尝试解答f(x)3ax26x3x(ax2)因为x2是函数yf(x)的极值点所以f(2)0，即6(2a2)0，因此a1，经验证，当a1时，x2是函数f(x)的极值点，所以g(x)ex(x33x2)，g(x)ex(x33x23x26x)ex(x36x)x(x)(x)ex.因为ex0，所以yg(x)的单调增区间是(，0)和(，)；单调减区间是(，)和(0，)第4讲定积分的概念与微积分基本定理【高考会这样考】1考查定积分的概念，定积分的几何意义，微积分基本定理2利用定积分求曲边形面积、变力做功、变速运动的质点的运动路程【复习指导】定积分的考查频率不是很高，本讲复习主要掌握定积分的概念和几何意义，使用微积分基本定理计算定积分，